浙江省臺州市十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案及解析

2024學(xué)年第一學(xué)期臺州十校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A. B.3 C.6 D.93.若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.4.空間四邊形中，，，，點在上，且為中點，為中點，則等于（）A. B.C D.5.已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.6.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.或7.如圖所示，正方體的棱長為1，點，，分別為，，的中點，則下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.三棱錐的體積為C.直線與平面平行 D.直線與平面所成的角為8.已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點的最近距離為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，點O0,0,0，，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.向量與的夾角的余弦值為C.點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為D.直線的一個方向向量10.已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的一個方向向量為 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.點到直線上的點的最短距離是111.已知直線與圓相交于、兩點，下列說法正確是（）A.若圓關(guān)于直線對稱，則B.最小值為C.若、、、（坐標(biāo)原點）四點共圓，則D.當(dāng)時，對任意，曲線恒過直線與圓交點非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的離心率是________.13.直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為________.14.已知實數(shù)、滿足，則的取值范圍為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或測算步驟.15.求經(jīng)過直線與直線的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.16.如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為的正方形，，底面，、分別為、的中點，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.17.已知直線及圓.（1）求證：直線過定點，并求出圓心到直線距離最大時的值；（2）若直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，求的值.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且，點在棱上（不與點，重合）.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.19.已知橢圓的左、右頂點為，，焦距為.為坐標(biāo)原點，過點、的圓交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為、，求的值；（3）證明：直線過定點，并求該定點坐標(biāo).

2024學(xué)年第一學(xué)期臺州十校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得其斜率，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】因為直線，即所以，且

所以故選:D.2.已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A. B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)兩條直線平行轉(zhuǎn)化為其方向向量平行，進而根據(jù)向量平行的條件求解參數(shù)即可【詳解】設(shè)直線的方向向量，直線的方向向量，由于，所以，因此可得：，解得：.故選：A3.若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用點與圓的位置關(guān)系可得關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】因為點在圓的內(nèi)部，所以，即，解得，實數(shù)取值范圍是，故選：A.4.空間四邊形中，，，，點在上，且為中點，為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算法則和運算律進行計算即可.【詳解】根據(jù)題意畫出如圖所示的空間四邊形由圖可知故選：B.5.已知圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出圓心，根據(jù)得到方程，求出，得到圓心和半徑，得到圓的方程.【詳解】設(shè)圓心為，由題意得，即，解得，故圓心，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C6.方程表示橢圓的充要條件是（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的方程特征列出不等式求解即得.【詳解】方程表示橢圓，則，解得，且，反之，當(dāng)，且時，方程表示橢圓，所以方程表示橢圓的充要條件是或.故選：D7.如圖所示，正方體的棱長為1，點，，分別為，，的中點，則下列說法正確的是（）A.直線與直線垂直 B.三棱錐的體積為C.直線與平面平行 D.直線與平面所成的角為【答案】C【解析】【分析】對于A、C、D選項，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量解決立體幾何中平行與垂直的判定及直線與平面夾角的求解；對于B選項，利用三棱錐的體積公式直接求解即可.【詳解】在棱長為的正方體中，建立為原點，以，，所在的直線為軸，軸，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，，分別為、、的中點，則A1,0,0，，，，，；對于A選項，，，由于，因此直線與直線不垂直，故A選項錯誤；對于C選項，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，所以，所以，因為直線在平面外，所以直線與平面平行，故C選項正確；對于D選項，，設(shè)直線與平面所成角為，，故D選項錯誤；對于B選項，，又因為在正方體中，底面，所以，故B選項錯誤.故選：C8.已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點的最近距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知，又已知OQ是△F1F2M的中位線，點Q與y軸重合時，Q與短軸端點距離最近.【詳解】解：設(shè)F1Q的延長線交F2P的延長線于點M，則由題意知∵∴由題意知OQ是△F1F2M的中位線∴∴Q點的軌跡是以O(shè)為圓心，以6為半徑的圓∴當(dāng)點Q與y軸重合時，Q與短軸端點取最近距離故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在空間直角坐標(biāo)系中，點O0,0,0，，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.向量與的夾角的余弦值為C.點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為D.直線的一個方向向量【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，根據(jù)空間兩點距離公式可判斷A選項正誤；對于B選項，根據(jù)空間向量的夾角坐標(biāo)公式可判斷B選項正誤；對于C選項，根據(jù)點的對稱性可判斷C選項的正誤；對于D選項，根據(jù)直線方向向量的概念可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，由于，，根據(jù)空間兩點距離公式可得：.故A選項錯誤；對于B選項，，，設(shè)向量與向量的夾角為，則，故B選項正確；對于C選項，點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)為，故C選項正確；對于D選項，易知，由于，得：，因此是直線的一個方向向量，故D選項正確.故選：BCD10.已知直線的傾斜角等于，且經(jīng)過點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的一個方向向量為 B.在軸上的截距等于C.與直線垂直 D.點到直線上的點的最短距離是1【答案】BCD【解析】【分析】由題意求出直線的斜率和方程，即可判斷B和C，對于A，可求出直線的一個方向向量，再判斷與選項中的向量是否平行即可，對于D，求出點到直線的距離即可判斷.【詳解】由題意得直線的斜率，又直線經(jīng)過點，所以直線方程為，化簡得；對于A，直線的一個方向向量為，則與不平行，所以不是直線的方向向量，故A不正確；對于B，令，則，解得，所以直線在軸上的截距等于，故B正確；對于C，直線的斜率為，因為，所以直線與直線垂直，故C正確；對于D，點到直線的距離，所以點到直線上的點的最短距離是1，故D正確；故選：BCD.11.已知直線與圓相交于、兩點，下列說法正確的是（）A.若圓關(guān)于直線對稱，則B.的最小值為C.若、、、（為坐標(biāo)原點）四點共圓，則D.當(dāng)時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對稱性判斷直線過圓心，即可判斷A；將直線的方程整理為，即可說明直線所過定點，且當(dāng)，此時弦長最短，根據(jù)弦長公式判斷B；根據(jù)幾何關(guān)系，設(shè)出過四點、、、的圓的方程，再求過圓和圓的交點的直線的方程，代入定點，即可判斷C；根據(jù)圓系方程，可判斷D.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對于A選項，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，則，解得，A對；對于B選項，直線的方程可化為，由得，所以，直線過定點，則，當(dāng)時，圓心到直線距離取最大值，且最大值為，因為，則，則，B錯；對于C選項，若、、、四點共圓，設(shè)此圓為圓，圓的圓心，的中點為，所以的垂直平分線方程為，所以，圓的方程為，整理為，直線是圓與圓的交線，圓與圓的方程相減得所以直線的方程是，將直線所過的定點坐標(biāo)代入上式得，得，所以直線，即直線的斜率為，即，則，C錯；對于D選項，當(dāng)時，直線，曲線，即，所以曲線為過直線與圓交點的曲線方程，D對.故選：AD【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則橢圓的離心率是________.【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可算出和的值，再代入離心率公式即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以，因為，，所以，，所以離心率，故答案為：.13.直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為________.【答案】【解析】【分析】先解出兩直線的交點，然后在直線上取一點，再求出點關(guān)于直線的對稱點，直線即為所求.【詳解】聯(lián)立，解得，所以是直線和直線的交點，取直線上一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以直線的方程為，即直線關(guān)于直線對稱的直線的方程為；故答案為：.14.已知實數(shù)、滿足，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】令，分析可知，直線與圓有公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】等式可化為，令，整理可得，所以，直線與圓有公共點，且圓心為，半徑為，則，整理可得，解得或，因此，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或測算步驟.15.求經(jīng)過直線與直線的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先聯(lián)立直線方程，解方程組求得交點坐標(biāo)，依據(jù)題意可設(shè)所求直線為：，代入交點坐標(biāo)即可求解直線方程；（2）根據(jù)第一問所求交點坐標(biāo)，依據(jù)題意可設(shè)直線方程為，代入交點坐標(biāo)即可求解直線方程；【小問1詳解】由，解得，即點，由于所求直線與直線平行，所以設(shè)所求直線方程為，代入，得：，解得，所以所求直線方程為.【小問2詳解】由（1）知，點，由于所求直線與直線垂直，設(shè)所求直線方程為，代入，得：，解得，所以所求方程為.16.如圖所示，在幾何體中，四邊形和均為邊長為的正方形，，底面，、分別為、的中點，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得平面；（2）利用空間向量法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：因為四邊形為正方形，底面，所以、、兩兩相互垂直，如圖，以為原點，分別以、、方向分別為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得A0,0,0、、、、、，、、，則，，，設(shè)平面的一個法向量為n1=x1即，則，令，則，，所以為平面a的一個法向量，所以，所以，又平面，所以平面.【小問2詳解】解：由平面的一個法向量為，.設(shè)點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為.17.已知直線及圓.（1）求證：直線過定點，并求出圓心到直線距離最大時的值；（2）若直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，求的值.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）將直線的方程化為，由可得出直線所過定點的坐標(biāo)，分析可知，定點在圓上，且當(dāng)圓心到直線距離最大時直線與圓相切，利用直線與圓相切可求得實數(shù)的值；（2）利用勾股定理可求出圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可求得實數(shù)的值.【小問1詳解】證明：因為直線，得，由，可得，所以直線過定點.圓，所以定點在圓上，圓心，半徑為.當(dāng)圓心到直線距離最大時直線與圓相切，此時有：，所以.【小問2詳解】解：設(shè)點到直線的距離為，利用勾股定理得：.同時利用圓心到直線的距離：，解得.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且，點在棱上（不與點，重合）.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）直線能與平面垂直嗎？若能，求出的值；若不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，利用向量先證明平面，然后可證明平面平面；（2）分別求出平面與平面的一個法向量，然后計算出法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖形可求二面角的平面角的余弦值；（3）由表示出點坐標(biāo)即可表示出，再根據(jù)位置關(guān)系確定出與法向量的關(guān)系，確定方程解的情況可作出判斷.【小問1詳解】因為平面，所以，，又，則以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B1,0,0，，D0,1,0，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知是平面的一個法向量，，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，即，令，則，，所以，所以，又由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為.【小問3詳解】由（1）得，，，，設(shè)，則，可得，所以，