2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（原卷版）

專題36基本立體圖形、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................4

【考點(diǎn)突破】................................................................5

【考點(diǎn)1】基本立體圖形......................................................5

【考點(diǎn)2】表面積與體積......................................................7

【考點(diǎn)3】與球有關(guān)的切、接問(wèn)題..............................................9

【分層檢測(cè)】...............................................................11

【基礎(chǔ)篇】.................................................................11

【能力篇】.................................................................14

【培優(yōu)篇】.................................................................16

考試要求：

1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能

運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).

2.知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問(wèn)題.

3.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合體）的直觀

圖.

■,知識(shí)梳理

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺(tái)

S

A

D'A

a

圖形

AB

ABAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

相交于一點(diǎn),但不一

側(cè)棱平行且相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

定相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

■S\0

A鎏

圖形萋

1

互相平行且相等，

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

垂直于底面X

軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面

側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)

2.直觀圖

（1）畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法.

⑵規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、y'軸的夾角為45。（或135°）,

，軸與V軸、V軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別土后王坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直

觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的二生.

3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式

2

圓柱圓錐圓臺(tái)

側(cè)面展開(kāi)門.

/<2加；

/L1A/

圖夠/

側(cè)面積公

S圓柱側(cè)=2兀S圓錐側(cè)=兀77S圓臺(tái)側(cè)=兀⑺+/2）/

式

4.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積

表面積體積

幾何體

V=Sh

柱體（棱柱和圓柱）S表面積=S側(cè)+2S底

V=TSh

錐體（棱錐和圓錐）S表面積=S側(cè)+S底

31

V=g（S上+S下+但作比

臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S表面積=S側(cè)+S上+S下

4.

球S=4TTR2V=T7l7?3

3-----

|常用結(jié)論

1.正方體與球的切、接常用結(jié)論：正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R,

（1）若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R=4a；

（2）若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R=a；

（3）若球與正方體的各棱相切，則2R=地a

2.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=54

3.正四面體的外接球的半徑R=乎a,內(nèi)切球的半徑廠=杏。，其半徑R：r=3：l（a為該正四面

體的棱長(zhǎng)）.

4.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系s直觀圖原圖形.

真題自測(cè)

一、單選題

52

1.（2024?全國(guó)?高考真題）已知正三棱臺(tái)ABC-4AG的體積為至，AB=6,A旦=2,則與平面9c

所成角的正切值為（）

3

A.萬(wàn)B.1C.2D.3

2.（2024?全國(guó)?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為石，則圓錐的

體積為（）

A2百兀B3c6D9百兀

3.（2023?全國(guó)?高考真題）在三棱錐尸-9C中，ASC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=瓜，

則該棱錐的體積為（）

A.1B.A/3C.2D.3

4.（2023?全國(guó)?高考真題）已知四棱錐P-MCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PC=PD=3,ZPG4=45°；

則PBC的面積為（）

A.2拒B.3行c.4夜D.672

5.（2023?全國(guó),高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為6,O為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，4105=120。，

973

若的面積等于丁，則該圓錐的體積為（）

A.兀B,瓜兀C.3萬(wàn)D.3而r

二、多選題

6.（2023?全國(guó)?高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為。?99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為14m的四面體

C.底面直徑為OQlm,高為L(zhǎng)8m的圓柱體

D.底面直徑為L(zhǎng)2m,高為OOlm的圓柱體

三、填空題

7.（2024?全國(guó)?高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為4,下底面半徑均為M圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為

（-1）,（2一切，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為.

8.（2023?全國(guó)?高考真題）已知點(diǎn)S，AB，C均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，5A1

平面A3C,則&4=.

9.（2023?全國(guó)?高考真題）在正方體gGA中，4?=4,0為“G的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球。的

球面有公共點(diǎn)，則球°的半徑的取值范圍是.

10.（2023?全國(guó),高考真題）在正方體—中，E,尸分別為AB,G2的中點(diǎn)，以EF為直徑的球

的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

4

11.（2023?全國(guó)?高考真題）在正四棱臺(tái)ABCD-ABGR中，AB=2，A耳=1,朋=也，則該棱臺(tái)的體積

為■

12.（2023?全國(guó)?高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

.考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)11基本立體圖形

一、單選題

1.（23-24高一下?福建莆田?期中）已知等腰梯形ABCD,AB=2,CD=6,圓°為梯形A3CD的內(nèi)切圓，

并與A3,8分別切于點(diǎn)E,F,如圖所示，以跖所在的直線為軸，梯形A3C。和圓。分別旋轉(zhuǎn)一周形

成的曲面圍成的幾何體體積分別為匕，匕，則％值為（）

D.評(píng)

2.（2022?重慶?模擬預(yù)測(cè)）十八世紀(jì)，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)I/、棱數(shù)E及面數(shù)F之間有固

定的關(guān)系，即著名的歐拉公式：M-E+尸=2.如圖所示為上世紀(jì)八十年代科學(xué)家首次發(fā)現(xiàn)的碳60的電子顯

微鏡圖，它是由五邊形和六邊形面構(gòu)成的多面體，共有60個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)均為碳原子，且每個(gè)頂點(diǎn)引出

三條棱，形似足球.根據(jù)以上信息知，碳60的所有面中五邊形的個(gè)數(shù)是（）

A.12B.20C.32D.40

二、多選題

3.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測(cè)）"阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的

多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共

可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的一種阿基米德多面體.已知鉆=1,則關(guān)于

圖中的半正多面體，下列說(shuō)法正確的有（）

5

50

A.該半正多面體的體積為3

3A/3

B.該半正多面體過(guò)AB，。三點(diǎn)的截面面積為三

C.該半正多面體外接球的表面積為8兀

D.該半正多面體的表面積為6+26

4.（2024?新疆喀什?二模）如圖圓臺(tái)在軸截面中，2，下面說(shuō)法正確

的是（）

A.線段AC=2白

B.該圓臺(tái)的表面積為11兀

C.該圓臺(tái)的體積為7扃

D.沿著該圓臺(tái)的表面，從點(diǎn)C到A￡＞中點(diǎn)的最短距離為5

三、填空題

5.（21-22高三上?廣東潮州?期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈，在鱉

席A-BCD中，平面BCD,CDLAD,AB=BD=^2,已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱的＞

上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為麗，則該棱錐的外接球的體積為.

6

A

6.(2022?遼寧沈陽(yáng)?一模)如圖，在底面半徑為1,高為6的圓柱內(nèi)放置兩個(gè)球，使得兩個(gè)球與圓柱側(cè)面相

切，且分別與圓柱的上下底面相切.一個(gè)與兩球均相切的平面斜截圓柱側(cè)面，得到的截線是一個(gè)橢圓.則該橢

圓的離心率為.

反思提升：

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧

(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條

件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.

(2)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.

(3)在斜二測(cè)畫(huà)法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；

平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半

(4)按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：

S直觀國(guó)S原圖取.

(5)幾何體的表面展開(kāi)圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開(kāi)

圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀.

【考點(diǎn)2】表面積與體積

一、單選題

1.(2024?天津紅橋?二模)如圖，圓錐形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，為了保障冰淇淋融化后能落在脆皮

筒里，不溢出來(lái)，某規(guī)格的脆皮筒規(guī)定其側(cè)面面積是冰淇淋半球面面積的2倍，則此規(guī)格脆皮筒的體積與

冰淇淋的體積之比為()

7

V15

DR.--c.叵

242

2.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)正四棱臺(tái)物件放入有一定深度的電解槽中，對(duì)其表面進(jìn)行電泳涂裝.如圖

所示，已知該物件的上底邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，且為下底邊長(zhǎng)的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為36，則該物件的

高為（）

A.—B.1C.J2D.3

2

二、多選題

3.（2021?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）三星堆遺址，位于四川省廣漢市，距今約三千到五千年.2021年2月4日,

在三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.玉琮是一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是一種古人用于祭祀的禮器.假

定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長(zhǎng)2cm,外徑長(zhǎng)3cm,筒高4cm,中部為棱長(zhǎng)是3cm的

正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則（）

A.該玉琮的體積為18+下（cm3）B.該玉琮的體積為27——（cm3）

44

C.該玉琮的表面積為54+?i（cm2）D.該玉琮的表面積為54+9兀（cn?）

k2兀___

4.（2024?吉林長(zhǎng)春?三模）某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為可，面積為3兀的扇形，則（）

A.該圓錐的母線與底面所成角的正弦值為述

3

B.若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)圓柱，且其一個(gè)底面落在圓錐的底面內(nèi)，則當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，圓柱的高為;

8

C.若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)球，則當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為空

3

D.若該圓錐內(nèi)部有一個(gè)正方體ABC。-AAGA，且底面ABC。在圓錐的底面內(nèi)，當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)最大

時(shí)，以A為球心，半徑為生色的球與正方體表面交線的長(zhǎng)度為地?zé)o

99

三、填空題

5.（2024?山西呂梁?二模）已知圓臺(tái)的高為3,中截面（過(guò)高的中點(diǎn)且垂直于軸的截面）的半徑為3,

若中截面將該圓臺(tái)的側(cè)面分成了面積比為1:2的兩部分，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為.

6.（2021?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的軸截面以B是邊長(zhǎng)為。的正三角形，A2為圓錐的底面直徑，球。與

圓錐的底面以及每條母線都相切，記圓錐的體積為匕，球。的體積為匕，則J=；若M,N是圓錐底

面圓上的兩點(diǎn)，且則平面截球。所得截面的面積為.

反思提升：

1.空間幾何體表面積的求法

（1）旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)

側(cè)面展開(kāi)圖中邊的關(guān)系.

（2）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.

2.求空間幾何體的體積的常用方法

（1）公式法：規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式進(jìn)行求解；

（2）割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何

體；

（3）等體積法：通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.

【考點(diǎn)3】與球有關(guān)的切、接問(wèn)題

一、單選題

1.（2024?湖南?二模）如圖，在四面體尸一ABC中，PA±^ABC,AC±CB,PA=AC^2BC^2,則此四面

A.3兀B.9兀C.36兀D.4871

2.（2023?廣東佛山?二模）科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器,

極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月，“極目一號(hào)”111型浮

空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過(guò)珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀

9

測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力."極目一號(hào)"III型浮空艇長(zhǎng)55米，高19米，若將它近似看作一

個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則"極目一號(hào)"川型浮空艇的體積約為（）

(參考數(shù)據(jù)：9.52~90,9.53=857,315x1005?316600,兀。3.14)

圖1

A.9064m3B.9004m3C.8944m3D.8884m3

二、多選題

3.（2024?河南信陽(yáng),一模）六氟化硫,化學(xué)式為SR,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體,

有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于

正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為山，則（）

A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為2占B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為

C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為2兀療D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為攻

3

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）三棱錐S-ABC中，平面5AB_L平面ABC,ZSAB=ZABC=3ABAC=90°,

SA=AC=2f貝I（）

A.SA.LBC

B.三棱錐S-ABC的外接球的表面積為方

C.點(diǎn)A到平面SBC的距離為立

6

D.二面角S-BC-A的正切值為友

3

三、填空題

10

5.（2024?廣東肇慶?模擬預(yù)測(cè)）在四面體尸—ABC中，BP±PC,^BAC=60,若BC=2,則四面體P—ABC

體積的最大值是,它的外接球表面積的最小值為.

jr

6.（2023?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）己知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1,ZADC=§，將A4DC沿AC翻折，當(dāng)三棱錐D-ABC

表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球表面積為.

反思提升：

⑴求解多面體的外接球時(shí)，經(jīng)常用到截面圖.如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,

截面圓。，的半徑為r,M為截面圓上任意一■點(diǎn)，球心O到截面圓0,的距離

為d,則在“中，0M2=。。，2+。,“2,即夫2=法十戶.

⑵求解球的內(nèi)接正方體、長(zhǎng)方體等問(wèn)題的關(guān)鍵是把握球的直徑即是幾何體的

體對(duì)角線.

（3）“切”的問(wèn)題處理規(guī)律：找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決；體積分割是求內(nèi)切球半

徑的通用方法.

分層檢測(cè)

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱43CD-ABGR中，已知至=逝至=2,0為棱CQ的中點(diǎn),

則線段3在平面03C上的射影的長(zhǎng)度為（）

825/6強(qiáng)

A.3B.近C.3D.3

2.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知圓臺(tái)。的上、下底面半徑分別為'，M且4=24，若半徑為石的

球與。的上、下底面及側(cè)面均相切，則。的體積為（）

26兀28兀

A.78兀B.8百兀c.3D.3

71

3.（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長(zhǎng)為2,且母線與底面所成角為了，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.6式B.2兀c.20兀D.4兀

4.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）建盞是福建省南平市建陽(yáng)區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，

底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上

半部分抽象成圓臺(tái)己知該圓臺(tái)的上、下底面積分別為16兀cm2和971cm2,高超過(guò)1cm,該圓臺(tái)上、下底

面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球。的表面上，且球。的表面積為100兀cn?,則該圓臺(tái)的體積為（）

11

259兀260兀3

々----cm3-------cmQ

A.8071cmB.3c.3D.877tcm

二、多選題

5.（2024?云南紅河?二模）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.圓錐的軸截面為直角三角形

B.圓錐的表面積大于球的表面積的一半

C.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的弧度數(shù)為兀

D.圓錐的體積與球的體積之比為1：4

6.（2024?河北邯鄲?三模）"阿基米德多面體"又稱"半正多面體”,與正多面體類似，它們也都是凸多面體，

每個(gè)面都是正多邊形，并且所有棱長(zhǎng)也都相等，但不同之處在于阿基米德多面體的每個(gè)面的形狀不全相

同.有幾種阿基米德多面體可由正多面體進(jìn)行"截角"得到如圖，正八面體一/的棱長(zhǎng)為3,取各條

棱的三等分點(diǎn)，截去六個(gè)角后得到一種阿基米德多面體，則該阿基米德多面體（）

A.共有18個(gè)頂點(diǎn)B.共有36條棱

C.表面積為6+84D.體積為8近

7.（2021?重慶?三模）設(shè)一空心球是在一個(gè)大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球（稱為內(nèi)球），已

知內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1,若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上、所有面均與內(nèi)球相

切，貝I（）

A.該正方體的棱長(zhǎng)為2B.該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3+6

C.空心球的內(nèi)球半徑為D.空心球的外球表面積為（12+6石卜

三、填空題

8.（2023?江西九江?一模）如圖，在正三棱柱A*7-中，48=29=2,N為4G的中點(diǎn)，/為線

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段&A上的點(diǎn).則+網(wǎng)的最小值為

9.（2024,陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三棱錐。一鉆。的三條側(cè)棱04°民℃兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)

_2A/3

OA=OB=OC=y[2,以點(diǎn)。為球心作一個(gè)半徑為亍的球，則該球被平面ABC所截的圓面的面積

為.

10.（23-24高二下?浙江?期中）圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,在圓錐體內(nèi)部放入一個(gè)體積最大的球，

該球的表面積為.

四、解答題

11.（22-23高二下?陜西榆林?期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體“'CD-A4GR中，尸是棱A3的中點(diǎn)，E

是4c與8R的交點(diǎn).

⑴求證：跖〃平面4皿,

⑵求三棱錐D-ABR的體積.

12.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐A-3CD中，點(diǎn)E為棱3C的中點(diǎn)，點(diǎn)。為。E的中點(diǎn)，ABC,

BCD,.血（都是正三角形.

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（1）求證：AO,平面BCD；

⑵若三棱錐A-3CD的體積為2,求三棱錐4-瓦汨的表面積.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）若正四面體尸一鉆。的棱長(zhǎng)為,/W為棱以上的動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)三棱錐M-ABC

的外接球的體積最小時(shí)，三棱錐MC的體積為（）