2025年高考數(shù)學一輪復習講義：直線與橢圓、雙曲線（原卷版）

專題49直線與橢圓、雙曲線（新高考專用）

2

3

【考點1】直線與橢圓、雙曲線的位置關系.....................................3

【考點2】中點弦及弦長問題..................................................5

【考點3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題......................................7

【分層檢測】9

【基礎篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................12

【培優(yōu)篇】.................................................................12

真題自測

一、解答題

L（2024?全國?高考真題）已知橢圓C：1+/=l（a>6>0）的右焦點為點在C

上，且叱J_x軸.

⑴求C的方程；

（2）過點P（4,0）的直線交C于A3兩點，N為線段EP的中點，直線N8交直線M/于點Q,

證明：軸.

2.（2024?全國?高考真題）已知雙曲線C:上—/=網(wǎng)徵>o）,點爪&4）在C上,k為常數(shù),

0<k<l.按照如下方式依次構造點￡（"=2,3,…）：過月一作斜率為左的直線與C的左支交

于點?！耙?，令巴為關于、軸的對稱點，記4的坐標為（乙,%）.

⑴若A=—,求％2,丁2；

（2）證明：數(shù)列｛玉-%｝是公比為號的等比數(shù)列；

⑶設S”為q匕+冏+2的面積，證明：對任意正整數(shù)a,Sn=Sn+i.

3.（2023?全國?高考真題）已知橢圓C:=l（a>b>0）的離心率是好，點4（-2,0）在C

ab3

上.

⑴求C的方程；

（2）過點（-2,3）的直線交C于P,。兩點，直線AP,AQ與'軸的交點分別為",N,證明：線段

MN的中點為定點.

4.（2023?全國?高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為卜2遍,0）,離心率為

45.

⑴求C的方程；

⑵記C的左、右頂點分別為4，A,過點（T,o）的直線與C的左支交于M,N兩點，M在

第二象限，直線肱&與“交于點P.證明:點尸在定直線上.

22

5.（2022?全國?高考真題）已知雙曲線。：3一當=13>0/>0）的右焦點為方（2,0）,漸近線

ab

方程為y=土gx.

⑴求。的方程；

（2）過尸的直線與C的兩條漸近線分別交于42兩點，點尸住,%）,。（々，力）在C上，且

2

%>%>0,%>0.過尸且斜率為飛的直線與過Q且斜率為6的直線交于點放從下面

①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：

①M在A3上；@PQ//AB.（3）\MA\^MB\.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

6.（2022?全國?高考真題）已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過

兩點.

（1）求E的方程；

（2）設過點尸（1,-2）的直線交E于M,N兩點，過加且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,

點“滿足=證明：直線過定點.

即考點突破

【考點1】直線與橢圓、雙曲線的位置關系

一、解答題

1.（2024?安徽?三模）已知橢圓c'+y'l的右焦點為足C在點P（%,%）（%片。）處的切線

/分別交直線x=l和直線x=2于兩點.

（1）求證：直線為x+2%y-2=0與C相切；

⑵探究：焉\MF是\否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

2.（2024?遼寧沈陽?模擬預測）橢圓E的焦點為（而,。）和卜而,0）,短軸長為2.

⑴求橢圓E的標準方程；

⑵設橢圓上、下頂點分別為4、2,過點。的直線4與橢圓E交于A、8兩點（不與

片、鳥兩點重合）.

①求證：A片與8鳥的交點的縱坐標為定值；

②已知直線4：x+2y-6=。，求直線B鳥、4圍成的三角形面積最小值.

3.（2025?廣東?一模）設A3兩點的坐標分別為卜百,。）,（若網(wǎng)）?直線A"，3”相交于點H,

且它們的斜率之積是設點H的軌跡方程為C.

（1）求C;

3

（2）不經過點A的直線/與曲線C相交于E、歹兩點，且直線AE與直線AF的斜率之積是-g,

求證：直線/恒過定點.

4.（2024?內蒙古赤峰?三模）已知點尸為圓C:（x-2『+y2=4上任意一點，A（-2,0）,線段2

的垂直平分線交直線PC于點M,設點M的軌跡為曲線

（1）求曲線”的方程；

⑵若過點M的直線/與曲線H的兩條漸近線交于S,T兩點，且Af為線段ST的中點.

（i）證明：直線/與曲線H有且僅有一個交點；

（ii）求證：|0斗|07|是定值.

22

5.（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：二-七=1（。>0*>0）的離心率為2.且經過點（2,3）.

ab

⑴求C的方程；

⑵若直線/與C交于A,8兩點，且0408=0（點。為坐標原點），求|筋|的取值范圍.

2

6.（2024?上海浦東新?三模）已知雙曲線C:Y-2L=1,點a、F,分別為雙曲線的左、右焦

3

點，4（%1，%）、BO：2,%）為雙曲線上的點.

（1）求右焦點尸2到雙曲線的漸近線的距離；

（2）若求直線A3的方程；

⑶若A￡//B居，其中A、B兩點均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支,求四邊形

A月居B的面積的取值范圍.

反思提升：

1.判斷直線/與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線/的方程Ax+By+C=0（A、

3不同時為0）代入圓錐曲線C的方程"x,y）=0.消去>（或x）得到一個關于變量

x（或y）的方程ar+bx+cnOl或ay2+by+c=0i）.

（1）當aWO時，則/>0時，直線/與曲線C相交；/=0時，直線/與曲線C相

切；/V0時，直線/與曲線C相離.

⑵當a=0時，即得到一個一次方程，則/與C相交，且只有一個交點，此時，

若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線/與拋

物線的對稱軸平行或重合.

2.對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內部或橢圓上判定直線和橢圓有交

點.

【考點2】中點弦及弦長問題

4

一、解答題

22

1.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預測）已知橢圓C:5+當=1（。＞10）的左、右焦點分別為耳B，

ab

且用用=2,過點尸2作兩條直線直線乙與C交于A3兩點，《A3的周長為40.

（1）求C的方程；

4

（2）若［AB的面積為求4的方程;

⑶若乙與C交于兩點，且4的斜率是4的斜率的2倍，求期的最大值?

2.（2024?河北滄州?模擬預測）已知直線/：，=履+m與橢圓C:=1（。＞6＞0）相交于

"b2

A8兩點，M為弦A3的中點，。為坐標原點，直線0M的斜率記為左0”.

（1）證明：%+尢=0；

（2）^k-kOM———,焦距為2班.

①求橢圓C的方程；

②若點N為橢圓C的右頂點，|AB|=2|M0|,且直線AB,AN與x軸圍成底邊在x軸上的等

腰三角形，求直線/的方程.

22

3.（2024?廣東廣州?三模）一般地，當幾＞0且/U1時，方程j+斗=彳（。＞6＞0）表示的橢

ab

2222

圓C/稱為橢圓1r+%=1（"＞6＞0）的相似橢圓.已知橢圓c：'+'=l,橢圓C/（彳＞0且

無聲1）是橢圓C的相似橢圓，點尸為橢圓C＜上異于其左，右頂點M,N的任意一點.

（1）當ae（O,l）時，直線丁=7"+〃（機＞0,〃＜0）與橢圓C,G（自上而下依次交于R,Q,S,T

四點，探究田。|,|ST|的大小關系，并說明理由.

（2）當彳=e?（e為橢圓C的離心率）時，設直線與橢圓C交于點A,B,直線PN與橢圓

C交于點。，E,求|AB|+|DE|的值.

4.（2025?廣東廣州?模擬預測）在平面直角坐標系中，點T到點尸（2,0）的距離與到直線

x=l的距離之比為夜，記T的軌跡為曲線E,直線4交E右支于A,5兩點，直線乙交E右

支于C,。兩點，“〃2.

⑴求E的標準方程；

（2）證明：OAOB=OCOD-,

5

⑶若直線4過點（2,0）,直線4過點（8,0）,記AB,C。的中點分別為P,Q,過點。作E兩

條漸近線的垂線，垂足分別為N,求四邊形PMQN面積的取值范圍.

22

5.（2024?安徽池州二模）已知雙曲線C:5-4=1（"0/>0）的右焦點網(wǎng)2,0）,離心率

ab

為空,過產的直線4交C于點AB兩點，過戶與《垂直的直線/，交C于。,E兩點.

3

77

（1）當直線4的傾斜角為B時，求由A,民。,E四點圍成的四邊形的面積；

4

⑵直線/：元=妝+3分別交44于點若“為AB的中點，證明：N為DE的中點.

22

6.（2023?廣西南寧?模擬預測）已知雙曲線C:*-方=1（。>0*>0）經過點卜2,?）,其漸

近線方程為y=±A/2X.

⑴求雙曲線C的方程;

⑵過點尸（1,1）的直線/與雙曲線C相交于48兩點,P能否是線段A8的中點？請說明理由.

反思提升：

1.弦及弦中點問題的解決方法

⑴根與系數(shù)的關系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關系

表示中點；

（2）點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構造中點、斜率間的關

系.若已知弦的中點坐標，可求弦所在直線的斜率.

2.弦長的求解方法

（1）當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.

⑵當直線的斜率存在時,斜率為左的直線/與橢圓或雙曲線相交于A（xi,yi）,3（X2,

”）兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：

①|AB|=\]l+lc\x\—X2I

=q（1+后）[（X1+X2）2-4xiX2]；

②1+p|yi-/|（左#0）

*2

=噂（1+/1（v+券）—4yiy2].

【考點3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題

一、解答題

22

1.（2024?上海,高考真題）在平面直角坐標系中，已知點A為橢圓「土+<=1上一點，

6

可、尸2分別為橢圓的左、右焦點.

(1)若點A的橫坐標為2,求|A￡|的長；

(2)設『的上、下頂點分別為、/2,記△然鳥的面積為S”AM}M2的面積為S2,若耳2S?,

求的取值范圍

⑶若點A在x軸上方，設直線A工與:T交于點8,與V軸交于點K,附延長線與「交于點C,

是否存在x軸上方的點C,使得百A+耳8+耳。=1(F2A+F2B+F2C)^6R)成立?若存在，

請求出點C的坐標;若不存在，請說明理由.

2.(2023?四川綿陽?三模)在平面直角坐標系g中：①已知點A("0),直線/人挈，

動點尸滿足到點A的距離與到直線I的距離之比坐；②已知點ST分別在X軸，y軸上運動，

o1

且|ST|=3,動點尸滿op=ps+(or；③已知圓C的方程為/+丁=4,直線/為圓C的

切線，記點A(五o),網(wǎng)-點0)到直線/的距離分別為44，動點尸滿足印=聞即=心.

(1)在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程；

⑵記(1)中動點尸的軌跡為E,經過點。(1,0)的直線，交E于M,N兩點，若線段MN

的垂直平分線與y軸相交于點Q,求點?？v坐標的取值范圍.

221

3.(2023?江蘇連云港?模擬預測)已知橢圓=+2=1(°>6>0)的離心率為一，拋物線

ab2

f=4y的焦點為點R過點尸作y軸的垂線交橢圓于P,。兩點，|尸。|=孚.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過拋物線上一點A作拋物線的切線/交橢圓于3,C兩點，設/與無軸的交點為。，8C的

S18

中點為的中垂線交x軸于點G,若，GED,的面積分別記為工，$2,且肅=病，

點A在第一象限，求點A的坐標.

4.(2025?黑龍江大慶?一模)已知雙曲線E的中心為坐標原點，左焦點為卜石,。)，漸近線

方程為y=±今x.

(1)求￡T的方程；

(2)若互相垂直的兩條直線//均過點打外⑼伉>四，且"N*),直線4交E于A2兩點，

直線4交E于C，。兩點，〃,N分別為弦A3和C。的中點，直線MN交x軸于點

7

Q3⑼(”eN*),設p,=2".

①求露

2n

②記4=|PQ|,b?=2n-l（n^）,求-㈠）"4k.

k=l

5.（2025嚀夏?模擬預測）在平面直角坐標系無，中，點T到點尸（2,0）的距離與到直線x=l

的距離之比為近，記T的軌跡為曲線E,直線《交E右支于A,8兩點，直線4交E右支于

C,。兩點，“/加

⑴求E的標準方程；

⑵若直線4過點（2,0）,直線4過點（8,0）,記AB,8的中點分別為尸，Q,過點。作E兩條

漸近線的垂線，垂足分別為M,N,求四邊形PMQN面積的取值范圍.

6.（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）如圖，在平面直角坐標系立力中，雙曲線

，一J=l（a>0,b>0）的上下焦點分別為耳（0,c）,6（0,—c）.已知點（e,和僅，夜）都在

雙曲線上，其中e為雙曲線的離心率.

⑴求雙曲線的方程;

⑵設A3是雙曲線上位于V軸右方的兩點，且直線4月與直線8月平行，A居與交于點R

（i）若|A耳|-忸典=2,求直線A［的斜率；

（ii）求證：|尸國+|尸圖是定值.

反思提升：

1.求解直線與橢圓的綜合問題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關的

方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計算量，在代數(shù)運算中，經常運用設而不求

的方法.

2.直線方程的設法，根據(jù)題意，如果需栗討論斜率不存在的情況，則設直線方程

為x=ty+m避免討論；若所研究的直線的斜率存在，則可設直線方程為y=kx

+6的形式；若包含平行于坐標軸的直線，則不要忘記斜率不存在的情況的討論.

8

【基礎篇】

一、單選題

1.（23-24高三下?廣東廣州?階段練習）已知正實數(shù)。,6滿足。+2b=1,則右+揚的取值范

圍是（）

1淮史匹

~2,~1

22

2.（2023?江西?模擬預測）已知直線/1：＞=2尤+2過橢圓。；4+2r=1（。＞。＞0）的一個焦

點，與C交于48兩點，與4平行的直線4與C交于N兩點，若A8的中點為P,MN

4

的中點為。且PQ的斜率為-則。的方程為（）

22

3.（2024?山東泰安三模）已知/（G。）為雙曲線C:J=1（a＞0,b〉0）的右焦點，

ab

直線x=c與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點，。為坐標原點，△OAB是面積為4的直

角三角形，則C的方程為（）

272222

A.x2-y2=lB.---匕=1C.--^=1D.士一匕=1

224442

4.（2022?全國?模擬預測）已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為尸（-2,0）,過

斤的直線/與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為N（-3,-l）,則C的離心率為（）

A.冊B.氈C.@D.g

32

二、多選題

22

5.（2024?四川?一模）已知橢圓E:'+匕=1的左頂點為A,左、右焦點分別為月,工，過

43

點月的直線與橢圓相交于P,。兩點，則（）

A.閨閭=1

B.|PQ|＜4

C.當鳥,P,。不共線時，△月尸。的周長為8

D.設點P到直線x=T的距離為d,則1=2歸耳|

9

2

6.（22-23高二下?廣西,期中）已知雙曲線C:/-匕=1的左、右焦點分別為不居，拋物線

3一

y2=2px（p>0）的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下

列說法正確的是（）

A.p=4B.月產月的周長為16

C.片尸耳的面積為2nD.cos/耳尸鳥=：

7.（2022?福建泉州?模擬預測）已知尸一工分別是雙曲線C：土-9=1的左、右焦點，點M

4'

是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段4耳為直徑的圓經過點則（）

A.也的面積為豆B.點M的橫坐標為2或-2

C.C的漸近線方程為〉=±；xD.以線段月入為直徑的圓的方程為爐+丁=3

三、填空題

2

8.（2024?北京?高考真題）若直線y=Mx-3）與雙曲線3-y2=i只有一個公共點，貝必的

一個取值為.

9.（2022?安徽蚌埠?三模）已知橢圓弓+4=l（a>&>0）的離心率為電，直線I與橢圓交于A,

ab2

8兩點，當AB的中點為M（1,1）時,直線/的方程為.

22

10.（2024?黑龍江吉林?二模）橢圓土+匕=1的左，右焦點分別為月，工，過焦點打的直

169

線交橢圓于A,B兩點，設&（外,%）,8（9,%）,若AABg的面積是4,則|另-丫2|=.

四、解答題

22

11.（2024?陜西西安?模擬預測）已知橢圓C:=+與=1（。>6>0）的一個焦點與拋物線

ab

丁=4尤的焦點重合，離心率為二.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點尸［g,。］作斜率為。的直線交橢圓C于RQ兩點，求弦PQ中點坐標.

22

12.（2023?云南昆明?模擬預測）已知雙曲線C：二-2=1（。>0,6>0）上任意一點Q（異于

ab

頂點）與雙曲線兩頂點連線的斜率之積為：，E在雙曲線C上，尸為雙曲線C的右焦點，|跖|

的最小值為JIU-3.

（1）求雙曲線C的標準方程；

10

⑵過橢圓W+t=l（加＞"＞0）上任意一點P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線

mn

兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M,N兩點，且1PMi2+|PN『=5,是否存在相，〃使得

橢圓的離心率為逆？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說明理由.

3

【能力篇】

一、單選題

22

1.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C:1-匕=1（。＞0）的左、右焦點分別為耳,耳，直線

CL18

/過點尸2且與雙曲線C交于A2兩點，若隹=33區(qū),|4凰=2忸團，則下列說法不正確的是

（）

A.雙曲線C的離心率為M

B.雙曲線C的漸近線方程為＞=±3岳

C.過點尸21的直線機與雙曲線C交于兩點且尸為建V的中點，則直線機的方

程為y=3x+1

D.AB用巴的面積為3屏

二、多選題

2

2.（2024?新疆烏魯木齊?三模）已