2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：直線與橢圓、雙曲線（原卷版）

專題49直線與橢圓、雙曲線（新高考專用）

2

3

【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系.....................................3

【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長問題..................................................5

【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題......................................7

【分層檢測】9

【基礎(chǔ)篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................12

【培優(yōu)篇】.................................................................12

真題自測

一、解答題

L（2024?全國?高考真題）已知橢圓C：1+/=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)為點(diǎn)在C

上，且叱J_x軸.

⑴求C的方程；

（2）過點(diǎn)P（4,0）的直線交C于A3兩點(diǎn)，N為線段EP的中點(diǎn)，直線N8交直線M/于點(diǎn)Q,

證明：軸.

2.（2024?全國?高考真題）已知雙曲線C:上—/=網(wǎng)徵>o）,點(diǎn)爪&4）在C上,k為常數(shù),

0<k<l.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)￡（"=2,3,…）：過月一作斜率為左的直線與C的左支交

于點(diǎn)?！耙?，令巴為關(guān)于、軸的對稱點(diǎn)，記4的坐標(biāo)為（乙,%）.

⑴若A=—,求％2,丁2；

（2）證明：數(shù)列｛玉-%｝是公比為號的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S”為q匕+冏+2的面積，證明：對任意正整數(shù)a,Sn=Sn+i.

3.（2023?全國?高考真題）已知橢圓C:=l（a>b>0）的離心率是好，點(diǎn)4（-2,0）在C

ab3

上.

⑴求C的方程；

（2）過點(diǎn)（-2,3）的直線交C于P,。兩點(diǎn)，直線AP,AQ與'軸的交點(diǎn)分別為",N,證明：線段

MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

4.（2023?全國?高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜2遍,0）,離心率為

45.

⑴求C的方程；

⑵記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，A,過點(diǎn)（T,o）的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在

第二象限，直線肱&與“交于點(diǎn)P.證明:點(diǎn)尸在定直線上.

22

5.（2022?全國?高考真題）已知雙曲線。：3一當(dāng)=13>0/>0）的右焦點(diǎn)為方（2,0）,漸近線

ab

方程為y=土gx.

⑴求。的方程；

（2）過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于42兩點(diǎn)，點(diǎn)尸住,%）,。（々，力）在C上，且

2

%>%>0,%>0.過尸且斜率為飛的直線與過Q且斜率為6的直線交于點(diǎn)放從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：

①M(fèi)在A3上；@PQ//AB.（3）\MA\^MB\.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計(jì)分.

6.（2022?全國?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過

兩點(diǎn).

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)尸（1,-2）的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過加且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,

點(diǎn)“滿足=證明：直線過定點(diǎn).

即考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系

一、解答題

1.（2024?安徽?三模）已知橢圓c'+y'l的右焦點(diǎn)為足C在點(diǎn)P（%,%）（%片。）處的切線

/分別交直線x=l和直線x=2于兩點(diǎn).

（1）求證：直線為x+2%y-2=0與C相切；

⑵探究：焉\MF是\否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

2.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）橢圓E的焦點(diǎn)為（而,。）和卜而,0）,短軸長為2.

⑴求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓上、下頂點(diǎn)分別為4、2,過點(diǎn)。的直線4與橢圓E交于A、8兩點(diǎn)（不與

片、鳥兩點(diǎn)重合）.

①求證：A片與8鳥的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；

②已知直線4：x+2y-6=。，求直線B鳥、4圍成的三角形面積最小值.

3.（2025?廣東?一模）設(shè)A3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為卜百,。）,（若網(wǎng)）?直線A"，3”相交于點(diǎn)H,

且它們的斜率之積是設(shè)點(diǎn)H的軌跡方程為C.

（1）求C;

3

（2）不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與曲線C相交于E、歹兩點(diǎn)，且直線AE與直線AF的斜率之積是-g,

求證：直線/恒過定點(diǎn).

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）已知點(diǎn)尸為圓C:（x-2『+y2=4上任意一點(diǎn)，A（-2,0）,線段2

的垂直平分線交直線PC于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線

（1）求曲線”的方程；

⑵若過點(diǎn)M的直線/與曲線H的兩條漸近線交于S,T兩點(diǎn)，且Af為線段ST的中點(diǎn).

（i）證明：直線/與曲線H有且僅有一個交點(diǎn)；

（ii）求證：|0斗|07|是定值.

22

5.（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：二-七=1（。>0*>0）的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn)（2,3）.

ab

⑴求C的方程；

⑵若直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，且0408=0（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求|筋|的取值范圍.

2

6.（2024?上海浦東新?三模）已知雙曲線C:Y-2L=1,點(diǎn)a、F,分別為雙曲線的左、右焦

3

點(diǎn)，4（%1，%）、BO：2,%）為雙曲線上的點(diǎn).

（1）求右焦點(diǎn)尸2到雙曲線的漸近線的距離；

（2）若求直線A3的方程；

⑶若A￡//B居，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支,求四邊形

A月居B的面積的取值范圍.

反思提升：

1.判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線/的方程Ax+By+C=0（A、

3不同時為0）代入圓錐曲線C的方程"x,y）=0.消去>（或x）得到一個關(guān)于變量

x（或y）的方程ar+bx+cnOl或ay2+by+c=0i）.

（1）當(dāng)aWO時，則/>0時，直線/與曲線C相交；/=0時，直線/與曲線C相

切；/V0時，直線/與曲線C相離.

⑵當(dāng)a=0時，即得到一個一次方程，則/與C相交，且只有一個交點(diǎn)，此時，

若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線/與拋

物線的對稱軸平行或重合.

2.對于過定點(diǎn)的直線，也可以通過定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交

點(diǎn).

【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長問題

4

一、解答題

22

1.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測）已知橢圓C:5+當(dāng)=1（。＞10）的左、右焦點(diǎn)分別為耳B，

ab

且用用=2,過點(diǎn)尸2作兩條直線直線乙與C交于A3兩點(diǎn)，《A3的周長為40.

（1）求C的方程；

4

（2）若［AB的面積為求4的方程;

⑶若乙與C交于兩點(diǎn)，且4的斜率是4的斜率的2倍，求期的最大值?

2.（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）已知直線/：，=履+m與橢圓C:=1（。＞6＞0）相交于

"b2

A8兩點(diǎn)，M為弦A3的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0M的斜率記為左0”.

（1）證明：%+尢=0；

（2）^k-kOM———,焦距為2班.

①求橢圓C的方程；

②若點(diǎn)N為橢圓C的右頂點(diǎn)，|AB|=2|M0|,且直線AB,AN與x軸圍成底邊在x軸上的等

腰三角形，求直線/的方程.

22

3.（2024?廣東廣州?三模）一般地，當(dāng)幾＞0且/U1時，方程j+斗=彳（。＞6＞0）表示的橢

ab

2222

圓C/稱為橢圓1r+%=1（"＞6＞0）的相似橢圓.已知橢圓c：'+'=l,橢圓C/（彳＞0且

無聲1）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)尸為橢圓C＜上異于其左，右頂點(diǎn)M,N的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)ae（O,l）時，直線丁=7"+〃（機(jī)＞0,〃＜0）與橢圓C,G（自上而下依次交于R,Q,S,T

四點(diǎn)，探究田。|,|ST|的大小關(guān)系，并說明理由.

（2）當(dāng)彳=e?（e為橢圓C的離心率）時，設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)A,B,直線PN與橢圓

C交于點(diǎn)。，E,求|AB|+|DE|的值.

4.（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)T到點(diǎn)尸（2,0）的距離與到直線

x=l的距離之比為夜，記T的軌跡為曲線E,直線4交E右支于A,5兩點(diǎn)，直線乙交E右

支于C,。兩點(diǎn)，“〃2.

⑴求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：OAOB=OCOD-,

5

⑶若直線4過點(diǎn)（2,0）,直線4過點(diǎn)（8,0）,記AB,C。的中點(diǎn)分別為P,Q,過點(diǎn)。作E兩

條漸近線的垂線，垂足分別為N,求四邊形PMQN面積的取值范圍.

22

5.（2024?安徽池州二模）已知雙曲線C:5-4=1（"0/>0）的右焦點(diǎn)網(wǎng)2,0）,離心率

ab

為空,過產(chǎn)的直線4交C于點(diǎn)AB兩點(diǎn)，過戶與《垂直的直線/，交C于。,E兩點(diǎn).

3

77

（1）當(dāng)直線4的傾斜角為B時，求由A,民。,E四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；

4

⑵直線/：元=妝+3分別交44于點(diǎn)若“為AB的中點(diǎn)，證明：N為DE的中點(diǎn).

22

6.（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:*-方=1（。>0*>0）經(jīng)過點(diǎn)卜2,?）,其漸

近線方程為y=±A/2X.

⑴求雙曲線C的方程;

⑵過點(diǎn)尸（1,1）的直線/與雙曲線C相交于48兩點(diǎn),P能否是線段A8的中點(diǎn)？請說明理由.

反思提升：

1.弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法

⑴根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系

表示中點(diǎn)；

（2）點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)

系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.

2.弦長的求解方法

（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.

⑵當(dāng)直線的斜率存在時,斜率為左的直線/與橢圓或雙曲線相交于A（xi,yi）,3（X2,

”）兩個不同的點(diǎn)，則弦長公式的常見形式有如下幾種：

①|(zhì)AB|=\]l+lc\x\—X2I

=q（1+后）[（X1+X2）2-4xiX2]；

②1+p|yi-/|（左#0）

*2

=噂（1+/1（v+券）—4yiy2].

【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題

一、解答題

22

1.（2024?上海,高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A為橢圓「土+<=1上一點(diǎn)，

6

可、尸2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).

(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,求|A￡|的長；

(2)設(shè)『的上、下頂點(diǎn)分別為、/2,記△然鳥的面積為S”AM}M2的面積為S2,若耳2S?,

求的取值范圍

⑶若點(diǎn)A在x軸上方，設(shè)直線A工與:T交于點(diǎn)8,與V軸交于點(diǎn)K,附延長線與「交于點(diǎn)C,

是否存在x軸上方的點(diǎn)C,使得百A+耳8+耳。=1(F2A+F2B+F2C)^6R)成立?若存在，

請求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

2.(2023?四川綿陽?三模)在平面直角坐標(biāo)系g中：①已知點(diǎn)A("0),直線/人挈，

動點(diǎn)尸滿足到點(diǎn)A的距離與到直線I的距離之比坐；②已知點(diǎn)ST分別在X軸，y軸上運(yùn)動，

o1

且|ST|=3,動點(diǎn)尸滿op=ps+(or；③已知圓C的方程為/+丁=4,直線/為圓C的

切線，記點(diǎn)A(五o),網(wǎng)-點(diǎn)0)到直線/的距離分別為44，動點(diǎn)尸滿足印=聞即=心.

(1)在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵記(1)中動點(diǎn)尸的軌跡為E,經(jīng)過點(diǎn)。(1,0)的直線，交E于M,N兩點(diǎn)，若線段MN

的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)。縱坐標(biāo)的取值范圍.

221

3.(2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測)已知橢圓=+2=1(°>6>0)的離心率為一，拋物線

ab2

f=4y的焦點(diǎn)為點(diǎn)R過點(diǎn)尸作y軸的垂線交橢圓于P,。兩點(diǎn)，|尸。|=孚.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過拋物線上一點(diǎn)A作拋物線的切線/交橢圓于3,C兩點(diǎn)，設(shè)/與無軸的交點(diǎn)為。，8C的

S18

中點(diǎn)為的中垂線交x軸于點(diǎn)G,若，GED,的面積分別記為工，$2,且肅=病，

點(diǎn)A在第一象限，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

4.(2025?黑龍江大慶?一模)已知雙曲線E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為卜石,。)，漸近線

方程為y=±今x.

(1)求￡T的方程；

(2)若互相垂直的兩條直線//均過點(diǎn)打外⑼伉>四，且"N*),直線4交E于A2兩點(diǎn)，

直線4交E于C，。兩點(diǎn)，〃,N分別為弦A3和C。的中點(diǎn)，直線MN交x軸于點(diǎn)

7

Q3⑼(”eN*),設(shè)p,=2".

①求露

2n

②記4=|PQ|,b?=2n-l（n^）,求-㈠）"4k.

k=l

5.（2025嚀夏?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系無，中，點(diǎn)T到點(diǎn)尸（2,0）的距離與到直線x=l

的距離之比為近，記T的軌跡為曲線E,直線《交E右支于A,8兩點(diǎn)，直線4交E右支于

C,。兩點(diǎn)，“/加

⑴求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線4過點(diǎn)（2,0）,直線4過點(diǎn)（8,0）,記AB,8的中點(diǎn)分別為尸，Q,過點(diǎn)。作E兩條

漸近線的垂線，垂足分別為M,N,求四邊形PMQN面積的取值范圍.

6.（2024?重慶沙坪壩?模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系立力中，雙曲線

，一J=l（a>0,b>0）的上下焦點(diǎn)分別為耳（0,c）,6（0,—c）.已知點(diǎn)（e,和僅，夜）都在

雙曲線上，其中e為雙曲線的離心率.

⑴求雙曲線的方程;

⑵設(shè)A3是雙曲線上位于V軸右方的兩點(diǎn)，且直線4月與直線8月平行，A居與交于點(diǎn)R

（i）若|A耳|-忸典=2,求直線A［的斜率；

（ii）求證：|尸國+|尸圖是定值.

反思提升：

1.求解直線與橢圓的綜合問題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的

方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計(jì)算量，在代數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常運(yùn)用設(shè)而不求

的方法.

2.直線方程的設(shè)法，根據(jù)題意，如果需栗討論斜率不存在的情況，則設(shè)直線方程

為x=ty+m避免討論；若所研究的直線的斜率存在，則可設(shè)直線方程為y=kx

+6的形式；若包含平行于坐標(biāo)軸的直線，則不要忘記斜率不存在的情況的討論.

8

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)。,6滿足。+2b=1,則右+揚(yáng)的取值范

圍是（）

1淮史匹

~2,~1

22

2.（2023?江西?模擬預(yù)測）已知直線/1：＞=2尤+2過橢圓。；4+2r=1（。＞。＞0）的一個焦

點(diǎn)，與C交于48兩點(diǎn)，與4平行的直線4與C交于N兩點(diǎn)，若A8的中點(diǎn)為P,MN

4

的中點(diǎn)為。且PQ的斜率為-則。的方程為（）

22

3.（2024?山東泰安三模）已知/（G。）為雙曲線C:J=1（a＞0,b〉0）的右焦點(diǎn)，

ab

直線x=c與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB是面積為4的直

角三角形，則C的方程為（）

272222

A.x2-y2=lB.---匕=1C.--^=1D.士一匕=1

224442

4.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個焦點(diǎn)為尸（-2,0）,過

斤的直線/與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（-3,-l）,則C的離心率為（）

A.冊B.氈C.@D.g

32

二、多選題

22

5.（2024?四川?一模）已知橢圓E:'+匕=1的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為月,工，過

43

點(diǎn)月的直線與橢圓相交于P,。兩點(diǎn)，則（）

A.閨閭=1

B.|PQ|＜4

C.當(dāng)鳥,P,。不共線時，△月尸。的周長為8

D.設(shè)點(diǎn)P到直線x=T的距離為d,則1=2歸耳|

9

2

6.（22-23高二下?廣西,期中）已知雙曲線C:/-匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為不居，拋物線

3一

y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個公共點(diǎn)，則下

列說法正確的是（）

A.p=4B.月產(chǎn)月的周長為16

C.片尸耳的面積為2nD.cos/耳尸鳥=：

7.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）已知尸一工分別是雙曲線C：土-9=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M

4'

是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段4耳為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)則（）

A.也的面積為豆B.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或-2

C.C的漸近線方程為〉=±；xD.以線段月入為直徑的圓的方程為爐+丁=3

三、填空題

2

8.（2024?北京?高考真題）若直線y=Mx-3）與雙曲線3-y2=i只有一個公共點(diǎn)，貝必的

一個取值為.

9.（2022?安徽蚌埠?三模）已知橢圓弓+4=l（a>&>0）的離心率為電，直線I與橢圓交于A,

ab2

8兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)為M（1,1）時,直線/的方程為.

22

10.（2024?黑龍江吉林?二模）橢圓土+匕=1的左，右焦點(diǎn)分別為月，工，過焦點(diǎn)打的直

169

線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，設(shè)&（外,%）,8（9,%）,若AABg的面積是4,則|另-丫2|=.

四、解答題

22

11.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知橢圓C:=+與=1（。>6>0）的一個焦點(diǎn)與拋物線

ab

丁=4尤的焦點(diǎn)重合，離心率為二.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點(diǎn)尸［g,。］作斜率為。的直線交橢圓C于RQ兩點(diǎn)，求弦PQ中點(diǎn)坐標(biāo).

22

12.（2023?云南昆明?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：二-2=1（。>0,6>0）上任意一點(diǎn)Q（異于

ab

頂點(diǎn)）與雙曲線兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為：，E在雙曲線C上，尸為雙曲線C的右焦點(diǎn)，|跖|

的最小值為JIU-3.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

10

⑵過橢圓W+t=l（加＞"＞0）上任意一點(diǎn)P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線

mn

兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M,N兩點(diǎn)，且1PMi2+|PN『=5,是否存在相，〃使得

橢圓的離心率為逆？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說明理由.

3

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:1-匕=1（。＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,耳，直線

CL18

/過點(diǎn)尸2且與雙曲線C交于A2兩點(diǎn)，若隹=33區(qū),|4凰=2忸團(tuán)，則下列說法不正確的是

（）

A.雙曲線C的離心率為M

B.雙曲線C的漸近線方程為＞=±3岳

C.過點(diǎn)尸21的直線機(jī)與雙曲線C交于兩點(diǎn)且尸為建V的中點(diǎn)，則直線機(jī)的方

程為y=3x+1

D.AB用巴的面積為3屏

二、多選題

2

2.（2024?新疆烏魯木齊?三模）已