2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：集合與常用邏輯用語(yǔ)（原卷版+解析版）

專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)集合的考查，重點(diǎn)是集合間的2022?新高考I卷，1

基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)2023?新高考I卷,1

交集的運(yùn)算

運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元2024?新高考I卷，1

一次不等式解法、分式不等式解法、指2022?新高考n卷,1

數(shù)、對(duì)數(shù)不等式解法結(jié)合.根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023?新高考II卷，2

2.高考對(duì)常用邏輯用語(yǔ)的考查重點(diǎn)關(guān)注充分必要條件的判定2023?新高考I卷，7

如下兩點(diǎn)：

(1)集合與充分必要條件相結(jié)合問(wèn)題

的解題方法；

全稱、存在量詞命題真假的判斷2024?新高考n卷，2

(2)全稱命題與存在命題的否定和以

全稱命題與存在命題為條件，求參數(shù)的

范圍問(wèn)題.

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考n卷未考查集合，I卷依舊考查了集合的交集運(yùn)算，常用邏輯用語(yǔ)在新高考II卷中考查

了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說(shuō)明了現(xiàn)在新高考“考無(wú)定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住

知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合和常用邏輯用語(yǔ)考查應(yīng)關(guān)注：(1)集合的基本運(yùn)算和充要條件；(2)

集合與簡(jiǎn)單的不等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查集合的基本運(yùn)算。

試題精講

1.（2024新高考I卷T）已知集合4=口-5<1<5},5={-3,-1,0,2,3},則4nB=（）

A.{一1,0}B.{2,3}C.{-3,-1.0}D.{-1,0,2）

2.（2024新局考n卷?2）已知命題p：VxwR,+命題q：3x>0,x3=x9則（）

A.p和q都是真命題B.?和q都是真命題

C.p和F7都是真命題D.R和「4都是真命題

近年真題精選

1.（2022新高考I卷T）若集合M={x|q<4},N={x|3x21},則初'cN=（）

A.{x|0<x<2）B.jx|-j<x<C.{x|3Mx<16}D.jx|y<x<161

2.（2023新高考I卷T）已知集合Af={-2,-1,0,L2},2V=|x|x2-x-6>o|,則AfcN=（）

A.{-2,-1,0,1}B,{0,1,2}C.{-2}D.{2}

3.（2022新高考II卷—1）已知集合4={-1,1,2,4},8=卜卜一1|41},則4nB=（）

A.{-1.2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

4.（2023新高考II卷2）設(shè)集合4={0,-。},8={1,。-2,2。-2},若4=8,貝lja=（）.

A.2B.1C.—D.-1

5.（2023新高考I卷7）記S“為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：{凡}為等差數(shù)列；乙：{1}為等差數(shù)列，則

（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

必備知識(shí)速記

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以是其

他對(duì)象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作aeA）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NM或也ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合工、8,如果集合4中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說(shuō)這

兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合4為集合5的子集，記作4GB（或52月），讀作“Z包含于8”（或“5包

含Z”）■

（2）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合4與8，若AqB,且存在但6gN，則集合4是集合5的真子集，記

作4拿8（或5割）.讀作“4真包含于5”或"8真包含4

（3）相等：對(duì)于兩個(gè)集合4與8，如果4a5,同時(shí)那么集合4與8相等，記作4=5.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合/且屬于集合5的元素組成的集合，叫做4與8的交集，記作NcB,即

4c5={x|xe4且xeB].

（2）并集：由所有屬于集合Z或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，叫做4與5的并集，記作4^8,即

4u8={x|xe4蝴e8}.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合4,由全集。中不屬于集合Z的所有元素組成的集合稱為集合4相對(duì)于全集。

的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合Z的補(bǔ)集，記作Q2,即Q，4={x|xeU,_&x￡4}.

四、集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴ARA=A>AD0=0>408=804，AnB^B-

（2）AL）A=A，4U0=4，4U8=BlM，AqAuB，BcAuB.

（3）4rl（q/）=0,4U（C/）=。，CU（CUA）=A■

⑷Ar>B=A<^>A\JB-B<^>Ac.Boc（^Ao4c1.3=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集4中有〃個(gè)元素，則/的子集有7個(gè)，真子集有2"_1個(gè)，非空子集有2"一1個(gè)，非空真子集

有2"-2個(gè)?

（2）空集是任何集合z的子集，是任何非空集合8的真子集.

（3）AQB0AnB=A0A\jB=B0CVBQCVA-

（4）q（4n3）=（Cd）U（q3）,q（/U3）=（q4）fl{CVB）.

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若P，則4”為真(記作png),則p是g的充分條件；同時(shí)q是p的必要條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若。=>4且,則p是q的充分不必要條件；

(2)若p弁?且,則p是《的必要不充分條件；

(3)若pnq且q=>p,則p是4的的充要條件(也說(shuō)p和g等價(jià))；

(4)若且g弁p,則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表

示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題”對(duì)M中的任意一個(gè)X,有p(x)成立''可用符號(hào)

簡(jiǎn)記為“VxeAf,p(x)”,讀作”對(duì)任意x屬于Af,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

叼”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題，存在M中的一個(gè)天,使p(x0)成立"可用

符號(hào)簡(jiǎn)記為“三”€勸,尸(吃)”，讀作“存在M中元素玉,使p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題的否定r?為玉eAf,-^P(x0).

(2)存在量詞命題p：肛)eM,p(x0)的否定“為VxeKnP(x).

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見(jiàn)考點(diǎn)之一.

【常用邏輯用語(yǔ)常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)4={x|p(x)},8={x|q(x)}.

(1)若則p是g的充分條件(png),?是p的必要條件；若工室因,則p是q的充分不必要條

件，q是p的必要不充分條件，即且

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小=>大

(2)若BqN,則p是q的必要條件，g是p的充分條件;

(3)若A=B,則p與g互為充要條件.

名校模擬探源

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“玉?>032+*-1>0”的否定是()

A.Vx>0,x2+x-1>0B.Vx>0,x2+x-l<0

C.3.r<0,x2+x-l>0D.3x<0,x2+x-l<0

2.(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)己知集合”=何忖(2}0="|111丫<1},則A/cN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

3.(2024?河北衡水?三模)己知集合/={1,2,3,4,5},B=|x|-l<lg(x-l)<|j,則()

A.j.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.1x|^<x<aj

4.(2024?陜西?三模)已知集合4={丫|-1〈丫42}.8={*|-/+3r>0},則4=8=()

A.RB.(0,2]C.[-L0)D.[-13)

5.(2024?安徽?三模)己知集合/={x卜54X41},B={x|x>-2},則圖中所示的陰影部分的集合可以表示

B.{.r|-2<x<l)

D.{x|-5<x<-2)

6.(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)己知直線+后=0,圓。:/+式=1,則“斤<1”是“直線/上存在點(diǎn)P,

使點(diǎn)P在圓。內(nèi)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.(2024?湖北荊州?三模)已知集合4=卜|2.丫-./40},B^A,其中R是實(shí)數(shù)集，集合C=(-力,1],則

BcC=()

A.(-8,0]B.(0.1]C.(-8,0)D.(0,1)

8.(2024?北京?三模)己知集合Z={x網(wǎng)<1},若。石4,則。可能是()

1

A.-B.1C.2D.3

e

9.(2024?河北衡水?三模)已知函數(shù)/(x)=(2'+,〃.2-3sinx,則“〃尸=1”是“函數(shù)/(x)是奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

10.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)尸是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且=/貝卜加/〃”是

“7"http:///且加//a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.（2024?北京?三模）已知/={x|log2（x_l）Vl},5={x||x-3|>2},則/D8=（）

A.空集B.{x|xW3或x>5}

C.{x|xW3或x>5且x*l}D.以上都不對(duì)

12.（2024?四川?三模）己知集合/={0,3,5},5={x|x（x-2）=0）,則』-8=（）

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

13.（2024?重慶?三模）己知集合/=卜€(wěn)耳/-》一2<0},3=}|了=2，"6/},則/口3=（）

A.（T4）B.［卜］C.g，2）

14.（2024?北京?三模）"AA8C為銳角三角形”是“sin/>cos3,sin5>cosC,sinC>cos/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2024?上海?三模）設(shè)集合/={1,。/},集合8=xy+j,x,y,對(duì)于集合8有

下列兩個(gè)結(jié)論：①存在。和6,使得集合8中恰有5個(gè)元素；②存在。和b,使得集合2中恰有4個(gè)元

素.則下列判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確D.①正確，②錯(cuò)誤

二、多選題

16.（2024-江西南昌?三模）下列結(jié)論正確的是（）

A.若{x|x+3>O}c{x|x-a<O}=0,則a的取值范圍是"-3

B.若{小+3>0}c{小-a<O}=0,則0的取值范圍是aV-3

C.若{小+3>0}。{布-0<0}=11,則。的取值范圍是02-3

D.若{x|x+3>0}u{Hx-a<0}=R,則。的取值范圍是a>—3

17.（2024?遼寧?三模）已知max"”/，…,毛}表示再應(yīng),…,x“這〃個(gè)數(shù)中最大的數(shù).能說(shuō)明命題“V”,6,c,

（ZeR,11^{凡6}+0^{<7,4211^{4也<:,1}"是假命題的對(duì)應(yīng)的一組整數(shù)0,b,c,d值的選項(xiàng)有（）

A.1,2,3,4B.-3,-1,7,5

C.8,—1,—2,—3D.5,3,0,—1

18.（2024?重慶?三模）命題“存在x>0,使得機(jī)/+2工_1〉0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.m>-2B.m>-\C.m>0D.m>1

19.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知。力>0,則使得“a>6”成立的一個(gè)充分條件可以是（）

A.B.\a-2\>\b-2\C.a2b-ab2>a—bD.ln（a"+1）>Ine?+1）

20.（2024?安徽安慶三模）已知集合/={xeZ*-2x-8<0},集合8={司9工>3"',加eR,xeR},若4cB

有且僅有3個(gè)不同元素，則實(shí)數(shù)加的值可以為（）

A.0B.1C.2D.3

三、填空題

21.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知集合/={1,2,4},B={a,a2},若=則。=.

22.（2024?上海?三模）已知集合/={0,1,2},S={x|x3-3x<1},則

23.（2024?湖南衡陽(yáng)?三模）已知集合4={。,。+1},集合8={xeN|x2-x-240},若A=B,則

Q_.

24.（2024?湖南邵陽(yáng)?三模）^={xeN|log2（x-3）<2）,S=jx||^|<oj,則/門8=.

25.（2024?安徽?三模）已知集合/={尢2,-1},8=b|y=,若的所有元素之和為12,則實(shí)

數(shù)人..

26.（2024?山東聊城?三模）已知集合”={1,5,/},3={1,3+2。},且/口3=/,則實(shí)數(shù)。的值為.

27.（2024?重慶三模）已知集合/={無(wú)k2-5x+6=0},2=卜卜1<x<5”N},則滿足/［CUB的集合

C的個(gè)數(shù)為.

28.（2024?天津?三模）己知全集。="^^］》47},集合/={1,2,3,6},集合8={尤eZ］慟<5},則

（。/“臺(tái)=，A<JB=，

29.（2024?山東泰安?三模）已知集合/=（工三^^0

S={x|log2x>a},若則。的取值范圍

是.

30.（2024?寧夏銀川?三模）已知命題?：關(guān)于x的方程/一辦+4=0有實(shí)根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)

y=logs（2x2+ax+3）在［3,+⑹上單調(diào)遞增，若，》或“，，是真命題，，》且《，是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是

專題01集合與常用邏輯用語(yǔ)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.高考對(duì)集合的考查，重點(diǎn)是集合間的2022?新高考I卷，1

基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)2023?新高考I卷,1

交集的運(yùn)算

運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元2024?新高考I卷，1

一次不等式解法、分式不等式解法、指2022?新高考n卷,1

數(shù)、對(duì)數(shù)不等式解法結(jié)合.根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023?新高考II卷，2

2.高考對(duì)常用邏輯用語(yǔ)的考查重點(diǎn)關(guān)注充分必要條件的判定2023?新高考I卷，7

如下兩點(diǎn)：

(1)集合與充分必要條件相結(jié)合問(wèn)題

的解題方法；

全稱、存在量詞命題真假的判斷2024?新高考n卷，2

(2)全稱命題與存在命題的否定和以

全稱命題與存在命題為條件，求參數(shù)的

范圍問(wèn)題.

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考II卷未考查集合，I卷依舊考查了集合的交集運(yùn)算，常用邏輯用語(yǔ)在新高考II卷中考查

了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說(shuō)明了現(xiàn)在新高考“考無(wú)定題”，以前常考的現(xiàn)在不一定考了，抓住

知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合和常用邏輯用語(yǔ)考查應(yīng)關(guān)注：(1)集合的基本運(yùn)算和充要條件；(2)

集合與簡(jiǎn)單的不等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查集合的基本運(yùn)算。

試題精講

1.(2024新高考I卷1)已知集合/=便一5＜1＜5},8={-3,-1,0,2,3},則4nB=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{T-1,0}D.{-1,0,2}

【答案】A

【分析】化簡(jiǎn)集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)?=卜|-將＜》＜碼,8={-3,-1,0,2,3},且注意到1〈指＜2,

從而4nB={-1,0}.

故選：A.

2.(2024新局考II卷2)已知命題p：VxwR,|x+11>1；命題q：3x>0,x3=x,則()

A.p和q都是真命題B.nP和q都是真命題

C.p和-19都是真命題D.R和「4都是真命題

【答案】B

【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取x=-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對(duì)于P而言，取尸-1,則有卜+1|=0<1,故P是假命題，R是真命題，

對(duì)于,而言，取x=l,貝IJ有％3=F=I=X,故夕是真命題，是假命題，

綜上，R和q都是真命題.

故選：B.

近年真題精選

1.(2022新高考I卷T)若集合M={X|V7<4},N={X|3X21},則AfcN=()

A.{x|0<x<2}B.jxkx<2：C.{.r|3<x<16)D.jx||<x<16j

【答案】D

【分析】求出集合M.N后可求McN.

【詳解】M={x|0<x<16},^={x|x>|},故四門"=[卜》<16},

故選：D

2.(2023新高考I卷7)已知集合M={-2,-l,0,1.2},7=卜--x-6wo},則AfcN=()

A.{-2-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出.

方法二：將集合”中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】方法一：因?yàn)镹=k|x2-x-620}=(y,-2]33,+e),而“={-2,-1,0,1,2},

所以初'cN={-2}.

故選：C.

方法二：因?yàn)镸=0」.2},將-2「L(M,2代入不等式只有-2使不等式成立，所以

McN={-2}.

故選：C.

3.(2022新高考II卷-1)已知集合4={-1,1,2.4},8=卜k-1歸1},則/C|8=()

A.{-1.2}B.{L2}C.{1,4}D.{-1,4}

【答案】B

【分析】方法一：求出集合5后可求ZcB.

【詳解】［方法一］:直接法

因?yàn)?={x|04x42},故4nB={1,2},故選：B.

［方法二］:【最優(yōu)解】代入排除法

戶-1代入集合5={“X-1|41},可得241,不滿足，排除A、D；

x=4代入集合8={耶-1田},可得341,不滿足，排除C.

故選：B.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接解不等式，利用交集運(yùn)算求出，是通性通法：

方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗(yàn)證，是該題的最優(yōu)解.

4.(2023新高考II卷2)設(shè)集合4={0,-a},B=^a-2.2a-2},若4=5,則。=().

A.2B.1C.1D.-1

【答案】B

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分。-2=0和2a-2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)?=5,則有：

若。一2=0,解得a=2,此時(shí)4={0,-2},￡={1,0,2},不符合題意：

若2“一2=0,解得〃=1,此時(shí)4={0,-1},8={1,-1,0},符合題意；

綜上所述：々=1.

故選:B.

5.(2023新高考I卷-7)記S,為數(shù)列{?！皚的前”項(xiàng)和，設(shè)甲：{&}為等差數(shù)列；乙：{1}為等差數(shù)列，則

()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判

斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛&｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為4,公差為“，

,?(?-1),Sn-l,ddS..S"d

貝!]$“=〃％+—-—d,-^n=a+--d=-n+a--,^n---^=-,

2nx22x2w+1n2

因此｛2｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：｛2｝為等差數(shù)列，即='電用；(：?》“二〃。二：為常數(shù),設(shè)為,，

即")+1："=/,則s.=(+]T.〃(〃+l),有Si=(〃-1)(T〃(〃-1),〃22,

兩式相減得：an^na?+1-(n-Y)a?-2tn,即-4,=2f,對(duì)〃=1也成立，

因此也“｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛d｝的首項(xiàng)％,公差為小即5.=〃4+嗎』乙

則'=。1+紇2"=(〃+《一(，因此｛3｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222〃

cccc

反之，乙：｛%｝為等差數(shù)列，即--2=DZ=S]+(〃—1)。，

即Sn=〃S]+n(n—T)D,SR=(〃-1)S1+(〃一1)(〃一2)D,

當(dāng)”22時(shí)，上兩式相減得：S.-Si=S1+2(〃_l)。，當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

于是q=4+2(〃-1)。,又。,+1一凡=%+2?0-[%+2(〃-1)切=2。為常數(shù),

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

必備知識(shí)速記

一、元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合.構(gòu)成集合的元素除了常見(jiàn)的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以是其

他對(duì)象.

2、集合元素的特征

(1)確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

(2)互異性：集合中任何兩個(gè)元素都是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作a&A）和不屬于（記作。eA）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N+ZQR

二、集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合4、8,如果集合N中任意一個(gè)元素都是集合8中的元素，我們就說(shuō)這

兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合N為集合8的子集，記作（或32/），讀作”/包含于8”（或“8包

含N”）.

（2）真子集：對(duì)于兩個(gè)集合力與8，若N[8，且存在6e8，但6e/，則集合/是集合8的真子集，記

作/$5（或）.讀作“工真包含于8”或“2真包含/

（3）相等：對(duì)于兩個(gè)集合/與8，如果/R8，同時(shí)那么集合4與8相等，記作N=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合/且屬于集合8的元素組成的集合，叫做/與2的交集，記作ZcB,即

/c8={x|xe/且尤e8}.

（2）并集：由所有屬于集合/或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做/與8的并集，記作NuB,即

/U8={xIX€/或X68}.

（3）補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合/,由全集U中不屬于集合/的所有元素組成的集合稱為集合/相對(duì)于全集。

的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合N的補(bǔ)集，記作C。/,即4/=&|苫€。,且工e/}.

四、集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴AC\A=A>4n0=0，/n3=8n/，4cB=4,AcB=B.

⑵A\JA=A^/U0=/，A\JB=B\JA^，B=AuB.

（3）/n（Q/）=0，/U（Q/）=。，CU（CUA）=A.

（4）Ar}B=A^>AuB=B<^>AcB^>CvB^CLrA^AnCLr￡=0

【集合常用結(jié)論】

（1）若有限集/中有〃個(gè)元素，則4的子集有2"個(gè)，真子集有才-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子集

有2'-2個(gè)?

(2)空集是任何集合力的子集，是任何非空集合5的真子集.

⑶AQBOA(}B=AOA\3B=BOCVBQCVA?

(4)q(Nn3)=(Q⑷u(CVB),q(zU8)=(Cd)n(c?.

五、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若P，則g”為真(記作png),則p是q的充分條件：同時(shí)g是p的必要條件.

2、從邏輯推理關(guān)系上看

(1)若pnq且g弁p,則p是q的充分不必要條件：

(2)若p今g且g=>p,則p是q的必要不充分條件；

(3)若p=q且q=p,則p是q的的充要條件(也說(shuō)p和q等價(jià))：

(4)若且q弁p,則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

六、全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、"任意一個(gè)''在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表

示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)河中的任意一個(gè)x,有p(x)成立"可用符號(hào)

簡(jiǎn)記為“VxeALp(x)”,讀作”對(duì)任意x屬于Af,有p(x)成立

(2)存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)''在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)

叼”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在”中的一個(gè)％,使p(x0)成立”可用

符號(hào)簡(jiǎn)記為“次初?，尸(X。)“，讀作”存在M中元素%,使以%)成立”(存在量詞命題也叫存在性命題).

七、含有一個(gè)量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:Txe",p(x)的否定-ip為玉?(,eAf,-：p(x0).

(2)存在量詞命題p:3.r0eMpCq)的否定力為.

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見(jiàn)考點(diǎn)之一.

【常用邏輯用語(yǔ)常用結(jié)論】

1、從集合與集合之間的關(guān)系上看

設(shè)4={x|p(x)},5={x|q(x)}.

(1)若則p是q的充分條件(p=>q),q是p的必要條件；若4室18,則p是g的充分不必要條

件，q是p的必要不充分條件，即且g》p；

注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小n大”.

(2)若則p是q的必要條件，q是p的充分條件:

(3)若4=8,則p與g互為充要條件.

名校模擬探源

集合三模題

一、單選題

1.(2024?河南?三模)命題“去>0戶2+》-1>0”的否定是()

A.Vx>Q,x2+x-l>0B.Vx>0,x2+x-1<0

C.3.x<0,x2+x-l>0D.3.r<0,x2+x-l<0

【答案】B

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解.

【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，

即命題“玉:>0,x?+x-1>0”的否定為“Vx>0,x?+x-140

故選：B.

2.(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)己知集合”={Xk區(qū)2}川=*|11吠<1},則AfcN=()

A.[2,e)B.[-2,1]C.[0,2)D.(0,2]

【答案】D

【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡(jiǎn)N,根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)镸=[—2,2],N=(O,e),

所以MnN=(0,2].

故選：D.

3.(2024?河北衡水?三模)己知集合4={L2,3*4.5},5=|x|-l<lg(x-l)<||,則4|"|8=()

A.j.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.1x|^<x<aj

【答案】B

【分析】求得B=+可求

【詳解】B=1x|-l<lg(x-l)<|p|.r|^<x<>/io+lj,

又4={1,2,3,4,5},故4nB={2,3,4},

故選：B.

4.(2024?陜西?三模)已知集合4={乂-14*42},8=卜|-/+3》>0},則4口8=()

A.RB.(0,2]C.[-1,0)D.[-1,3)

【答案】D

【分析】先解一元二次不等式求出集合B,再根據(jù)集合并集定義計(jì)算即可.

【詳解】由-X2+3X＞0,解得0＜X＜3,所以集合5={X[0＜X＜3},

所以4uB={x|—1MX＜3},所以ZuB=[—l,3）.

故選：D.

5.（2024?安徽?三模）已知集合4={V-5VXVl},8={x|x＞-2},則圖中所示的陰影部分的集合可以表示

B.{x|-2<x<1}

D.{.r|-5<x<-2}

【答案】C

【分析】圖中所示的陰影部分的集合為結(jié)合集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合的元素為

而4="卜5-41},B={x|x>-2},則Q5={X|X4-2},

得c4={x卜54x4-2},

故所求集合為{x卜54XM-2}.

故選：C.

6.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）己知直線/:依-y+&《=0,圓則“斤＜1”是“直線/上存在點(diǎn)P,

使點(diǎn)P在圓。內(nèi)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由直線與圓相交可求得則通過(guò)判斷-1＜上＜1與左＜1的關(guān)系可得答案.

【詳解】由直線/上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P在圓。內(nèi)，得直線/與圓O相交，即

解得一1〈無(wú)＜1,即后e（T,l）,

因?yàn)椴牛?不一定能得到-1＜上＜1,而-1〈k＜1可推出左＜1,

所以“后＜1”是“直線/上存在點(diǎn)P,使點(diǎn)P在圓。內(nèi)”的必要不充分條件.

故選：B

7.（2024?湖北荊州?三模）已知集合4={對(duì)2'-/<0},B^A,其中R是實(shí)數(shù)集，集合。=（一*1],則

BcC=（）

A.（-8.0]B.（0.1]C.（-=0,0）D.（0,1）

【答案】B

【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補(bǔ)集定義與交集定義計(jì)算即可得.

【詳解】由ZX-YMO可得awo或xN2,貝!]8=Q/={x[0<x<2},

又C=（y,l],故BcC=（O』.

故選：B.

8.（2024?北京?三模）已知集合4={*小<1},若則?？赡苁牵ǎ?/p>

A.-B.1C.2D.3

e

【答案】D

【分析】解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合A,進(jìn)而求出。的取值集合即得.

【詳解】由得0<x<e,則4={x[0<x<e},[R4={X|X40或Ne},

由得aeQZ,顯然選項(xiàng)ABC不滿足，D滿足.

故選：D

9.（2024?河北衡水?三模）己知函數(shù)/（*）=（2'+"2-工卜111》，則=1”是“函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【分析】由函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，可求得力=1,可得結(jié)論.

【詳解】若函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，

則“X）+/（-x）=（2、7”?2-x、inx-（2"+加?2工x=（1-⑼（2、-2-*）sinx=0恒成立，即汨=1,

而"『=1,得m=±1.

故“m2=1”是“函數(shù)〃x）是奇函數(shù)”的必要不充分條件.

故選：B.

10.（2024?內(nèi)蒙古?三模）設(shè)a,夕是兩個(gè)不同的平面，加，/是兩條不同的直線，且an〃=/則“加/〃”是

“洲//月且?”〃a”的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求

【詳解】當(dāng)時(shí)，冽可能在a內(nèi)或者/內(nèi)，故不能推出小〃戶且加〃a,所以充分性不成立：

當(dāng)加〃尸且〃〃/a時(shí)，設(shè)存在直線〃ua,"乞)，且〃〃"I,

因?yàn)樗粤Α?，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知〃〃/,

所以〃”〃，即必要性成立，故“陽(yáng)〃/”是“加〃夕且〃"/c”的必要不充分條件.

故選：C.

11.(2024?北京?三模)已知4={x|log2(x-l)Ml},5={x||x-3|>2),則/CIB=()

A.空集B.卜卜43或x>5}

C.{x|xv3或x>5且xwl}D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】先求出集合48,再由交集的定義求解即可.

【詳解】A=卜卜嗚(.Y-1)<log,2}={x|0<x-142}={x|l<x<3},

5={#-3>2或工-3〈-2}={小<1或%>5},

所以ZcB=0.

故選:A

12.(2024?四川?三模)己知集合4={0,3,5},5=卜卜。-2)=。},則4nB=()

A.0B.{0}C.{0,2,3,5}D.{0,3}

【答案】B

【分析】將集合B化簡(jiǎn)，然后結(jié)合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意5={小(丫-2)=0}={0,2},所以/nB={0,3,5}n{0,2}={0}.

故選：B.

13.(2024?重慶?三模)已知集合4=1€郎2-*-2<0},5={>0=2，”月},則4nB=()

A.(T4)B.C,朋D.(；,2)

【答案】D

【分析】解一元二次不等式求解集合A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域得集合B,然后利用交集運(yùn)算求解

即可.

【詳解】^-{.reR|x2-x-2<0}={xeR|(x-2)(x+l)<0}-{xeR|-l<x<2}=(-l,2),

則8={y|y=2、,xe(T,2)}

所以4n2）.

故選：D

14.（2024?北京?三模）”"3C為銳角三角形”是"sin4>cosB,sin5>cosC,sinC>cos4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.

【詳解】充分性：

因?yàn)椤?C為銳角三角形，

所以4+8>烏，即￥>4>4-8>0,

222

所以sin4>sin]"1-B]=cosB,

同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,

故充分性得證；

必要性：

因?yàn)閟in4>cosB,所以sin/>sin[^-s],

因?yàn)?cB<兀，所以<力

222

若則

22

若4嗓則」>>，所以

綜上，4+5>；,

同理?B+C>',4+C>“,

22

所以“BC為銳角三角形，

必要性得證，

綜上所述，為充分必要條件.

故選：C.

15.（2024?上海?三模）設(shè)<6,集合4={1,。8},集合8={?=町，+5,x,yc4xW，，對(duì)于集合5有

下列兩個(gè)結(jié)論：①存在。和人使得集合8中恰有5個(gè)元素；②存在。和人使得集合8中恰有4個(gè)元

素.則下列判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確D.①正確，②錯(cuò)誤

【答案】A

【分析】由題意可知2。<264+工<.b-\—<ab4—<abH—,對(duì)于①舉例分析判斷即可，對(duì)于②，若

abba

L,1

2a=b+一

b，貝帥+)=2掂，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存性定理可確定出小，從而可進(jìn)行判斷.

2b=abSb

b

【詳解】當(dāng)x=l,y=a時(shí)，t=x)^—=a+a=2a

x9

v

當(dāng)x=Ly=b時(shí)，t=xy+-=b-\-b=2b,

當(dāng)x=a,y=l時(shí),

當(dāng)x=dy=6時(shí)，t=xy+—=ab+—,

"xa

y1

當(dāng)x=bj=l時(shí)，Z=xv+-=Z>+-,

xb

ya

當(dāng)x=b,y=4時(shí)，t=xy+—=ab+—,

"xb

因?yàn)?<4vb,所以2i<2/\4+1<力+,<46+@vib+2,

abba

當(dāng)a=),b=6時(shí)，2a=3,2b=2y/3,a+—=—+—=—,/>+—=VJ+-j==,

2<7236b*733

ab+一舟衿為