2025年天津高考數(shù)學一輪復習：復數(shù)（解析版）

第23講復數(shù)

（9類核心考點精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第10題,5分復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算

2023年天津卷，第10題,5分復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算復數(shù)的除法運算

2022年天津卷，第10題,5分復數(shù)的除法運算

2021年天津卷，第10題,5分復數(shù)的除法運算

2020年天津卷，第10題,5分求復數(shù)的實部與虛部

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握復數(shù)的概念，能夠理解復數(shù)的實部虛部與共軌復數(shù)的概念

2.能掌握復數(shù)的四則運算法則

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助圖形，理解復數(shù)與向量的關(guān)系

4.會解復數(shù)方程問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出復數(shù)進行相關(guān)計算，求解實數(shù)虛數(shù)問題。

12?考點梳理一

⑴復數(shù)的定義

(2)復數(shù)的分類｛考點一、復數(shù)的概念

「知識點一.復數(shù)的有關(guān)概念《(3)復數(shù)相等

(4)共宛復數(shù)

(5)復數(shù)的模

考點二、復數(shù)的四則運算

考點三、復數(shù)相等

｛考點四、復數(shù)類型

知識講解

知識點一.復數(shù)的有關(guān)概念

(1)復數(shù)的定義：形如“十歷(。，6GR)的數(shù)叫做復數(shù),其中&是復數(shù)Z的實部，女是復數(shù)Z的虛部，i為虛數(shù)

單位.

(2)復數(shù)的分類：

復數(shù)z=a+bi(a,6GR)

(實數(shù)(b=0>

'虛數(shù)(b*0)(當a=0時為純虛數(shù)、

(3)復數(shù)相等：

a+bi==c+c且6=d(a，b,c>dGR).

(4)共軌復數(shù)：

a+bi與c+di互為共軌復數(shù)Qa=c,b=—d(a,b,c,dGR).

⑸復數(shù)的模：

向量龍的模叫做復數(shù)z=a+歷的模或絕對值，記作|a+歷I或|z|,即|z|=|a+歷尸Ua2+爐(。,bGR).

知識點二.復數(shù)的幾何意義

⑴復數(shù)z=a+歷(a,bGR)-----對應復平面內(nèi)的點Z(a,b).

(2)復數(shù)z=a+bi(a,Z?￡R)——對應平面向量龍.

知識點三.復數(shù)的四則運算

⑴復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：

設zi=a+6i,Z2=c+i/i(a,b,c,dGR),貝!]

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+(7)i；

②減法：zi—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—；

③乘法：z「Z2=(〃+歷),(c+di)=(ac—faZ)+(Qd+Z7c)i；

④除法：豆="竺=(a+h)(c-dD=手等+咚萼j(c+d憂0).

12*222

Z2c+di(c+di)(c-di)c+dc+d

(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即源=次+土，葩=0/

一OZi.

知識點四.復數(shù)常用結(jié)論

1.(l±i)2=+2i；\=i；F=T

l-ll+l

2.—b-\~ai=i(6?+bi)(a,/?￡R).

3.i4"=l,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(?eN).

4.i4n+i4n+1+i-+2+i4"+3=0(n￡N).

5.復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形

(l)a<\z\<b表示以原點O為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);

(2)|z—(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，廠為半徑的圓

考點一、復數(shù)的概念

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?海南?開學考試)復數(shù)z滿足z(2+i)=|3+4i|,則復數(shù)z的虛部是()

A.2iB.2C.-iD.-1

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.

【詳解】由z(2+i)=|3+4i|可得z=等=/消=2—i,

所以虛部為-1,

故選：D.

2.(2024?河南周口?模擬預測)已知復數(shù)z=(l+B,i為虛數(shù)單位，貝吻的虛部為()

A.2iB.-2iC.2D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法和乘方的運算法則，結(jié)合復數(shù)虛部的定義進行求解即可.

【詳解】(1+。3=(1一￡)=(1—i)3=1+3X野.(T)+3X1x(―i)2+(―i)3=i-3i—3+i=—2—

2i,

因此復數(shù)(1+9)3的虛部為-2.

故選:D

1.(23-24高三下?廣西?階段練習)設2=^^，貝1Jz=()

1+1+1

A.-1-3iB.-1+3iC.1-3iD.1+3i

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則直接計算即可.

【詳解】由題得，2=47=三=9季=3i—1.

1+1+11-1-1-1

故選：B.

2.(2024?全國?模擬預測)已知z="，IJl!|z+z3+z5=()

i-i

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【答案】A

【分析】運用復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算法則求得z=i，代入所求式計算即得.

所以z+z3+z5=i+i3+i5=i—i+i=i.

故選：A.

3.(2025?廣東深圳?模擬預測)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z,滿足|z|=5,z在復平面中的第一象限，且實部

為3,則彳為

【答案】3-4i

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義以及模長公式即可求解.

【詳解】由于復數(shù)z的實部為3,故設z=3+6i,(6>0),根據(jù)|z|=5,所以32+。2=52,解得b=4,

所以z=3+4i,故2=3—4i,

故答案為：3-4i

考點二、復數(shù)的四則運算

典例引領(lǐng)

1.(2024?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)+i)?(*-2i)=

【答案】7-V5i

【分析】借助復數(shù)的乘法運算法則計算即可得.

【詳解】(V5+i)?(V5-2i)=5+V5i-2V5i+2=7-V5i.

故答案為：7-遮i.

2.(2023?天津?高考真題)已知i是虛數(shù)單位，化簡總的結(jié)果為_________.

2+31

【答案】4+i/i+4

【分析】由題意利用復數(shù)的運算法則，分子分母同時乘以2-3i,然后計算其運算結(jié)果即可.

【詳解】由題意可得分==筌=4+i.

2+31(2+31){2—31)13

故答案為：4+i.

即時

1.(2023?全國?高考真題)設2=系科貝厲=()

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由題意首先計算復數(shù)z的值，然后利用共軌復數(shù)的定義確定其共輾復數(shù)即可.

【詳解】由題意可得z=m三=#=空=牛=1_21

1+1+11-1+11-1

則2=1+2i.

故選：B.

2.(2023?全國?高考真題)已知z=3,貝吻一2=()

2+21

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出z,再由共軌復數(shù)的概念得到2,從而解出.

【詳解】因為z=W=矗制=?=-＞所以2=)即z-2=f

故選：A.

3.(2024.四川?模擬預測)已知復數(shù)z滿足次1—i)=3+5i,則復數(shù)z=()

A.4+4iB.4—4i

C.-l+4iD.-l-4i

【答案】D

【分析】由已知等式化簡求出2,從而可求出復數(shù)z.

(3+5i)(l+i)—2+8i

【詳解】因為2=燮==—1+4i,

(l-i)(l+i)2

所以z=-1—4i.

故選：D.

考點三、復數(shù)相等

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國?高考真題)已知z=l—2i,且z+a2+6=0,其中a,b為實數(shù)，貝U()

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

【分析】先算出2,再代入計算，實部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=1—2i

z+ctz+b=1—2i+a(l+2i)+b=(1+Q+b)+(2a—2)i

由z+a2+6=0,結(jié)合復數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應相等，

得匕匕LU%二

故選:A

2.(2016?天津?高考真題)已知a,6eR,i是虛數(shù)單位，若(1+i)(1-bi)=a,貝哈的值為

【答案】2

【詳解】試題分析：由(l+i)(l—bi)=l+b+(l—)i=a,可得所以｛0j￡=2,故答

案為2.

【考點】復數(shù)相等

【名師點睛】本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算，要切實

掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a+hi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i(a,b,c,dGR),

呻=3誓*c,deR),.其次要熟悉復數(shù)的相關(guān)基本概念,如復數(shù)a+bi(a,beR)的實部為a、

c+aic^+a^

虛部為反模為＞/。2+/、共輾復數(shù)為a—bi.

即時檢測

1.(2024?新疆烏魯木齊.三模)若(1—2i)(2+i)=a+歷(a,6CR,i是虛數(shù)單位)，則a,b的值分別等于()

A.4,-5B.4,-3C.0,-3D.0,-5

【答案】B

【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的充要條件計算得答案.

【詳解】(1-2i)(2+i)=4—3i=a+歷，:a=4,b=-3.

則a,b的值分別等于4,-3.

故選：B.

2.(24-25高三下?全國?單元測試)設aeR,(a+i)(l—ai)=2,則a=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】結(jié)合復數(shù)的乘法運算，利用復數(shù)相等列方程組求解即可.

【詳解】因為(a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以h2a72，解得Q=i.

(1—az=0,

故選：C

3.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習)若集合/={血2117nl=i,7ncC},B={a+M|a/j=0},則AnB的元

素個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】通過討論求得tn?,a+M,利用集合交集運算求出An8,從而求出結(jié)果.

【詳解】因為=1,且THGC,則m=±1,或m=%+yi,且/+y2=1(y0),所以病=1,或/_

——y2+2%yi,

因為ab=0,則a=0或b=0,當aH0,b=0時，a+bi=a,當a=0,bW0時，a+bi=bi,當a=0且b=0

時，a+bi=0,

當a=1,且b=0,m2=1,則a+bi=l=m2,

當a=-1,且b=0,x=0,y=±1時，m2=—1,則a+bi=m2=—1

x2—y2=0

x+'=1,即a+bi=bi=m2=i,或a+bi=bi=m2=—i,

b=2xy

{a=0

綜上=所以/n8的元素個數(shù)為4

故選：D

4.(2024?遼寧?模擬預測)已知詈=2-i,x,yGR,貝!]x+y=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得出久+必=(l+i)(2-i),再根據(jù)復數(shù)的乘法運算可得出久+yi=3+i,然后即可求出

x+y的值.

【詳解】解：,?，=2—i,.?.%+yi=(1+i)(2—i)=3+i,

?,-%=3,y=1,?,?%+y=4.

故選：C.

考點四、復數(shù)類型

.典例引領(lǐng)

1.(2020?浙江?高考真題)已知aGR,若a-l+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則a=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)為實數(shù)列式求解即可.

【詳解】因為(a-1)+(a-2)i為實數(shù)，所以a-2=0,a=2,

故選：C

【點睛】本題考查復數(shù)概念，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

2.(2024.江西新余?模擬預測)已知復數(shù)z滿足：|z|=1,1+Z+Z2+Z3為純虛數(shù)，則這樣的復數(shù)z共有()

個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】法一：設該復數(shù)2=。+歷6"€的，借助復數(shù)的運算法則計算出1+Z+Z2+Z3后結(jié)合純虛數(shù)定

義即可得；法二：借助復數(shù)的三角形式及其幾何意義計算即可得.

【詳解】法一：設2=a+歷(a,b€R),貝1Jl+z+z?+z3的實部為0且虛部不為0,

l+z+z2+z3—l+a+bi+a2+2abi—b2+a3+3a2bi—3ab2-b3i

=(a3-3ab2+a2-b2+a+1)+(—b3+3a2b+2ab+b)i,

則a3—3ab2+a2-b2+a+1=0,—b3+3a2b+2ab+b0,

因為|z|=1,故a2+62=i,gph2=1—a2,

則有口3—3ab2+a2_b2+a+i=2a(2a2+a—1)—0,解得a=0或1或—1,

當a=0時，b2=1,貝U—〃+3a2b+2ab+b=-b+b=0,舍去；

當a=—1時，b2—0,即b=0,則—+3a2。+2ab+6=0,舍去；

當a=^時，b2=則一+2ab+b=—三6+三6+b+b=2b力0,

2444

故b=±奈即2=[±爭，共有兩個.

綜上所述，這樣的復數(shù)z共有兩個.

法二：設Z的輻角為。,06[-7t,n],

zr表示將復數(shù)z在復平面內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)(r-1)0,

由幾何圖形的對稱性：z與z2在復平面內(nèi)應關(guān)于y軸對稱，

則解得：?；?或無或-1

易知：8力士：時，z=0,舍去，

故8=±1故有兩個不同的復數(shù)z滿足題意.

故選：B.

即時

1.(2024?北京大興?三模)已知(爪-i￥為純虛數(shù)，則實數(shù)6=()

A.0B.1C.-1D.±1

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘方運算化簡(m-i)2,再根據(jù)實部為0,虛部不為0得到方程(不等式)組,

解得即可.

【詳解】因為(TH—i)2=m2—2mi+i2=m2—1—2mi,

又⑺—i￥為純虛數(shù)，所以解得爪=±1.

I—2mH0

故選：D

2.(24-25高三上?湖南?開學考試)己知復數(shù)zi=2-i,Z2=a+i(aeR),若復數(shù)z1?z2為純虛數(shù)，則實數(shù)a的

值為()

A—B.|C.-2D.2

【答案】A

【分析】求出Z「Z2,再根據(jù)純虛數(shù)概念得解.

【詳解】由已知，復數(shù)Z1?Z2=(2-i)(a+i)=(2a+1)+(2-a)i為純虛數(shù)，

所噌二：0°'得aT

故選：A.

3.(2024?北京?三模)若復數(shù)z=a—1+5(a+l)i為純虛數(shù)，其中aeR,i為虛數(shù)單位，則叱=()

1-ai

A.iB.-iC.1D.-1

【答案】A

【分析】由復數(shù)概念求出參數(shù)，結(jié)合復數(shù)四則運算即可求解.

【詳解】由2=a—1+5(a+l)i是純虛數(shù)可知a=1,所以”===i,

1—ail—i2

故選：A

4.(23-24高三下?湖南?階段練習)已知復數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,且z—l是純虛數(shù)，貝！Jz5=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】設2=。+折，其中a,b是實數(shù)，由|z+2i|=|z|求出b,再求出z-l,根據(jù)z-l的類型求出a,即

可得到z,最后根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得.

【詳解】設2=。+歷，其中a,b是實數(shù)，則由|z+2"=|z|,得@2+(b+2)2=Q2+人2,

所以b=-1,貝！Jz—l=a-1—if

又因為z-l是純虛數(shù)，所以。一1=0,解得。=1,即z=l-i,

所以z2=(l-i)(l+i)=2.

故選:B

考點五、復數(shù)的幾何意義

典例引領(lǐng)

1.(2023?北京?高考真題)在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(-1,百)，貝版的共軟復數(shù)彳=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)z,然后利用共朝復數(shù)的定義計算.

【詳解】z在復平面對應的點是(-1,遮)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，z=-l+V3i,

由共輾復數(shù)的定義可知，z=-1-V3i.

故選：D

2.(2023?全國?高考真題)在復平面內(nèi)，(l+3i)(3—i)對應的點位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結(jié)合復數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為(1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

則所求復數(shù)對應的點為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

電上即時檢測

1.(2024.云南.模擬預測)在復平面內(nèi)，(1-i)(2+i)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】先化簡復數(shù)，再由復數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】'''(1—i)(2+i)=2+i—2i—i2=3—i,

??.其對應的點坐標為(3,-1),位于第四象限，

故選：D.

2.(23-24高三上.天津?期中)復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(2,-1),則注的共朝復數(shù)的模為

【答案】V5

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得z=2-i,即可根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，進而由模長公式即可求解.

【詳解】由題意可得z=2—i,所以空=乎=口詈山=?=_i+2i

z—11—122

故共扼復數(shù)為一1+2i,|-1+2i|=V（-l）2+22=V5,

故答案為：V5

3.（23-24高三上?天津河北?開學考試）復數(shù)上在復平面內(nèi)對應的點的坐標是_________.

2+1

【答案】&I）

【分析】由復數(shù)除法法則可得復數(shù)的代數(shù)表示，即可得其對應坐標.

【詳解】土=瑞嵩=g+|i,則其在復平面上的對應點的坐標為c，|）.

故答案為：（I,I）

4.（2024.青海西寧.二模）已知復數(shù)z=i2°24—i,則2對應的點在復平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用i的運算性質(zhì)，得到z=l-i,從而有2=1+i,即可求解.

【詳解】因為Z=i2°24—i=（i2）1012—i=i—i,所以2=l+i,其對應的點為（1,1）,

故選：A.

5.（23-24高三上.天津紅橋?階段練習）己知i為虛數(shù)單位，則獸在復平面內(nèi)對應的點位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】根據(jù)題意得到z=：-|i,即可得到答案.

則z在復平面對應的點為在第四象限.

故選：D

考點六、復數(shù)模長問題

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國?高考真題）|2+i2+2i3|=

C.V5

【答案】c

【分析】由題意首先化簡2+i?+2i3,然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,

貝！]|2+i2+2i3|=|1-2i|=Ji?+(—2)2=Vs.

故選：C.

2.(2022?北京?高考真題)若復數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】利用復數(shù)四則運算，先求出z,再計算復數(shù)的模.

【詳解】由題意有z=0=空粵=一4—3i,故|z|=J(—4尸+(—3/=5.

故選：B.

即時檢測

I_________L__________

1.(2020?全國?高考真題)若z=l+i,則憶2-2z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】由題意首先求得z2-2z的值，然后計算其模即可.

【詳解】由題意可得：z2=(1+i)2=2i,貝。z?-2z=2i-2(1+i)=-2.

故怙2-2z|=|-2|=2.

故選：D.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則和復數(shù)的模的求解等知識，屬于基礎題.

2.(2020?全國?高考真題)設復數(shù)zi，Z2滿足,1|=憶2|=2,Z1+z2=V3+i,則％-z2|=.

【答案】2V3

【分析】方法一：令Z]-a+bi,(aER,bER),z2-c+di,(cGR,dGR),根據(jù)復數(shù)的相等可求得ac+bd-

-2,代入復數(shù)模長的公式中即可得到結(jié)果.

方法二：設復數(shù)Z1，Z2所對應的點為Z1乂2，赤=應1+被2,根據(jù)復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的模，判定平行

四邊形OZ/Z2為菱形，I而I=IOZJ=|OZ2|=2,進而根據(jù)復數(shù)的減法的幾何意義用幾何方法計算匕-Z2I.

【詳解】方法一：設Z1=a+bi,(aeR,b6R),z2=c+di,(cER,dER),

+z2=a+c+(6+d)i=遮+i,

又|Z1HZ21=2，所以+b2=4,c2+d2-4,

(a4-c)2+(b+d)2=a24-c2+/72+d2+2(ac+bd)=4

???ac+bd=—2

22

???\zr—z2\—|(a—c)+(6—d)i|=—c)+(/?—d)=J8—2(ac+bd)

=V8T4=2V3.

故答案為：2V3.

方法二：如圖所示，設復數(shù)z1*2所對應的點為Z1(Z2,OP=OZi+oz2,

由已知|訶|=V3TI=2=IOZJ=|0Z2|,

二平行四邊形OZ1PZ2為菱形，且40PZ1AOPZ2都是正三角形，.,.NZ10Z2=120°,

2222

\ZrZ2\=|0Z1|2+|OZ2|-2|OZ/|OZ21cos120。=2+2-2?2?2-(-|)=12

Izj-z2\=\Z±Z21=2V3.

Z2

【點睛】方法一：本題考查復數(shù)模長的求解，涉及到復數(shù)相等的應用；考查學生的數(shù)學運算求解能力，是

一道中檔題.

方法二：關(guān)鍵是利用復數(shù)及其運算的幾何意義，轉(zhuǎn)化為幾何問題求解

3.（2024.河南關(guān)B州?模擬預測）若z=2—i—親QCR）且|z|=1,則x取值的集合為（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)z,根據(jù)|z|=l得方程，求解即得.

【詳解】z=2-i一四=（2f（2+i）-（x+i）=竺上,

24-i2+i2+i

因|z|=l,貝"與歲|=1,即咋早=1,

可得，（5-x）2+1=5,解得，x=3或7.

故選：C.

4.（2024.貴州?模擬預測）||-1|=（）

A.V2B.V5C.2D.5

【答案】B

【分析】利用復數(shù)的運算得2-1=-1-2、再利用模長的計算公式，即可解.

1

【詳解】因為彳-l=-l-2i,所以卜—=I—1-2i|=V1T4=V5,

故選：B.

考點七、復數(shù)方程問題

典例引領(lǐng)

1.（2024.江西.模擬預測）已知1+i是實系數(shù)方程%2+。％+人=0的一個根.則（）

A.4B.—4C.0D.2

【答案】c

【分析】利用實系數(shù)的一元二次方程的虛根成對原理結(jié)合韋達定理運算求解.

【詳解】因為1+i是關(guān)于%的方程+a%+b=O(a,b6R)的一個根，

則1一i也是關(guān)于％的方程/+。％+b=O(a,beR)的一個根.

可得二,解得a=—2,b=2,

(.(1+i)x(1-ij=o

所以a+b=0.

故選：C.

2.(2024?四川宜賓.三模)已知復數(shù)z滿足z2+z+1=0且2是z的共輾復數(shù)，則z+2=()

A.-1B.1C.V3D.-V3

【答案】A

【分析】由韋達定理即可求解.

【詳解】由求根公式可知，若z為方程z2+z+1=0的根，則其共輾復數(shù)2也是該方程的根，

故由韋達定理可知，z+z=-i=-1.

故選：A.

??即時檢測

1.(24-25高三上?江蘇?階段練習)已知復數(shù)z滿足z3=1+Bi,則2=()

A.1+V3iB.V2^cos+isin

C.1+V3iD.德(cos；+isin；)

【答案】D

【分析】設2=rcos0+rsin0i(r>0,6C[0,2K)),根據(jù)復數(shù)的三角形式計算可得答案.

【詳解】設z=廠cos。+rsin0i(r>0,0E[0,2兀))，

所以z?=丁3cos39+ir3sin30=l+V3i,

可得jr：sin38=百，兩式相除可得tan36=瓜

(r3cos3。=1

可得3?=:+E(/ceZ),0=^+y(fcGZ),

因為6E[0,2兀)，所以。音常常常芳，W

當時，r3sin^3x^=V3,解得丁二遮，此時z=迄(cos；+isin；),

當時，r3sin^3x^=V3,解得N=—2,舍去，

當6=日時，丁3$①(3x￡)=8，解得丁=迄，此時z=遮(cos曰+isin蔡)，

當。=巖時，〃sin(3x.)=百，解得丁3=一2,舍去，

當。=昔時，r'sin(3義告)=值，解得r=冠，此時z=V^(cos3+isin手)，

當。=與時，/sin(3x者)=\后，解得「3=一2,舍去，

結(jié)合選項，只有D正確.

故選：D.

2.(2024?山西陽泉?三模)已知2+i是實系數(shù)方程/+p久一q=o的一個復數(shù)根，貝！]p+q=()

A.一9B.-1C.1D.9

【答案】A

【分析】根據(jù)虛根成對原理2-i也是實系數(shù)方程/+px-q=0的一個復數(shù)根，再由韋達定理計算可得.

【詳解】因為2+i是實系數(shù)方程/+px-q=0的一個復數(shù)根,

則2—i也是實系數(shù)方程/+px-q=。的一個復數(shù)根,

所以｛—p=2+i+2—i解得仁二,

一q=(2+i)(2-i)

所以p+q=-9.

故選：A

3.(2024.重慶九龍坡.三模)設Zi*2是關(guān)于%的方程/+2％+q=0的兩根，其中p,qER,若Zi=—1+V^i

(i為虛數(shù)單位)，則工+工=()

Z1Z2

22

A.--B.-C.-2D.2

33

【答案】A

【分析】根據(jù)實系數(shù)一元二次方程在復數(shù)范圍內(nèi)根的關(guān)系求出另一個根，再代入求解即可.

【詳解】因為關(guān)于%的方程/+p%+q=0(p,q6R)的一個根為Zi=-1+V2i,

所以另一個根Z2=-1—V2i,

所以工+工=^_+^_=T-在L1+魚】=_]

Z】Z?-1+V2i—1—V2i(―14-\/2i)(—1—V2i)3

故選：A.

4.(2024?天津河西?模擬預測)已知2i-3是關(guān)于％的方程2/+p%+q=o(p,qeR)的一個根，則p+

q=?

【答案】38

【分析】代入方程結(jié)合復數(shù)的概念及運算法則待定系數(shù)計算即可.

【詳解】將％=21-3代入方程2汽2+p%+q=0

得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=(2p-24)i+10—3p+q=0,

*【、1(2p-24=0(p=12匚“

所以cn今ADJ,所以p+q=38.

(10-3p+q=0(q=26r1

故答案為：38

考點八、復數(shù)最值與取值范圍

典例引領(lǐng)

1.(2024.黑龍江牡丹江.一模)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=a+歷，a,b6R且滿足|z-i|=或，求點Z(a,6)

到直線y=x+3距離的最大值為()

A.0B.2夜一2C.V2D.2企

【答案】D

【分析】根據(jù)模長求出軌跡方程再求出圓心和半徑，最后應用圓心到直線距離求出距離的最大值.

【詳解】z=a+bi,\z-i\-y/2,

則|a+(b—l)i|=夜，即a?+(b—1)2=2,圓心為(0,1),半徑為r=&,

圓心(0,1)到直線x—y+3=0的距離d==V2,

故點Z(a,b)到直線y=x+3距離的最大值為d+r=V2+V2=2^2.

故選：D.

2.(2024?山東煙臺?三模)若復數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則|z|的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【分析】由復數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】若復數(shù)Z滿足|z|=|z-2-2i|,則由復數(shù)的幾何意義可知復數(shù)z對應的點集是線段。4的垂直平分

線，其中0(0,0),4(2,2),

所以|z|的最小值為(。川=|V22+22=V2.

故選:B.

即時便測

1.(2024?云南.二模)已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足|z—l|=|z+i|,則|z-i|的最小值為()

ABC

-f-1-ID.0

【答案】A

【分析】由模長公式結(jié)合題設條件得條件等式y(tǒng)=-乃結(jié)合模長公式將所求轉(zhuǎn)換為求二次函數(shù)最值即可.

【詳解】設z=x+yi,(x,y€R),而|z-11=|z+i|,所以(x-1/+y?=/+(y+1尸，即丫=-%,

所以|z-i|=yjx2+(y-I)2=Jx2+(-%-I)2=V2x2+2x+1=J2(x+()+)>等號成立當且僅

當曠=-x=5

綜上所述，|z-i|的最小值為日.

故選：A.

2.(2024?江蘇泰州?模擬預測)若復數(shù)zi，Z2滿足氏-3i|a2,,2-4|=1,則氏-z2|的最大值是()

A.6-V2B.6+V2C.7D.8

【答案】D

【分析】設z1=a+bi,a,bER,復數(shù)z1在復平面內(nèi)對應的點為Z[(a,b),z2-x+yi,x,yER,復數(shù)z2在

復平面內(nèi)對應的點為Z2(x,y),依題意可得Zi、Z2的軌跡方程，最后根據(jù)復數(shù)模的幾何意義計算可得0-Z2|

的最大值.

【詳解】設z1=a+bi,a,6eR,z2=x+yi,x,y6R,

因為Z—3i|=2,\z2-4|=1,

所以a?+(b—3)2=4,(%—4)2+y2=1,

所以點Zi(a,b)的軌跡為以(0,3)為圓心，2為半徑的圓，

點Z2(x,y)的軌跡為以(4,0)為圓心，1為半徑的圓,

又0-Z2I表示點Z](a,b)與Z2(K,y)的距離，

所以比一Z2|的最大值是J(0—4次+(3—0)2+3=8,

故選：D.

3.(24-25高三上?江蘇南通?階段練習)設zeC,且(z+5)(2+5)=4,則z?的實部的取值范圍為()

A.[8,36]B.[9,49]

C.[10,64]D.[11,81]

【答案】B

【分析】z—a+hi(a,bER),由(z+5)(2+5)=4,可得(a+5)2+b2—4,設a——5+2cos&b=2sin0,

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及余弦函數(shù)的值域即可求解.

[詳解]設z=a+bi(a,bE7?),則2=a-bi,

所以z+5=a+5+bi,z+5=a+5—bi,

所以(z+5)(2+5)=(a+5)2+b2=4.

設a=-5+2cosab=2sin0,

z2=(a+di)2=a2—b2+2abi,故z?的實部為a?—b2,

所以a?—fa2=4cos2?！?Ocos0+25+4sin20

=29-20cos8e[9,49],

即z2的實部的取值范圍為[9,49].

故選:B.

4.(23-24高三下.江西?開學考試)已知復數(shù)z=a+bi(a,beR).且|2—i—z|=1,則受的取值范圍為()

【答案】c

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義，得到復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點Z的軌跡是以(2,-1)為圓心，1為半徑的圓C,

得到圓的方程(a-2)2+(6+1)2=1,再由鬻=震+1,結(jié)合鬻的幾何意義為過圓C上的點與定點4的直

線/的斜率鼠利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式，即可求解.

【詳解】由復數(shù)z滿足|2—i—z|=1,即為|z—2+i|=l,

根據(jù)復數(shù)的幾何意義，可得復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點Z(a,b)的軌跡是以(2,-1)為圓心，1為半徑的圓C,即

圓C:(a—2)2+(b+I)2=1,

如圖所示，告=空+1，

a+la+1

又由震的幾何意義為過圓C上的點與定點的直線/的斜率k,

直線2的方程為ka-b+k+l=Q,

由題意可知，圓心C到直線'的距離dWL即舞WL

Qi-t—3—Vsb—1—3+V^

解得土丑<fe<即------V----V-------

444-a+l—4

又由空=匕二+1,可得上亞《史工《匕2竺

a+la+l4a+l4

考點九、復數(shù)軌跡問題

典例引領(lǐng)

1.(2024.江蘇南京.三模)已知復數(shù)z滿足|z-2|2=z+2,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的軌跡為()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】設2=%+必(x,yGR),運用復數(shù)加、減運算及復數(shù)模的公式計算即可.

【詳解】設z=%+yi(x,yGR),則5=%-yi,

所以z+z=%+yi+x—yi=2x,z—z=(x+yi)—(%—yi)=2yi,

所以|z-z\2=4y2,

又|z—2/=z+2,所以4y2=2x,即y?="，

所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應點的軌跡為拋物線.

故選：D.

2.(2024?廣東揭陽.二模)已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為(a,b),且|z+i|=4,則()

A.a2+Qb+l)2=4B.a?+(6+1)2=16

C.(a+l)2+b2—4D.(a+l)2+b2=16

【答案】B

【分析】借助導數(shù)的幾何意義可得z=a+歷，再利用模長公式即可得.

【詳解】由題意得z=a+歷，所以|a+(b+l)i|=4,則a?+(6+I)2=16.

故選：B.

1.(2024?云南曲靖?模擬預測)若復數(shù)z=K+yi(x,y6R)且|z-5+i|=/,則滿足|2x—y—1|=的

復數(shù)z的個數(shù)為()

A.0B.2C.1D.4

【答案】A

【分析】由|z-5+i|=魚可得復數(shù)z對應的點在圓心為⑸-1),半徑為企的圓上，

又|2x—y-1|=同的幾何意義為復數(shù)z在復平面內(nèi)的點到直線—y—1=0的距離為或，則由圓心

(5,—1)到直線2乂—y—1=0的距離為2遍，即可得到復數(shù)z的個數(shù).

【詳解】因為z=x+yi,所以z—5+i=(x—5)+(y+l)i,

又|z-5+i|=V2,所以(%-5)2+(y+5)2=2,

即復數(shù)z對應的點在圓心為(5,-1)，半徑為魚的圓上，

又|2x-y-l|=VTU可以變形為一7T=夜，

即其幾何意義為復數(shù)Z在復平面內(nèi)的點到直線2x-y-1=0的距離為VL

又圓心(5,—1)到直線2x—y—1=0的距離為艮等/竦=2V5,

V22-(-l)2

而2遙-所以滿足條件的z不存在.

故選：A.

2.(2024?寧夏?二模)已知復數(shù)z滿足|z-4+5i|=1,貝吻在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】設出復數(shù)的代數(shù)形式，利用復數(shù)模的意義列出方程即可判斷得解.

［詳解］令z=x+yi,x,yGR,

因為|z—4+5i|=1,所以(％-4)2+(y+5)2=1,

即點(久,y)在以(4,-5)為圓心，1為半徑的圓上，該圓在第四象限內(nèi)，

所以z在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限，

故選：D

3.(2024?湖南長沙.三模)已知復數(shù)z滿足|z|=1,則|z-2i|的取值范圍為()

A.[0,2]B.[1,3]C.[2,4]D.[1,9]

【答案】B

【分析】根據(jù)復數(shù)模的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(0,2)到圓心的距離加半徑可得最大值，減半徑可得最小值即可.

【詳解】|z|=1表示z對應的點是單位圓上的點，

|z-2i|的幾何意義表示單位圓上的點和(0,2)之間的距離，

|z-2i|的取值范圍轉(zhuǎn)化為點(0,2)到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，

所以最大距離為2+1=3,最小距離為2-1=1,

所以|z-2i|的取值范圍為[1,3].

故選:B

4.(2022.天津.―■模)如果復數(shù)z；兩足|z+1—i|=2,那么|z—2+i|的最大值是.

【答案】2+g##g+2

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義|Z]-Z2|表示Z],Z2兩點間距離，結(jié)合圖形理解運算.

【詳解】設復數(shù)z在復平面中對應的點為Z

：|z+l—i|=2,則點Z到點C(—1,1)的距離為2,即點Z的軌跡為以C為圓心，半徑為2的圓

|z-2+i|表示點Z到點4(2,-1)的距離，結(jié)合圖形可得|Z川＜\AC\+2=2+V13

故答案為：2+V13.

『I好題沖關(guān)

A基礎過關(guān)

1.(2024?天津和平?二模)已知