固體物理第九章6

9-6晶格弛豫及其對電子躍遷的影響固體中的雜質(zhì)和缺陷束縛電子所形成的局域電子態(tài)和自由原子束縛的電子有一個很重要的區(qū)別，即固體中局域態(tài)的波函數(shù)總是在一定程度上擴展到四周晶格原子之中而與晶格原子密切相互作用。由于這種相互作用，局域態(tài)中的電子使四周晶格原子的平衡位置發(fā)生或多或少的移動，當(dāng)電子處于不同的電子態(tài)時，原子的平衡位置將有所不同，這種依賴于電子態(tài)的晶格畸變現(xiàn)象常稱為晶格弛豫。晶格弛豫將會使電子在躍遷的過程中，發(fā)射或吸收若干聲子，稱為多聲子躍遷。晶格弛豫引起多聲子躍遷的基本思想為：根據(jù)躍遷的微擾理論，躍遷幾率主要取決于躍遷的初態(tài)和末態(tài)波函數(shù)之間的微擾矩陣元。由于電子躍遷前后，晶格位形要發(fā)生一定變化，在初態(tài)和末態(tài)的波函數(shù)中必須包含描述晶格運動的振動波函數(shù)。從晶格的簡正坐標(biāo)來看，躍遷前后原子平衡位置的移動意味著坐標(biāo)原點的移動。即由于晶格弛豫使電子躍遷前后的晶格坐標(biāo)發(fā)生相對移動，這樣就破壞了原來量子數(shù)不同的振動波函數(shù)之間的嚴(yán)格正交關(guān)系，從而使躍遷前后晶格振動的量子數(shù)（即聲子的數(shù)目）可以不同，而躍遷矩陣元并不為零，這就意味著，在電子躍遷過程中原則上可以伴隨著任何聲子數(shù)目的變化?；蛘哒f，按照絕熱近似理論，光吸收和發(fā)射前后，晶格原子的平衡位置應(yīng)有所不同。因為電子由一個狀態(tài)越到另一個狀態(tài)，離子的平衡位置也會發(fā)生一定的變化，因為電子的位置變了，離子所受的力也不同了，所以離子的平衡位置就會有所變化。這導(dǎo)致我們描述晶格振動，如果平衡點沒有移動，在一個躍遷的過程里，如電子與聲子無作用，則聲子數(shù)目不可能改變，這就稱之為聲子波函數(shù)的正交性，即每種聲子模式數(shù)目都不變。

如果聲子數(shù)目一變，破壞了聲子波函數(shù)的正交性，即在晶格發(fā)生位移后，在躍遷前后這兩個波函數(shù)的重疊積分，即使聲子數(shù)目變了，它也不等于零，是個有限的值。如原子在平衡位置的變化越大，聲子改變的數(shù)目就越多。因為晶格缺陷中的電子從一個量子態(tài)躍到另一量子態(tài)，電子四周的晶格離子的平衡位置一般會發(fā)生一定位的位移稱為晶格弛豫。在缺陷電子躍遷中，如果電子與聲子間無相互作用，則在電子躍遷前后聲子數(shù)目不能改變。這是由于聲子之間的正交性。但是當(dāng)電子躍遷導(dǎo)致晶格弛豫時，就破壞了這種正交性，使聲子數(shù)目在電子躍遷前后可以發(fā)生或多或少的變化。定量的理論是以絕熱近似為基礎(chǔ)的。按照絕熱近似，局域電子態(tài)和與之相互作用的晶格振動的波函數(shù)可以寫為r和Q分別為電子坐標(biāo)和晶格振動坐標(biāo)。

滿足

是單純的電子哈密頓量。

是電子——聲子相互作用

代表依賴于參量Q的本征值。i表示不同的原子態(tài)電子態(tài)反作用于晶格，使描述晶格振動的波函數(shù)滿足：

代表晶格振動本身的哈密頓量在有許多模，s=1，2，3，…,N的情形,對晶格振動取簡諧近似對只保留線性項保留線性項，取為：

，

單純電子哈密頓量的本征值引入?yún)⒘看刖Ц癫ê瘮?shù)方程得到使

成為晶格振動新原點

即表達(dá)了電子態(tài)i的晶格弛豫，使電子態(tài)能量下降了正好是位移所對應(yīng)的“彈性能”。本征函數(shù)本征值這里的振動量子數(shù)ns也就是各個振動模中的聲子數(shù)，可以發(fā)生變化。下面結(jié)合只有一個振動模與局域態(tài)電子相互作用的簡單模型，扼要介紹局域態(tài)電子在發(fā)射或吸收光子的同時發(fā)射多個聲子。無論發(fā)射還是吸收光子，其躍遷幾率一般都正比于電子偶極矩在初態(tài)和末態(tài)的波函數(shù)之間矩陣元的平方。躍遷幾率躍遷幾率其中上式表明發(fā)射或吸收不同數(shù)目聲子的相對幾率完全決定與于躍遷前后簡諧振子波函數(shù)之間的重疊積分。在kBT<<聲子能量時，可認(rèn)為躍遷前電子處于振動基態(tài)。發(fā)射n個聲子的幾率

參量表示躍遷中晶格弛豫能折合的聲子數(shù)。電子在躍遷中發(fā)射不同數(shù)目的聲子，使相應(yīng)的發(fā)射或吸收光譜分裂成一系列光譜線。CdS帶邊輻射平均發(fā)射聲子能量代表由于多聲子發(fā)射導(dǎo)致的光譜“質(zhì)心”移動，對于發(fā)射譜，“質(zhì)心”向低能量方向移動△E；對于吸收譜，“質(zhì)心”向高能量方向移動△E。對于電子—聲子耦合較強s>>1，而且多聲子譜線不能明顯分辨，而形成光譜帶的情形。光譜的“質(zhì)心”實際上代表了光譜峰值的位置。采用位形坐標(biāo)可生動形象的描述晶格弛豫的現(xiàn)象。特別適用于把晶格坐標(biāo)當(dāng)作經(jīng)典變量的準(zhǔn)經(jīng)典近似。實際的局域電子態(tài)往往不止同一個模相互作用，但單一模的多聲子發(fā)射幾率公式為更普遍的情形提供了基礎(chǔ)。如果有頻率相同的若干個振動模與局域態(tài)相互作用，它們完全等效于一個具有相同弛豫能的單一模，所以這種情形可以直接采用單一模的多聲子發(fā)射幾率公式。在有不同頻率的多個振動模的情形，其電子躍遷前后振動波函數(shù)的重疊積分就是各個模的重疊積分的乘積，所以，只要把單模的多聲子發(fā)射幾率，按所有各個模相乘就得到在多數(shù)情況下，各類多聲子發(fā)射的幾率。有限溫度下的多聲子躍遷幾率形式上也可以利用單一核的幾率公式表達(dá)。有限溫度下，既可以發(fā)射聲子，還可以吸收聲子，但具有耦合參數(shù)s的一個振動模，在有限溫度下發(fā)射或吸收聲子的幾率，形式上具有相當(dāng)于兩個假想的模按上面提到的單一模的多聲子發(fā)射幾率公式發(fā)射聲子。兩個模的聲子分別具有正的和負(fù)的能量以及耦合參量和，是溫度T時的熱平

均聲子數(shù)在有限溫度T，凈發(fā)射n個聲子的幾率可以寫為這個式子把凡是兩個假想模凈發(fā)射

的所有可能都加了起來。在有限溫度下，多數(shù)模作用的情況下，發(fā)射或吸收光譜“質(zhì)心”的移動，和以上單模情形一樣，仍舊等于躍遷前后晶格弛豫能（即所有模