圓錐曲線第一定義與焦點(diǎn)三角形練習(xí)題及解析答案

第1講圓錐曲線第一定義與焦點(diǎn)三角形一．選擇題（共8小題）1．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為A． B． C． D．2．若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值是A． B． C． D．3．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，，△的面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．4．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與此雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且，則此雙曲線的離心率是A． B．2 C．4 D．55．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．6．已知雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．7．將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為，則A． B． C． D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，已知雙曲線的一條漸近線方程為，且，則實(shí)數(shù)的值為A．1 B．2 C．3 D．4二．多選題（共2小題）9．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則A．以線段為直徑的圓與軸相切 B．當(dāng)時(shí)， C．以線段為直徑的圓與直線相離 D．的最小值為310．已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，直線，分別于直線相交于，兩點(diǎn)．則下列說法正確的是A．焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 B． C．的最小值為4 D．與的面積之比為定值三．填空題（共7小題）11．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，，則的方程為．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則橢圓的離心率為．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的通徑（過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為．14．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，，在軸上的正射影分別為，．若梯形的面積為，則．15．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，，在軸上的正射影分別為，，若梯形的面積為，則．16．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，又過，兩點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，，若梯形的面積為，則17．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，已知雙曲線的離心率為，若．則．四．解答題（共1小題）18．已知橢圓過點(diǎn)，，橢圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)．（1）求四邊形的面積；（2）若四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，點(diǎn)，在橢圓上，直線斜率存在，且與圓相切，切點(diǎn)為，求證：．第1講圓錐曲線第一定義與焦點(diǎn)三角形一．選擇題（共8小題）1．已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．若，，則的方程為A． B． C． D．【解答】解：，，又，，又，，，，，，，在軸上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根據(jù)，可得，解得，．．所以橢圓的方程為：．故選：．2．若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，是兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值是A． B． C． D．【解答】解：設(shè)在第一象限，，，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，解得，，則，故選：．3．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，，△的面積為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【解答】解：由是雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，在△中，由余弦定理有，所以，所以，所以，所以，所以離心率，故選：．4．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與此雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且，則此雙曲線的離心率是A． B．2 C．4 D．5【解答】解：由題意可得：，，解得，，又，代入化簡(jiǎn)可得，，所以，解得．故選：．5．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：把代入雙曲線，可得：，，，，，．該雙曲線的漸近線方程為：．故選：．6．已知雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為A． B． C． D．【解答】解：把代入雙曲線雙曲線，可得：，．，．，，則雙曲線的漸近線方程為，故選：．7．將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為，則A． B． C． D．【解答】解：的焦點(diǎn)，等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則等邊三角形關(guān)于軸軸對(duì)稱兩個(gè)邊的斜率，其方程為：，每條直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn)，焦點(diǎn)兩側(cè)的兩交點(diǎn)連接，分別構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．故，故選：．8．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，已知雙曲線的一條漸近線方程為，且，則實(shí)數(shù)的值為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題意可知，聯(lián)立方程組，消去可得：，設(shè)，，，，則，，又，，．故選：．二．多選題（共2小題）9．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則A．以線段為直徑的圓與軸相切 B．當(dāng)時(shí)， C．以線段為直徑的圓與直線相離 D．的最小值為3【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以線段為直徑的圓與軸相切；當(dāng)直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，可得，，設(shè)，，可得的橫坐標(biāo)為，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，得以線段為直徑的圓與軸相交，故錯(cuò)；以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的拋物線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)，，，，可得，，可得，又，可得，，則，故正確；的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，由，，，可得線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，與直線軸相交，故正確；當(dāng)直線垂直于軸，可得為通徑，取得最小值4，故錯(cuò)誤．故選：．10．已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，，，兩點(diǎn)，直線，分別于直線相交于，兩點(diǎn)．則下列說法正確的是A．焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 B． C．的最小值為4 D．與的面積之比為定值【解答】解：拋物線的方程整理可得：，所以焦點(diǎn)，所以不正確；由橢圓的焦點(diǎn)在軸可得，直線的斜率一點(diǎn)存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理可得：，所以，所以，故正確；所以△，，當(dāng)軸時(shí)最小，這時(shí)直線的方程為，代入拋物線的方程可得，，所以，所以最小值為4；所以正確；由題意可得直線，的方程分別為：，，與的交點(diǎn)分別為，，，，所以；到直線的距離，弦長(zhǎng)，所以，所以，所以與的面積之比為定值，故正確；故選：．三．填空題（共7小題）11．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，，則的方程為．【解答】解：由題意可得，設(shè)：，由可得，由橢圓的定義可得，，，又因?yàn)?，所以在△中，，即，①在中，，即，整理可得，②將②代入①中可得，所以，所以橢圓的方程為：；故答案為：．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若，則橢圓的離心率為．【解答】解：取的中點(diǎn)，連接，所以可得，又因?yàn)?，所以，即，而為的中點(diǎn)，所以，可得，因?yàn)椋?，所以可得：，，在△中，由勾股定理可得，即，可得，所以，故答案為：?3．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的通徑（過焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦叫做通徑），則的內(nèi)切圓方程為．【解答】解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，橢圓，其中，，，則，與軸垂直，則有，，解得：，，的周長(zhǎng)，其面積，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，有，解得．圓心橫坐標(biāo)為，即圓心坐標(biāo)為，，則的內(nèi)切圓方程是，故答案為：．14．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，，在軸上的正射影分別為，．若梯形的面積為，則2．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為，設(shè)，，，，由題意可知，由，消去得，由韋達(dá)定理得，，所以梯形的面積為：所以，又，所以故答案為2．15．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，，在軸上的正射影分別為，，若梯形的面積為，則3．【解答】解：拋物線方程為，設(shè)，點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，直線的方程為，代入拋物線方程得，，，，則梯形的面積為，．故答案為：316．過拋物線的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，又過，兩點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，，若梯形的面積為，則【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則過焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為，設(shè)，，，，由題意可知，．由，消去得，由韋達(dá)定理得，，梯形的面積為：，又，．故答案為．17．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線．的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于，兩點(diǎn)，已知雙曲線的離心率為，若．則4．【解答】解：雙曲線的離心率為，即為，即有，即，設(shè)，，，，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，可得，聯(lián)立拋物線方程和雙曲線方程可得：，即，可得，即有，即．故答案為：4．四．解答題（共1小題）18．已知