21.3 實(shí)際問題與一元二次方程（知識梳理+典型例題）

21.3實(shí)際問題與一元二次方程21.3實(shí)際問題與一元二次方程?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接按住ctrl并單擊，可訪問相關(guān)題型鏈接【題型1】數(shù)字問題 3【題型2】變化率問題 6【題型3】商品銷售問題 8【題型4】存款利息問題 12【題型5】面積問題 15【題型6】單循環(huán)、雙循環(huán)問題 19知識點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1）審：審清題意，分清已知量和未知量，明確各量之間的關(guān)系．（2）設(shè)：設(shè)元，也就是設(shè)未知數(shù)，可直接設(shè)未知數(shù)或間接設(shè)未知數(shù)．（3）找：根據(jù)題目中的關(guān)鍵語句，找出等量關(guān)系．（4）列：根據(jù)等量關(guān)系列出一元二次方程．（5）解：解一元二次方程，求出未知數(shù)的值．（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求解的合理性．（7）答：寫出答案，應(yīng)遵循“問什么答什么的原則”．注意：不要忘記檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義．在實(shí)際問題中，由一元二次方程解得的根要符合實(shí)際情況，如人數(shù)為自然數(shù)，幾何圖形中的長度、面積等為正數(shù)，銀行存款利率不能為負(fù)．知識點(diǎn)2：常見題型1．?dāng)?shù)字問題一個兩位數(shù)，十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)表示為10a+b；一個三位數(shù)，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個位數(shù)字為c，則這個三位數(shù)表示為100a+10b+c．2．平均變化率問題設(shè)基數(shù)為a，平均增長（或減少）率為x，則第一次增長（或減少）后的值為a（1±x），第二次增長（或減少）后的值為a（1±x）2，以此類推，第n次增長（或減少）后的值為a（1±x）n．3．利潤問題利潤=售價一進(jìn)價；利潤率==；售價=進(jìn)價×（1+利潤率）；打折后的價格=售價×打折數(shù)×．總利潤=總售價－總成本=單個利潤×總銷售量．列一元二次方程解決實(shí)際問題時應(yīng)注意：（1）注意各類實(shí)際問題中常見的等量關(guān)系．（2）注意文字語言與代數(shù)式之間的互化，能把用文字語言表述的關(guān)系用代數(shù)式表示出來．（3）注意單位問題，一是在設(shè)未知數(shù)時必須寫清單位；二是列方程時，要注意方程兩邊的單位必須一致，答時必須寫上單位．（4）一般情況下一元二次方程有兩個解，所以要注意檢驗(yàn)方程的解是否符合題意及使實(shí)際問題有意義．【題型1】數(shù)字問題例1例1（2023?翼城縣一模）讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物；東吳都督而立年，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？【分析】設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為．根據(jù)題意建立方程求出其值就可以求出其結(jié)論．【解答】解：設(shè)周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為．由題意得；，解得：，當(dāng)時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當(dāng)時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意．答：周瑜去世時的年齡為36歲．?點(diǎn)撥?數(shù)字在哪位上，該數(shù)位上的數(shù)字就乘哪個進(jìn)率．【變式1】（2023秋?西華縣月考）有一個兩位數(shù)，兩個數(shù)位上數(shù)字的和是6，這個兩位數(shù)是這兩個數(shù)位上數(shù)字的積的3倍，則這個兩位數(shù)是．【變式2】（2023秋?羅山縣校級月考）一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3．若這兩個數(shù)字之積等于這個兩位數(shù)的，則這個兩位數(shù)是．【變式3】（2023秋?臨汾月考）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大4，把這個數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字對調(diào)后，得到新的兩位數(shù)，原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)，求原來的兩位數(shù)．1．【答案】24或15．【分析】根據(jù)“這個兩位數(shù)是這兩個數(shù)位上數(shù)字的積的3倍”設(shè)未知數(shù)列方程求解【解答】解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位為，則十位數(shù)為，根據(jù)題意可得，，整理得，解得或5，當(dāng)時，，故這個兩位數(shù)為；當(dāng)時，，故這個兩位數(shù)為．故答案為：24或15．2．【答案】63．【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，根據(jù)這兩個數(shù)字之積等于這個兩位數(shù)的，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，結(jié)合為非負(fù)整數(shù)，即可得出的值，再將其代入中即可求出結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為，則十位數(shù)字為，依題意得：，整理得：，解得：，．又為非負(fù)整數(shù)，，．故答案為：63．3．【答案】26．【分析】先設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，再根據(jù)題意列出等式，最后進(jìn)行計算即可．【解答】解：設(shè)原來的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，，整理得：解得：，（不符合題意，舍去），故原來的兩位數(shù)為26．答：原來的兩位數(shù)為26．【題型2】變化率問題例2例2（2024春?岳麓區(qū)校級期末）某種品牌運(yùn)動服的每件零售價為560元，經(jīng)過兩次降價，降為315元，若每次平均降價率為，則下列方程正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】利用經(jīng)過兩次降價后該品牌運(yùn)動服每件的零售價該品牌運(yùn)動服每件的原零售價每次平均降價率），即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：．?點(diǎn)撥?平均增長（或減少）率公式為a（1±x）n=b．a(chǎn)其中是變化前的數(shù)量；b是變化后的數(shù)量；n是變化的年數(shù)或次數(shù)．【變式4】（2023秋?潼南區(qū)期末）某超市第一季度中，1月的營業(yè)額為200萬元，2、3月的總營業(yè)額為1000萬元，如果平均每月增長率為，由題意可列方程A． B． C． D．【變式5】（2024?廣南縣模擬）某市2021年年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率為，經(jīng)過兩年努力，該市2023年年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率達(dá)到，求該市這兩年自然保護(hù)區(qū)面積的年均增長率．設(shè)該市這兩年自然保護(hù)區(qū)面積的年均增長率為，則下列方程正確的是A． B． C． D．【變式6】（2024?高平市三模）山西省所有公立醫(yī)療機(jī)構(gòu)于2024年3月25日起全面執(zhí)行第九批國家組織藥品集中帶量采購中選結(jié)果．相關(guān)負(fù)責(zé)人表示，重點(diǎn)藥品降價將明顯減輕患者負(fù)擔(dān)，某藥品通過連續(xù)兩輪降價，每粒從200元降至15元．若該藥品每輪降價率相同．設(shè)每輪降價率為，則根據(jù)題意可列方程為A． B． C． D．4．【答案】【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，利用等量關(guān)系：二月份的營業(yè)額三月份的營業(yè)額萬元，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【解答】解：該超市一月份的營業(yè)額為200萬元，且平均每月增長率為，該超市二月份的營業(yè)額為萬元，三月份的營業(yè)額為萬元，又、3月的總營業(yè)額為1000萬元，．故選：．5．【答案】【分析】利用該市2023年年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率該市2021年年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率該市這兩年自然保護(hù)區(qū)面積的年均增長率），即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：．6．【答案】【分析】利用經(jīng)過兩次降價后的價格原價該藥品每輪降價率），即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：．【題型3】商品銷售問題例3例3（2024?廣東一模）香云紗作為廣東省佛山市特產(chǎn)，中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，是世界紡織品中唯一用純植物染料染色的絲綢面料，被紡織界譽(yù)為“軟黃金”，在某網(wǎng)網(wǎng)店，香云紗連衣裙平均每月可以銷售120件，每件盈利200元，為了盡快減少庫存，決定降價促銷，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每件每降價20元，則每月可多售出30件，如果每月要盈利2.88萬元，則每件應(yīng)降價元．【答案】80．【分析】設(shè)每件應(yīng)降價元，則每件的銷售利潤為元，每月可售出件，利用總利潤每件的銷售利潤月銷售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，再結(jié)合要盡快減少庫存，即可確定結(jié)論．【解答】解：設(shè)每件應(yīng)降價元，則每件的銷售利潤為元，每月可售出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，又要盡快減少庫存，，每件應(yīng)降價80元．故答案為：80．?點(diǎn)撥?利潤=售價一進(jìn)價；利潤率==；售價=進(jìn)價×（1+利潤率）；打折后的價格=售價×打折數(shù)×．總利潤=總售價－總成本=單個利潤×總銷售量．【變式7】（2024春?海陽市期末）某店銷售一批戶外帳篷，經(jīng)調(diào)查，每頂帳篷利潤為200元時，平均每天可售出60頂；單價每降價10元，每天可多售出4頂．該店要想平均每天盈利12160元，則每頂帳篷應(yīng)降價多少元？設(shè)降價元，下列方程正確的是A． B． C． D．【變式8】（2024?祁縣模擬）上黨臘驢肉是山西長治的傳統(tǒng)名吃，其肉質(zhì)肥而不膩、瘦而不柴，香味四溢、回味無窮．某特產(chǎn)專賣店購進(jìn)一批袋裝上黨臘驢肉，進(jìn)價為40元袋，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價為60元時，每天可售出300袋；銷售單價每降低1元，每天可多售出20袋．若銷售單價降低元，該專賣店每天銷售這種臘驢肉可獲得利潤5000元，則可列方程為A． B． C． D．【變式9】（2023秋?北海期末）某品牌服裝專營店平均每天可銷售該品牌服裝20件，每件可盈利44元．若每件降價1元，則每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，則應(yīng)降價元．7．【答案】【分析】當(dāng)每頂帳篷降價元時，每頂帳篷利潤為元，平均每天可售出頂，利用總利潤每頂帳篷的銷售利潤日銷售量，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：當(dāng)每頂帳篷降價元時，每頂帳篷利潤為元，平均每天可售出頂，根據(jù)題意得：．故選：．8．【答案】【分析】設(shè)銷售單價降低元，則每天可售出袋，根據(jù)總利潤每個的利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程．【解答】解：依題意得：，故選：．9．【答案】4或36．【分析】設(shè)每件降價元，則每件可盈利元，平均每天可售出件，利用總利潤每件的盈利平均每天的銷售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)每件降價元，則每件可盈利元，平均每天可售出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，若要平均每天盈利1600元，則應(yīng)降價4或36元．故答案為：4或36．【題型4】存款利息問題例4例4（2022春?萬秀區(qū)校級期中）2019年小王看中了某樓盤以12000元的均價對外銷售面積為的某戶型，由于資金不足，決定等兩年再考慮買房．自2019年底出現(xiàn)疫情以來，商品房價格下調(diào)，2021年的該戶型的均價為9720元．（1）求這一戶型的均價平均每年下調(diào)的百分率；（2）進(jìn)入2022年后小王得知該戶型仍有少量庫存在售，單價較2021年的均價再次下調(diào)相同的百分率．小王計算了一下自己的資金，在過去的24個月中，每月固定存上相同數(shù)量的資金（存入的資金是100的整數(shù)倍），加上原有積蓄30萬元，還可以向銀行貸款50萬元，可以湊齊房款，請問小王在過去的兩年中每月至少固定存入多少錢？【答案】（1）；（2）小王在過去的兩年中每月至少固定存入3200元錢．【分析】（1）設(shè)這一戶型的均價平均每年下調(diào)的百分率為，由題意：2019年的均價為12000元，2021年的該戶型的均價為9720元．列出一元二次方程，解方程即可；（2）設(shè)小王在過去的兩年中每月固定存入元錢，由題意列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)這一戶型的均價平均每年下調(diào)的百分率為，由題意得：，解得：，（不合題意舍去），答：這一戶型的均價平均每年下調(diào)的百分率為；（2）設(shè)小王在過去的兩年中每月固定存入元錢，由題意得：，解得：，且取100的整數(shù)倍，最小值為3200，答：小王在過去的兩年中每月至少固定存入3200元錢．?點(diǎn)撥?稅前利息=本金×利率×期數(shù)．【變式10】（2022秋?蓬安縣期中）若某銀行經(jīng)過兩次降息，使三年期存款的年利率由降至，則平均每次降息的百分比是A． B． C． D．【變式11】（2022秋?平泉市校級月考）某人在銀行存了400元錢，兩年后連本帶息一共取款484元，設(shè)年利率為，則列方程為，解得年利率是．【變式12】（2022秋?株洲期中）2019年，我市某樓盤以每平方米7200元的均價對外銷售．因?yàn)闃潜P滯銷，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，決定進(jìn)行降價促銷，經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后，2021年的均價為每平方米5832元．（1）求平均每年下調(diào)的百分率；（2）假設(shè)2022年的均價仍然下調(diào)相同的百分率，張強(qiáng)準(zhǔn)備購買一套100平方米的住房，他持有現(xiàn)金25萬元，可以在銀行貸款30萬元，張強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)？（房價每平方米按照均價計算）10．【答案】【分析】等量關(guān)系：經(jīng)過最近的兩次降息，使一年期存款的年利率由降至．【解答】解：經(jīng)過一次降息，是；經(jīng)過兩次降息，是．則有方程．解方程得或（舍去）．即：平均每次降息的百分率為．故選：．11．【分析】本題為復(fù)利問題，一般形式為，如果設(shè)年利率為，那么根據(jù)題意可得出方程．解方程可得出年利率為．【解答】解：設(shè)年利率為，則根據(jù)公式可得：；解得：．12．【答案】（1）平均每年下調(diào)的百分率為；（2）張強(qiáng)的愿望能實(shí)現(xiàn)．【分析】（1）設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為，根據(jù)題意得到，然后可求得下調(diào)的百分比；（2）根據(jù)總房款每平方米的均價平方數(shù)，求出總房款，與張強(qiáng)持有的現(xiàn)金與銀行貸款之和比較，即可得到答案．【解答】解：（1）設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為，則．解得：，（不合題意舍去）．答：平均每年下調(diào)的百分率為；（2）張強(qiáng)的愿望能實(shí)現(xiàn)，理由如下：（萬元）．由于，所以張強(qiáng)的愿望能實(shí)現(xiàn)．【題型5】面積問題例5例5（2024?瑤海區(qū)校級模擬）如圖，矩形是某會展中心一樓展區(qū)的平面示意圖，其中邊的長為，邊的長為，該展區(qū)內(nèi)有三個全等的矩形展位，每個展位的面積都為，陰影部分為寬度相等的人行通道，求人行通道的寬度．若設(shè)人行通道的寬度為，下列方程正確的是A． B． C． D．【答案】【分析】由人行通道的寬度為，可得出每個展位的長為，寬為，根據(jù)每個展位的面積都為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：人行通道的寬度為，每個展位的長為，寬為．依題意得：，即．故選：．?點(diǎn)撥?規(guī)則圖形利用各幾何圖形的面積公式；不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，利用割補(bǔ)法求面積的和或差．【變式13】（2024春?寧陽縣期末）如圖，一農(nóng)戶要建議個矩形花圃，花圃的一邊利用長為的墻，另外三邊用長的籬笆圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于墻的一邊留一個寬的門，花圃面積為，設(shè)與墻垂直的一邊長為，則可以列出方程是A． B． C． D．【變式14】（2024春?錢塘區(qū)期末）金沙湖大劇院以形似水袖、飄飄而立，勢如水形、絕美的顏值，成為金沙湖畔最具魅力的城市地標(biāo)．如圖，某攝影愛好者拍攝了一副長為，寬為的金沙湖大劇院風(fēng)景照，現(xiàn)在風(fēng)景畫四周鑲一條等寬的紙邊，制成一幅矩形掛圖．若要使整個掛圖的面積是，設(shè)紙邊的寬為，則滿足的方程是A． B． C． D．【變式15】（2024春?利辛縣期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出了一個問題：直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），只云闊（寬不及長一十二步（寬比長少一十二步），則“闊”是A．12步 B．24步 C．36步 D．72步13．【答案】【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出平行于墻的一邊長為，結(jié)合花圃面積為，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【解答】解：籬笆的總長度為，與墻垂直的一邊長為，平行于墻的一邊長為．根據(jù)題意得：．故選：．14．【答案】【分析】如果設(shè)紙邊的寬為，那么掛圖的長和寬應(yīng)該為和，根據(jù)總面積即可列出方程．【解答】解：設(shè)紙邊的寬為，那么掛圖的長和寬應(yīng)該為和，根據(jù)題意可得出方程為：，故選：．15．【答案】【分析】設(shè)“闊”是步，則長是步，根據(jù)直田積（矩形面積）八百六十四步（平方步），可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)“闊”是步，則長是步，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），，“闊”是24步．故選：．【題型6】單循環(huán)、雙循環(huán)問題例6例6（2023春?北碚區(qū)校級月考）新春佳節(jié)，某班同學(xué)兩兩之間全部互發(fā)祝福短信，共發(fā)2450條，設(shè)全班共有名學(xué)生，可列方程A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)全班的人數(shù)，可得出每名學(xué)生需發(fā)送條祝福短信，利用發(fā)送短信的總條數(shù)全班人數(shù)（全班人數(shù)，即可列出關(guān)于的一元二次方程，此題得