2025年高考數學一輪復習講義：空間直線、平面的平行（（解析版））

專題38空間直線、平面的平行（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】...............................................................14

【考點11直線與平面平行的判定與性質........................................14

【考點2］平面與平面平行的判定與性質........................................24

【考點3］平行關系的綜合應用................................................32

【分層檢測】...............................................................43

【基礎篇】.................................................................43

【能力篇】.................................................................54

【培優(yōu)篇】.................................................................62

考試要求：

從定義和基本事實出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、

平面與平面的平行關系，并加以證明.

.知識梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

如果平面外一條直線

與此平面內的一條直a____aGa,bua,a//b=>a

判定定理

線平行，那么該直線與//a

此平面平行

一條直線和一個平面

平行，如果過該直線的a//a,￡,。n￡

性質定理7

平面與此平面相交，那Jeb=b=>a//b

么該直線與交線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面內的

au￡,buB,aC\b

兩條相交直線與另%如/

判定定理=P,a//a,b//an

一個平面平行，那4__/

aIIB

么這兩個平面平行

兩個平面平行，則

其中一個平面內的/a/a//0,aua0ali

性質

直線平行于另一個/_____/￡

平面

兩個平面平行，如

a〃￡,a(~yy=a,

性質定理果另一個平面與這

二劣必J3r\y=b=>a//b

兩個平面相交,那

2

么兩條交線平行

I常用結論

1.平行關系中的三個重要結論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a邛,則a〃及

(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若a〃6，p//y,則a〃/

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若b±a,則?！?。

2.三種平行關系的轉化

性質定理

▼判定定理判定定理I

線線平行一:篤、線面平行.一、面面平行

性質定理性質

等真題自測

一、解答題

1.（2024?全國,高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/l0,

=為cr＞的中點.

(1)證明：EM//平面

(2)求點M到ADE的距離.

2.(2023?全國?高考真題)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=2?，PB=PC=&,

3P,AP,3c的中點分別為，及O,點尸在AC上，BF1AO.

A

3

（1）求證：跖〃平面A￡）O；

⑵若/PO尸=120。，求三棱錐P-ABC的體積.

3.（2023?天津?高考真題）如圖，在三棱臺ABC-A耳G中，4人，平面

ABC,AB±AC,AB=AC=A4,=2,4Q=1,Af為BC中點.，N為AB的中點,

⑴求證：AN〃平面AMG；

（2）求平面AMG與平面ACGA所成夾角的余弦值；

⑶求點C到平面AMG的距離.

4.（2022?全國?高考真題）小明同學參加綜合實踐活動，設計了一個封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面

ABCD是邊長為8（單位：cm）的正方形，A￡A氏AEBC,AGCD,AHD4均為正三角形，且它們所在的平面都

與平面ABCD垂直.

（1）證明：砂//平面ABCD；

⑵求該包裝盒的容積（不計包裝盒材料的厚度）.

5.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-44G中，側面BCG與為正方形，平面8CCH，平面ABB0,

AB=BC=2,M,N分別為4瓦，AC的中點.

4

B]M

C

⑴求證：MN〃平面3CC4；

（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

參考答案:

1.⑴證明見詳解；

13

【分析】（工）結合已知易證四邊形瓦匕河為平行四邊形，可證四/生。，進而得證;

（2）先證明。4,平面結合等體積法%_AOE=%.EDM即可求解.

【詳解】（1）由題意得，EF//MC,且所=MC,

所以四邊形EFCN是平行四邊形，所以EM//FC,

又CFu平面BCF,EM仁平面BCF,

所以EM〃平面BCF；

（2）取DM的中點。，連接。4,0E,因為AB//MC,且AB=MC,

所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以AM=BC=JQ,

又=故八位）暇是等腰三角形，同理是等腰三角形，

可得OA_LDM,OE_LDM,OA==3,OE=[ED一=73,

又AE=2?,^^XOA1+OE2=AE2,故OAJ_OE.

又。4_LDMQEcDM=O,OE,DMu平面EDM,所以。4_L平面EDM,

易知S^EDM=￡X2X6=6

5

在VAD￡中，cosZDEA=土衛(wèi)~~,

2x2x204

所以sin/°EA=^'凡"EA=；X2X2百義孚=與.

設點M到平面ADE的距離為d,由%_ABE=VA-EDM，

得%皿以=%回.04,得〃=吟，

故點M到平面ADE的距離為5g.

13

AB

1

。佑女二藥匕)c

E‘F

2.(1)證明見解析

(2)偵

3

【分析】(1)根據給定條件，證明四邊形C?所為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

(2)作出并證明尸加為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.

【詳解】⑴連接DE,QF,設AF=zAC,則麗=麗+^^(l-r)麗+f前，AO=-BA+^BC,BFLAO,

貝0旃?=[(1-f)麗+tBC]-(一麗+1BC)=(r-1)麗2+^rBC7=4(Z-l)+4r=0,

解得/=；，則/為AC的中點，由2EQ廠分別為尸員PA,BC,AC的中點，

^^DE//AB,DE=-AB,OF//AB,OF=-AB,即DE//OF,DE=OF,

22

則四邊形ODEF為平行四邊形，

EFIIDO,EF=DO,又EFa平面ADO,DOu平面ADO,

所以EF〃平面相＞O.

(2)過尸作RW垂直產。的延長線交于點M,

因為P8=PC,O是8C中點，所以尸O1BC,

在Rt△尸30中，PB=y16,BO=-BC=y/2,

2

所以PO7PB2-OB?=a一2=2,

6

因為AB_LBC,OP//AB,

所以Ob_LBC,又POcOF=O,尸0,0bu平面尸。/，

所以3C1平面尸0斤，又HWu平面尸0斤，

所以3C_LPM,又BCnfM=O,BC,FMu平面ABC,

所以PM_L平面ABC,

即三棱錐尸-ABC的高為PM,

因為/POP=120。，所以NPOAf=60。，

所以尸知=尸0$也60°=2*且=6，

2

又Sf=>AB.BC=Lx2x2母=2枝,

Z_X/ix5V

所以L-ABCngSaMc.尸知義括

(2)t

嗚

【分析】（1）先證明四邊形MN41cl是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；

（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進行求解；

（3）方法一是利用線面垂直的關系，找到垂線段的長，方法二無需找垂線段長，直接利用等體積法求解

【詳解】（1）

7

連接MN，GA.由M,N分別是BC,8A的中點，根據中位線性質，MN//AC,且威=奇=1,

由棱臺性質，AQ//AC,于是MN〃AG，由MN=AG=I可知，四邊形小G是平行四邊形，則4”〃

MG，

又AN<Z平面GMA,MC|U平面GK4,于是〃平面AMC1.

(2)過M作MELAC,垂足為E,過E作EF，AC1,垂足為尸,連接板,C￡.

由MEu面ABC,A4，面ABC,故AA]_LME,又ME_LAC,ACnAA]=A,AC,的u平面ACQA,則

ME_L平面ACCA.

由AGu平面ACG4，故ME_LAG，又EF_LAQ,MEcEF=E,ME,EFu平面AffiF,于是人弓,平

面MEF,

由MRu平面MEF,故AG_L"F.于是平面AMG與平面ACGA所成角即NMFE.

ME=-1,cosNC4C]=^^,則sinNCAC]=,故E/=lxsinNC4C],在RIAAIEF中,

NMEF=9。

(3)［方法一：幾何法］

8

過C1作GPLAC,垂足為P,作CQLAM,垂足為2,連接尸Q,PM,過戶作PRJ_GQ,垂足為R.

3A/2

由題干數據可得，C]A=C]C=逐，GM=JcF+PM?=亞,根據勾股定理，GQ=

~2~

由Cf,平面AMC,平面AMC,則GPLAM,又GQLAM,CienC1P=C1,弓。,弓尸匚平面弓尸。，

于是2平面GPQ.

又PRu平面C/Q,則尸又PR^GQ,CtQ^AM=Q,GQ,AMu平面CjMA,故依，平面GMA.

2.交

在RtAC/Q中，PR=今產=磊=：,

2d57Z3

~2~

又C4=2上4,故點C到平面QMA的距離是p到平面C.MA的距離的兩倍,

4

即點C到平面AMQ的距離是§.

[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.

設點C到平面AMQ的距離為瓦

V=XCPXS=X2XX

Ct-AMC~1^AMCJ2(^)="

Vv_1,Q,163垃_h

c-ctMA=-X/JXSAAMCI=-xhx-xy/2x—^-=—.

h24

由匕AMC=CMA—=即//=_.

C]—A/WCC—C]M/123，'3

9

4.⑴證明見解析;

(2)等技

【分析】(1)分別取",BC的中點KN,連接政V,由平面知識可知EM_LAB,/W_L8C,EM=FN,依

題從而可證兇0_L平面ABC。，？W_L平面ABC。，根據線面垂直的性質定理可知W〃FN,即可知四邊形

EMNF為平行四邊形，于是跖//MN,最后根據線面平行的判定定理即可證出；

(2)再分別取中點K,L,由(1)知，該幾何體的體積等于長方體KWL-E/GH的體積加上四棱

錐3-組體積的4倍，即可解出.

【詳解】(1)如圖所示：

分別取的中點連接肱V,因為為全等的正三角形，所以，BC,

EM=FN,又平面￡AB_L平面ABCD,平面￡ABc平面ASCD=AB,EMu平面E4B,所以EW_L平面

ABCD,同理可得印，平面ABCD,根據線面垂直的性質定理可知EA/〃FN,而EM=FN,所以四邊形

EMNF為平行四邊形，所以EF//MN,又EF。平面ABC。，MNu平面ABC。，所以EF〃平面A3CD.

(2)［方法一］:分割法一

如圖所示：

分別取AZZDC中點K,L,由（1）知，EF//MN且EF=MN,同理有，HE//KM,HE=KM,

10

HG//KL,HG^KL,GFI!LN,GF=LN,由平面知識可知，BDLMN,MNLMK,KM=MN=NL=LK,

所以該幾何體的體積等于長方體KMNL-EFGH的體積加上四棱錐3-MNFE體積的4倍.

因為MN=NL=LK=KM=4亞,EM=8sin60。=4有，點B到平面肱VFE的距離即為點B到直線建V的距

離d,d=2也，所以該幾何體的體積

V=（4&yx4K+4x；x4&x4gx2萬=1286+爭相=等技

［方法二］:分割法二

如圖所示:

連接AC,BD,交于0,連接0EQFQGQH.則該幾何體的體積等于四棱錐0-EFGH的體積加上三棱錐A-0EH的4

倍,再加上三棱錐E-0AB的四倍.容易求得，0E=0F=0G=0H=8,取EH的中點P,連接APQP.則EH垂直平面

AP0.由圖可知，三角形AP0,四棱錐0-EFGH與三棱錐E-0AB的高均為EM的長.所以該幾何體的體積

V=1.473-（4^）2+4-1-4^-^-472-473+4-1-473—4^-472=-^^.

5.⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）取A3的中點為K,連接可證平面MKN〃平面BCC4,從而可證〃平面5CG4.

（2）選①②均可證明3月，平面A3C,從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量可求線面

角的正弦值.

【詳解】（1）取AB的中點為K,連接”K,NK,

由三棱柱ABC-44G可得四邊形山狙4為平行四邊形，

而耳M=肱4,,BK=KA,則MK//BBt,

而MKz平面5CG耳，5用（=平面3。。1瓦，故〃平面3。。1月，

11

而CN=NA,BK=KA,則隧〃3C,同理可得NK〃平面BCC出，

而NKnMK=K,NK,MKu平面MMV,

故平面MKN〃平面BCG耳，而MNu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

(2)因為側面8CC用為正方形，故圓，84，

而CBu平面BCQBi,平面CBBg1平面ABB^,

平面CBB?c平面ABB{\=BB1,故CB，平面ABB^,

因為NKHBC,故NKJL平面ABB14，

因為ABu平面A84A，故NKLA5,

若選①，則ABLMZV,而NKCMN=N,

故平面MAK,而AIKu平面MNK,故AB_LMK,

所以ABLB4，而CB_L8耳，CBcAB=B,故8耳，平面A3C,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),加(0,L2),

故麗=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗=(0],2),

設平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

n-BN=0fx+y=0-.、

則c，從而c八，取Z=—1,則"=一2,2,-1),

n-BM=0[y+2z=0''

設直線AB與平面BMW所成的角為凡則

sin6=|cos(〃,AB)|=g.

若選②，因為NKHBC,故NK,平面AB4A，而KMu平面

故NKLKM,而B[M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而B1B=MK=2,MB=MN,故,ABB】M三AMKN,

所以=/MKN=90。，故4與_18片，

而CB1BBj,CB(->AB=B,故2片_1,平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標系，則3(0,0,0),4(0,2,0),N(l,1,0),Af(O,L2),

故麗=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗=(0,1,2),

設平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

12

n-BN=O[x+y=0，一/、

則從而[尸2z=。'取z—則〃=（-22-1），

n-BM=0

設直線AB與平面3MW所成的角為6,則

【考點1】直線與平面平行的判定與性質

一、單選題

1.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）已知。，b是空間內兩條不同的直線，a,ft,/是空間內三個不同的平面,

則下列說法正確的是（）

A.若＜z_L，，auct,則

B.若a10,a（3,則aPa

C.若ac尸=a,aLy,尸_L/,則

D.若a_L￡,ac\f3=a,b±a,則或6，。

2.（2024?內蒙古?三模）設a,4是兩個不同的平面，m,/是兩條不同的直線，且戊。/7=/貝〃加/〃"是"機〃￡

且加/a"的（）

A.充分不必要條件B.充分必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題

3.（2024?湖北黃岡?模擬預測）如圖，正方體ABCD-A耳GA的棱長為3,點E、EG分別在棱。4,A6,

D.ED.F1_*_.

4A上，滿足KT=7Tk=￡，4G=XAA,記平面EFG與平面431c。的交線為/,貝（j（）

Jy,/i|iy,Cz.J

13

A.V2e（O,l）,AC〃平面E/G

B.平面印G截正方體所得截面圖形為六邊形的充分不必要條件是4e（0,1）

C.4=（時，三棱錐A-EFG的外接球表面積為24兀

D.彳=:時，直線/與平面ABCD所成角的正弦值為逅

36

4.（2023?遼寧沈陽?二模）在正方體ABCD-ABGA中，鉆=1,點P在正方體的面CCQZ）內（含邊界）

移動，則下列結論正確的是（）

7T

A.當直線用P//平面4跳）時，則直線男尸與直線CA成角可能為:

4

B.當直線4尸//平面時，尸點軌跡被以A為球心，。為半徑的球截得的長度為:

42

C.若直線男尸與平面CG2。所成角為7:T，則點P的軌跡長度為JgT

42

D.當直線用PLA8時，經過點2,P,2的平面被正方體所截，截面面積的取值范圍為］手，&

三、解答題

5.（2024?內蒙古呼和浩特?二模）如圖，已知平面8CE,CD//AB,ABCE是等腰直角三角形，其中

NEBC=—,且鈣=BC=2CD=4.

2

⑴設線段BE中點為尸，證明：C尸〃平面ADE；

（2）在線段A3上是否存在點知,使得點8到平面CEM的距離等于巫，如果存在，求MB的長.

2

6.（2024?北京順義?三模）如圖在幾何體A8CDFE中，底面ABC。為菱形，ZABC=^）°,AE//DF,AEYAD,

14

AB=AE=2￡＞尸=4

⑴判斷A。是否平行于平面CEE并證明;

⑵若面以8_1_面ABCD；求:

但)平面ABCD與平面CE尸所成角的大小;

(0)求點4到平面CEF的距離.

參考答案:

1.C

【分析】借助于模型，完成線面關系的推理可得c項正確，可通過舉反例或羅列由條件得到的所有結論,

進行對A,B,D選項的排除.

【詳解】對于A,由auoc,設a。尸=/,當?！?時，可得。//4，故A錯誤；

對于B,由。_L/?,a_L?可得?！╝或aua,故B錯誤；

對于C,如圖，設ap|7=6,/?n/=c,在平面a作不與。重合的直線機，使m_Lb,

因a_L7,則相因〃_!_7,m(Z/3,則相〃夕，因ac￡=a,則租//°,于是a_L7,故C正確；

對于D,當a_L￡,ac/3=a,b_La時，若。＜za,且4，

則人可以和平面a,/?成任意角度，故D錯誤.

故選：C.

2.C

【分析】根據題意，利用線面平行的判定定理與性質定理，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求

解.

15

【詳解】當加/〃時，加可能在a內或者用內，故不能推出〃?〃尸且〃M/e,所以充分性不成立;

當〃?///且時，設存在直線“ua,且〃//“?，

因為〃”/￡,所以77//〃，根據直線與平面平行的性質定理，可知”/〃，

所以“Z〃/,即必要性成立，故"加〃/"是"〃〃/￡且〃〃/a”的必要不充分條件.

故選：C.

3.ACD

【分析】根據線面平行的判定定理判斷A；畫出截面即可判斷B；建立如圖空間直角坐標系，確定球心和半

徑即可判斷C；作出截面，如圖，確定交線，利用空間向量法求解線面角即可判斷D.

【詳解】A：由題設及正方體結構特征，有AC〃E尸且ACZ平面EFG,EFu平面EFG,故AC〃平面EFG,

故A正確；

B：當力e（O,l）時，平面MG截正方體所得截面圖形為五邊形或六邊形，

C：以Z）為原點，以ZM,DC,所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

2

當彳=§時，8（3,3,0）,G（0,3,3）,G（3,0,l）,E（l,0,3）,F（0,l,3）,

外接球的球心在過線段EG的中點，且垂直于平面A2D4的直線上，

EG的中點/（2,0,2）,可記球心0（2/2）,外接球的半徑「=|煙=|。尸|,

所以Jl+產+1=小4+?-1）~+1,解得t=2,r=V6,

所以三棱錐4-跳6的外接球表面積為24兀，故C正確；

16

D：作出截面圖形，交AO于"（2,0,2）,交瓦

直線/即為直線MV,麗=[-|,3,-|）,又平面ABCD的法向量為訪=（0,0,1）,

3

2

則/與平面ABCD所成的角6滿足sind=gsMN,q=鬲j,故D正確.

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問

題求解，其解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些

元素的關系），達到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.

4.BCD

【分析】A應用線面平行、面面平行的判定證面ABD//面C42,進而判斷p的軌跡，即可判斷線線角的

范圍；B根據A分析知:P點軌跡為線段CD,,再畫出球與各面的截面形狀,即可判斷;C根據耳G，面CCRD,

結合線面角大小確定尸的軌跡，即可求長度；D首先確定P軌跡為線段CG，再應用平面的基本性質畫出截

面，進而確定面積范圍.

【詳解】A：如下圖，連接C4、CD,、BR,由正方體性質知：CDJ/BA,,

17

由CB|CZ面A?。，Z）Au面A?。，則CB|//面ABD,同理可證CA//面人臺。，

又CBinCR=C,C瓦,CRu面CBQ,故面人跳）〃面CBQ,

由B】e面CBQ,面CBQ1c面CGA。=CR,且尸在正方體的面CC1R。內,

所以，要使直線87//平面48。，則用Pu面CB.,即PeC。，又回CBQ為等邊三角形,

故尸在3上運動時，直線耳尸與直線3成角為號,J錯誤；

B：由A分析知：直線4尸//平面AB。，尸點軌跡為線段CQ,

取C。中點〃，連接而團AC2為等邊三角形，則AH=后曰欣==（

以A為球心，1為半徑的球截C2的長度為2，!）^^=；,正確；

JT

C：由用G，面CG2。，顯然與2、5c與面CCQQ夾角為了，

4

IT1

所以，要直線男尸與平面CGA。所成角為;，則尸軌跡是以G為圓心CA為半徑的二圓,

44

如下圖示：

D：^B,P±AB,而Afi〃CD,則用尸，C。，而CD上面34clC,面

又面BB&CP面CCRD=CC],故尸軌跡為線段cq,

過R作RE//B尸交AA于石，連接防，易知：截面8P2E為平行四邊形，如下圖,

18

當P與C或C1重合時，截面為矩形，此時面積最大，為0；

當P為CG的中點時，截面為菱形，此時面積最小，為垃=0

22

所以截面面積的取值范圍為］手,3,正確.

故選：BCD

5.⑴證明見解析

（2）存在，"8的長為2甄

【分析】（1）取AE的中點G,根據線面平行的判定定理即可得證；

（2）設=根據等體積法/_"EC=%.BEC求出）的值，即可得出結論.

【詳解】（1）取BE的中點尸，AE的中點G,連結FG、GD、CF

貝I］有GF=；AB,GFIIAB,

因為=CD//AB,所以CD〃Gb且CD=G產，

2

所以四邊形CfG￡＞是平行四邊形，則CE〃DG,

又ZX7u平面ADE,C尸（z平面ADE,

所以Cf7/平面ADE.

（2）存在.設其2=尤（0＜彳＜4）,在Rt/XBEC中，EC々BE?+BC，=40.

19

iii

因為MBJ,而BEC)所以％_BEC=gS&BECxMB=—x—xBExBCxMB=.

因為MB_L面BEC,BEu面BEC,BCu面BEC

所以MBLBE,MBLBC,

則AMBEAKBC均為直角三角形.

在RLJWBE中,ME=\lMB2+BE2=7^+16

同理，MC=ylx2+l6-

取EC的中點因為Affi=MC,所以MH工EC,

而MH=dME。-EH?=&+8.

22

故SMFr=-xECxMH=-x4y/2xy/x+S=^Sx+64.

因為點B到面CEM的距離等于也,

2

斫以i/_1c④26+8

=5X-=

用以%-MEC_AMEC^"?

而/.MEC=右一BEC，所以也/，解得x=也.

3315

所以在線段A3上只存在唯一一點M,當且僅當2叵時，點8到面CEM的距離等于理.

152

(2)(i);;(H)2A/2

【分析】（1）取AE中點G,證明AD//GR,假設AD〃平面CEF,根據線面平行性質定理證明AD〃￡F,

推出矛盾，可得結論；

（2）（i）證明線線垂直建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算求解平面與平面的角，（ii）利用向

量方法求點到平面距離.

【詳解】（1）AD不平行于平面CEF,理由如下：

取AE中點G,

20

E

因為AE〃DF,AE=2DF,所以AG〃DF,AG=DP

則四邊形AGED為平行四邊形，所以AD//GP,

又GFcEF=F,所以AD不平行于￡F,

假設AD〃平面CEF,

因為平面CEFc平面皿花1=",ADu平面ADFE

所以AD//EF,與AD不平行于"矛盾，

所以假設不成立，即AD不平行于平面C即；

(2)取8中點M,連接40

因為菱形ABCD,ZABC=60°,

所以AACD為正三角形，又加為CO中點，所以AMLCD,

由于AB//CD,所以AMLAB,

又面EAB_L面ABCD,面E4Bc面ABCD=AB,AMu面ABCD

所以2面RLB,因為AEu面E4B,所以

又因為AE_LAD,AM。AD=A,AMADu面ABC?,

所以AE_L面ABCD,而AB,AMu面ABC。，所以AEJLAB,

所以如圖，以A為原點，福,亞,亞所在直線為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系,

則A(0,0,0),3(4,0,0),C(2,26,0),E(0,0,4),川一2,2班,2)

(i)因為AE_L面ABCD,所以荏=(0,0,4)為平面ABCD的一個法向量

設平面CEF的法向量為為=(x,y,z),因為麗=卜2,-264)=(TQ2)

21

n-CE=-lx-26y+4z=0y=^3x

所以_.=><,令x=l,而=（1,后2）

h-CF=-4x+2z=0z=2x

設平面ABCQ與平面CEF所成角為巴

,,\n-AE\______=也

所以cos0-|cos<n,AE>|8,則。三

1一同局」.網一20x4-2

jr

即平面ABS與平面CO所成角大小為“

（ii）因為衣=（2,260）,由⑴知平面的一個法向量為為=。,62）

、.\AC-n\|2+6+0lr-

所以點A到平面CEF的距離為=11=2V2.

同2V2

反思提升：

（1）判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義（無公共點）.

②利用線面平行的判定定理（a。a,bua,a//b^a//a）.

③利用面面平行的性質（a〃夕，aua=a〃￡）.

④利用面面平行的性質（a〃夕，a&￡,a//a=a〃￡）.

（2）應用線面平行的性質定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經過已知直線作輔助平面確

定交線.

【考點2】平面與平面平行的判定與性質

一、單選題

1.（2024?安徽安慶三模）在正方體ABCD-2汩。中，點瓦尸分別為棱4氏的中點，過點E/，G三點

作該正方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱2月的交點是棱的一個三等分點

C.4<7，平面G所

D.平面4百2〃平面和所

2.（2024?福建南平?二模）在正四面體ABCD中，P為棱AD的中點，過點A的平面a與平面PBC平行，平

面aPl平面ABD=〃?，平面aPl平面ACD=〃，則加，”所成角的余弦值為（）

J212J3

A.—B.-C.-D.—

3333

二、多選題

3.（23-24高一下?河南?階段練習）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，用曲率刻畫空間的彎曲性，

規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2%與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內角叫做多面體的面

22

jr

角，角度用弧度制.例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為故其各個頂點的曲率均為

2K-3X-^=".如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，點C的曲率為三,〃，區(qū)尸分別為

AC,AB，AG的中點，則（）

A.直線3尸〃平面AOE

在三棱柱ABC-AAC中，點A的曲率為r

C.在四面體A1AOE中，點E的曲率小于兀

D.二面角A-DE-A的大小為:

4.（2024?河北保定?二模）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFLAB,CF=EF=2DF=2,AE=3,

EB=4,將四邊形AEFD沿EF進行折疊，使AD到達AD位置，且平面A7XRE_L平面以ZE,連接

D'C,如圖2,則（）

D'

DFCDF/^-^C

EE

圖1圖2

BE±AD'B.平面AEB〃平面ZXFC

多面體AEBCD'F為三棱臺D.直線AD與平面3CFE所成的角為:

三、解答題

5.（2024?陜西安康?模擬預測）如圖，在圓錐P。中，尸為圓錐的頂點，0是圓錐底面的圓心，四邊形A3CD

是底面的內接正方形，瓦尸分別為的中點，過點及E。的平面為a.

B

23

(1)證明：平面a〃平面PBC；

(2)若圓錐的底面圓半徑為2,高為6，設點M在線段所上運動，求三棱錐P-MBC的體積.

6.(2024?山東濰坊?三模)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，AB±AC,AB^AC=2AAl,E是棱BC的中

⑴求證：AC〃平面明￡；

⑵求二面角A-BJE-A的大小.

參考答案：

1.B

【分析】將線段所向兩邊延長，分別與棱C3的延長線，棱co的延長線交于G,”，連GG，G”分別與棱

BPBG1

BBQDi交于P,Q,可判斷A；利用相似比可得才="=可，可判斷B；證明AC，平面800即可判斷

CCjCJCJ

C；通過證明AC_L平面可判斷D.

【詳解】對于A,將線段所向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱8的延長線交于G,H,

連GG，GH分別與棱自交于P,Q,得到截面多邊形是五邊形，A錯誤；

對于B,易知△AEF和AB￡G全等且都是等腰直角三角形，所以G2=AF=』BC,

2

BPBG1BP1_

所以777=不=￡,即高~二可，點尸是棱8耳的一個三等分點，B正確；

CCqCrCJ￡>￡)1J

對于C,因為4月，平面BCC4，86匚平面3。6瓦，所以

又BC|_L4C,A4nBic=瓦，44,瓦Cu平面44c,所以BC]_1_平面44c,

因為ACu平面480,所以4CLBG，同理可證ACLBD,

24

因為BDcBCi=B,BD,BQu平面BC|D,所以4C，平面,

因為平面BCQ與平面a所相交，所以4c與平面G所不垂直，C錯誤;

對于