2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）

專題10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................8

【考點(diǎn)1】指數(shù)累的運(yùn)算......................................................8

【考點(diǎn)2］指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用..............................................12

【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用..............................................17

【分層檢測】...............................................................22

【基礎(chǔ)篇】.................................................................22

【能力篇】.................................................................29

【培優(yōu)篇】.................................................................33

考試要求：

1.理解有理數(shù)指數(shù)嘉的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)嘉的意義，掌握指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì).

2.通過實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

3.理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用.

知識梳理

1.根式的概念及性質(zhì)

n

⑴概念：式子、打叫做根式,這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

⑵①負(fù)數(shù)沒有偶次方根.

n

②0的任何次方根都是0,記作訴=。.

n

③(g)"=W(〃GN*,且〃>1).

④為大于1的奇數(shù)）.

n._[a,

⑤而=|a|=《八（〃為大于1的偶數(shù)）.

—g,〃<0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m打?----

規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累的意義是"=應(yīng)（。>0,m,"GN*,且〃>1）；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)

m1

易的意義是相:=’~（。>0,m,〃GN*,且〃>1）；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)易等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)累

沒有意義.

3.指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)：aras=ar+s-,（陵）$=貯；（abY=a'br,其中a>0,b>0,r,s@R.

4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

⑴概念：函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<a<l

二】

圖象

二

i左

定義域R

值域(0,+8)

過定點(diǎn)（0,1）,即x=0時(shí)，y=l

性質(zhì)

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

2

當(dāng)x<0時(shí)，0<y<l當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l

在（一8,+8）上是增函數(shù)在（一8,+8）上是減函數(shù)

丁=〃與的圖象關(guān)于y軸對稱

I常用結(jié)論

1.畫指數(shù)函數(shù)y=〃（a>0,且aWl）的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（1,a）,（0,1）,[-1,5）.

2.指數(shù)函數(shù)丁=或0>0,且aWl）的圖象和性質(zhì)跟。的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分與0<a<l

來研究.

3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)丁=〃3>0,且aWl）的圖象越高，底數(shù)越大.

真題自測

一、單選題

1.（2023?全國?高考真題）設(shè)函數(shù)/（*）=2中甸在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.(—0,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

2.（2。23?全國?高考真題）已知/（、）=為是偶函數(shù)’則"（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2023?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=e3：記"/三,b=f%,c=f三，則（

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.(2022?全國?高考真題)已知9加=10,〃=10"—ll,b=8”—9,貝！J()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

5.(2022?全國?高考真題)設(shè)。=0.1e叫6=g,c=-ln0.9,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.(2021?全國?高考真題)下列函數(shù)中最小值為4的是()

?.?4

A.y=x9+2x+4B.y=sinX\+T~.—?

z|sinx\

4

C.y=2x+229~xD.y=lnx+—

Inx

7.（2023?北京?高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（)

3

A./(尤)=-lnxB./(x)=±

2

C./(%)=--D./(%)=3I%-11

X

8.(2023?天津?高考真題)設(shè)〃=1.0產(chǎn)5力=1.0產(chǎn)6,0=0.6。5,則。也。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

參考答案：

1.D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.

【詳解】函數(shù)>=2,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃X)=2MA")在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2n

則有函數(shù)丁=*5-°)=5-當(dāng)2一幺在區(qū)間((),1)上單調(diào)遞減，因此21,解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+oo).

故選：D

2.D

【分析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】

因?yàn)槠?=：為偶函數(shù)，則“X)-〃-)=圣-"=#二口=。，

e—1\\，e"_]e以—]Q—1

又因?yàn)閄不恒為O可得e-e"=o,即e，=e(〃-W

則x=(a_l)x,即1=a—l,解得a=2.

故選：D.

3.A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】令g(x)=-(x-l)2,則g(x)開口向下，對稱軸為尤=1,

因?yàn)楫?dāng)一1一1-y-="丁一M(A/6+V3)2-42=9+672-16=672-7>0,

gr-pi1f1a+64nnV6G

所以----1-1-------=------------------>0,Bp------1>1--

2(2)2222

4

由二次函數(shù)性質(zhì)知g件)<g(當(dāng),

因?yàn)?—1—+—42=8+4\/3—16=4\/3—8=4(^/3—2)<0,

即乎所以g(日)>g(#),

又>=6、為增函數(shù)，故.<C<〃，即6>C>4.

故選：A.

4.A

【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=log910>l,再利用基本不等式，換底公式

可得機(jī)>lgH,10&9>根，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對數(shù)函數(shù)性質(zhì))

由9-0可得加-。=需>1,而lg91gH<］比詈'T等卜Li,所以懸，

即機(jī)>lgll,所以a=l(r_11>10段1_11=0.

又Ig81gio<［g8；gl。)=(等)<(lg9)2,所以皆>守,即1叫9>加,

所以匕=8"'—9<8|喻9—9=0.綜上，a>Q>b.

［方法二］:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))

由9"'=10,可得根=log910w(l,1.5).

根據(jù)a，b的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=x"'-x-l(x>l),則((尤)=欣7-1,

令/'(x)=0,解得％=加占，由根=log910e(l,1.5)知1e(0,l).

Ax)在(1,依)上單調(diào)遞增，所以了(10)>/(8),即a>b,

又因?yàn)?(9)=9隰|°一10=0,所以。>0>6.

故選：A.

【點(diǎn)評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。，。的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=W-x-l(x>l),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該

題的最優(yōu)解.

5

5.C

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(l+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,b,c的大小.

【詳解】方法一：構(gòu)造法

1Y

設(shè)/(x)=ln(l+x)—x(x>—1),因?yàn)?(x)=------1=------，

1+x1+x

當(dāng)兀￡(一1,0)時(shí)，f\x)>0,當(dāng)%￡(0,+8)時(shí)/'(x)<o,

所以函數(shù)/(%)=ln(l+X)-%在(0,+8)單調(diào)遞減，在(-1,0)上單調(diào)遞增，

所以/c1)</(0)=0,所以In弓一(<0,故］>111號=一1110.9，即6>C,

191Q--I-L1

所以了(一啟)<“0)=0,所以In^+^cO,故2<ei。，所以工/。<上，

10101010109

故a<6,

設(shè)g(x)=xeX+ln(l-元)(0<x<l),則ex+—+!

令h(x)=ex(x2—1)+1,h\x)=ex(x2+2x—1),

當(dāng)0<尤<忘-1時(shí)，/?'。)<0,函數(shù)/7。)=/(丁一1)+1單調(diào)遞減，

當(dāng)夜-1<X<1時(shí),〃'(無)>0,函數(shù)坂》)=/。2-1)+1單調(diào)遞增，

又〃(0)=0,

所以當(dāng)0<x<0-1時(shí)，心)<0,

所以當(dāng)0<x<應(yīng)-1時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(尤)=xe*+ln(l-x)單調(diào)遞增，

所以g(01)>g(0)=0,即0」e〃>—In0.9,所以

故選：C.

方法二：比較法

解：a=O.le01,b=-^~,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①lntz-lnZ>=0.1+ln(l-0.1),

令/(-^)=x+ln(l-x),xe(0,0.1］,

1—x

貝IJf\x)=\--=--<0,

1-x1—x

故f(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞減，

可得/(0-1)</(0)=0,即］na-lnb<0,所以a<b；

(2)d!-c=O.leol+ln(l-O.l),

令^(x)=xex+ln(l—x),xG(0,0.1］,

6

i,/\尤％1+--1

貝mi!Jg(x)=xe+e-----=-------------,

')\-x1-x

令k(x)=(l-^x)(l-x)ex-1,所以kr(x)=(l-x2-2x)ex>0,

所以k(x)在(0,0.1］上單調(diào)遞增，可得左(%)>左(0)>。,即g\x)>0,

所以gO)在(。。1］上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0,即a-c>0,所以

故c<a<b.

6.C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)不符合題意，再根據(jù)基本不等式〃一正二定三相等〃，即可得出

反。不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,^=X2+2X+4=（X+1）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)尤=-1時(shí)取等號，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對于B,因?yàn)?<kinx|vi,y=binx|+gjN2a=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx|=2時(shí)取等號，等號取不到，所以其

最小值不為4,B不符合題意；

對于C,因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)镽,而2、>0,y=2'+22T=2工+222"=4,當(dāng)且僅當(dāng)丁=2，即x=l時(shí)取

等號，所以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y-Inx+-^―,函數(shù)定義域?yàn)椋?,1）（1,+co）,而InxeR且InxwO,如當(dāng)lnx=-l,v=-5,D不符

合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等"的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性

質(zhì)即可解出.

7.C

【分析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】

對于A,因?yàn)閥=lnx在（0,+e）上單調(diào)遞增，y=-x在（0,+<?）上單調(diào)遞減，

所以/（x）=-lnx在（0,+8）上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)閥=2］在（0,+“）上單調(diào)遞增，y=B在（0,+。）上單調(diào)遞減，

7

所以"x）=：在（0,+8）上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；

對于C,因?yàn)閥=g在（0,+8）上單調(diào)遞減，y=-％在（0,+?>）上單調(diào)遞減，

所以〃無）=-^?。?,+8）上單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,因?yàn)閐=39=3：=VL〃1）=捫=3。=1,〃2）=尹=3,

顯然"力=3斤”在（0,+8）上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

8.D

【分析】根據(jù)對應(yīng)幕、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由y=在R上遞增,則“=1.0產(chǎn)5<匕=].0產(chǎn)6,

由y=尤。5在[0,+8）上遞增，貝Ua=1.01。5>c=O.605.

所以6>a>c.

故選：D

卬考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】指數(shù)基的運(yùn)算

一、單選題

1.（2022?重慶九龍坡?模擬預(yù)測）雷達(dá)是利用電磁波探測目標(biāo)的電子設(shè)備.電磁波在大氣中大致沿直線傳

播.受地球表面曲率的影響，雷達(dá)所能發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的最大直視距離

L=J（R+%y-R。+Q（R+h2y_R。=J2R%+q+j2K4+/if（如圖），其中％為雷達(dá)天線架設(shè)高度，也為

探測目標(biāo)高度，R為地球半徑.考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km,故R遠(yuǎn)大于4,4.假

設(shè)某探測目標(biāo)高度為25m,為保護(hù)航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標(biāo)，并發(fā)出預(yù)警，則艦載

預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為（）

（參考數(shù)據(jù)：-2x8.4914.12）

8

雷達(dá)直視距離

A.6400mB.8100mC.9100mD.10000m

2.（2024?廣東深圳一模）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),在區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增，且對任意為,三,

均有，（卒2）="芯）〃々）成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）

A.y=ln|x|B.y=x3C.y=2忖D.J=|x|

二、多選題

3.（2023?云南曲靖?模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)滿足2，+2陽=1，則（）

A.無<0且><TB.x+y的最大值為-3

umr的最小值為7口.［出'11卜。

4.（22-23高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.若且％+y>4,則x,y至少有一個(gè)大于2

B.V%￡R,=X

C.若2<Z?<4,貝?。菀?<2?—6<4

D.正+3+不的最小值為2

三、填空題

5.（2023?黑龍江齊齊哈爾?一模）請寫出滿足方程3,-］=log5y的一組實(shí)數(shù)對（x,y）：.

6.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)。，b滿足4"+2a=3,log?炳斤+6=,，貝|。+萬6=

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于"的方程，然后求解即可.

【詳解】根據(jù)題意知，L=412km,R=M90km,h2=0.025km,

由乙=J（R+、）2_R2+J（R+1）2_R2=Q2R%+h；+小2桃+后,

9

因?yàn)镽遠(yuǎn)大于九，h2

0412=7(8490+/?!)2-84902+7(8490+0.025)2-84902

X0x84909+72x8490x0.025?41.2x+20.6,

角軍得％?9.03km,

團(tuán)艦載預(yù)警機(jī)的巡航高度至少約為9100m.

故選：C

2.D

【分析】由指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可求解.

【詳解】對于A,/(^)=ln|.iqx,|=ln|jq|+ln|x2|=/(^)+/(x2),故A錯(cuò)誤；

對于B,/(-I)=-1=故y=d不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對于C,〃王)〃尤2)=盧2聞=沙+引=〃占+々)，故C錯(cuò)誤；

對于D,/(再％)=,司=|再同=/(%)/(%),

又y=〃x)=k|定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，且/(r)=r|=W=〃x),

即函數(shù)F(尤)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，

當(dāng)x＞。時(shí)，〃x)=x單調(diào)遞增，滿足題意.

故選：D.

3.ABD

【分析】對于AD,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC,利用指數(shù)的運(yùn)算法則與基本不等式的性質(zhì)即可

判斷

【詳解】由2'+2陽=1,可得2刈=1--2x>0,2x=l-2y+1>0,所以x<0且"T,故A正確

可得12工+*4,，即2日94，=2-2,所以x+yW—3,

由2*+2V+1=1>2d2*-2-v+1=2，2*+刈，

24

當(dāng)且僅當(dāng)x=y+l=-l,即x=-l,y=--2時(shí)，等號成立，所以x+y的最大值為一3,故B正確;

好成佃+到32-2y2-2x1222.2無

討）=5++5+々-=9,

72X2yVT2y

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=Togz3時(shí)，等號成立,

10

所以的最小值為9,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?*=1-2yM，貝U2印=2（1-）=2-4-2\

所以Q）+QT.2，+，=2，+2向=2-3-2，<2,故D正確.

故選：ABD.

4.AC

【分析】根據(jù)逆否命題的真假性即可判斷A,根據(jù)哥的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷B,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C,

根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】對于A,若乙》均不大于2,則x<2,y42,貝|x+y<4,故x+y>4,則x,y至少有一個(gè)大于

2為真命題，故A正確，

x,x>0

對于B,B.VxeR,=國=，故B錯(cuò)誤,

-x,x<n0

又寸于C,由1<a<3'f導(dǎo)2v2a<6,由2Vz2V4彳導(dǎo)—4<—h<—2,以—2<2cl-Z?<4,C正確，

對于D,由于，函數(shù)y=x+!在[石,也）單調(diào)遞增，故4rK+^百1473

+-r^——,D

xA/A+3A/33

錯(cuò)誤，

故選:AC

5.[0,上）（答案不唯一）

【分析】運(yùn)用對數(shù)式與指數(shù)式互化、根式與指數(shù)幕互化計(jì)算即可.

3

【詳解】ffl3^-|=log5y,

冏3X--

叼=52，

國令X=0得：y=53=華，即：（°，乎）?

故答案為：（0,當(dāng)）（答案不唯一）.

6.1

【分析】由log?師萬+6=：可變形為*&仍叫+bg2（3b+l）=3,故考慮構(gòu)造函數(shù)〃x）=2，+x,判斷函數(shù)

的單調(diào)性，利用單調(diào)性化簡等式，由此可求。涉.

11

【詳解】因?yàn)閘og2班訂T+6=t，化簡得log2（3b+l）+（3b+l）=3.

所以2晦（3%）+卜氏（38+1）=3,又4。+2a=2?"+2a=3,

構(gòu)造函數(shù)〃x）=2，+x,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2”,尸龍?jiān)?-?,+?)上都為增函數(shù),

所以函數(shù)尤)在(T?,y)上為單調(diào)遞增函數(shù),

由/。）=3,02?=log2（3Z?+1）=1,

11

解得a=］，6=§，

3,,

0a+—b=l.

2

故答案為：1.

反思提升：

(1)指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計(jì)算，還應(yīng)注意:

①必須同底數(shù)幕相乘，指數(shù)才能相加.

②運(yùn)算的先后順序.

(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).

(3)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).

【考點(diǎn)2】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

一、單選題

V4.3T

1.(23-24高三下?山東濟(jì)南?開學(xué)考試)函數(shù)〃X)=尤：二的圖象大致為()

12

2.（23-24高一上?湖北?階段練習(xí)）函數(shù)y=log.無+4+2（4>0且中1）的圖象恒過定點(diǎn)小力），若

則見土里的最小值為（）

m+n=b-k,n>0,

mn

c95

A.9B.8C.—D.一

22

二、多選題

3.（20-21高一上?山東濟(jì)南?期中）下列四個(gè)結(jié)論中，正確的結(jié)論為（）

A.函數(shù)〃x）=x與函數(shù)g⑺二正相等

B.若函數(shù)f（x）=優(yōu)-。（。>0且的圖象沒有經(jīng)過第二象限，貝必>1

C.當(dāng)x?l,2）時(shí)，關(guān)于x的不等式尤2+〃優(yōu)+4<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為旭<-5

D.若函數(shù)〃尤）=（無：?的最大值為最小值為機(jī)，則M+租=2

2

4.（2024?山東臨沂一模）已知函數(shù)〃x）=k：+a（aeR）,則（）

2—1

A.的定義域?yàn)椋╢,0）U（0,"）

B.〃尤）的值域?yàn)镽

C.當(dāng)a=l時(shí)，〃尤）為奇函數(shù)

D.當(dāng)4=2時(shí)，/（-x）+/（x）=2

三、填空題

5.（2024?云南曲靖?一模）如圖，在第一象限內(nèi)，矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)AB,C分別在函數(shù)

的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標(biāo)軸平行，若A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,則。點(diǎn)的

3

6.（2023?上海浦東新?模擬預(yù)測）設(shè)〃x）=x（一一+1.若函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋ā?1）（1,內(nèi)），則關(guān)

于X的不等式4的解集為.

參考答案：

13

1.A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).

qX4TOXO-X

【詳解】由函數(shù)=〃f)=W^=/(x),令％2_1?o,解得犬w±l,

x—1x—1

則其定義域?yàn)閧x|xH±l},關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除c,D選項(xiàng)，因?yàn)?(o)=止30+3］°=-2,觀察選項(xiàng)可知，選A.

—1

故選：A

2.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得左=11=3,然后妙用〃1〃可得.

【詳角軍】當(dāng)％=1時(shí)，y=logql+ai+2=3,

所以，函數(shù)尸1叫％+。1+2過定點(diǎn)(1,3),得左=1,。=3,

所以，m+n=3-l=2,

因?yàn)闄C(jī)>0,n>0,

.9n+m911(91V、9n1/\

所以，-----=—i——=——I——\(m+n\=-10H----1—>—110+2v9I—8,

mnmn2\mnJ2(mnJ2)

9nm

當(dāng)且僅當(dāng)彳—機(jī)=—n,即相=不3,幾=15時(shí)，等號成立，

24乙

所以，蟲”的最小值為8.

mn

故選：B

3.BD

【解析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的值域不同可判斷選項(xiàng)A不正確，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B,分離參數(shù)

m得機(jī)<-x-：=g(x),只需mvgG).,即可判斷選項(xiàng)C,

f(x\=(X+.=2+1是一個(gè)奇函數(shù)加常數(shù)1,奇函數(shù)在定義域內(nèi)最大值與最小值之和等于0可判斷選項(xiàng)

D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于選項(xiàng)A：函數(shù)〃x)=x值域?yàn)镽,函數(shù)8(尤)=而值域?yàn)椋邸?內(nèi))，所以〃x)=x與函數(shù)

g(x)=正不是相等函數(shù)，故選項(xiàng)A不正確；

對于選項(xiàng)B：若函數(shù)〃力=/-。(。>0且"1)的圖象沒有經(jīng)過第二象限,則［7(0)=/“<0,解得：0>1,

14

故選項(xiàng)B正確;

對于選項(xiàng)C：當(dāng)xe(l,2)時(shí)，關(guān)于x的不等式尤2+皿+4<0恒成立，

—f—4-4-/、4/\

即能<------=-%__，令g(x)=-x__,貝lj〃Z<g(x)1rfJ

XXx

因?yàn)閥=x+：在xe(l,2)單調(diào)遞減，所以g(x)=-了-。在xe(1,2)單調(diào)遞增,

所以g(x)>g⑴=-5,所以〃區(qū)-5,故選項(xiàng)C不正確；

對于選項(xiàng)D：函數(shù)/?(元)=(x+l)'=2+1，令〃(村=々則

V7%2+1x2+lx+1

“(一尤)=善[=-3)，所以"3=言是奇函數(shù)，所以〃(力而+〃(x)皿=°，

因此M+機(jī)=/?(x)1mx+l+/?(x)min+1=2,故選項(xiàng)D正確,

故選：BD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式恒成立問題一般采用分離參數(shù)法求參數(shù)范圍

若不等式20(xe。)(％是實(shí)參數(shù))恒成立，將〃x,X)N0轉(zhuǎn)化為XNg(x)或；14g(x)(xeZ>)恒成

立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為4?g(x)1mx或4Wg(x)1nhi(xeO),求g(x)的最值即可.

4.ACD

【分析】由分母不為零求出函數(shù)的定義域，即可判斷A,再分2、-1>0、-1<2，-1<0分別求出函數(shù)值的取

值范圍，即可得到函數(shù)的值域，從而判斷B,根據(jù)奇偶性判斷C,根據(jù)指數(shù)募的運(yùn)算判斷D.

2

【詳解】對于函數(shù)4無)=;^—-+^(?eR),令2*-1W0,解得XWO,

所以“X)的定義域?yàn)?y,0)U(0,M),故A正確；

22

因?yàn)?”>0，當(dāng)2'-1>0時(shí)彳^>。，所以k7+a〉。，

2'-12X-1

22

當(dāng)_]<2》_]<0時(shí)_二<—2,所以7^~~-+a<—2+a,

2X-12X-1

綜上可得“力的值域?yàn)?+Q).(〃，y)，故B錯(cuò)誤；

當(dāng)a=l時(shí)/(司=^^+1=|^，貝(一》)=|77±^=一|7±^=一/(%)，

所以/(x)=歹二j+l為奇函數(shù)，故C正確；

當(dāng)“=2時(shí)〃到=7-+2=V沿-4-1+1，則V+1+i+瀉+1+1=2,

Z—1z—1乙—1乙—1

故D正確.

15

故選：ACD

【分析】根據(jù)指對幕函數(shù)的圖象及解析式求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)、C點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得。點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由題意，縱坐標(biāo)都為2,則8點(diǎn)橫坐標(biāo)為8,即C點(diǎn)橫坐標(biāo)為8,

所以A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（3y=工，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為（3）8=J_,

33381

由"CD為矩形及題圖知：。點(diǎn)的坐標(biāo)是（，?

381

故答案為：（〈，上）

Jo1

6.［1,+8）

【分析】由函數(shù)〃尤）的定義域可求得實(shí)數(shù)。的值，可得出函數(shù)〃尤）的解析式，求出的值，然后利用

指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解不等式/>/（?），即可得其解集.

【詳解】若aWO,對任意的xeR,2'=-?>0,則函數(shù)/'（力的定義域?yàn)镽,不合乎題意，

所以，a>0,由可得xwlog?。，

因?yàn)楹瘮?shù)y=的定義域?yàn)楹斡?1},所以，log2a=l,解得a=2,

所以，/（x）=x（=+gj，貝lJ/（a）=/（2）=2（=+gj=2,

由可得2，N2,解得x21.

因此，不等式。工2/（〃）的解集為［1,+8）.

故答案為：［L+℃）.

反思提升：

1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、

對稱變換得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)。與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論.

2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)

定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某

駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量會以每小時(shí)30%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

16

lg3?0.48,lg7?0.85)

A.1B.2C.3D.4

2.（2024,湖北武漢?模擬預(yù)測）如果"工〈〃，記國為區(qū)間（。力）內(nèi)的所有整數(shù).例如,如果2<%<3.5,則國=3；

11+擊,則

如果1.2（尤<3.5,貝!J㈤=2或3；如果2.3<xv2.7,貝1」國不存在.已知丁=1+-----1----+-

4/2折

()

A.36B.35C.34D.33

二、多選題

3.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，g（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且

/⑺+g（x）=2e1函數(shù)廠（x）=〃2x）-2時(shí)⑺在［0,+動上的最小值為—11,則下列結(jié)論正確的是（）

A./（x）=e^+e-xB.g（x）在實(shí)數(shù)集R單調(diào)遞減

C.m=3D.根=—3.3或一

4

?>1

4.（2021?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)函數(shù)〃x）=王r旨，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.〃x）為奇函數(shù)

B.的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對稱

C.的最小值為e+1

貝IJ1-1（左<1+工，且人工1

D.若=左有兩個(gè)不等實(shí)根,

“尤)Tee

三、填空題

5.（2022?上海普陀?一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對站內(nèi)進(jìn)行消毒工作，設(shè)在藥物釋放過程中，

站內(nèi)空氣中的含藥量y（毫克/每立方米）與時(shí)間x（o<尤<；］（小時(shí)）成正比.藥物釋放完畢后，y與X滿足

關(guān)系y=9八*（匕常數(shù)，xzg）.據(jù)測定，空氣中每立方米的含藥量降低到3毫克以下時(shí)，乘客方可進(jìn)站，則

地鐵站應(yīng)安排工作人員至少提前分鐘進(jìn)行消毒工作.

17

6.(2021?上海松江?一模)從以下七個(gè)函數(shù)：y=x,y=',y=Y,y=2*,y=k>g,x,v=sin尤,y=cosx中選取兩

x

個(gè)函數(shù)記為了(X)和ga),構(gòu)成函數(shù)"x)=/(x)+g(x),若網(wǎng)X)的圖像如圖所示，則尸(無)=

參考答案:

1.D

【分析】設(shè)經(jīng)過X個(gè)小時(shí)才能駕駛，貝40.6x100x(1-30%)，<20,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算計(jì)算

可得.

【詳解】設(shè)經(jīng)過尤個(gè)小時(shí)才能駕駛，則0.6x100x(1-30%)'<20即07<，

由于y=0.7,在定義域上單調(diào)遞減，x>1QO1=83lg>lg3-0.480.48

So-73lg0.7lg7-l0.85-10.15

他至少經(jīng)過4小時(shí)才能駕駛.

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)/(x)=］4x24(x>0),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立不等式，借助裂項(xiàng)相消法求

和及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出T的范圍即可得解.

【詳解】令函數(shù)/(%)=］4冗。4(兀>0),求導(dǎo)得:(%)=1-4-1

y[x

A2

則eN-)可視為函數(shù)/(x)=己芯4(x>0)在％〃處的切線斜率,

設(shè)A(〃,/(?)),B(n+l,f(n+1)),則直線AB的斜率=/("+1)-/(“)=f(n+1)-/(?),

n+l-n

14々々I

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有廣5+1)<做5<(5)，因止匕刀一<彳[(幾+1)4—〃4]<

歹〃+13sjn

A333333331111

而[②_在)+(37-2區(qū))+(4%-3%)++(82*-8P)]<-r+-7=+-7=++-j==T,

3班也也咽

4-4-42

即有r>§(824—l)>§(814—l)=1x26=34+§,

1114-222

又T=語++痼<1+那If=35+§,因此34+產(chǎn)<35+二

所以［乃=35.

18

故選：B

42

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：觀察題設(shè)中所給和式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)/(x)=]x4(x>0),利用導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意

義建立不等式是解題的關(guān)鍵.

3.AC

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得出關(guān)于/(x),g(x)的方程組，即可得/(x),g(x)的解析式，從而得選項(xiàng)A；結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)的解析式，求出廠⑺的解析式，利用換元法，將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次

函數(shù)的最值問題，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和二次函數(shù)的定義域，即可求出其最小值，從而解得徵=3,即可

判斷選項(xiàng)C與選項(xiàng)D.

【詳解】A,因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以/(一?=因(耳,又g(x)為奇函數(shù)，所以g(-x)=-g(x),

因?yàn)椤▁)+g(x)=2e'①，所以〃—x)+g(-x)=2eT,即〃%)-8(力=2尸②，

由①②得：/(x)=ex+e-\g(x)=e'-e-\所以選項(xiàng)A正確；

B,因?yàn)楹瘮?shù)、=/,,=--￡在R上均為增函數(shù)，

故g(x)=e「eT在R上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C、D,因?yàn)椤癦xNeZx+emXeX+eTj-Z,

所以尸⑺=(e*+b)2-2m(e，+e-x)-2,

又=e*+又N2Je，e-=2,當(dāng)即x=0時(shí)等號成立，t=ex+e~xe[2,+<x>),

h(t^—t2-2mt—2=(t—m)2-m2-2(f>2),對稱軸f=/〃，

當(dāng)〃?>2時(shí)，函數(shù)在[2,間上為減函數(shù)，在(m,+8)上為增函數(shù)，

則的)min='(租)=一加2-2=-11,解得根=3或機(jī)=-3(舍)；

1Q

當(dāng)心42時(shí)，咐在[2,+應(yīng)上單調(diào)遞增，砥焉=碓)=2—4a=—11,解得：加=寧>2,不符合題意.

綜上加=3,所以選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

4.BD

【分析】A由奇偶性定義判斷正誤，B判斷/(-元)+f(x)=2是否成立即可，C應(yīng)用特殊值法有

f(-l)=l-e<e+l,即可判斷正誤，D由題設(shè)方程有兩個(gè)不等實(shí)根，令g(x)=("l)陰轉(zhuǎn)化為當(dāng)無-1>0時(shí)，

19

在x>0上/i(x)=(k-l)，-x有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)左-1<0時(shí)