偏微分方程知到智慧樹章節(jié)測(cè)試課后答案2024年秋山東大學(xué)（威海）

偏微分方程知到智慧樹章節(jié)測(cè)試課后答案2024年秋山東大學(xué)（威海）緒論單元測(cè)試

假設(shè)和連續(xù)，求解二階線性偏微分方程

答案:無請(qǐng)求解二階線性偏微分方程

。

答案:無

第一章單元測(cè)試

偏微分方程定解問題的適定性是：存在性、唯一性和穩(wěn)定性。（）

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)弦在振動(dòng)過程中可能發(fā)生縱向振動(dòng)嗎？（）

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)一條柔軟均勻的細(xì)弦長(zhǎng)度為1，一端固定，另一端是彈性支撐（阻力與速度成正比的介質(zhì)中作微小的橫振動(dòng)）提起高度為，試寫出該定解問題。

答案:無試推導(dǎo)三維波動(dòng)方程。

答案:三維波動(dòng)方程為：\[\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partialz^2}\right)\]其中，\(u(x,y,z,t)\)表示在三維空間中某點(diǎn)的位移量，\(c\)是波的傳播速度。一長(zhǎng)度為的均勻細(xì)桿具有絕熱的側(cè)表面，試給出其溫度所滿足的定解問題，其中桿的一端溫度保持恒定，一端有恒定的已知熱流。

答案:無

第二章單元測(cè)試

Sturm-Liouville問題的解決是基于自共軛算子的理論發(fā)展。（）

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)求解初值問題：其中.若初值只給定在上，試問：在什么區(qū)域上能確定解。

答案:無初邊值問題：求解的表達(dá)式。

答案:無試用能量積分法證明初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性。

答案:無試用齊次化原理求解平面非齊次波動(dòng)方程在齊次初始條件下的求解公式。

答案:無

第三章單元測(cè)試

極值原理是符合物理現(xiàn)象的。（）

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)請(qǐng)求解如下初值問題：。

答案:無求解初邊值問題

答案:無討論初邊值問題解的大時(shí)間行為。

答案:無用能量積分法討論討論解的唯一性和穩(wěn)定性。

答案:無

第四章單元測(cè)試

驗(yàn)證二維圓面上調(diào)和函數(shù)第一邊值問題解的過程中，下列哪項(xiàng)是正確的？（）

A:僅通過圖形方法驗(yàn)證解的正確性。B:通過直接替換檢驗(yàn)邊界條件。C:利用積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證調(diào)和方程。D:利用格林函數(shù)的對(duì)稱性得知，在圓內(nèi)關(guān)于點(diǎn)也是調(diào)和的。

答案:利用積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)的方法驗(yàn)證調(diào)和方程。嘗試給出所對(duì)應(yīng)的泛函，并證明泛函取最小等價(jià)于所述的邊值問題。

答案:無，嘗試說明此問題極值原理不成立。

答案:無嘗試證明只要滿足平均值公式的連續(xù)函數(shù)一定是調(diào)和函數(shù)。

答案:對(duì)于一個(gè)二元連續(xù)函數(shù)$f(x,y)$，如果它滿足平均值性質(zhì)，即對(duì)于任意點(diǎn)$(x_0,y_0)$和任意$r>0$，有\(zhòng)[f(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta,\]則$f(x,y)$是調(diào)和函數(shù)。證明：調(diào)和函數(shù)定義上要求滿足拉普拉斯方程，即\[\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partialx^2}+\frac{\partial^2f}{\partialy^2}=0.\]我們利用平均值性質(zhì)來證明這一點(diǎn)。對(duì)$f(x_0,y_0)$按照極坐標(biāo)下的$x$（或$r\cos\theta$）和$y$（或$r\sin\theta$）進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，并應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t。但直接從平均值性質(zhì)出發(fā)更簡(jiǎn)潔，我們考慮平均值性質(zhì)對(duì)方程兩邊關(guān)于$r$的偏導(dǎo)數(shù)：\[\frac{\partial}{\partialr}\left[f(x_0,y_0)\right]=\frac{\partial}{\partialr}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta\right].\]由于$f(x_0,y_0)$不直接依賴于$r$，其導(dǎo)數(shù)為0，而右側(cè)通過積分中值定理可以轉(zhuǎn)換為對(duì)函數(shù)在圓周上的值的積分，最終得到關(guān)于$f$在圓周上導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式。進(jìn)一步，對(duì)$r$二次偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)得到拉普拉斯算子作用于$f$的結(jié)果關(guān)于$r$的表達(dá)式。通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算與極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，結(jié)合原函數(shù)的連續(xù)性和可微性，可以證明$\nabla^2f=0$。因此，根據(jù)平均值性質(zhì)的定義，連續(xù)函數(shù)$f(x,y)$滿足該性質(zhì)，則必然是調(diào)和函數(shù)。用能量積分法證明解的唯一性。

答案:無

第五章單元測(cè)試

通過自變量的適當(dāng)?shù)目赡孀儞Q及未知函數(shù)的適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換，可以簡(jiǎn)化方程并得到同一方程的不同表達(dá)形式。（）

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)對(duì)Laplace方程，任何連續(xù)解在其定義域中都是解析函數(shù)（）

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)解的先驗(yàn)估計(jì)主要包括最大模估計(jì)和均方模估計(jì)（）

A:錯(cuò)B:對(duì)

答案:對(duì)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

答案:無求的特征方程和特征方向。

答案:無

第六章單元測(cè)試

函數(shù)的Fourier變換。

答案:無求函數(shù)的Fourier變換。

答案:無用Fourier變換導(dǎo)出三維調(diào)和方程的基本解。

答案:三維調(diào)和方程（Laplace方程在三維空間中的形式）為：\[\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partialx^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partialy^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partialz^2}=0\]使用Fourier變換來求解，設(shè)三維空間中的函數(shù)$\phi(\vec{r})=\phi(x,y,z)$可以被Fourier變換為頻率域中的函數(shù)$\tilde{\phi}(\vec{k})=\tilde{\phi}(k_x,k_y,k_z)$，其中$\vec{r}=(x,y,z)$是位置向量，$\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)$是對(duì)應(yīng)的波數(shù)向量。三維Fourier變換定義為：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}dxdydz\]對(duì)應(yīng)的逆變換為：\[\phi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\phi}(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dk_xdk_ydk_z\]對(duì)$\phi(\vec{r})$應(yīng)用Fourier變換到$\tilde{\phi}(\vec{k})$上，并利用Fourier變換的性質(zhì)，可以得到三維調(diào)和方程在頻域中的形式：\[-k_x^2-k_y^2-k_z^2\tilde{\phi}(\vec{k})=0\]解這個(gè)方程得到：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=C(k_x,k_y,k_z)\cdote^{-\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\cdotf(\vec{k})}\]但根據(jù)原方程，直接得到的是簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，正確的表述應(yīng)簡(jiǎn)化為：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=C(k_x,k_y,k_z)\]這里的$C(k_x,k_y,k_z)$是與波數(shù)相關(guān)的復(fù)數(shù)常數(shù)，包含了原問題的所有可能解的信息。最后，通過逆Fourier變換得到三維調(diào)和方程的基本解為：\[\phi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}C(k_x,k_y,k_z)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dk_xdk_ydk_z\]這就是用Fourier變換導(dǎo)出的三維調(diào)和方程的基本解的形式表達(dá)。對(duì)偏微分方程廣義解的研究是必要的。

A:對(duì)B:錯(cuò)

答案:對(duì)廣義函數(shù)的概念擴(kuò)充了經(jīng)典函數(shù)的概念。

A:錯(cuò)B:對(duì)

答案:對(duì)

第七章單元測(cè)試

一.構(gòu)造逼近的中心差分格式.

答案:無二．(1)設(shè),是上的網(wǎng)函數(shù)，又

,

其中恒正,非負(fù)，且.證明當(dāng)（）時(shí),不能

在內(nèi)點(diǎn)取正的極大（負(fù)的極?。?除非等于常數(shù).（只證一種情況即可）

(2)在上一問中,設(shè),,證明差分方程

,的解滿足.

答案:無三.考慮格式,

設(shè).證明:當(dāng)時(shí)格式恒穩(wěn)定,當(dāng)時(shí)穩(wěn)定的充要條件

是.

答案:無在不同的范數(shù)標(biāo)準(zhǔn)衡量下，有