2025年高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：高中常見的恒（能）成立問題（4大?？键c歸納）原卷版+解析版

實戰(zhàn)演練04高中常見的恒(能)成立問題

考點歸納

①一元二次不等式中的恒(能)成立問題

②基本不等式中的恒(能)成立問題

③函數(shù)中的恒(能)成立問題

④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒(能)成立問題

必備知識速記

一、恒成立和有解問題思路一覽

設(shè)函數(shù)/(X)的值域為(。4)或口,句，或(。,可或口，瓦)中之一種，則

①若22/(*)恒成立(即皆</(x)無解)，則42"(*)]四；

②若2V/(x)恒成立(即皆>/(x)無解)，則/〈"(切.；

③若X2/(.X)有解(即存在x使得A>/(X)成立)，則;I2[/(x)]nun；

④若;IK/(x)有解(即存在x使得；14/(x)成立)，則44[/(切皿;

⑤若；I=/(x)有解(即4w/(x)無解)，則;1e{y|y=/(x)}；

⑥若;l=/(x)無解(即；lw/(x)有解)，則;leC“{yR=/(x)}.

【說明】(1)一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法.

(2)取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號的取舍！(即端點值

的取舍)

二、分離參數(shù)的方法

①常規(guī)法分離參數(shù)：如/L/(x)=g(x)n2="?;

/(x)

②倒數(shù)法分離參數(shù)：如2/(x)=g(x)=>-=；

2g(x)

【當(dāng)/(*)的值有可能取到，而g(x)的值一定不為。時，可用倒數(shù)法分離參數(shù).】

/(x)

2>,g(x)〉O

g(x)

③討論法分離參數(shù)：如：2g(x)>

/(x)

2<,g(x)<0

g(x)

2</(〃),〃為正偶數(shù)

(-/(〃)(〃eN*)

-2</(?),〃為正奇數(shù)

④整體法分離參數(shù)：如力+4=/(%)；

⑤不完全分離參數(shù)法：如2=lnx+x—Y；

X

⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù).

【注意】

(1)分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法(大多數(shù)題可以使用此方法).但如果難以分離參數(shù)

或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉(zhuǎn)化法.

(2)恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點，再

分離參數(shù)求解.【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題.】

三、其他恒成立類型一

①/(x)在［凡可上是增函數(shù)，則/'(x)20恒成立.(等號不能漏掉).

②/(x)在［a,6］上是減函數(shù),則尸(x)VO恒成立.(等號不能漏掉).

③/(x)在［/可上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)

四、其他恒成立類型二

①V』eA,3X2eB,使得方程g(》2)=/(再)成立o{y|y=/(x),xeA}^{y\y^g(x),xeB].

②叫EA,BX2EB,使得方程g(X2)=/(xJ成O{y==g(x),xe5}*0.

五、其他恒成立類型三

①5eA,X/x2GB,/(再)之g(%)O/(%"正,g(%)max；

；

②“&A,3x2eB,/(xj>g(x2)<=>/(再)minNg(%)min

③必e4V/e8,/(X])?g(%)o/a)max2g(X2)max；

X

④川e4*2e8,/(再)2g(%2)=/(xJmaxNg(2)min-

名校模擬探源

I①一元二次不等式中的恒(能)成立問題

一、單選題

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))對于任意實數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，則實數(shù)。取值

范圍()

A.(-co⑵B.(-℃⑵C.(-2,2)D.(-2,2]

2.(23-24高三上?青海西寧?階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式》2_2"-3<0對任意xe[0,2]均成立，則實數(shù)。

的取值范圍為()

3.(23-24高三上?湖北?階段練習(xí))已知命題P：儲一。-340.若P為假命題，則。的取值范圍

為()

A.(-<?,-3)B.(-<?,-2)C.(-=0,6)D.(-?5,0)

二、填空題

4.(23-24高二下?遼寧沈陽?期末)若命題“太eR,x?-mx+9<0”為假命題，則加的取值范圍是.

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))若存在xe[l,3],使不等式x?_26+。+2Vo成立，則a的取值范圍為.

6.(2024高三下?全國?專題練習(xí))己知/(x)=a?+x_a,若〃x)>_2x?-3x+l-2a對一切實數(shù)x恒成立，

則實數(shù)a的取值范圍為.

|②基本不等式中的恒(能)成麗顧

一、單選題

1.(23-24高三上?江蘇?階段練習(xí))若兩個正實數(shù)X/滿足,+2=1且不等式2x+v>〃/+2,〃恒成立，則實

xy

數(shù)加的取值范圍是()

A.(-4,2)B.(-2,4)

C.(-°o,-4)o(2,+ao)D.(-oo,-2)U(4,+oo)

2.(22-23高三上?江西宜春?階段練習(xí))設(shè)x>y>2,且」一+二一2/一("eN)恒成立，則〃的最大值為

x—y—zx—z

()

A.2B.3C.4D.5

.3

3.(23-24高三上?浙江寧波?期末)設(shè)實數(shù)x,y滿足x>a，y>3,不等式

川2y-3)(]，-3)?8/+/_12/-3/恒成立，則實數(shù)4的最大值為()

A.12B.24C.2邪D.473

二、填空題

4.（23-24高三上?安徽?期中）若Vx>-3,A<x+-^—,則實數(shù)2的取值范圍是____.

x+3

22

5.（2024?江西?一模）已知正數(shù)x,y滿足x+y=6,若不等式恒成立，則實數(shù)。的取值范

x+1y+2

圍是.

I③函數(shù)中的恒（能）成立問題

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知=且/（x）<6在區(qū)間（1,2）恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.（-00,1]B.C.（-1,1]D.（-1,2]

2.（23-24高三下?河南?開學(xué)考試）已知正數(shù)加，〃滿足也+1=2加，若m+2〃4方加恒成立，則實數(shù)，的

T1

最小值為（）

1214

A.-B.-C.vD.-

4525

3.（2024?福建廈門一模）已知。=x+L=ex+e-x,c=sinx+JJcosx,則下列結(jié)論錯誤的為（）

x

A.3xe[-l,l],a>cB.3xe[-l,l],b>c

C.3.xe[-1,1],a<cD.3.re[-l,l],b<c

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=[：若迎《尺，使得/伍）〈10川+4〃/成立,

[log3x,x>3

則實數(shù)m的取值范圍為（）

C.(—+8D.u[0,+s)

k4」L4

5.（2024?北京昌平?二模）己知函數(shù)/（x）=Q]；、’一；若對任意的》都有|/（x）|2or恒成立，則實數(shù)。

111IX—lj,X>1.

的取值范圍是（）

A.（-8,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.（—,2]

二、填空題

6.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)命題“任意xe[1,3],a42,+2-，”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

7.(23-24高三上?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(x)=x2+m,g(x)=2x-?i,若對任意的網(wǎng)e卜1,2],總存

在使得/(xJ=g(X2)成立，則實數(shù)加的取值范圍是.

8.(23-24高三下?湖南岳陽?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=sinx+；x2-aYN0在xe[0.+a))上恒成立，則實數(shù)

a的取值范圍為.

9.23-24高三上?重慶?階段練習(xí))己知/(x)=a/+x,g(x)=上l￡吧，若對v』21,卻eR使/(xj4g(.q)

2+sinx

成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

|④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒(能)成立問題

一、單選題

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若三<0,+OQ),使得不等式hi―2奴+120成立，則實數(shù)a的取值范圍是

()

A.—>+ooJB.[1?+℃)C.°o?—D.(―00>1]

2.(23-24高三上?湖北孝感?階段練習(xí))己知函數(shù)+若f(x)在R上單調(diào)遞增，

62

則實數(shù)。的最大值為()

A.-eB.-1C.1D.e

3.(2024?遼寧葫蘆島?一模)已知函數(shù)，x)=e、-s2在R上無極值，則a的取值范圍是()

A.B.卜喘)C.[0,e)D.O.：

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=e\(e+l)x-a(aeR),g(x)=x2+2x.若存在xe[0,l],使得

/(r)=g(x)成立，則實數(shù)。的最大值是()

A.2e-2B.e-2C.e+1D.2e+l

5.(2024高三下?全國?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=gx3-3/+(8-a)x-5-a,若存在唯一的正整數(shù)%,使得

貝M的取值范圍是()

A?士]B.(昌C.(滬口.(%中

6.(2024?四川宜賓?二模)己知不等式axe，+x>l-liB■有解，則實數(shù)。的取值范圍為()

1

A.I--B.--,+00D.—00,—

二、填空題

7.Q2-23高三上?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí))若不等式e，-米NO(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))對Vx>0

恒成立，則實數(shù)上的取值范圍為

8.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-2ax+l,若存在x>0,使得/(x)20,則實數(shù)。的取

值范圍_____.

9.(2024高三上?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/■(x)=lnx-\,若在(1,+動上恒成立，則a的取值

范圍是_______

10.(2024?廣西?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ax-e、，若/(x)的圖象經(jīng)過第一象限，則實數(shù)。的取值范圍

是.

11.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=xlnx-ax+l,若存在%e(o,+8),使得〃%)<0成立，

則實數(shù)。的取值范圍_____.

12.(23-24高二下?四川南充?階段練習(xí))若對任意的正實數(shù)占戶2e(m,+co),當(dāng)網(wǎng)<%時，』In^1nxi<0

恒成立，則實數(shù)%的取值范圍是—.

13.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+a(l-x),aeR,若存在%e(o,+s),使得/(%)22”2

成立，求實數(shù)。的取值范圍是.

實戰(zhàn)演練04高中常見的恒(能)成立問題

考點歸納

①一元二次不等式中的恒(能)成立問題

②基本不等式中的恒(能)成立問題

③函數(shù)中的恒(能)成立問題

④利用導(dǎo)數(shù)研究不等式中的恒(能)成立問題

必備知識速記

一、恒成立和有解問題思路一覽

設(shè)函數(shù)/(X)的值域為(。4)或口,句，或(。,可或口，瓦)中之一種，則

①若22/(*)恒成立(即皆</(x)無解)，則42"(*)]四；

②若2V/(x)恒成立(即皆>/(x)無解)，則/〈"(切.；

③若X2/(.X)有解(即存在x使得A>/(X)成立)，則;I2[/(x)]nun；

④若;IK/(x)有解(即存在x使得；14/(x)成立)，則44[/(切皿;

⑤若；I=/(x)有解(即4w/(x)無解)，則;1e{y|y=/(x)}；

⑥若;l=/(x)無解(即；lw/(x)有解)，則;leC“{yR=/(x)}.

【說明】(1)一般來說，優(yōu)先考慮分離參數(shù)法，其次考慮含參轉(zhuǎn)化法.

(2)取值范圍都與最值或值域(上限、下限)有關(guān)，另外要注意①②③④中前后等號的取舍！(即端點值

的取舍)

二、分離參數(shù)的方法

①常規(guī)法分離參數(shù)：如/L/(x)=g(x)n2="?;

/(x)

②倒數(shù)法分離參數(shù)：如2/(x)=g(x)=>-=；

2g(x)

【當(dāng)/(*)的值有可能取到，而g(x)的值一定不為。時，可用倒數(shù)法分離參數(shù).】

/(x)

2>,g(x)〉O

g(x)

③討論法分離參數(shù)：如：2g(x)>

/(x)

2<,g(x)<0

g(x)

2</(〃),〃為正偶數(shù)

(-/(〃)(〃eN*)

-2</(?),〃為正奇數(shù)

④整體法分離參數(shù)：如力+4=/(%)；

⑤不完全分離參數(shù)法：如2=lnx+x—Y；

X

⑥作商法凸顯參數(shù)，換元法凸顯參數(shù).

【注意】

(1)分離參數(shù)后，問題容易解決，就用分離參數(shù)法(大多數(shù)題可以使用此方法).但如果難以分離參數(shù)

或分離參數(shù)后，問題反而變得更復(fù)雜，則不分離參數(shù)，此時就用含參轉(zhuǎn)化法.

(2)恒成立命題對自變量的范圍有時有一部分或端點是必然成立的，應(yīng)該考慮先去掉這一部分或端點，再

分離參數(shù)求解.【否則往往分離不了參數(shù)或以至于答案出問題.】

三、其他恒成立類型一

①/(x)在［凡可上是增函數(shù)，則/'(x)20恒成立.(等號不能漏掉).

②/(x)在［a,6］上是減函數(shù),則尸(x)VO恒成立.(等號不能漏掉).

③/(x)在［/可上是單調(diào)函數(shù)，則分上述兩種情形討論；(常用方法)

四、其他恒成立類型二

①V』eA,3X2eB,使得方程g(》2)=/(再)成立o{y|y=/(x),xeA}^{y\y^g(x),xeB].

②叫EA,BX2EB,使得方程g(X2)=/(xJ成O{y==g(x),xe5}*0.

五、其他恒成立類型三

①5eA,X/x2GB,/(再)之g(%)O/(%"正,g(%)max；

；

②“&A,3x2eB,/(xj>g(x2)<=>/(再)minNg(%)min

③必e4V/e8,/(X])?g(%)o/a)max2g(X2)max；

X

④川e4*2e8,/(再)2g(%2)=/(xJmaxNg(2)min-

名校模擬探源

I①一元二次不等式中的恒(能)成立問題

一、單選題

1.(2024高三?全國?專題練習(xí))對于任意實數(shù)x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，則實數(shù)。取值

范圍()

A.(-co⑵B.(-℃⑵C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】D

【分析】分類討論，利用判別式小于0,即可得到結(jié)論

【詳解】當(dāng)?！?=0,即。=2時，-4<0,恒成立：

」

當(dāng)時.'|f4a(-”2<20)F6("2)<。'解?之得一2<”2,

綜上可得-2<aM2

故選：D

2.(23-24高三上?青海西寧?階段練習(xí))若關(guān)于x的不等式*2一2點一3<0對任意、H0,2]均成立，則實數(shù)a

的取值范圍為()

A.卜力3)B/-刊C.(。高D.卜力)

【答案】D

【分析】當(dāng)x=0時顯然恒成立，當(dāng)xe(O,2]時參變分離可得2a>x-(恒成立，令=xe(0,2],

根據(jù)單調(diào)性求出/(&)1nM,即可求出參數(shù)的取值范圍.

(詳解】因為關(guān)于x的不等式f-2m-3<0對任意xH0,2]均成立，

當(dāng)x=0時，-3<0恒成立，

當(dāng)xe(0,2]時，2"三二^=》一上恒成立，

XX

3

令〃x)=x-Txe(O,2],

□

因為y=x與y=-=在(0,2]上單調(diào)遞增，

則〃x)=x_；在(0,2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)X=2時/(x)=x-；取得最大值，

31

即〃x)w=〃2)=2-『a，

所以2a>g,貝！|a>],

綜上可得實數(shù)a的取值范圍為

故選：D

3.(23-24高三上?湖北?階段練習(xí))已知命題P：3xe[-L3],』一。一3Mo.若P為假命題，則。的取值范圍

為()

A.(-oo,-3)B.(-oo,-2)C.(—,6)D.(-<?,0)

【答案】A

【分析】利用命題的關(guān)系、分離參數(shù)法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運算即可得解.

2

【詳解】若命題P為真命題，即：3X6[-1,3],x-3<a.

設(shè)/(x)=/-3,則由二次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，

當(dāng)xe[-l,3]時,最小值為/(0)=-3,所以心-3.

因為命題P為假命題，所以。<-3,

即。的取值范圍為(T?，-3).

故選：A.

二、填空題

4.(23-24高二下?遼寧沈陽?期末)若命題“HxeR,x?-〃?x+9<0”為假命題，則加的取值范圍是

【答案】[-6,6]

【分析】由題意知，命題的否定為真命題，再結(jié)合一元二次不等式恒成立求得〃，的取值范圍.

【詳解】因為命題“HxeR,--+9<0”為假命題，

所以命題“VxeR,x?-7HX+9W0”真命題，

所以△=(-，〃/-4x940,

解得-6<m<6,

所以"7的取值范圍是[-6,6].

故答案為：卜6,6].

5.(2024高三?全國?專題練習(xí))若存在xe[l,3],使不等式/-26+&+2Vo成立，則。的取值范圍為

【答案】[2,+?)

【分析】利用分離參變量思想，再用換元法轉(zhuǎn)化到對鉤函數(shù)求最小值，即可得到。取值范圍.

【詳解】由一-lax+a+2<0=>x2+2<a(2x-1),

因為xe[l,3],所以2x-le[l,5],令f=2.—1目1,5卜=卓，

由2cGX2+27(廠+2，+9)1(9A

ttl.V+2<o(2.r-l)^>a>——-=-----------=—|Z+-+2I,

構(gòu)造函數(shù)g(f)=:(，+>>孑2后+2卜2,

即g(r)a=2,當(dāng)且僅當(dāng)f=3e[l,5]時取等號,

所以aWg(r)1nm=2

故答案為：［2,+8).

6.(2024高三下?全國?專題練習(xí))己知/(x)=，+x-。，若〃x)>-2x2-3x+l-2a對一切實數(shù)x恒成立，

則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】(2,內(nèi))

【分析】思路一：移向轉(zhuǎn)換為(a+2)x2+4x+。-l>0對一切實數(shù)x恒成立，對。分類討論即可求解；思路

二：移向構(gòu)造函數(shù)，對。分類討論，轉(zhuǎn)換為函數(shù)最小值大于0求參數(shù)即可：思路三：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù),

利用導(dǎo)數(shù)求最值即可求解.

【詳解】解法一(運用判別式)：由已知可得就2+x一。>_2/一3》+1-24,

BP(a+2)儲+4x+a-l>0對一切實數(shù)x恒成立.

當(dāng)”-2時，4.3>0不可能恒成立，

從而由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，只能［；［74("2)(”1)<0,解得Q2?

因此實數(shù)a的取值范圍為(2,內(nèi)).

解法二(利用二次函數(shù)圖像與性質(zhì))：原不等式整理得(。+2)《+4.丫+。-1>0,

令g(x)=(a+2)x?+4x+a-1,則原問題轉(zhuǎn)化為g(x)>。對xeR恒成立.

當(dāng)a<-2時，拋物線開口向下，顯然不合題意；

當(dāng)。=-2時，g(x)=4.r-3,其圖像是一條直線，也不合題意：

當(dāng)。>-2時，拋物線開口向上，只要g(x)mm=g(A^j>0,即a2+a-6>0.

解得a<-3或。>2,二。>2,因此實數(shù)a的取值范圍為(2,+oo).

解法三(參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及最值)：

(JX~+x—a>—2x'—3x+1—2〃.

.響題轉(zhuǎn)化為a>一2/「4x+1對*￡R恒成立,從而”產(chǎn)「4：+1

2(2x+l)(x-2)

令

g(x)=仁+1)2

令g，(x)wo,貝!JxM-；或xN2.

從而g(x)在口《，⑵+00)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又g(-；)=2,且當(dāng)xfR時，g(x)<0,故g(x)皿=g(-;)=2.

于是。>2,因此實數(shù)a的取值范圍為(2,包).

故答案為：(2,內(nèi)).

|②基本不等式中的恒(能)成嗣面

一、單選題

12

1.(23-24高三上?江蘇?階段練習(xí))若兩個正實數(shù)滿足一+—=1且不等式2x+y>M+2/〃恒成立，則實

xy

數(shù)加的取值范圍是()

A.(-4,2)B.(-2,4)

C.(-00,-4)kJ(2,+<?)D.(-<?,-2)U(4,+oo)

【答案】A

【分析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求左側(cè)最小值，根據(jù)不等式恒成立及一元二次不等式的解法求參數(shù)m

的范圍.

【詳解】由題設(shè)2x+y=(2x+y)d+2)=4+1+空之4+2)匕把=8,

xyxyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)x=2/=4時取等號，

又2x+y>nr+2m恒成立，即初?+2m<8=>{m+4)(7w-2)<0=>-4<m<2.

故選：A

2.(22-23高三上?江西宜春?階段練習(xí))設(shè)且」一+'*'一("eN)恒成立，則"的最大值為

x—yy—zx—z

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

1

【分析】由基本不等式得出x-z=(x-y)+(y-z)N2j(x-y)(j-z),——+>2I,再由不等式

x-yy-zyx-yy-z

的性質(zhì)求解即可.

【詳解】因為x>V>z,所以X—y>0,y-z>0,x—Z>0,所以不等式-之旦恒成立等價于

x-yy-zx-z

〃V(x_z)j—］恒成立.

y-z)

因為x_z=(x_y)+(y_z)N2j(x_y)(y_z),-^—+-^—>2------,所以

x-yy-zj-z

(x-z)-1—^+―=4(當(dāng)且僅當(dāng)X-y=y-z時等號成立)，則要使

"M（x-二）1二一+二一］恒成立，只需使〃M4（"eN）,故n的最大值為4.

\x-yy-z）

故選：C

3.（23?24高三上?浙江寧波?期末）設(shè)實數(shù)x,y滿足y>3,不等式

才（2》一3乂、一3）忘8丁+/_12/-3/恒成立，則實數(shù)后的最大值為（）

A.12B.24C.2>/3D.4幣

【答案】B

.22-22

【分析】令a=2x-3>0,A=.v-3>0,不等式變形為三+/^±后，求出丹+〈三的最小值，從而

y-32x-3y-32x-3

得到實數(shù)上的最大值.

3

【詳解】x>-,y>3,變形為2x-3>0,j-3>0,

令〃=2x-3>0,b=y-3>0,

貝!|左（2》一3）（了一3）48/+/-12》2-3貫轉(zhuǎn)化為

>8X3+V3-12X2-3V24x2v2

k<—廠———.......—即------+———之左，

(2x-3)(j-3)y-32x—3

其中4??/=g+3)2?修+3)2之0A)上屆)

y-32x-3baba

a=3,

b=3

當(dāng)且僅當(dāng)即x=3,y=6時取等號，可知才424.

ba

ab

故選：B

【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正二定三相等““一正''就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值：

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

二、填空題

4-⑵-24高三上?安徽?期中）若S3般x+士，則實數(shù)力的取值范圍是—

【答案】（if

【分析】由題知可將式子構(gòu)造為：x+3+」二-3,然后利用基本不等式從而求解.

x+3

【詳解】因為x>3所以x+3>0,

于是％+」一=（x+3）+」3>2.（x+3）?-----3=-1,

x+3'7x+3V7x+3

當(dāng)且僅當(dāng)x+3=—1，即x=-2時取等號，所以％<-1.

故答案為：（口,一1）.

22

5.（2024?江西?一模）已知正數(shù)x,y滿足x+y=6,若不等式。4——+二恒成立，則實數(shù)a的取值范

x+1y+2

圍是.

【答案】（y，4]

x2v21414

【分析】將1+'變形為X+1+F-2+y+2+-^-4=3+-^+-^,利用均值不等式求

x+ly+2x+1y+2x+ly+2

14

Q+否的最小值即可求解.

【詳解】因為x+y=6,

所以r上+工=（x+12（x+l）+l+什+2）一（『+2）+4

x+1y+2x+1y+2

14-4=3+^—+---4----,

=x+1+-------2+v+2+--------

x+1"y+2x+1y+2

°14°x+l+y+2[114

所以一+byL——+——

9x+1y+2

=%+上2+上獨>%+2號招等號成立當(dāng)且僅當(dāng)"4-2,

99（x+l）9（v+2）9

2

所以向+尹y22

=4,a<4,

min

故實數(shù)a的取值范圍是（一雙4].

故答案為：（口,4]

->2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是先得到總y14

+/2=3+於+或，再進(jìn)一步結(jié)合乘法即可順利得

I③函數(shù)中的恒(能)成立問題

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)己知/(x)=2*-a+l,且f(x)<6在區(qū)間(1,2)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

()

A.B.[―C.(—1,1]D.(—1,2]

【答案】B

【分析】/(x)<6在區(qū)間(1.2)恒成立，只需要/(x)111ax<6即可，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可

得解.

【詳解】由解析式易知：/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,2)時，/(x)<6恒成立，貝?、?5-。46,得

故選：B.

2.(23-24高三下?河南?開學(xué)考試)已知正數(shù)加，"滿足四+1=2?〃，若用+2〃4力〃/恒成立，則實數(shù)久的

最小值為()

A.-B.-C.yD.-

4525

【答案】D

【分析】變形得到/甯，變形得到彗產(chǎn)“，求出想得到答案?

I2

【詳解】因為所以加+2〃4力=>f+——<2,

nnm

e、，3m.~12〃？一1

因為---F1=2ni所以一二-----,

n9n3m

..(2ni-1V22w-l_4nr+Sm-5

故-----+----------<2=>------5——

I3mJm3m9nr

口門4nr+8777-51Y814

即------5——

9加2)9m9

當(dāng)且僅當(dāng)加=3時，等號成立,

4

故兀2與4，實數(shù)2的最小值為q4.

故選：D

3.(2024?福建廈門?一模)己知a=x+^,方=^+仁3c=sinx+Jicosx,則下列結(jié)論錯誤的為()

A.3xe[-l,l],a>cB.[-1,1],b>c

C.Hre[-l,l],a<cD.3.re[-l,l],b<c

【答案】D

【分析】舉例即可判斷ABC；再根據(jù)基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)x=g時，

0

兀636~13c.

a=-I—>—I—=2,c=—I—=2,4>c,

6兀6422

所以％a>c,故A正確：

對于B,當(dāng)x=0時，6=2,c=6此時6>c,

所以3xe[T,l],b>c,故B正確:

對于C,當(dāng)x=-5時，

0

716c13,.

a=------<0c=---1—=1,此時a<c,

6兀922

所以上e[T,l],a<c,故C正確：

對于D,當(dāng)xe[-Ll]時，

b=ex+e-x>2y/exe-x=2?當(dāng)且僅當(dāng)e'e",即x=0時取等號,

c=sinx+5/3cosx=2siiix+jj,

由得x+§e_l+yJ+y,

r-兀.兀c.兀兀

而一<1+—<兀,0〈一1+—v—,

2332

所以當(dāng)x+5,即時，c=sin.r+>/3cosx=2sm^.r+yj=2,

所以CM2,當(dāng)且僅當(dāng)x=?時取等號,

6

而0工2,所以VxH-Ll],b>c,故D錯誤.

故選：D.

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=[：若加?R,使得了"。^脂切+徹?成立,

[log3x,x>3

則實數(shù)〃，的取值范圍為（）

915

c.—QO,----O--,+a?D.—QO,----3--。,+叫

442

【答案】C

【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.

【詳解】因為函數(shù)y=1-3x在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間[3別上單調(diào)遞增,

2

所以當(dāng)X=；3時，函數(shù)J，=X?-3x,x43取得最小值-彳9.

又因為函數(shù)1，=1y3*在區(qū)間(3,+R)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x>3時，log3X>l.

?一二"：3的最小值為？

綜上可得函數(shù)/")=<

log3x,x>34

因為使得/(XO)M1O〃7+4/成立,

90

所以—<10/W+4〃廠解得：m<—或m>—.

4944

故選：C.

—+4YX?]

5.(2024?北京昌平?二模)已知函數(shù)/(x)=,「/，'若對任意的X都有|/(x)|w?r恒成立，則實數(shù)。

in(x-1kx>1.

的取值范圍是()

A.(-00,0]B.[-4,0]C.[-3,0]D.(YO,2]

【答案】B

【分析】首先畫出函數(shù)g(x)=|/(x)|的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求實數(shù)的取值范圍.

——4vY?1

【詳解】因為/")=皿1)'1'令烈外巾(砌'作出g(x)圖象,如圖所示，

令力(X)=QX,由圖知，要使對任意的》都有|/(X)|之雙恒成立，則必有

y=X2-4x

當(dāng)x4O時，=x2-4x,由,消歹得至!|一—(4+4口=0,

y=ax

67=-4,由圖可知-44。M0,

故選：B.

二、填空題

6.(2024?遼寧?模擬預(yù)測)命題“任意xe[l,3],a42,+2-，”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為存在xe[L3],。>2、+2T為真命題，即。>(2、+2-")1m,求出y=2'+2T

的最小值得解.

【詳解】若命題任意"x?L3],av2'+2一工”為假命題，

則命題存在xe[1,3],a>21+2~x為真命題，

因為14x43時，2<21<8,

令1=23則2Mt48,

則^=，+；在[2,8]上單調(diào)遞增，

所以，

28

所以

故答案為：a>|.

x

7.(23-24高三上?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(*)=/+加，g(x)=2-w,若對任意的再e[-1,2],總存

在240,3]使得/(xj=g(x2)成立，則實數(shù)小的取值范圍是.

【答案】|-2

【分析】將題中的已知條件轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的關(guān)系求解即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=/+加在[-1，2]的值域為A=[m,m+4],

函數(shù)g(x)=2"-m在[0,3]的值域為B=8-間，

因為對任意的演e[-1,2],總存在馬e[0,3]使得/($)=g&)成立，

所以2=5,所以,解得…“2?

口〃+4V8一加2

故答案為:；，2

8.(23-24高三下?湖南岳陽?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=sinx+；x2-GN0在xe[0,+s)上恒成立，則實數(shù)

a的取值范圍為.

【答案】(y』

【分析】由題意，先求出了'(X)在xe[O，E)上的最小值為廣(0)=1-%然后分/'(0)=1-心0和

r(0)=1-a<0討論/(x)在xe[0,+oo)上是否恒成立，即可得到答案.

【詳解】因為/(x)=sinx+gx2-aic,xe[0,+s),

所以/'(x)=cosx+x-a,xe[0,+<x>),設(shè)g(x)=cosx+x-a,

所以g'(x)=-sinx+lN0,

所以/'(x)=cosx+x-a在[0,+旬上單調(diào)遞增，

所以/'(x)在xe[0,+?>)上的最小值為r(0)=l-a,

①當(dāng)/'⑼=1-。20時，即時，/⑺在[0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(0)=0,所以函數(shù)〃*)=$111*+；》2-奴20在X€[0.+00)上恒成立，

所以“41滿足題意；

②當(dāng)/(0)=1-。<0時，即0>1時，又/'(X)在[0,+功上單調(diào)遞增，且xf+s/(x)fE,

所以，3xoe(O,+(?),使得了'伉)=0,當(dāng)xe(O,%)時，/*(x)<0,

即/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，又/(。)=0,

所以當(dāng)xe(O,x°)時，/(x)<0,不滿足/(x)NO恒成立，

綜合①②可得實數(shù)a的取值范圍為(口』].

故答案為：(fJ.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出了'(X)在xHO.+s)上的最小值為廣(0)=1-。，通過討論](0)=1-。的正負(fù)得

到函數(shù)/(x)20在xe[0,”)上恒成立時實數(shù)a的取值范圍.

9.23-24高三上?重慶?階段練習(xí))己知小"一，名⑴=汽