2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：數(shù)列求和（解析版）

專題35數(shù)列求和（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................13

【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和......................................................13

【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和....................................................17

【考點(diǎn)3】錯位相減法求和....................................................21

【分層檢測】...............................................................25

【基礎(chǔ)篇】.................................................................25

【能力篇】.................................................................33

【培優(yōu)篇】.................................................................35

考試要求：

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式.

2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.

.知識梳理

1.特殊數(shù)列的求和公式

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

nn(〃一1)

Sn~2二riai\21

(2)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

ncii9q=1,

a\—aqm(1一〃")

｛n

2.數(shù)列求和的幾種常用方法

⑴分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

⑵裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

⑶錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個數(shù)列的前n

項(xiàng)和可用錯位相減法求解.

(4)倒序相加法

如果一個數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么

求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.

|常用結(jié)論

..........................n(n+1)

1.1+2+3+4+…+〃=.

n(n+1)(2〃+1)

2.12+22+**,+n2=

3?裂項(xiàng)求和常用的三種變形

⑴〃(缶)

(2)(2n-l)(2n+l)=2X2n~l~2n+l)-

⑶3+扃=殖-5

4.在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況

2

求解.

真題自測

一、解答題

1.（2024?全國?高考真題）已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且2s“=3°向-3.

⑴求｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛S“｝的前〃項(xiàng)和.

2.（2024?天津?高考真題）已知數(shù)列也,｝是公比大于0的等比數(shù)列.其前”項(xiàng)和為￡.若q=LS2=%T.

⑴求數(shù)列｛%｝前"項(xiàng)和S.；

\k,n=a,

（2）設(shè)2=A>；//,丘N*,-2.

\bn_x+lk,ak<n<aM

（E）譽(yù)/22,〃=a*+i時,求證：bn_x>ak-bn；

（0）求立.

1=1

3.（2024?全國?高考真題）記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知4s“=34+4.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)。=（-1尸”,求數(shù)列｛么｝的前〃項(xiàng)和

4.（2023?全國?高考真題）設(shè)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知出=1,25,="%.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列1紫，的前w項(xiàng)和r”.

5.（2023?全國?高考真題）已知｛%｝為等差數(shù)列，2=，："一6二職數(shù)，記加T,分別為數(shù)列｛%｝,間的

為偶數(shù)

前"項(xiàng)和，邑=32,4=16.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明:當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

6.（2022?全國?高考真題）記S“為數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和，己知是公差為g的等差數(shù)列.

3

⑴求｛見｝的通項(xiàng)公式；

111c

（2）證明：—+―+???+—<2.

7.（2022?天津?高考真題）設(shè)｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，且％=4=%-4=。3-4=L

⑴求｛%｝與也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)包｝的前n項(xiàng)和為最,求證：（Sn+1+an+1）bn=Sn+1bn+l-Snbn;

2n

⑶求￡[4+i-（一1）"%]4?

k=l

8.（2021?全國?高考真題）設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足a=等.已知外,3電，94成等

差數(shù)列.

（1）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵記S”和1分別為｛4｝和也｝的前”項(xiàng)和.證明：Tn<^~.

參考答案：

L（1）%=信『'

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；

（2）利用分組求和法即可求S”.

【詳解】（1）因?yàn)?s“=3”3,故2%=3?！?3,

所以2%=3ail+1-3a?（n>2）即5a“=3aM故等比數(shù)列的公比為q=g,

故2al=3a2-3=3a｝x——3=5%—3,故q=l,故.

（2）由等比數(shù)列求和公式得$_[3,

"t_52I3J2

3

所以數(shù)列｛S.｝的前〃項(xiàng)和

33

7；=S+S+5+---+S=-——n

123n2

4

2.(i)5?=r-i

⑵①證明見詳解；②/2=(%T)4"+1

；=19

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4>0,根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求0,再結(jié)合等比數(shù)列求和

公式分析求解；

（2）①根據(jù)題意分析可知七=2八,2=左+1,4-=左（2*-1）,利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等

2*-11

差數(shù)列求和公式可得?=：［（3左-1）平-（3%-4）4"［,再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.

i=2k-y9

【詳解】（］）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4>0，

因?yàn)椋?1,邑=〃3-1，即+%=。3—1，

可得1整理得/_q_2=0,解得4=2或q=-1（舍去），

1-?n

所以臬:七］：2〃—1.

（2）（i）由（1）可知4=2〃T,且>￡N*水之2,

..\ak=2kt<2^—l=n—1

當(dāng)〃=W+i=2>4時，貝叫，即為<〃-1<ak+x

\n-\=ak+x-\<ak+x

可知久二2"T,/?〃=Z+1,

%=%+（一一/T?2左=左+2左（2。-1）=左（2J1）,

可得=左（2上_1）_（々+1）2"1=（々_1）2餐|_左22（左_1）_々=左_220,

當(dāng)且僅當(dāng)上=2時，等號成立，

所以%2《也;

(ii)由(1)可知：S“=2"-l=a.+i-l,

若〃=1,貝!JS]=L》]=1；

5

若〃之2,則為+]—4=2"1,

當(dāng)21Vs-1時,b「b”2k,可知｛4｝為等差數(shù)列,

2k-i2k~l（2k~l-1）i

可得Z4=h2k-l+2k—'-------L=k-4i=—[（3左一1）平一（3%—4）4^],

i=2"i29

所以孕=l+g[5x4?-2x4+8*43-5x4?+…+（3〃-l）4"-（3"-4）4"[=^^^,

且〃=1,符合上式，綜上所述：￡a=（3"T）4”+l.

i=l9

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)2-vi42"-1時，W2k,可知他｝為等差數(shù)列;

2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得￡瓦=：[（3"1）平-（3%-4）4"[.

i=2k-'9

3.⑴?！?4?（一3尸

（2）7；,=（2?-1）-3"+1

【分析】（1）利用退位法可求｛4｝的通項(xiàng)公式.

（2）利用錯位相減法可求T”.

【詳解】（1）當(dāng)”=1時，4S]=44=34+4,解得q=4.

當(dāng)〃22時，4s=3a“_1+4,所以4sl,-4S“_]=4a,,=3a,-3a1即an=-3a?_1,

而4=4x0,故見片0,故&=-3,

an-\

回數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，

所以=4?（一3）"

（2）b?=（-I）"一?〃?4?（一3）"7=4n-y-l,

所以/=4+。+63+…+2=4-3°+8-31+12-32+---+4n-3"-1

故37；=43+8?32+12?33+…+4〃?3"

所以-27；=4+43i+4-32+...+4-3,,-1-4n-3"

=4?43。一3"）3"=4+2-3?（3"T-l）-4"-3”

1-3

6

=(2-4〃>3"-2,

.-.7；=(2w-l)-3,,+l.

4.⑴%="T

(2)北=2-(2+〃)1

\S],n=l

【分析】（1）根據(jù)氏=。、。即可求出；

電Fcl，心2

（2）根據(jù)錯位相減法即可解出.

【詳解】（1）因?yàn)檎f=解,，

當(dāng)〃=1時，2q=%,即〃1=0；

當(dāng)〃=3時，2（l+q）=3q,即〃3=2,

當(dāng)“22時,2S“_i=（"—所以2（$0—S,i）=㈣1）/_]=2凡，

化簡得：（〃—2）%=（〃一1）%_1,當(dāng)“23時，人=%,..=包=1,即氏=〃一1,

〃一1n-22

當(dāng)"=1,2時都滿足上式，所以%=〃-l（〃eN*）.

⑵因?yàn)殓娻⑺?>lxg）+2xg）+3xg[+…+

^；=lxg)+2x[m+…+5-l)x1)+"

兩式相減得,

=>["??]'即1=2-(2+〃)出，neN*.

5.⑴?！?2〃+3；

⑵證明見解析.

7

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,用4/表示S"及T“，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出斗，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出T”，并與S“作差比較作答；方

法2,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前w項(xiàng)和公式求出T,，并與S“作差比較作答.

,、—6,n=2k—l'

【詳解】⑴設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,而〃=2；n=2k"eN'

則bx=ax-6,b2=2a2=2al+2d,b3=a3-6=ax+2d-6,

S=4q+6d=32

于是4解得q=5,d=2,=%+(〃_l)d=2〃+3,

T3=4q+4d—12=16

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是4=2"+3.

/、、、_L,0n(5+2n+3),\2n—?>,n=2k—l*

(2)萬法1：由(z1x)矢口，S=-------------=n2+4nb=\?wN*,

n2〃[4n+6,n=2^

當(dāng)〃為偶數(shù)時，b〃_i+2=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6n+l)n

2222

371

當(dāng)〃〉5時，7^—=(—H2+—n)—(n2+4n)=—n(n—1)>0,因此方>S〃，

3735

22

當(dāng)〃為奇數(shù)時，7；=7；+1-^+1--(n+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-H-5,

當(dāng)〃〉5時，4-S襄=(—n2+—n—5)—(n2+4n)=—(n+2)(〃—5)>0,因此，>S〃,

所以當(dāng)〃〉5時，Tn>Sn.

方法2：由（1）知，s“J5+：+3）=/+而2n—3,n=2k—l*

bn=，女wN,

4n+6,n=2k

—1+2(〃-1)—3n14+4/1+6n327

當(dāng)〃為偶數(shù)時，方=（4+4+…+2―1）+電+%+…+〃）=F=—n+—n,

22---------22222

22

當(dāng)〃〉5時，Tn-Sn=(―H+—H)—(M+4九)=—n(n—1)>0,因此，>,

一1+2〃―3n+114+4(〃—1)+6n—1

當(dāng)〃為奇數(shù)時，若則北=31+%+…+2)+(4+"+—+%)=22~+22-

3535

=|n2+|n-5,顯然工=仇=-1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，7；=|n2+|n-5,

351

當(dāng)〃〉5時，4-Sn=(―1+—n—5)—(n2+4n)=—(n+2)(〃—5)>0,因此北>S〃，

所以當(dāng)〃〉5時，Tn>Sn.

川(〃+1)

6.⑴?！?

2

⑵見解析

8

【分析】（工）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得*=1+4（”一1）=?，得至2=.+2”",利用和與項(xiàng)的關(guān)

系得到當(dāng)〃22時，4=工-S“?=_（"+1）%，進(jìn)而得：且_=",利用累乘法求得a業(yè)D,

檢驗(yàn)對于〃=1也成立，得到｛%｝的通項(xiàng)公式an=當(dāng)由；

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到上+,+…+1=2卜-一二],進(jìn)而證得.

%/an\n+1J

S,1

【詳解】（1）回弓=1,0S,=a,=1,E—=1,

%

又回是公差為;的等差數(shù)列，

S1/1、n+2（n+2｝a

回￡n§（"）=亍閏S"3，

回當(dāng)2時，S,]=（"+1）%,

〃一13

同〃=一=5+2）"+1限

整理得：=("+l)a.T,

即臺n+1

a、ci-i。何_1a”

團(tuán)%=qx=x=x...x———

a\a2an-2an-\

I34nn+1n(n+\\

=lx—x—x...x------x------=-------

12n-2n-12

顯然對于〃=1也成立，

回｛%｝的通項(xiàng)公式。，=四了;

團(tuán)I=21—+------+,,--------------=21------------

4〃2an[\2)(2\nn+1J](n+1)

7.⑴%=2"T6"=2"T

⑵證明見解析

,（6〃-2）4向+8

9

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解;

9

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

⑶先求得［的-㈠產(chǎn)產(chǎn)生/%，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得再結(jié)合錯

k=l

位相減法可得解.

【詳解】（1）設(shè)｛4｝公差為d,也｝公比為小則4=1+（〃-1以2=尸，

fd—Q=\

由/一4=生_4=1可得,尸d=q=2（d=4=0舍去），

\\+2a-q~2=\

所以a“=2w-l也=21

⑵證明：因?yàn)?=260*0,所以要證（S-+an+l）bn=Sn+lbn+l-Snbn,

即證（J.+an+l）bn=S“j2bn-Snbn,即證Sn+l+an+l=2S?+1-S,,

即證%=S”+「S”，

而4+1=S“+1-s”顯然成立,所以（s?+1+an+l）bn=Sn+l-bn+l-Snbn；

（3）因?yàn)椋鄢錾弦唬ㄒ?）21%1］怎.1+［。2/+1-（一1嚴(yán)的］怎

=（4%—1+4左一3）x2?"2+［4左+1—（4左一l）］x22"i=2k,

所以:n，+「（T）%］4=-（T產(chǎn)&"砥-+（-㈠產(chǎn)0）％］

k=\k=l

=力左4,

k=\

設(shè)7；=丑2人不

k=\

所以7；=2x4+4x4?+6x43+…+2"x4",

貝IJ47；=2X42+4X43+6X44+-+2〃X4"+I,

作差得一37；=2（4+不+43+44+…+4"）-2〃?4"+i=2X^"4'l-2nx4n+'

（2-6?）4,,+1-8

--------------，

3

所以

所以―=

k=l9

1n

8.（1）。,,=0尸，bn=--（2）證明見解析.

【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及％得到9/-6q+l=0,解方程即可；

（2）利用公式法、錯位相減法分別求出S"￡,再作差比較即可.

10

【詳解】（1）因?yàn)椋?｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列且4,3%,9%成等差數(shù)歹U,

2

所以6%=%+9%,所以6a、q=%+9axq,

即9/_6q+l=0,解得q=g,所以。“=(；尸,

所以2=詈n

3〃

（2）［方法一］：作差后利用錯位相減法求和

12n-1n

——+…+產(chǎn)+三'

S.1111

22

1I

S.1230--1--2n-1—

§+孕+手+???++…+7n

22+92+4+???-!-----------：------1----

3°323-13"

1I

0--1--2n-1——⑧

設(shè)「2+4H-----1----------2_，

3°323"T

0--1--2n-1--

則⑨

2+城+4+-??+______2.

931333〃

33

n—n—

由⑧-⑨得gr“11113

—一+—j-H---y+…+_22

231323〃21-13"

3

3

n——

所以1n

r?-2

4x3-22x3i2x3i

nn

因此北-于

3〃2X3〃T擊＜5

q

故

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法

1x(1-^)

證明：由（1）可得S“=

.12n-1n不

三+…+尹+F①

12n-1n

/于+…+『訶，②

11

①-②得…言

3

所以北=93(1—諭1)一『〃，

4JZ-J

LLAIES“311、n3/<1、n八

以北---——(1-----)---------------(1------)—---------<0,

〃243〃2-3"43"2-3"

所以雹吟q.

［方法三］:構(gòu)造裂項(xiàng)法

即=3"+")1)

由(回)知,令c〃=(cm+/),且〃〃=%—%+1，一口(〃+1)+切

通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得］=：，6=2,所以cTla+jm.

則<=4+%+-+或=6-?！?1下同方法二.

[方法四]:導(dǎo)函數(shù)法

,x(\-xn]

及/(%)=X+X2+x3H----\-Xn=-----------

1-X

x(i"),]+加"+|_]+1)發(fā)

由于

l-X(1-X)2(1-X)2

1+MY"-(〃+l)x〃

則,'(%)=1+2++3x24-----Fnx"T

(1-x)2

所以北；

=4+%+4+…+2=1+2x—+3x

3

V)-5+1)用

【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，

關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.

(2)的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；

12

方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯位相減法求得工工,然后證得結(jié)論，為最優(yōu)解；

方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造g=(cm+￡)［；］,使a=c.-c用，求得l的表達(dá)式,

這是錯位相減法的一種替代方法，

方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.

?考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和

一、解答題

1.(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛%｝滿足q=1,a?>0,s”是數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，對任意〃6N*,

有2s“=24+%-1

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)么=(T)"%”,求也｝的前100項(xiàng)的和.

2.(23-24高二下?河南?期中)已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=3,且a同-2%+1=0.

⑴證明:1｝是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列(??log2(??-1))的前?項(xiàng)和T?.

3.(2024?廣西?模擬預(yù)測)記數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“，對任意正整數(shù)m有s"=答-與.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)對所有正整數(shù)加,若aS+i，則在4和兩項(xiàng)中插入4",由此得到一個新數(shù)列也｝,求也｝的前

91項(xiàng)和.

4.(2024?陜西三模)數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)的最大值記為此，即監(jiān)=max｛%,%,…9｝;前〃項(xiàng)的最小值記為

mn,即令并將數(shù)列｛4｝稱為｛%｝的"生成數(shù)列

⑴設(shè)數(shù)列0｝的"生成數(shù)歹!I"為｛%｝,求證：P"=4"；

(2)若a.=2"-3n,求其生成數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.

參考答案：

(2)-25

13

【分析】（1）根據(jù)%=S“-S,T（“22）作差得到（%+a,T）（2a“一2%_「1）=0,從而得到4「4T=，〃N2）,

結(jié)合等差數(shù)列的定義計(jì)算可得；

（2）由⑴可得勿=（T）"TX；（〃+1）,記C.=HI+4,，則g=-g，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.

【詳解】（1）由2S/=+%—1,2s〃-1=2〃；_[+〃“_1—1（〃>2）,

—a_

兩式相減得2a〃=2a；—+an-an_x,即（q+q1T）（2q^n-i1）=0,

因?yàn)?>0,所以2%-2a,i-1=0,即%一4”]=：（"22）,

故｛%｝是首項(xiàng)為1,公差為g的等差數(shù)列，

所以a“=—（H+1）；

（2）由（1）知6.=（-=（-1）"-'5（"+1）,

所以除T+%=W，

記cn-b2n_]+b2n,則q=一萬，

「?4+〃2+……+“00=q+。2+……+Go=[一；1x5°=-25

2.⑴證明見解析

2

（2斤=（〃一1）2向+寸+2

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；

（2）結(jié)合（1）中結(jié)論求得｛a“l(fā)og2（4-l）｝的通項(xiàng)公式，再利用錯位相減法及分組求和法即可得解.

【詳解】（1）因?yàn)?+1-2%+1=0,4=3,

所以。"+1-1=2（°“—1）,“一1=2,

a—1

顯然見—1W0,則」、=2,

T

故｛%-1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）知，a“-l=2x2"T=2",所以qjog?（q-1）=（2"+：!）?〃=分2"+〃，

貝！17；=1x21+2x2?+…+（〃-1A2"T+加2”+（1+2+...+〃），

14

=1X2*1+2X22+...+(M-1)-2"-1+M-2",

故2R“=1X22+2X23+...+(??-1)-2"+M-2,,+1,

｝+1+1

上兩式相減得，-Rn=2+...+2?-'+T-n-2向=.2"=(l-w)2"-2,

所以R“=(〃-l)2向+2,

所以7；=(“_1)2向+2+(+?”=(“_1)2向+^^+2.

3.⑴=3(1).

(2)11563.

【分析】⑴利用”=1時，4=%；入12時,%=S.-S.T求解即可.

(2)先確定他,｝前91項(xiàng)的最后一項(xiàng)，然后分別對其中的?！昂筒迦氲?"進(jìn)行求和.

【詳解】(1)當(dāng)*2時，an=Sn-Sn_l=(^-^-\^^-^^=3n-3.

\227L22

又〃=1時，得q=0,也滿足上式，

故〃〃=3(1).

(2)由。%=270,所以44<%I<45,

又“87=258>4’，所以也｝前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自｛4｝,

月f以及+為+???+bq[=(q+2+,,,+47)+(41+牛+4，+44)

87(4+%)4(44-1)

~~^2+-^----^=11223+340=11563?

24-1

4.(1)證明見解析

0,n=1

(2)Sn=3/-〃+4

2------------------

I2

【分析】(1)由"生成數(shù)列"的定義證明即可；

(2)由分組求和求解即可.

【詳解】(1)由題意可知M向《啊，

15

所以Mn+1-mn+｝>Mn-mn,因此pm>p?,

即加,｝是單調(diào)遞增數(shù)列，且p尸g=0,

由"生成數(shù)歹曠的定義可得為=P?.

（2）當(dāng)“23時，q,-%_]=2"-3〃-12"1-3（〃-1）]=2"1-3>0,.

—

.?.%>%<Q3<〃4<??,<Q,<,,?，3^%=1,〃2=—2,Q3=-1,

Pl=0,0=—1—（―2）=1，

當(dāng)“之3時，pa=a"一%=2"—3”—（―2）=2"—（3/2—2）.

設(shè)數(shù)列歷“｝的前?項(xiàng)和為s..則h=o,s?=1.

當(dāng)“23時，邑=0+1+2+a+?一+0“=1+（23—7）+（24—10）+…+[2”—（3〃—2）]

=1+（23+24+---+2,,）-[7+10+---+（3?-2）]

322

2X（1-2"-）（w-2）（7+3n-2）3n-?+4

=H--------------------=2-------

1-222

0,H=1

2

又§2=1符合上式,所以S"=<13n-n+4.

2----------，〃之2

L2

反思提升：

1.若數(shù)列｛扇｝滿足Cn=an±bn,且｛劣｝,｛5｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列｛C”｝

的前九項(xiàng)和.

Clu,n為奇數(shù)，

2.若數(shù)列｛蠢｝滿足圓=,工,田的其中數(shù)列他"｝，｛從｝是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組

｛bn,〃為偶數(shù)，

求和法求｛C.｝的前〃項(xiàng)和.

【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和

一、解答題

1.（2024?四川宜賓?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,an+l=2a,+?-1,（?eN*）.

⑴證明：數(shù)列｛%+〃｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

,1,

⑵設(shè)"=log,（%+#-數(shù)列抄也+J的前n項(xiàng)和為T,，若7；<7帝-根-1對于任意〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)加的

取值范圍.

2.（2024?江蘇鹽城?一模）已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝中，6=；，且3。；+1+24+~“一。；=0（〃€河1）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

16

(2也=——----eN*證明：a+b?+…+b"<；.

"〃+1+

anan+}+a?+1

3.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛4｝（neN*）中，^+02=11,a3=10.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

,1,,1

（2）若，=--------,數(shù)列的也｝前〃項(xiàng)和為1，證明<大.

anan+ian+2168

4.（2024?福建泉州?二模）己知數(shù)列｛%｝和也｝的各項(xiàng)均為正，且％=1地，色｝是公比3的等比數(shù)列.數(shù)

歹!］｛4｝的前n項(xiàng)和S“滿足4S“=a；+2a..

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式;

_________"〃+3_________

(2)設(shè)1=+ancosrm求數(shù)列｛c.｝的前”項(xiàng)和

(2+3-3)(如3-1)

參考答案：

L⑴證明見解析，an=T-n

(2)(-<?,-l]u[2,+ooj.

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；

（2）由（1）可得6/同=!一一二，再裂項(xiàng)相消可知加2一〃-INI,進(jìn)而求解二次不等式即可.

【詳解】（1）由題可知：a?+i+n+1=2an+2n=2（an+n）,又％+l=2w。，

故｛q+科是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，。"+"=2",即

,111,,111

（）、b=----------------=---------=——bb=-----------=-----------

nnn+

log2（^an+n）log22nn（n+l）n〃+l，

00

T=+-----1-----------7=1------7<1，且當(dāng)〃趨于+時，］趨近于L

n1223nn+1n+1

所以由《<加-根-1恒成立，可知蘇一加一121,解得根W.

，\1*

2.⑴4二三'neN;

⑵證明見解析

【分析】（］）由已知得3a3+24+q—d=（。用+q）（3%+「卬）=0,得到｛%｝是以;為公比的等比數(shù)列,

求出通項(xiàng)公式；

（2）求出么,利用裂項(xiàng)相消法即可求證.

17

【詳解】（1）由3叱+1+2%+]%—%=（4+I+4）（3%+I—%）=。，an>0,

辦1.1

侍〃〃+1=§"〃'又4=§,

則｛%｝是以;為首項(xiàng)，;為公比的等比數(shù)列，

所以。”=菰,?6N*.

（2）證明:因?yàn)椤?

4A+i+%+a.+i+l

=（%+1）-（凡+1+1）=

（%+1）（q+1+1）凡+1+1q+1

所以偽+白+…+2

1

金r+1444-

3.（1）?！?3"+1

⑵證明見解析

【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解;

（2）利用裂項(xiàng)相消法求出7；,進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

%+%=11+d=11%=4

由,解得

4—10%+2d=10d=3

所以%=%+（〃—l）d=4+3（〃-1）=3〃+1,

所以數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為例=3九+1；

11

（2）回%=3"+1,團(tuán)么=

〃〃%+4+2（3〃+1）（3〃+4）（3加+7）'

711

（方法一）bn=------------

anan+ian+2（3〃+1）（3〃+4）（3〃+7）

=if_i_____i______i_____

6（3〃+13〃+43n+43n+7J

1

回北=—

〃1834+1

1----------------1--------------<1-----

回4

1686（3/j+4）（3n+7）168-

18

_________1_________1__________]

(方法二)bn=——-——

anan+ian+2(3〃+1)(3〃+4)(3九+7)―3九+4(3H+1)(3M+7)

_i1r11i_____iii)

63〃+4(3〃+l3〃+7)613〃+13〃+43〃+43n+7J

07；=-[f----V[—---—+---1---1---]—\\

〃6|_(4x77xl0j17x1010x13)(3〃+13〃+43n+43n+lJ]

-I--f---1---------1----------1----=1---1----1-----(---1-------------1----<)-1------

6(283〃+43〃+7)1686(3〃+43n+7)168

2

4.(i)〃“=2〃，bn=y-

工）+〃，當(dāng)〃為偶數(shù)

3

-〃-7當(dāng)〃為奇數(shù)

【分析】（1）利用遞推公式可證得數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)；利用等比數(shù)列的性質(zhì),

可求出｛2｝通項(xiàng);

（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可;

【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)〃=1時4H=如+2%二4=2或q=0（舍）,

aa

由4S“=a：+2an,知4sl=n-i+^n-t>

兩式相減得（%+綜_1）（?！?2）=0,

'-an+an-l=Q(舍)或-。,1-2=0,即。,一生1=2,

國數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，.

1,

又名=18bl=6,：.bx=-,：.bn=y-\

￡+3y+1

(2)%=+(-l)"2n

聞3-3）聞3—1）

3〃11

+(-l)"2n=-,,+(—1)"2〃

2(3"-13"+1-1

111111

則一132一1++...+

32-l33-l3"-l3n+1-l

19

當(dāng)〃為偶數(shù)時，一二7+”;

3

當(dāng)”為奇數(shù)時,—H—

4,

當(dāng)〃為偶數(shù)

當(dāng)〃為奇數(shù)

反思提升：

1.用裂項(xiàng)相消法求和時,要對通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：赤了扁3），”（“I左）=2

IWO裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng).

2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).

【考點(diǎn)3】錯位相減法求和

一、解答題

1.（2024高三下?四川成都?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足3=2見+2〃-l.

⑴求證：數(shù)列｛%-2｝為等比數(shù)列；

⑵已知bn=唳/）,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知$3=1