2024-2025湖北省“新八校協(xié)作體”高二年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025湖北省“新八校協(xié)作體”高二年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知空間向量a=(1,n,2)，b=(?2,1,2)，若a與b垂直，則|a|A.5 B.7 C.3 2.橢圓x2m+y2=1(m>0)的焦點在xA.14 B.12 C.2 3.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加比賽，那么互斥且不對立的兩個事件是(

)A.至少有1名女生與全是女生 B.至少有1名女生與全是男生

C.恰有1名女生與恰有2名女生 D.至少有1名女生與至多有1名男生4.已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)和方差分別為80，21，若向這組數(shù)據(jù)中再添加一個數(shù)據(jù)80，數(shù)據(jù)x1，x2?，xn，80的平均數(shù)和方差分別為A.x>80 B.x<80 C.s25.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC=AA1=2，A.3010 B.1515 C.6.過點M(2,1)的直線l與橢圓x28+y26=1相交于A，B兩點，且M恰為線段A.23 B.?23 C.37.已知圓C1:(x+2)2+(y?1)2=1，圓C2:(x?2)2+(y?3)2=4，MA.42?3 B.25?38.在空間直角坐標系中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，點P0(x0,y0,z0)，點P(x,y,z).(1)若直線l經(jīng)過點P0，且以u為方向向量，P是直線l上的任意一點，則直線l的方程為x?x0a=y?y0b=z?z0c;(2)若平面α經(jīng)過點P0A.33 B.75 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.甲、乙兩名同學(xué)進行投籃比賽，甲每次命中概率為0.7，乙每次命中概率為0.8，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則(

)A.兩人都命中的概率為0.56 B.恰好有一人命中的概率為0.38

C.兩人都沒有命中的概率為0.6 D.至少有一人命中的概率為0.710.設(shè)動直線l:mx+y?m?2=0(m∈R)與圓C:(x?3)2+(y?4)2=12交于AA.直線l過定點(1,2) B.當(dāng)|AB|最大時，m=?1

C.當(dāng)|AB|最小時，m=1 D.當(dāng)∠ACB最小時，其余弦值為111.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長為22，棱數(shù)為24，它所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有(

)

A.AG⊥平面GHMN

B.若E是棱MN的中點，則HE與平面AFG平行

C.若四邊形ABCD的邊界及其內(nèi)部有一點P，|FP|=22，則點P的軌跡長度為π

D.若E為線段MN上的動點，則HE與平面HGF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在空間直角坐標系O?xyz中，已知點A(0,1,0)，B(0,1,1)，C(1,0,0)，則點A到直線BC的距離為

．13.若曲線y=2+1?x2與直線y=k(x?1)+4有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是14.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作一條漸近線的垂線，垂足為Q四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知圓C的圓心在y軸上，且經(jīng)過點(3,1)(1)求圓C的標準方程;(2)過點P(1,5)的直線l與圓C交于A、B兩點，若|AB|=23，求直線l16.(本小題15分)求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：(1)過點(?2,0)，且與雙曲線y264(2)兩頂點間的距離為8，漸近線方程為y=±317.(本小題15分)

半程馬拉松是一項長跑比賽項目，長度為21.0975公里，為全程馬拉松距離的一半.20世紀50年代，一些賽事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機構(gòu)為了了解人們對“半程馬拉松”相關(guān)知識的認知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識競賽，將參與知識競賽者按年齡分成5組，其中第一組[20,25)，第二組[25,30)，第三組[30,35)，第四組[35,40)，第五組[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計參與知識競賽者的平均年齡;(2)現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲(年齡36)，乙(年齡42)兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率;(3)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計年齡在[35,45]內(nèi)的所有參與知識競賽者的年齡的平均數(shù)和方差．18.(本小題17分)如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，AB=AD=12DC=1，將△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如圖2，BD(1)求證：AO⊥平面BCD;(2)若AD的中點為G，在線段AC上是否存在點H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為31414?若存在，求出點H19.(本小題17分)有一個半徑為8的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點F到紙片圓心E的距離為43，將紙片折疊，使圓周上某一點M與點F重合，每一次折疊，都留下一條折痕，當(dāng)M取遍圓上所有點時，所有折痕與ME的交點P形成的軌跡記為曲線C，以點F，E所在的直線為x軸，線段EF的中點(1)求曲線C的方程;(2)若直線l:y=kx+m(m>0)與曲線C交于A，B兩點．(ⅰ)當(dāng)k為何值時，|OA|2(ⅱ)過A，B兩點分別作曲線C的切線，當(dāng)兩條切線斜率均存在時，若其交點Q在直線x+y?8=0上，探究：此時直線l是否過定點?若過，求出該定點;若不過，請說明理由．

參考答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.A

9.AB

10.ABC

11.ACD

12.613.(314.【解答】

解：雙曲線的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，一條漸近線方程為bx?ay=0，

設(shè)F1(?c,0)，可得|F1Q|=|?cb|a2+b2=bcc=b，若F1P=3F1Q，則|PF1|=3b，

15.解：(1)設(shè)圓心的坐標為C(0,b)，由題意可得(3)2+1?b2=22+(2?b)2，

解得b=2，所以，圓的半徑為r=22+(2?2)2=2，

因此，圓C的標準方程為x2+(y?2)2=4．

(2)當(dāng)|AB|=23時，圓心C到直線l的距離為d=22?(|AB|2)2=4?3=1，

當(dāng)直線l16.解：(1)由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，且a=2，

雙曲線y264?x216=1的離心率為e=1+1664=52，

則ca=c2=52，得c=5，故b=1，

所以雙曲線的方程為x24?y2=1；

(2)由題意知a=4，17.解：(1)設(shè)參與知識競賽者的平均年齡為x，

則x=(22.5×0.02+27.5×0.07+32.5×0.05+37.5×0.04+42.5×0.02)×5=31.75．

(2)由題意得，第四組應(yīng)抽取0.2×20=4人，記為A(甲)，B，C，D，

第五組應(yīng)抽取0.1×20=2人，記為E(乙)，F(xiàn)，

對應(yīng)的樣本空間為：Ω={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)(B,F)(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)}，

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則M={(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,E)，(C,E)，(D,E)，(E,F)}，

所以P(M)=n(M)n(Ω)=915=35．

(3)設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為x4，x5，方差分別為s42，s52，

則x4=36，x5=42，s42=1，18.解：(1)證明：因為AB=AD，BD的中點為O，所以AO⊥BD，

又因為平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得AO⊥平面BCD；

(2)取DC的中點為M，連接MO，則MO//BC，由圖1直角梯形可知，ABMD為正方形，

BM=CM=1，BD=BC=2，DC=2，∴BD⊥BC，BD⊥OM．

由(1)AO⊥平面BCD，可知OD，OM，OA兩兩互相垂直，

以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)D，OM，OA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，

則O(0,0,0)，G(24,0,24)，B(?22,0,0)，C(?22,2,0)，A(0,0,22)，

設(shè)AH=λAC(0≤λ≤1)，∴H(?22λ,2λ,?22λ+22)

GH=(?22λ?24,2λ,?22λ+24)，GB=(?342,0,?119.解：(1)由題意可知，|PF|+|PE|=|PM|+|PE|=|ME|=8>|EF|=4，

，所以點P的軌跡是以F，E為焦點，長軸長為8的橢圓，

所以曲