2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：不等式及其性質(zhì)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題含答案解析

第3節(jié)不等式及其性質(zhì)

考試要求1.理解用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的理論依據(jù).2.理解不等式的概念.3.

理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)的簡單應(yīng)用.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識梳理】

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

Q—6>0=。

(1)作差法"一6=0=4三6,

a—b<0=a。.

->1(Q￡R,6>0)oa>b(Q￡R,Z>>0),

b-

⑵作商法C=lQa三b'a，，W0),

^<1(a?R,Z>>0)Qa<b(aGR,b>0).

g一

2.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：cObobVa；

(2)傳遞性：a>b,b>c=>a>c；

(3)同向可加性：a>boa+c>】+c：a>b,c>dna+c>6+d：

(4)可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0=>ac<bc；a>b>09c>d>0=>ac

>_bd；

n

(5)可乘方性：a>b>0^a>b\n^9〃21)；

〃ri

(6)可開方性：a>b>0n、fa>、仿(〃GN,n與2).

［常用結(jié)論］

1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮

法.

2.有關(guān)分式的性質(zhì)

(1)若口>6>0,m>0,則能;->^~—(Z7—m>0).

aa-\~maa-m

(2)若ab>0,則

ab

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或"義”)

(1)a>bQaO>b/.()

(2)tz=b^^cic~~bc.(^)

⑶若7>1,則a>b.()

b

(4)Q<a<x<b或a<x<b<0()

bxa

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)由不等式的性質(zhì)，ac3>bc3a>b；

反之，cWO時(shí)，a>bac3>bc3.

(2)由等式的性質(zhì)，a=b=>ac=bc；

反c=0時(shí),ctc:=bc4Q=6.

(3)a=—3,b=~l9則多>1,但。幼,故⑶錯(cuò).

b

2.(多選X必修一P43習(xí)題2.1T8改編)下列命題為真命題的是()

A.若4°2>602,則Q〉bB.若Q>6〉0,則次>爐

C.若QV6V0,則a2Vq6Vb2D.若QV6V0,則

ab

答案ABD

解析C中，若Q=—2,b——1,則42>46>62,故C錯(cuò)誤.

3.(必修一P42習(xí)題2.1T3(4)改編)設(shè)〃=，+爐+1,7V=2(X+J-1),則/與N的

大小關(guān)系為.

答案M>N

解析M~N=x2+y2+1-2x~2y+2=(x~l)2+(y-1)2+1>0.故M>N.

4.已知一1VQV2,-3<6<5,則a+2b的取值范圍是.

答案(一7,12)

解析:-3<b<5,：.-6<26<10,

又一—7<a+2b<12.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一比較數(shù)(式)的大小

例1(1)若。<0,b<0,則P=尤+?與q=a+b的大小關(guān)系為()

ab

A.p<qB.pWq

C.p>q

答案B

解析夕_,二星J

abab

(Z)2—。2)Qb—g)(b—a)2(b+a)

abab

因?yàn)镼VO,Z?<0,所以Q+6<0,ab>0.

若a=b,則P一q=O,故p=q；

若aWb,則P一gVO,故p〈q.

綜上，pWq.

⑵e71?兀e與ee?兀冗的大小關(guān)系為.

答案e7I-Tie<ee-7i7t

解析

又0<￡<l,0<7i-e<l,

兀

侄卜e

所以口<1,即巴^<1,

e，?兀兀

即e兀?兀e〈ee?兀兀.

感悟提升比較大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

訓(xùn)練1(1)若a,Z)e[O,+8),A=\fa+'lb,B=\[^+b,則Z,8的大小關(guān)系是

B.心5

C.A<BD.A>B

答案B

解析由題意得5?—/2=-24/^WO,

又ZNO,B^O,所以NNA

⑵若a=?

，則（)

45

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<a<c

答案B

解析法一易知a,b,c都是正數(shù),

Z)31n4

==Iog8i64<l,所以a>A；

a41n3

Z)51n4

==10g6251024>l,所以b>c.

c41n5

即c<b<a.

法二構(gòu)造函數(shù)加0=皿

X

則用尸匕4

X2

由/(x)>0,得0<x<e；

由/(x)<0,得x>e.

.,./）在（0,e）上為增函數(shù),在（e,+8）上為減函數(shù).

二次3)次4)次5),BPa>b>c.

考點(diǎn)二不等式的基本性質(zhì)

例2（1）（多選）（2023?張家口一模）若則下列不等式中正確的有（）

A.a-b>0B.2a>2b

C.ac>bcD.a2>b2

答案AB

解析對于A,因?yàn)?。?,所以a—b＞0,故A正確;

對于B,因?yàn)椤＃緝呵抑笖?shù)函數(shù)y=2x在R上單調(diào)遞增，所以2。＞2\故B正確;

對于C,若cVO,則ac＜bc,故C錯(cuò)誤;

對于D,當(dāng)a=l,b=—2時(shí)，a2<b2,故D錯(cuò)誤.

(2)(多選)(2023?泰州調(diào)研)若a>b>O>c,則()

C.ac>bcD.a-c>2\/~Z?c

答案ABD

解析對于A,因?yàn)椤?gt;b>0,所以因?yàn)閏VO,所以正確；

abab

b-cba(6-c)~b(。一。)-ac-\~bcc。一。)

a-caa(tz-c)a(a-c)a(。一。)

因?yàn)閍>b>O>c,所以6—口<0,a-c>0,所以^一正確；

a—ca

對于C,因?yàn)閏<0,所以了單調(diào)遞減，又。>6,所以廢<",錯(cuò)誤；

對于D,a—c=a+(—c)—ac>2\j—be,正確.

感悟提升解決此類題目常用的三種方法：

(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，要特別注意前提條件；

(2)利用特殊值排除法；

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)、

對數(shù)、募函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

訓(xùn)練2(1)(2023?福州一模)"OVaVb”是ua--<b-n的()

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析?.?y=X—1在(-8,0)和(0,+8)上均為增函數(shù)，

X

二?OVaVb時(shí)，a——1,充分性成立；

ab

當(dāng)。一1〈6—1時(shí)，不能推出OVaVb,例如a=l,6=-1滿足。一1〈6—1,但不

ab2ab

滿足OVQVR必要性不成立，

aO<a<bv是“〃一1〈6—!”的充分不必要條件.

ab

(2)(多選)已知x>y>2,x+y+z=O,則下列不等式不成立的是()

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.x[y|>[y|z

答案ACD

解析因?yàn)閄>y>2,x+j+z=O,

所以x>0,z<0,了的符號無法確定.

對于A,由題意得x>2,若y<0,則孫<0<乃，故A錯(cuò)誤；

對于B,因?yàn)閥>2,x>0,所以盯>xz,故B正確；

對于C,因?yàn)閤>y,2c0,所以工2<尸，故C錯(cuò)誤；

對于D,當(dāng)例=0時(shí)，x[y|=Mz,故D錯(cuò)誤.

考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3(1)已知一l<x<4,2勺<3,則x—y的取值范圍是,3x+2y的取值范

圍是.

答案(一4,2)(L18)

解析因?yàn)橐?<x<4,2<y<3,

所以一3<一^<一2,所以一4<x—y<2.

由—3<3x<12,4<2j<6,

得1<3X+2J<18.

(2)已知aG(—3,-2),bG(2,4),貝心的取值范圍是.

a

答案「2,1

解析—3,—2),2,3],

a

故!<3；,

3a2

久，：2Vb<4,：.-<--<2,

3a

則

a3

遷移在本例(1)中，把條件改為“一1<%—y<4,2<x+y<3,求3x+2y的取值

范圍.

解設(shè)3x+2y=2(x—y)+〃(x+y),

即3x+2y=(2+〃)x+(/z—X)y,

.h?

于是匕解得?_§

〃一2=2,〃=鼻，

：.3x+2y=1(x—y)+|(x+y).

*.*—l<x~y<4,2<x+j<3,

；<；(x-y)<2,5<|(x+j)<y,

9i5io

???2<2(》一/+2("+加了

故3x+2y的取值范圍是C')).

感悟提升利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必

須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的

取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，

最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.

訓(xùn)練3(1)已知b<B<a<g貝以一夕的取值范圍是.

答案12J

解析V0<^<|,

又OVaV71,：.~-<a-/3<-,

222

又B〈a,:.a—￡>0,即0<a—

⑵已知a>b>c,2a+b+c=Q,則色的取值范圍是

a

答案(一3,-1)

解析因?yàn)閍>b>c,2a+b+c=0,

所以Q>0,c<0,b——2a—c.

因?yàn)閍>b>c,所以一24—0<4,

即3a>—c,解得，>一3,

a

將6=—2。一。代入中，得一2Q—C>C,

即c<—a,得一<一1,所以一3<一<—1.

aa

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?上海楊浦區(qū)期中）下列是“a>b”的充分不必要條件的是（）

A.a>b+1B.->1

b

C.a2>b2D.a3>b3

答案A

解析A中，當(dāng)。=2,b=l時(shí)，a>b但a=b+\,必要性不成立，因?yàn)閍>b+l,

所以。>6,故充分性成立；

B中，當(dāng)a=-2,6=—1時(shí)，滿足—>1,但aVb,故充分性不成立；

b

C中，當(dāng)a=—2,b=一1時(shí)，滿足層）〃，但?！磧汗食浞中圆怀闪?；

D中，當(dāng)時(shí)，由不等式的基本性質(zhì)得/>加，故必要性成立，反之也成立.

2.已知且MWO,cGR,則下列不等式中一定成立的是（）

A.屋B.-<-

ab

￡<?+l

答案D

解析當(dāng)a=l,b=—2時(shí)，則了<（—2）2=4,

J>」不，4而無意義，故A,B,C錯(cuò)誤;

1—2

因?yàn)?2+1>0,所以根據(jù)不等式的性質(zhì)可得;D正確.

。,十1/十1

3.已知一3VaV—2,3<b<4,則生的取值范圍為（）

D

9

A

-3)

(2b3、

,一

C3

4AJ

案

第

解析因?yàn)橐?<。<—2,所以a2￡（4,9）,

而3<b<4,即

463

故，的取值范圍為(1,3).

b

2

4若a>l,m=loga(a+l)>〃=log{a+l),2=log°(2a),則丁，〃,夕的大小關(guān)系

是()

K.n>m>pB.相>夕>〃

C.m>n>pD.p>m>n

答案B

解析由a>l知,a2+1—2a=(a—1)2>0,

2a—(a+l)=a—1>0,.".屋+1>2a>a+1,

而y=logax在定義域上單調(diào)遞增，

5.把下列各題中的“=”全部改成“<”，結(jié)論仍然成立的是()

A.如果a=b,c=d,那么a—c=b—

B.如果a=A,c=d,那么ac=bd

C.如果a=A,c=d,且cdWO,那么日='

cd

D.如果a=b,那么蘇=63

答案D

解析A不一定正確，如5<6,4<9,但5—4>6—9；

B不一定正確，如一2<一1,1<4,此時(shí)ac>bd；

C不一定正確，如1<2,1<8,此時(shí)?與；

ca

易知D正確.

6.(2023?綿陽一診)若0<。<兒則下列結(jié)論正確的是()

A.lna>\nbB.b?〈屋

答案D

解析由于函數(shù)y=lnx在(0,+8)上單調(diào)遞增，且0<a<6,所以InaClnb,

故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?＜。＜兒由不等式的性質(zhì)可知，屋＜爐，故B錯(cuò)誤;

由于函數(shù)＞=1在(0,+8)上單調(diào)遞減，且0＜。＜兒所以故C錯(cuò)誤;

xab

由于函數(shù)y=12j在(0,+8)上單調(diào)遞減,

且OVaVb,所以臥〉即故D正確.

7.(多選)若0<a<l,b>c>l,則()

B￡=￡>￡

b-ab

C.Cal〈Z?a1D.10gcQ〈k)gbQ

答案AD

解析對于A,

c

陞件

V0<a<l,則IcJ>lcj=1,A正確;

對于B,若^―則Ac—ab>bc—ac,

b-ab

即a(c—b)>0,這與0<a<l,b>c>l矛盾，B錯(cuò)誤；

對于C,V0<a<l,：.a~\<Q：：b>c>\,：.ca~x>ba~x,C錯(cuò)誤；

對于D,V0<a<l,b>c>l,/.logca<logz)a,D正確.

8.已知M=x1+y2+z2,N=2x+2y+2z-7i,貝UMN(填“>”“〈”或“=>

答案>

解析M—N=x2-\-y2-\-z2—2x—2y—2z-\-Ti=(x—l)2+(y-l)2+(z-1)2+TT-3^71

-3>0,故M>N.

9.已知3<aV8,4<b<9,則旦的取值范圍是

b

答案02)

解析V4<&<9,又3<a<8,

964

.*.-X3<-<-X8,即1<2V2.

9b43b

10.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足下列三個(gè)條件：①d>c；②a+b=c+d；③a+dVb+c.

那么a,b,c,d的大小關(guān)系是.

答案b>d>c>a

解析由題意知d>c@；

②+③得2。+6+4<20+6+/

化簡得a<c@；

由②式a-\-b=c-\-d及a<c可得到b>d⑤,

故b>d>c>a.

11.已知。+6>0,試比較與的大小.

baab

名刀a,bP+7Ia—b.b—a[7^—~(a+6)(口―6)2

解石+：—Q--「=(4—6)?22Q2J=---------------------------------,

優(yōu)CTb1Q，CTO1

Vtz+Z?>0,(a—6)220,

.(a+b)(a~b)2.a?ft1?1

c^b1b1a1ab

12.(1)若be—ad》0,M>0,求證：

bd

⑵已知c>a>b>0,求證：61->b.

c-ac-b

證明(l)?“c2ad,y->0,

baab

...￡+1三旦+1,

dbbd

(2)Vc>tz>Z?>0,/.c—tz>0,c—b>0.

'：a>b>0,

ab

w??、八、c/.c—ac—b

abab

又?！猘>0,c—6>0,/.~~~~~\

c-ac-b

【B級能力提升】

2

13.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足6+c=6—4a+3a2,o—6=4—4a-\~a9貝！Ja,b,c的大

小關(guān)系為()

A.QVBWCB.bWc<a

C.b<c<aD.b<a<c

答案A

解析c—b=4—4a+q2=(a—2)2^0,^c^b,

又*?b~\~c—6—4。+3。2,C—b=4-4a~\~a2,

兩式相減得2b=2+2屋，即6=1+層，

.QI3

?.b—a=a2-\~1—Q=12j>0,

4

:?b>a,:?a〈bWc.

14.(2023?濟(jì)南模擬)已知非零實(shí)數(shù)加，〃滿足em>e",則下列關(guān)系式一定成立的是

()

A.—<-B.ln(m2+l)>ln(7/2+1)

mn

mn

答案D

解析因?yàn)閑m>e〃，所以加>〃.

取加=1,n——2,得，>I,故A不正確；

mn

取加=1,n=—2,得加2+IV〃2+],

所以ln(m2+1)<ln(?2+1),故B不正確；

取加=1，n=~,得加+1<〃+]，故C不正確；

23mn

當(dāng)m>n>0時(shí)，