《電磁場(chǎng)與電磁波》矢量分析

矢量的基本運(yùn)算

標(biāo)量只有大小，如：長(zhǎng)度、時(shí)間等矢量有大小有方向，如：位移、電場(chǎng)強(qiáng)度等1矢量和標(biāo)量：直接用斜體字母表示，如l代表長(zhǎng)度2標(biāo)量的表示：3矢量的表示：有向線段長(zhǎng)度：

A

的模箭頭指向：A的方向1）幾何表示2）解析表示：字母上加箭頭

或黑體字A單位矢量:模為1的矢量采用e表示單位矢量A稱為矢量的模3）

矢量的方向余弦表示：α，β，γ

表示矢量A與三坐標(biāo)軸正方向之間的夾角，稱為方向角xyozA4矢量的運(yùn)算法則1)加減法：C=A+B平行四邊形/三角形法則ABCABC多個(gè)矢量相加減：多邊形法則C=A–B=A+（–B）A+B+CABCA+B+C矢量加減法滿足交換律和結(jié)合律A–B=A+(–B)A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C2)數(shù)乘矢量數(shù)乘滿足交換律和結(jié)合律(p+k)A=pA+kAk(pA)=(pk)Ak(A+B)=kA+kB3)矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積，點(diǎn)乘）Bcosθ:B在A方向上的投影矢量標(biāo)量積滿足交換律和結(jié)合律判斷兩矢量垂直的方法則4)矢量的矢積（叉積、叉乘）大?。浩叫兴倪呅蚊娣e方向：平行四邊形面積的法向矢量矢量積的交換律和結(jié)合律注意！判斷兩矢量平行的方法則場(chǎng)的直觀表示：場(chǎng)線場(chǎng)線:形象描繪場(chǎng)分布的工具1標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)線:等值線(面)場(chǎng)值相同的點(diǎn)構(gòu)成的面/線200m300m400m100m稀：緩密：陡c取一不同的值，得到一系列等值面/線，充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間等值面/線互不相交場(chǎng)中的每一點(diǎn)只與一等值面/線對(duì)應(yīng)等值面的稀密程度反映場(chǎng)量的空間分布某溫度場(chǎng)的表達(dá)式為求其等值面。解：等值面方程為2矢量場(chǎng)的場(chǎng)線:A矢量線/流線：1）矢量線定義：處處與矢量相切的曲線，線上每點(diǎn)的矢量方向與該點(diǎn)的切線方向相同B2）矢量線的形式：有頭無(wú)尾有頭有尾無(wú)頭有尾無(wú)頭有尾3）矢量線方程：

矢量場(chǎng)：Mz

y

x矢量線舉例：電場(chǎng)強(qiáng)度線E線-+4）矢量線的作用：方向：矢量線的切線方向大?。菏杳艹潭?-矢量的大小及變化趨勢(shì)A、B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小不同越密，矢量E的值越大-+標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度φ(x,y,z,t)用標(biāo)量描述的場(chǎng)，如溫度場(chǎng)、高度場(chǎng)等可表示為1標(biāo)量場(chǎng)等值面分布定性了解場(chǎng)的整體分布為什么引入方向?qū)?shù)？等值線可否？為了定量研究場(chǎng)的局部分布情況需要考察每個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)沿各方向的變化情況在標(biāo)量場(chǎng)中：2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)1）

方向?qū)?shù)的引入：小蟲如何逃生？為什么？1)各方向的變化快慢不同方向?qū)?shù)2)哪個(gè)方向的變化最快？溫度下降最快梯度12345設(shè)標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z),

點(diǎn)M0可微,則

在點(diǎn)M0沿任意方向的方向?qū)?shù)為:當(dāng)M0趨于M的極限MM0yxz2）

方向?qū)?shù)的定義：標(biāo)量場(chǎng)沿某方向的變化率3）

方向?qū)?shù)的求解：方向余弦cosα、cosβ、cosγ為方向余弦方向?qū)?shù)和M0有關(guān)，也和有關(guān)標(biāo)量場(chǎng)中點(diǎn)的方向變化率MM0yxz2）不同方向的變化快慢是一樣的？1）方向?qū)?shù)是標(biāo)量？矢量？3）方向?qū)?shù)能反映哪方向的變化率最大？4）標(biāo)量能準(zhǔn)確刻畫標(biāo)量場(chǎng)的空間變化率？幾個(gè)問(wèn)題：標(biāo)量不是不能不能l方向改變，方向?qū)?shù)值也變3梯度哈密頓算子梯度gradient1）

梯度的物理意義標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量方向：該點(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向,即垂直于等值線（面）指向函數(shù)的增加方向大?。鹤畲笞兓剩丛擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù);5040302010方向?qū)?shù)梯度例：高度場(chǎng)的梯度

方向：與等高線垂直，指向地勢(shì)升高

大?。涸擖c(diǎn)的最大陡度梯度:增加最快的方向方向?qū)?shù)=梯度在該方向上的投影小結(jié)等值面:只能反映標(biāo)量分布的總體趨勢(shì)梯度:場(chǎng)中每點(diǎn)變化最快的方向和最大的變化率求場(chǎng)在點(diǎn)(0,0.5,1)處的梯度。解：矢量場(chǎng)的通量和散度矢量線：描述矢量場(chǎng)的線大小：疏密方向：切線方向形象直觀地描述矢量場(chǎng)矢量線的疏密可定性表征矢量場(chǎng)的大小實(shí)際需定量描述，故引入通量面元矢量面積元的法向單位矢量S

閉合，法矢量:由內(nèi)指向外

1）面元矢量1通量2）通量矢量A

沿有向曲面S的面積分θ為銳角,dφ>0θ為鈍角,dφ<0θ為直角,dφ=0通量源：管型源，場(chǎng)線有始有終通量的3種結(jié)果：凈矢量線進(jìn)入負(fù)通量源凈矢量線穿出正通量源無(wú)源+-2通量意義：場(chǎng)源的總體情況通量源3）通量舉例＋A點(diǎn)電荷是通量源-A點(diǎn)電荷通量：閉合面的所有通量源的整體特性，不能描述源分布特性:任意點(diǎn)的源分布強(qiáng)度--散度閉合面S所圍區(qū)域

V以任意方式縮小為點(diǎn)時(shí),通量與體積之比的極限存在，即散度(通量)源密度3散度散度散度意義：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)散發(fā)的通量（通量的體密度）反映該點(diǎn)處通量源的強(qiáng)度(通量)源密度通量求每點(diǎn)的值體積收縮到一點(diǎn)散度的物理意義：?A=0

(無(wú)源）?A=

0(負(fù)源)?A=0

(正源)標(biāo)量，通量源的分布特性計(jì)算公式對(duì)散度作體積分，就得到通量高斯公式通量=散度的體積積分矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換4高斯公式(散度定理)實(shí)現(xiàn)了“面-點(diǎn)-體”的轉(zhuǎn)化面點(diǎn)體矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度通量:有向曲面上的面積分值，表示體積內(nèi)的通量源,分布強(qiáng)度用散度來(lái)描述矢量場(chǎng)還有另外一種源-渦流源打開(kāi)出水口出水口水池l例：下漏的水激勵(lì)出旋渦流速場(chǎng)A取環(huán)繞A的閉曲線lA它的場(chǎng)線是閉合的和它相對(duì)應(yīng)的是線積分特點(diǎn)：lA1）有向曲線：指定了正方向的曲線M2M12）有向線元：有向曲線上長(zhǎng)度趨于0的微元（可看作直線），方向與曲線正方向同正方向1有向線元

矢量A沿空間有向閉合曲線l的線積分

l正方向d

lA2環(huán)量導(dǎo)線導(dǎo)線l電流激勵(lì)出旋渦磁場(chǎng)B

，是旋渦源取環(huán)繞該旋渦場(chǎng)B的閉曲線l，無(wú)電流：無(wú)磁場(chǎng)BI環(huán)量只能反映閉合曲線內(nèi)漩渦源的整體特性任意點(diǎn)的源分布強(qiáng)度特性，引入旋度的概念l

包圍了一定面積導(dǎo)線lBI環(huán)量密度環(huán)量求每點(diǎn)的值旋度求max值面積收縮到點(diǎn)1)閉合曲線包圍的面積→0

時(shí)的環(huán)量2)計(jì)算該環(huán)量的最大取值環(huán)量除以閉合曲線所圍面積3環(huán)量密度1）環(huán)量密度過(guò)點(diǎn)P作微小曲面

S,它的邊界曲線記為l,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋。當(dāng)

S

點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度Pl正方向n

SA環(huán)量密度的值和方向有關(guān)？比較路徑L1、L2和L3，對(duì)應(yīng)的環(huán)量面密度的大小?L1L2L3AP平面上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)的矢量A的方向如圖所示，過(guò)P點(diǎn)可做多條有向曲線L3與A垂直，故環(huán)量為零，環(huán)量密度為零L1，L2對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度不為零L1對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度最大在同一位置點(diǎn)(如P)的不同路徑，對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度不唯一L1L2L3AP什么方向，環(huán)量密度的值最大？L1對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度最大L1的特點(diǎn)?L1L2L3APL1的特點(diǎn)：1

它是使該點(diǎn)環(huán)量及其密度取得最大值的路徑2

其他任意路徑所對(duì)應(yīng)的環(huán)量均可由它間接求得3

它的法線正好是引發(fā)矢量渦旋的軸線

L1L2L3APL1的環(huán)量密度最大，定義為旋度大?。簽镻

點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值方向：環(huán)量密度取最大值時(shí)，面積元的法向物理意義：描述了該點(diǎn)處旋渦源密度矢量4旋度旋度在直角坐標(biāo)系下

矢量的旋度:矢量大小:該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值在矢量場(chǎng)中，若

A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J稱為旋度源(或渦旋源)方向:該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向

若矢量場(chǎng)處處

A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)5旋度的物理意義例：判斷矢量場(chǎng)的旋度性質(zhì)=0

0=0

A

是環(huán)量密度Stockes定理

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換場(chǎng)A與邊界l上的場(chǎng)A之間的關(guān)系環(huán)量=旋度的面積積分6斯托克斯(Stockes)定理線點(diǎn)面實(shí)現(xiàn)了“線-點(diǎn)-面”的轉(zhuǎn)化矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度通量:有向曲面上的面積分值，表示體積內(nèi)的通量源,分布強(qiáng)度用散度來(lái)描述矢量場(chǎng)還有另外一種源-渦流源打開(kāi)出水口出水口水池l例：下漏的水激勵(lì)出旋渦流速場(chǎng)A取環(huán)繞A的閉曲線lA它的場(chǎng)線是閉合的和它相對(duì)應(yīng)的是線積分特點(diǎn)：lA1）有向曲線：指定了正方向的曲線M2M12）有向線元：有向曲線上長(zhǎng)度趨于0的微元（可看作直線），方向與曲線正方向相同正方向1有向線元

矢量A沿空間有向閉合曲線l的線積分

l正方向d

lA2環(huán)量導(dǎo)線導(dǎo)線l電流激勵(lì)出旋渦磁場(chǎng)B

，是旋渦源取環(huán)繞該旋渦場(chǎng)B的閉曲線l，無(wú)電流：無(wú)磁場(chǎng)BI環(huán)量只能反映閉合曲線內(nèi)漩渦源的整體特性任意點(diǎn)的源分布強(qiáng)度特性，引入旋度的概念l

包圍了一定面積導(dǎo)線lBI環(huán)量密度環(huán)量求每點(diǎn)的值旋度求max值面積收縮到點(diǎn)1)閉合曲線包圍的面積→0

時(shí)的環(huán)量2)計(jì)算該環(huán)量的最大取值環(huán)量除以閉合曲線所圍面積3環(huán)量密度1）環(huán)量密度過(guò)點(diǎn)P作微小曲面

S,它的邊界曲線記為l,面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋。當(dāng)

S

點(diǎn)P時(shí),存在極限環(huán)量密度Pl正方向n

SA環(huán)量密度的值和方向有關(guān)？比較路徑L1、L2和L3，對(duì)應(yīng)的環(huán)量面密度的大小?L1L2L3AP平面上有一點(diǎn)P，P點(diǎn)的矢量A的方向如圖所示，過(guò)P點(diǎn)可作多條有向曲線L3與A垂直，故環(huán)量為零，環(huán)量密度為零L1，L2對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度不為零L1對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度最大在同一位置點(diǎn)(如P)的不同路徑，對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度不唯一L1L2L3AP什么方向，環(huán)量密度的值最大？L1對(duì)應(yīng)的環(huán)量密度最大L1的特點(diǎn)?L1L2L3APL1的特點(diǎn)：1

它是使該點(diǎn)環(huán)量及其密度取得最大值的路徑2

其他任意路徑所對(duì)應(yīng)的環(huán)量均可由它間接求得3

它的法線正好是引發(fā)矢量渦旋的軸線

L1L2L3APL1的環(huán)量密度最大，定義為旋度大?。簽镻

點(diǎn)的環(huán)量面密度最大值方向：環(huán)量密度取最大值時(shí)，面積元的法向物理意義：描述了該點(diǎn)處旋渦源密度矢量4旋度旋度在直角坐標(biāo)系下

矢量的旋度:矢量大小:該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值在矢量場(chǎng)中，若

A=J0,稱之為旋度場(chǎng)(或渦旋場(chǎng))，J稱為旋度源(或渦旋源)方向:該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向

若矢量場(chǎng)處處

A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)5旋度的物理意義例：判斷矢量場(chǎng)的旋度性質(zhì)=0

0=0

A

是環(huán)量密度Stockes定理

矢量函數(shù)的線積分與面積分的互換場(chǎng)A與邊界l上的場(chǎng)A之間的關(guān)系環(huán)量=旋度的面積積分6斯托克斯(Stockes)定理線點(diǎn)面實(shí)