偏微分方程知到智慧樹章節(jié)測試課后答案2024年秋山東大學(xué)（威海）

偏微分方程知到智慧樹章節(jié)測試課后答案2024年秋山東大學(xué)（威海）緒論單元測試

假設(shè)和連續(xù)，求解二階線性偏微分方程

答案:無請求解二階線性偏微分方程

。

答案:無

第一章單元測試

偏微分方程定解問題的適定性是：存在性、唯一性和穩(wěn)定性。（）

A:對B:錯

答案:對弦在振動過程中可能發(fā)生縱向振動嗎？（）

A:對B:錯

答案:對一條柔軟均勻的細(xì)弦長度為1，一端固定，另一端是彈性支撐（阻力與速度成正比的介質(zhì)中作微小的橫振動）提起高度為，試寫出該定解問題。

答案:無試推導(dǎo)三維波動方程。

答案:三維波動方程為：\[\frac{\partial^2u}{\partialt^2}=c^2\left(\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+\frac{\partial^2u}{\partialz^2}\right)\]其中，\(u(x,y,z,t)\)表示在三維空間中某點的位移量，\(c\)是波的傳播速度。一長度為的均勻細(xì)桿具有絕熱的側(cè)表面，試給出其溫度所滿足的定解問題，其中桿的一端溫度保持恒定，一端有恒定的已知熱流。

答案:無

第二章單元測試

Sturm-Liouville問題的解決是基于自共軛算子的理論發(fā)展。（）

A:對B:錯

答案:對求解初值問題：其中.若初值只給定在上，試問：在什么區(qū)域上能確定解。

答案:無初邊值問題：求解的表達式。

答案:無試用能量積分法證明初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性。

答案:無試用齊次化原理求解平面非齊次波動方程在齊次初始條件下的求解公式。

答案:無

第三章單元測試

極值原理是符合物理現(xiàn)象的。（）

A:對B:錯

答案:對請求解如下初值問題：。

答案:無求解初邊值問題

答案:無討論初邊值問題解的大時間行為。

答案:無用能量積分法討論討論解的唯一性和穩(wěn)定性。

答案:無

第四章單元測試

驗證二維圓面上調(diào)和函數(shù)第一邊值問題解的過程中，下列哪項是正確的？（）

A:僅通過圖形方法驗證解的正確性。B:通過直接替換檢驗邊界條件。C:利用積分號下求導(dǎo)數(shù)的方法驗證調(diào)和方程。D:利用格林函數(shù)的對稱性得知，在圓內(nèi)關(guān)于點也是調(diào)和的。

答案:利用積分號下求導(dǎo)數(shù)的方法驗證調(diào)和方程。嘗試給出所對應(yīng)的泛函，并證明泛函取最小等價于所述的邊值問題。

答案:無，嘗試說明此問題極值原理不成立。

答案:無嘗試證明只要滿足平均值公式的連續(xù)函數(shù)一定是調(diào)和函數(shù)。

答案:對于一個二元連續(xù)函數(shù)$f(x,y)$，如果它滿足平均值性質(zhì)，即對于任意點$(x_0,y_0)$和任意$r>0$，有\(zhòng)[f(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta,\]則$f(x,y)$是調(diào)和函數(shù)。證明：調(diào)和函數(shù)定義上要求滿足拉普拉斯方程，即\[\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partialx^2}+\frac{\partial^2f}{\partialy^2}=0.\]我們利用平均值性質(zhì)來證明這一點。對$f(x_0,y_0)$按照極坐標(biāo)下的$x$（或$r\cos\theta$）和$y$（或$r\sin\theta$）進行偏導(dǎo)數(shù)運算，并應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t。但直接從平均值性質(zhì)出發(fā)更簡潔，我們考慮平均值性質(zhì)對方程兩邊關(guān)于$r$的偏導(dǎo)數(shù)：\[\frac{\partial}{\partialr}\left[f(x_0,y_0)\right]=\frac{\partial}{\partialr}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)\,d\theta\right].\]由于$f(x_0,y_0)$不直接依賴于$r$，其導(dǎo)數(shù)為0，而右側(cè)通過積分中值定理可以轉(zhuǎn)換為對函數(shù)在圓周上的值的積分，最終得到關(guān)于$f$在圓周上導(dǎo)數(shù)的表達式。進一步，對$r$二次偏導(dǎo)數(shù)，會得到拉普拉斯算子作用于$f$的結(jié)果關(guān)于$r$的表達式。通過適當(dāng)?shù)挠嬎闩c極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，結(jié)合原函數(shù)的連續(xù)性和可微性，可以證明$\nabla^2f=0$。因此，根據(jù)平均值性質(zhì)的定義，連續(xù)函數(shù)$f(x,y)$滿足該性質(zhì)，則必然是調(diào)和函數(shù)。用能量積分法證明解的唯一性。

答案:無

第五章單元測試

通過自變量的適當(dāng)?shù)目赡孀儞Q及未知函數(shù)的適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換，可以簡化方程并得到同一方程的不同表達形式。（）

A:對B:錯

答案:對對Laplace方程，任何連續(xù)解在其定義域中都是解析函數(shù)（）

A:對B:錯

答案:對解的先驗估計主要包括最大模估計和均方模估計（）

A:錯B:對

答案:對將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

答案:無求的特征方程和特征方向。

答案:無

第六章單元測試

函數(shù)的Fourier變換。

答案:無求函數(shù)的Fourier變換。

答案:無用Fourier變換導(dǎo)出三維調(diào)和方程的基本解。

答案:三維調(diào)和方程（Laplace方程在三維空間中的形式）為：\[\nabla^2\phi=\frac{\partial^2\phi}{\partialx^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partialy^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partialz^2}=0\]使用Fourier變換來求解，設(shè)三維空間中的函數(shù)$\phi(\vec{r})=\phi(x,y,z)$可以被Fourier變換為頻率域中的函數(shù)$\tilde{\phi}(\vec{k})=\tilde{\phi}(k_x,k_y,k_z)$，其中$\vec{r}=(x,y,z)$是位置向量，$\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)$是對應(yīng)的波數(shù)向量。三維Fourier變換定義為：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(\vec{r})e^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}dxdydz\]對應(yīng)的逆變換為：\[\phi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\tilde{\phi}(\vec{k})e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dk_xdk_ydk_z\]對$\phi(\vec{r})$應(yīng)用Fourier變換到$\tilde{\phi}(\vec{k})$上，并利用Fourier變換的性質(zhì)，可以得到三維調(diào)和方程在頻域中的形式：\[-k_x^2-k_y^2-k_z^2\tilde{\phi}(\vec{k})=0\]解這個方程得到：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=C(k_x,k_y,k_z)\cdote^{-\left(k_x^2+k_y^2+k_z^2\right)\cdotf(\vec{k})}\]但根據(jù)原方程，直接得到的是簡單的比例關(guān)系，正確的表述應(yīng)簡化為：\[\tilde{\phi}(\vec{k})=C(k_x,k_y,k_z)\]這里的$C(k_x,k_y,k_z)$是與波數(shù)相關(guān)的復(fù)數(shù)常數(shù)，包含了原問題的所有可能解的信息。最后，通過逆Fourier變換得到三維調(diào)和方程的基本解為：\[\phi(\vec{r})=\frac{1}{(2\pi)^3}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}C(k_x,k_y,k_z)e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}dk_xdk_ydk_z\]這就是用Fourier變換導(dǎo)出的三維調(diào)和方程的基本解的形式表達。對偏微分方程廣義解的研究是必要的。

A:對B:錯

答案:對廣義函數(shù)的概念擴充了經(jīng)典函數(shù)的概念。

A:錯B:對

答案:對

第七章單元測試

一.構(gòu)造逼近的中心差分格式.

答案:無二．(1)設(shè),是上的網(wǎng)函數(shù)，又

,

其中恒正,非負(fù)，且.證明當(dāng)（）時,不能

在內(nèi)點取正的極大（負(fù)的極?。?除非等于常數(shù).（只證一種情況即可）

(2)在上一問中,設(shè),,證明差分方程

,的解滿足.

答案:無三.考慮格式,

設(shè).證明:當(dāng)時格式恒穩(wěn)定,當(dāng)時穩(wěn)定的充要條件

是.

答案:無在不同的范數(shù)標(biāo)準(zhǔn)衡量下，有