浙江省金磚聯盟2024-2025學年高二上學期期中聯考數學試題含答案及解析

浙江省金磚聯盟2024學年第一學期期中聯考高二年級數學學科試題命題：余杭第二高級中學付振凱審核：東陽二中呂夏雯考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結束后，只需上交答題卷．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.2.已知平面，，直線，且，則“”是“∥”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知復數滿足，則（）A B.C. D.4.已知，兩直線，若，則的最小值為（）A.12 B.20 C.26 D.325.已知甲罐中有四個相同的小球，標號為，乙罐中有三個相同的小球，標號為，從甲罐，乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于6”，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”，則下列說法錯誤的是（）A.事件發(fā)生的概率為 B.事件相互獨立C.事件是互斥事件 D.事件發(fā)生的概率為6.當圓截直線所得的弦長最短時，實數（）A.－1 B. C.1 D.7.八卦是中國文化的基本學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊，其中給出下列結論，其中正確的結論為（）A.與的夾角為B.C.D.在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）8.已知銳角，角的對邊分別，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知甲組數據為：，乙組數據為：，則下列說法正確的是（）A.這兩組數據的第80百分位數相等B.這兩組數據的極差相等C這兩組數據分別去掉一個最大值和一個最小值后，均值都不變D.甲組數據比乙組數據分散10.已知橢圓，點為橢圓兩焦點，點為橢圓上動點，過點作的外角平分線，過橢圓的焦點作直線的垂線，垂足是.現有一條長度為4的線段在直線上運動，且始終滿足為銳角，則（）A.點的軌跡方程是B.點有可能在以為直徑的圓上C.點不可能在直線上D.線段的中點的縱坐標的取值范圍是11.如圖，在棱長為1正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與直線所成角的正弦值為D.若，那么點的軌跡長度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線的一個方向向量，則的傾斜角大小為________．13.中國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現有一個如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為________．14.設雙曲線的右焦點是，左、右頂點分別是，過作軸的垂線交雙曲線于兩點，若，則雙曲線的離心率為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.為提高服務質量，某社區(qū)居委會進行了居民對社區(qū)工作滿意度的問卷調查．隨機抽取了100戶居民的問卷進行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數據分組依次為：（1）求的值；（2）求這100戶居民問卷評分的中位數；（3）若根據各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取4戶進行專項調查，求這4戶居民中恰有1戶的評分在內的概率．16.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，角的平分線交于點，求線段的長．17.如圖在四棱錐中，，，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，說明理由18.如圖，已知圓為坐標原點，過點作直線交圓于點，過點分別作圓的切線，兩條切線相交于點．（1）若直線的斜率為1，求的值；（2）求點的軌跡方程；（3）若兩條切線與軸分別交于點，求的最小值．19.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點（其中點在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求三棱錐的體積；②是否存在，使得折疊后周長為與折疊前的周長之比為?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

浙江省金磚聯盟2024學年第一學期期中聯考高二年級數學學科試題命題：余杭第二高級中學付振凱審核：東陽二中呂夏雯考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結束后，只需上交答題卷．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱點的坐標是．【詳解】在空間直角坐標系中，點關于軸對稱點的坐標是．故選：B．2.已知平面，，直線，且，則“”是“∥”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據線面關系及充分條件和必要條件的定義分析判斷.【詳解】當，時，∥或，當，∥時，與平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以“”是“∥”的既不充分也不必要條件.故選：D3.已知復數滿足，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，共軛復數的定義，即可求解．【詳解】設，則，因為，所以，所以，，，故選：A．4.已知，兩直線，若，則的最小值為（）A.12 B.20 C.26 D.32【答案】D【解析】【分析】由垂直關系可構造關于a,b的方程，再結合基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由得：，化簡得：，，當且僅當時等號成立，故選：D.5.已知甲罐中有四個相同的小球，標號為，乙罐中有三個相同的小球，標號為，從甲罐，乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于6”，事件“抽取的兩個小球標號之積小于6”，則下列說法錯誤的是（）A.事件發(fā)生的概率為 B.事件相互獨立C.事件是互斥事件 D.事件發(fā)生的概率為【答案】B【解析】【分析】寫出所有的基本事件，再選出事件，所含有的基本事件，然后根據古典概型，相互獨立，互斥事件、求出的概率依次判斷選項．【詳解】甲罐中小球編號在前，乙罐中小球編號在后，表示一個基本事件，有11，12，13，21，22，23，31，32，33，41，42，43，共12個，事件含有的基本事件有：43，共1個．事件含有的基本事件有：11，12，13，21，22，31，41，共7個，事件發(fā)生的概率為，故A正確；，，，，不相互獨立，故B錯誤；事件兩者不可能同時發(fā)生，它們互斥，故C正確；事件中含有8個基本事件，共有基本事件12個，因此，故D正確.故選：B．6.當圓截直線所得的弦長最短時，實數（）A.－1 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先判斷直線l經過定點M，且點M在圓C內，當直線l垂直于CM時，圓被直線截得的弦長最短，計算即得.【詳解】由得，圓心坐標，半徑為8，直線的方程化為，由，解得，所以直線l過的定點，且，所以點M在圓C內，要使直線l被圓C截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線l，所以，故選：C7.八卦是中國文化的基本學概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2所示的正八邊，其中給出下列結論，其中正確的結論為（）A.與的夾角為B.C.D.在上的投影向量為（其中為與同向的單位向量）【答案】D【解析】【分析】對于A，根據正八邊形的性質可求出，對于B，利用向量的加法法則分析判斷，對于C，根據向量的減法法則結合正八邊形的性質分析判斷，對于D，根據投影向量的定義分析判斷【詳解】由八卦圖可知與的夾角為，而，故A錯由，故B錯；易知，又，所以，而，所以，即C錯誤；因為，即與的夾角為，易知在上的投影向量為，即D正確.故選：D8.已知銳角，角的對邊分別，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得B的大小.再利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】由題設知，，由正弦定理得，即,又，所以，所以，得，所以，又，即，又銳角，所以，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知甲組數據為：，乙組數據為：，則下列說法正確的是（）A.這兩組數據的第80百分位數相等B.這兩組數據的極差相等C.這兩組數據分別去掉一個最大值和一個最小值后，均值都不變D.甲組數據比乙組數據分散【答案】AC【解析】【分析】根據給定條件，利用第80百分位數、極差、平均數、方差的意義依次判斷即得.【詳解】對于A，由，得甲組數據的第80百分位數為，由，乙組數據的第80百分位數為，故A正確；對于B，根據極差定義，極差等于最大子減去最小值，可知甲組數據的極差為，乙組數據的極差為，故B錯誤；對于C，根據均值定義可知甲組原數據均值為，去掉最值后均值為，乙組原數據均值為，去掉最值后均值為，故C正確；對于D，由C知甲乙兩組平均值都為，根據方差公式甲組乙組數據方差為，則，所以乙組數據分散，故D錯誤.故選：AC10.已知橢圓，點為橢圓兩焦點，點為橢圓上動點，過點作的外角平分線，過橢圓的焦點作直線的垂線，垂足是.現有一條長度為4的線段在直線上運動，且始終滿足為銳角，則（）A.點的軌跡方程是B.點有可能在以為直徑的圓上C.點不可能在直線上D.線段的中點的縱坐標的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】根據題意結合題中條件分析出Q點滿足的幾何關系，根據幾何關系可直接寫出Q的軌跡方程，在結合Q的軌跡方程分析其與直線m的關系.【詳解】如圖所示，橢圓長軸長為4，延長與的延長線交于E，連結.由角平分線的性質，，所以關于Q點對稱，所以為中點，且，所以為中位線，所以，因為P在橢圓上，由橢圓的定義，，所以，故Q的軌跡是以O為圓心，半徑為2的圓，即，故A正確；若Q在以MN為直徑的圓上，則，不符題意，故B錯誤；又因為與圓相離，故不可能在m上，故C正確；如圖所示，當線段MN在位置時，中點坐標，此時以MN為直徑的圓剛好與的軌跡相切，當Q在切點位置時，，當線段MN在位置時，中點坐標，此時以MN為直徑的圓也剛好與的軌跡相切，當Q在切點位置時，，所以若要始終為銳角，則MN的中點E不能在線段之內，所以MN中點縱坐標的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為1的正方體中，為棱的中點，為正方形內一動點（含邊界），則下列說法中正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的外接球的表面積為C.直線與直線所成角的正弦值為D.若，那么點的軌跡長度為【答案】ABD【解析】【分析】以為坐標原點建立坐標系，用空間坐標求解A,C選項；對B選項，結合圖形即可直接求出三棱錐的外接球半徑，再由球的表面積公式即可判斷；對D選項:設，根據條件求出滿足的方程,判斷其軌跡即可.【詳解】以為坐標原點，以分別為軸建立坐標系，則設平面的法向量，由得，令得，所以取，因為，故，所以直線平面，故A正確;由題意得三棱錐的外接球半徑為,所以三棱錐的外接球表面積為，故B正確；因為，所以，所以，故C錯誤；因Q為正方形內一動點（含邊界），設，由得，即，在正方形內的軌跡為以為圓心，半徑為的四分之一圓周，那么Q點的軌跡長度為，故D正確.故選：ABD.【點睛】對空間幾何中的軌跡或最值問題求解時可以建立空間直角坐標系,幾何關系轉化為代數關系,可從方程上判斷軌跡形狀,從函數的角度求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若直線的一個方向向量，則的傾斜角大小為________．【答案】【解析】【分析】根據方向向量可求得，根據直線傾斜角的取值范圍即可求得結果.【詳解】設直線的傾斜角為，則，又，所以.故答案為：.13.中國古代數學著作《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現有一個如圖所示的曲池，它的高為2，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應的兩個圓的半徑分別為1和2，對應的圓心角為，則圖中平面與平面所成角的余弦值為________．【答案】1【解析】【分析】建立空間直角坐標系，用向量法求解平面與平面夾角的余弦值.【詳解】設上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，則，，，，設為平面的一個法向量，則，令可得，所以，設為平面的一個法向量，則，令可得，所以因為，所以平面平面，故平面與平面夾角為0，，故答案為：1.14.設雙曲線的右焦點是，左、右頂點分別是，過作軸的垂線交雙曲線于兩點，若，則雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】【詳解】由題意可知：左、右頂點分別是A1（﹣a，0），A2（a，0），當x＝c時，代入雙曲線方程，解得：y＝±，設B（c，），C（c，），則直線A1B的斜率k1，直線A2C的斜率k2，由A1B⊥A2C，則k1×k2＝﹣1，即1，則1，雙曲線的離心率e，故答案為：．【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.為提高服務質量，某社區(qū)居委會進行了居民對社區(qū)工作滿意度的問卷調查．隨機抽取了100戶居民的問卷進行評分統(tǒng)計，評分的頻率分布直方圖如圖所示，數據分組依次為：（1）求的值；（2）求這100戶居民問卷評分的中位數；（3）若根據各組的頻率的比例采取分層抽樣的方法，從評分在和內的居民中共抽取6戶居民，查閱他們答卷的情況，再從這6戶居民中選取4戶進行專項調查，求這4戶居民中恰有1戶的評分在內的概率．【答案】（1）0.02；（2）77.5分；（3）.【解析】【分析】（1）根據已知條件，由頻率分布直方圖中各組矩形面積之和等1，即可求出的值.（2）結合頻率分布直方圖的性質，以及中位數的定義，即可求解.（3）根據已知條件，結合分層抽樣的定義，列舉法及古典概型的概率公式，即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，得，解得.【小問2詳解】由頻率分布直方圖，得數據落在的頻率為，數據落在的頻率為，因此中位數，有,解得，所以中位數為77.5分.【小問3詳解】評分在對應的頻率為0.1，0.2，從評分在和內的居民中共抽取6人，則評分在占2人，記為，評分在占4人，記為A,B,C,D，從6人中選取4人的樣本空間，共15個樣本點，這4戶居民中恰有1戶的評分在內的事件，其8個樣本點，所以這4戶居民中恰有1戶的評分在內的概率.16.在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若，角的平分線交于點，求線段的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理邊角互化可得，由輔助角公式可得，結合三角函數的性質即可求解（2）根據余弦定理可得，利用角平分線定理，結合向量的線性運算以及模長公式求解.【小問1詳解】由，由正弦定理可得,又，所以，所以，可得，又，所以，所以，可得，【小問2詳解】在中，，由余弦定理得，解得（舍），或，由，得，即，故線段AD的長為.17.如圖在四棱錐中，，，，，，是的中點．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的值，若不存在，說明理由【答案】（1）證明見解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）取AB中點F，連接CF、QF，證明，借助直線與平面平行的判定定理即可證明；（2）假設在棱AD上存在點M，建立空間直角坐標系，借助向量運算即可解答.【小問1詳解】取AB的中點F，連接CF、QF，因為Q，F分別為AE、AB的中點，所以，且，又因為，，所以，且，所以四邊形QFCD為平行四邊形，所以，且平面ABC，平面ABC，所以平面，【小問2詳解】取EB的中點G，連接AG、DG，因為，所以是等邊三角形，所以，且，因為，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，在中，，所以，，AG、BE在平面ABE中相交于點G，所以平面ABE，以G為原點，以GA、GB、GD方向分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，假設在棱上是否存在點，設，則，設平面ACD的一個法向量為m=x,y,z，所以則，令，則，所以平面ACD一個法向量為，直線與平面所成的角，則，整理得：，解得，或，都符合題意，所以，或，故在棱上是存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或18.如圖，已知圓為坐標原點，過點作直線交圓于點，過點分別作圓的切線，兩條切線相交于點．（1）若直線的斜率為1，求的值；（2）求點的軌跡方程；（3）若兩條切線與軸分別交于點，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先將圓方程化為標準方程，得到圓心和半徑.根據直線斜率為1且過點寫出直線方程，然后利用弦長公式（其中為弦長，為圓半徑，為圓心到直線的距離）來計算.（2）設，，，根據圓的切線方程的求法以及點是兩條切線的交點，通過聯立方程來求點的軌跡方程.（3）先求出切線方程，進而得到與軸交點、坐標，然后根據兩點間距離公式求，再利用函數最值的求法求最小值.【小問1詳解】直線l為，圓的半徑，圓心到直線的距離，所以.【小問2詳解】由（1）知，直線l的斜率