2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：集合與其他知識(shí)交匯的新定義解答題（新定義高觀點(diǎn)壓軸題）（學(xué)生版+解析）

專題02集合與其他知識(shí)交匯的新定義解答題

(新定義，高觀點(diǎn)，壓軸題)

1.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組(x,y)表示，在

三維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組(x,y,z)表示，一般地在n(n>2,neN)維空間中點(diǎn)/

的坐標(biāo)可用"個(gè)有序數(shù)組(％,電，…，4J表示，并定義〃維空間中兩點(diǎn)人(卬，。2,…,風(fēng))，

83也，…,包)間的"距離"d(AB)=f-/.

Z=1

(1)若人卜,求d(AB)；

[23n)123n+1J

⑵設(shè)集合4={&，/，…，％)4W{0，1}，，=1，2,…,7}.元素個(gè)數(shù)為2的集合〃為。7的子集，

且滿足對(duì)于任意AeU7,都存在唯一的使得〃(鉆)43,則稱M為"。7的優(yōu)集證

明：的優(yōu)集存在，且M中兩不同點(diǎn)的"距離”是7.

2.(2024?北京?模擬預(yù)測(cè))對(duì)給定的正整數(shù)”，令

={a=(q,%,...,q,)|qe{0』},7=1,2,,對(duì)任意的x=(菁

>=(%，%，...，%)€。"，定義工與'的距離4(%)0=忱-％|+民-%|+,-+氏-%].設(shè)人是?！?/p>

的含有至少兩個(gè)元素的子集，集合。={d(xy)|尤舛乂好可中的最小值稱為人的特征，記

作力(A).

(1)當(dāng)〃=3時(shí)，直接寫出下述集合的特征：

A={(0,0,0),(1,1,1)},8={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)},C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}；

⑵當(dāng)w=2020時(shí)，設(shè)AG5。?。且%(可=2,求A中元素個(gè)數(shù)的最大值；

,2020

⑶當(dāng)"=2020時(shí)，設(shè)Au5。?。且力(4)=3,求證：A中的元素個(gè)數(shù)小于^—.

2021

5.（2024?北京石景山?一模）已知集合S“={X|X=（無”々,…,匕）,%e{0,l}"=l,2,…，磯w22）,

對(duì)于A=（q,4,...,%）,3=。1也,一-也）€邑，定義人與8之間的距離為4（48）=￡W-可.

Z=1

⑴已知A=（U,l,0）eS4,寫出所有的BeS,,使得d（A,B）=l；

⑵已知/=（U,…』）eS"，若A,BeS",并且"（/,4）=//，3）="<〃，求d（A回的最大值；

⑶設(shè)集合尸=S“，尸中有機(jī)（現(xiàn)22）個(gè)元素，若P中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為心求

證：m<2,!-f+1.

6.（23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個(gè)子集，S、T至

少各有兩個(gè)元素.對(duì)于給定的集合S,若存在滿足如下條件的集合T：

b

①對(duì)于任意a,6eS,若加b,都有威>eT；②對(duì)于任意a,beT,若a<b,則一eS.則稱

a

集合T為集合S的"K集".

（1）若集合W={1,3,9},求航的"K集"小

（2）若三元集邑存在"K集"與，且心中恰含有4個(gè)元素，求證：1任邑；

⑶若$3={%，尤2,…，%}存在"K集"，且%<…〈工"，求”的最大值.

7.(2024?湖南邵陽?二模)給定整數(shù)"23,由w元實(shí)數(shù)集合p定義其隨影數(shù)集

2=x,yeP,x^y).^min(2)=l,則稱集合尸為一個(gè)“元理想數(shù)集，并定義P的理

數(shù)f為其中所有元素的絕對(duì)值之和.

(1)分別判斷集合S={-2,-1,2,3},T={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明

理由)

⑵任取一個(gè)5元理想數(shù)集尸，求證：|min(P)|+|max(P)|"；

⑶當(dāng)P={和七,…,/24}取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)f的最小值.

注：由〃個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做"元實(shí)數(shù)集合，max(尸),min(P)分別表示數(shù)集P中的最大數(shù)

與最小數(shù).

8.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))設(shè)X,y為任意集合，映射定義：對(duì)任意％,%eX,

若石片尤2，則/(±)x/每)，此時(shí)的/為單射.

(1)試在RfR上給出一個(gè)非單射的映射；

(2)證明：/是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合Z與映射gM：Z-X,若對(duì)任意

zeZ,有/(g(z))=/(/z(z)),則g=%；

⑶證明：/是單射的充分必要條件是:存在映射。:丫-X,使對(duì)任意xeX，有0"(功=x.

9.（2024?廣東江門?一模）將2024表示成5個(gè)正整數(shù)X1,巧，x3,x4,毛之和，得到方程

占+%+%+%+無5=2024①，稱五元有序數(shù)組（%,9,w，尤4,%）為方程①的解，對(duì)于上述的

五元有序數(shù)組（4%,W，尤4,尤5），當(dāng)時(shí)，若max（%-毛）=f（fwN）,則稱

（在占用,%%）是7-密集的一組解.

⑴方程①是否存在一組解（4尤2，W，龍4，展），使得/「無,（=1,2,3,4）等于同一常數(shù)?若存在,

請(qǐng)求出該常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）方程①的解中共有多少組是1-密集的？

5

⑶記s=?＞；,問s是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出S的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

i=l

10.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）拓?fù)鋵W(xué)是一個(gè)研究圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，

以抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z言將幾何與集合聯(lián)系起來，富有直觀和邏輯.已知平面

爐={（工，y）|Vx,yeT?},定義對(duì)A（F%），4（和%），其度量（距離）

d（A，4）=Ja）2+（X-%）2并稱（比力為一度量平面.設(shè)（比力，eeR+

稱平面區(qū)域3（%￡）={xe（爐，4）血知力＜$為以不為心，￡為半徑的球形鄰域.

（1）試用集合語言描述兩個(gè)球形鄰域的交集；

（2）證明：（E\力中的任意兩個(gè)球形鄰域的交集是若干個(gè)球形鄰域的并集；

⑶一個(gè)集合稱作"開集”當(dāng)且僅當(dāng)其是一個(gè)無邊界的點(diǎn)集.證明：（E）力的一個(gè)子集是開集

當(dāng)且僅當(dāng)其可被表示為若干個(gè)球形鄰域的并集.

專題02集合與其他知識(shí)交匯的新定義解答題

（新定義，高觀點(diǎn)，壓軸題）

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組（x,y）表示，在

三維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組（％%z）表示，一般地在H（?>2,?GN）維空間中點(diǎn)/

的坐標(biāo)可用〃個(gè)有序數(shù)組（％,4，…，％）表示，并定義〃維空間中兩點(diǎn)4（%，出，…，％），

3（4也，…,〃）間的"距離"d（AB）='-引.

i=l

（1）若，MH求d（AB）；

[23nJ123n+1J

（2）設(shè)集合5={（?!，叼…，％）&e{0,l},i=l,2,…,7}.元素個(gè)數(shù)為2的集合“為小的子集，

且滿足對(duì)于任意Ae〃，都存在唯一的使得d（AB）V3,則稱M為"/的優(yōu)集證

明："心的優(yōu)集"新存在，且〃中兩不同點(diǎn)的"距離”是7.

【答案】⑴/川”二；

⑵證明見解析.

【優(yōu)尖升-分析[（1）根據(jù)題，得到k-4=。,-4=!結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解；

⑵根據(jù)新定義得到VABeU,,d（AB）+d（右）=7,構(gòu)造M={仇用有2個(gè)元素，由"（AB）

為整數(shù)，得到存在〃={氏可為"4的優(yōu)集"，設(shè)M=（4%…嗎）,此=（生也,…也），推

得d（A%）V3,d（AM2）<3,顯然矛盾，即可得證.

【詳解】（1）解：因?yàn)閝」，4=」，4-4=￡齊>°，則一〃=』一」7,

I2+1十”i1+1

所以小2）=如一g4m=i-

（2）證明：定義：對(duì)任意B=（l\力2,?:,規(guī)定5=（1-4，1-52，:1一。7）,

對(duì)任意>1（%,%,???,%），5=伯也,??屹）￡。7,

由于%,2￡{0,1},i=1,2，…,7,容易得—可+口―4—d=1,

所以d（AB）+d（通）=7,得結(jié)論：X/A,BeU7fd（AB）+d（麗）=7,

構(gòu)造M=｛氏邳有2個(gè)元素，由d（AB）為整數(shù)，

當(dāng)d（AB）43時(shí)，則滿足〃為“小的優(yōu)集”的定義，

當(dāng)d（AB）＞3時(shí)，貝|d（4）W3,滿足“為的優(yōu)集"的定義,

所以存在“=加閭為"S的優(yōu)集"，

若“中的兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)位置相同，不妨設(shè)為第一個(gè)位置，

則設(shè)M=（6，生，,,,，%），%=（0也,…,打），

則取A=（q,%,%,“也也也”“，則有d（AMj＜3,d（AM2）＜3,顯然矛盾，

所以河中的兩個(gè)點(diǎn)每一個(gè)位置均不同，即"=忸閭，顯然d（麗）=7,

即的優(yōu)集存在，且"中兩不同點(diǎn)的"距離”是7.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于以集合為背景的新定義問題的求解策略：

1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具

體的解題過程中；

2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.

3、涉及有交叉集合的元素個(gè)數(shù)問題往往可采用維恩圖法，基于課標(biāo)要求的，對(duì)于集合問題，

要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.

2.（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)給定的正整數(shù)”，令

=[a=（al,a2,...,aH'）\%e｛0,l｝/=l,2,,對(duì)任意的尤=（%,電,…,尤”），

'=定義x與，的距離d（x,y）=|%-%|+h-%|+…+|七-％|.設(shè)A是Q

的含有至少兩個(gè)元素的子集，集合。=｛刈內(nèi)）忖舛演丁"｝中的最小值稱為人的特征，記

作力（A）.

（1）當(dāng)〃=3時(shí)，直接寫出下述集合的特征：

A=（（0,0,0）,（1,1,1）｝,B=（（0,0,0）,（0,1,1）,（1,0,1）,（1,1,0）｝,C=（（0,0,0）,（0,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1））；

⑵當(dāng)a=2020時(shí)，設(shè)&[。期。且，（4）=2,求A中元素個(gè)數(shù)的最大值；

,2020

⑶當(dāng)“=2020時(shí)，設(shè)4q。2磔且力伊）=3,求證：A中的元素個(gè)數(shù)小于^—.

2021

【答案】⑴/(A)=3,力(8)=2,Z(C)=l

⑵2239

⑶證明詳見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)根據(jù)X與y的距離d的定義，直接求出d(x,y)的最小值即可；

(2)一方面先證明N中元素個(gè)數(shù)至多有2289個(gè)元素，另一方面證明存在集合A中元素個(gè)數(shù)

為2239個(gè)滿足題意，進(jìn)而得出N中元素個(gè)數(shù)的最大值；

(3)設(shè)4={占,孫…,X,”}，定義X的鄰域"(毛)={℃。202014(。,占)41}，先證明對(duì)任意的

N(x,)中恰有2021個(gè)元素，再利用反證法證明N(XJCN(XJ)=0,于是得到

N(3)UN(X2)U…UN(%)中共有2021〃?個(gè)元素，但。202。中共有2202。個(gè)元素，所以

2021m<22020,進(jìn)而證明結(jié)論.

【詳解】(1)依題意可得％(A)=3,%⑻=2,Z(C)=l.

(2)(a)一方面：對(duì)任意的…,%oi9，/o2o)wA,

令見,生019,火020)，

則1(。,/(。))=|1一2%02()|=1<2,故/⑷eA,

令集合3={〃叫aeA},則Ac3=0,

則AU2UQ2020且A和8的元素個(gè)數(shù)相同，

但5020中共有2202。個(gè)元素，其中至多一半屬于A,

故A中至多有a?四個(gè)元素.

(6)另"萬面：設(shè)A={a=(。］,出,出。當(dāng)M2020)e^2020I6+出+■?■+%020是偶數(shù)}，

則對(duì)任意的X=(可,孫…,々020)，y=(M，%，…，為020)eA，xwy,

都有A中的元素個(gè)數(shù)為C短+C短+4。+...+C虢=22。",

易得d(x,y)=忖-必|+|%-%|+…+|七一與玉+%+%+%+…+/020+^2020奇偶性相同，

故d(x,y)為偶數(shù)，

又xwy,則d(x,y)>。，所以d(x,y)N2,

注意到(0,0,0,0,…,0,0),(1,1,0,0,…,0,0)eA且它們的距離為2,

故此時(shí)A滿足題意，

綜上，A中元素個(gè)數(shù)的最大值為22°%

(3)當(dāng)”=2020時(shí)，設(shè)入￡。2020且力(A)=3,

設(shè)A={菁…

則對(duì)任意的％eA,定義x的鄰域N(xJ={aeQ2020\d{a,xi)<1},

(a)一方面：對(duì)任意的帆，N(xJ中恰有2021個(gè)元素，

事實(shí)上，

①若d(a,x,?)=(),則。=%，恰有一種可能；，

②若d(a,x)=l,則。與七,恰有一個(gè)分量不同,共2020種可能；

綜上，N(xj中恰有2021個(gè)元素，

(6)對(duì)任意的14注/4小，N(Xi)cN(Xj)=0,

事實(shí)上，若N(Xi)cN(x>0,

不妨設(shè)aeN(xJcN(Xj),x,.=(x1,x2,---,x2020),xy^4，<，…，的期')，

k=\,k=lA=1左=1、

fr

則〃(%,%.)=z\xk-xk\<E[\xk-d\+\a-xk'\\=24一4+Z\a-xk\<2f這與力(A)=3矛

J20202020V/20202020

盾，

由(a)和(6)可得N(X1)UN(%)U…UN&)中共有2021m個(gè)元素，

,2020

但。2020中共有22°2。個(gè)元素，所以2021口工22°2。，即加—,

2021

^2020

注意到加是正整數(shù)，但一不是正整數(shù)，上述等號(hào)無法取到，

2021

,2020

所以，集合A中的元素個(gè)數(shù)比小于^—.

2021

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查集合的新定義，集合的含義與表示、集合的運(yùn)算以及集合之間

的關(guān)系，反證法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析、解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，綜合性

較強(qiáng)，屬于難題.

3.(2024?云南昆明?一模)若非空集合/與2,存在對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使/中的每一個(gè)元素a,B

中總有唯一的元素6與它對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)為從/到8的映射，記作人A^B.

設(shè)集合4={—5,—3,—1,1,3,5},3=但也，…,〃}(〃eN*，?<6),且3=4.設(shè)有序四元數(shù)

集合尸={X|X=(埠w，w，X4),%e?^，=L2,3,4},0=?=(%,%，為，%)}.對(duì)于給定的

集合2,定義映射/：P玲。，記為y=/(X),按映射力若(i=l,2,3,4),則y,=x,+l；

4

若x,WB(Z=l,2,3,4),則％=%.記品(丫)=^加

i=l

⑴若8={_5,1},X=(1,-3,-3,5),寫出y,并求/任)；

(2)若3=但也也},X=(1,-3-3,5),求所有其(丫)的總和；

4

⑶對(duì)于給定的X=(占,孫％5，乂)，記Zx產(chǎn)"7,求所有品(卜)的總和(用含"2的式子表示).

1=1

【答案】(1)丫=(2,—3,—3,5),SB(Y)=1

(2)40

⑶63%+128

【優(yōu)尖升-分析】(1)根據(jù)題意中的新定義，直接計(jì)算即可求解；

(2)對(duì)1,-3,5是否屬于8進(jìn)行分類討論，求出對(duì)應(yīng)所有丫中的總個(gè)數(shù)，進(jìn)而求解；

(3)由題意，先求出在映射「下得到的所有%的和，同理求出在映射/■下得到的所有％

Ci=2,3,4)的和，即可求解.

【詳解】(1)由題意知，Y=f(X)=f((1,-3,-3,5))=(1+1,-3,-3,5)=(2,-3,-3,5),

所以用(y)=；2-3-3+5=1.

(2)對(duì)1,-3,5是否屬于8進(jìn)行討論：

①含1的2的個(gè)數(shù)為C；=10,此時(shí)在映射了下，％=1+1=2；

不含1的2的個(gè)數(shù)為C；=10,此時(shí)在映射/下，％=1；

所以所有F中2的總個(gè)數(shù)和1的總個(gè)數(shù)均為10；

②含5的8的個(gè)數(shù)為C；=10,此時(shí)在映射了下，為=5+1=6；

不含5的8的個(gè)數(shù)為C；=10,此時(shí)在映射了下，%=5;

所以所有丫中6的總個(gè)數(shù)和5的總個(gè)數(shù)均為10；

②含一3的3的個(gè)數(shù)為C；=10,此時(shí)在映射/下，J2=-3+1=-2,%=-3+1=-2；

不含-3的3的個(gè)數(shù)為C；10,此時(shí)在映射/■下，%=-3,%=-3；

所以所有了中-2的總個(gè)數(shù)和-3的總個(gè)數(shù)均為20.

綜上，所有&（丫）的總和為10x（1+2+5+6）+20x（—2—3）=140—100=40.

（3）對(duì)于給定的X=（占,超,工3，乂），考慮占在映射/下的變化.

由于在/的所有非空子集中，含有玉的子集3共2,個(gè)，

所以在映射/下看變?yōu)椋?%+1；

不含占的子集8共25—1個(gè)，在映射了下4變?yōu)椋?占；

所以在映射/?下得到的所有月的和為25a+1）+05-1）%=63占+32.

同理，在映射了下得到的所有》（，=2,3,4）的和25（七+1）+（25_1）七=63%+32.

所以所有品位）的總和為63（%+々+毛+*4）+32x4=63m+128.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則（公式）之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推

理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在"舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性

地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是集合的有關(guān)知識(shí)點(diǎn).

4.（23-24高一下?江蘇南京?階段練習(xí)）對(duì)于數(shù)集X={-1,不馬,…,毛},其中。＜再＜馬＜…＜天，

“22,定義向量集丫=慟萬=（?。?S€*,飛*},若對(duì)任意4€乙存在2?!\使得40=。，

則稱X具有性質(zhì)尸.

（1）設(shè)*={-1,1,2},請(qǐng)寫出向量集/并判斷X是否具有性質(zhì)產(chǎn)（不需要證明）.

（2）若0＜x＜g,且集合1-具有性質(zhì)尸，求x的值；

⑶若X具有性質(zhì)產(chǎn)，且％=4,q為常數(shù)且4＞1,求證：—=—=

X]WXn-1

【答案】（l）y={（-l,-1）,（-1,1）,（-1,2）,（1,-1）,（1,1）,（L2）,（2,-1）,（2,1）,（2,2）},X具有性質(zhì)P；

⑶證明見解析.

【優(yōu)尖升-分析】(i)根據(jù)向量集y的定義，結(jié)合x的元素，直接寫出y,再判斷是否滿足

性質(zhì)p即可；

(2)根據(jù)性質(zhì)尸的定義，任取玩=(。力)=［x,力=(c,d)=(-l,d),討論d的取值，結(jié)合

x的范圍，即可求得x的取值；

(3)根據(jù)性質(zhì)P的定義推出土為定值，結(jié)合占=1,即可推證.

xj

【詳解】(1)根據(jù)向量集Y的定義可得：

y={(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2)),

若7=(-1,-1),則存在Z=(L-1),使得4%=。，

同理亦可證明對(duì)任意不ey,也滿足性質(zhì)P,

故*={-1,1,2}具有性質(zhì)尸.

(2)對(duì)任意a,b￡X,都存在c,dGX,使得ac+Z?d=O,

即對(duì)于沆=(a,，)，都存在為=(c,d),使得而?方=0,其中〃，b,c,deX,

因?yàn)榧稀熬哂行再|(zhì)P,

選取玩=(。/)=［無,；］,萬=(c,d)=(-l,d),貝I］有T+gd=0,

假設(shè)4=無，則有一x+；x=0,解得x=0,這與0<x<1■矛盾，

假設(shè)d=-l,則有T-g=。，解得X=-g,這與0<X<；矛盾，

假設(shè)d=l,貝IJ有T+g=0,解得x=(，這與0<x<(矛盾，

222

彳取設(shè)“==，貝U有一x+g=0,解得x=g,滿足0<x<］,故x=g；

24424

經(jīng)檢驗(yàn)，集合卜1，；,；/}具有性質(zhì)尸.

(3)證明：取高式玉,西)?17,設(shè)q=(s,t)ey且滿足4%=0,

由(s+。玉=0得s+/=0,從而s,f異號(hào)，

團(tuán)一1是X中唯一的負(fù)數(shù)，

防,/中一個(gè)為一1,另一個(gè)為1,故IwX.

因?yàn)闊o2=q>i,所以再=1,

X具有性質(zhì)P,?。╝,6）=（乙,丐），l<i<j<n,

設(shè)c%+的=0,因?yàn)轳R>玉，且c,d中的正數(shù)大于等于1,

所以只能d=—l,

所以±=ceX,\<i<j<n.

xj

又X中只有（力-1）個(gè)大于1的正數(shù)，

即/4%<…<尤"_]<%,,

且區(qū)<&<...<土<斗，這（〃一1）個(gè)大于1的正整數(shù)都屬于集合X,

所以只能血=%,血=馬，…Z=X"_?

?^21^2

即三=9=...=工=%,

%2%當(dāng)-1

即W一旦”

%2%Xn_]

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題第三問的關(guān)鍵是能夠根據(jù)性質(zhì)P的定義，推出匕=1,以及土

XJ

為定值，進(jìn)而根據(jù)X中只有（〃-1）個(gè)大于1的正數(shù)解決問題.

5.（2024?北京石景山?一模）已知集合S,={x|x=（尤”尤2,…,招）,玉e{0』},i=L2,…,〃}（"N2）,

對(duì)于A=（q,%,…M”），3=（4也，??屹,）€5“，定義人與5之間的距離為“（48）=￡何-可.

i=l

⑴已知4=（,1,l,0）eS4,寫出所有的上邑，使得d（A3）=l;

⑵已知1=（1』,…』）WE，若A,BeS”,并且d（1,A）=d（/,B）=pV〃,求d（A3）的最大值;

⑶設(shè)集合Pqs“，尸中有加（〃拒2）個(gè)元素，若尸中任意兩個(gè)元素間的距離的最小值為/,求

證：m<X'1+1.

【答案】⑴（0,1,1,0）、（1,0,1,0）、（1,1,0,0）,（1,1,1,1）；

,、[2p,2p<n

⑵d（A,B）1mx-y2（^n-p）,2p>n'

⑶見解析

【優(yōu)尖升-分析】

(1)根據(jù)題中定義可得8的所有情形;

(2)分2p&n、2。>〃兩種情況，利用絕對(duì)值三角不等式可求得d(AB)的最大值;

(3)表示出戶=｛(。,。2,…,…,%+1，…,。")€尸｝,結(jié)合定義,可得

%+J工伍也，…,履用)，即戶中任意兩元素不相等，可得p中至多有2*個(gè)元

素，即可得證.

【詳解】(1)己知A=(LU,0)eS4，BeS4,且d(A,3)=l,

所以，3的所有情形有：(0,LLO)、(1,0,1,0),(1,1,0,0),(1,1,1,1)；

（2）設(shè)4=（%,外,，3=色也,…也）,

nn

因?yàn)閐（/,A）=Zk-1=Z（l-aJ=P，則q+U+…+4=”一。，

1=1Z=1

同理可得瓦+b2T-----\-bn=n-p,

當(dāng)”“p時(shí)，d（A,B）=4k心|=產(chǎn)1+1-a4力-蜀+力-4=2P；

i=li=li=li=l

nnn

當(dāng)〃<2p時(shí)，d（A,5）=Zk—修（Z"，+Z4=2〃一22.

z=li=li=\

當(dāng)人=1,1,...,1,0,0,...,0B=0,0,...0,1,時(shí)，上式等號(hào)成立.

、p/1>

綜上所述,"A嘰*4[2（p〃,2-p0<,n2p>

（3）記尸'=｛（。,。2,…,*+1）I（。,。2,…,%+■??,%）?「｝,

我們證明下|=||一方面顯然有尸閆兒另一方面,VABeS“且4*3,

假設(shè)他們滿足4=4，出=d，…,。"T+1=2T+I.則由定義有

與P中不同元素間距離至少為/相矛盾.

從而(4,%a,,—])W色也，…,%+]).

這表明P'中任意兩元素不相等.從而圜=仍=機(jī).

又P'中元素有〃T+1個(gè)分量，至多有2"-'+|個(gè)元素.

從而m<2"-'+1.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：

（1）緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)

用到具體的解題過程之中，這是新定義型集合問題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；

（2）用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵

之外用好集合的運(yùn)算與性質(zhì).

6.（23-24高三下?重慶沙坪壩,階段練習(xí)）設(shè)集合S、T為正整數(shù)集N*的兩個(gè)子集，S、T至

少各有兩個(gè)元素.對(duì)于給定的集合S,若存在滿足如下條件的集合T：

①對(duì)于任意若加b,都有abeT；②對(duì)于任意若a<b,則一eS.則稱

a

集合T為集合S的"K集".

⑴若集合4={1,3,9},求航的"K集"小

（2）若三元集邑存在"K集"與，且心中恰含有4個(gè)元素，求證：鹿邑；

⑶若$3={人,無2,}存在"K集"，且為<%:??<%,求，的最大值.

【答案】（1）7={3,9,27}；

⑵證明見解析；

（3）4.

【優(yōu)尖升-分析】

（1）根據(jù)定義直接求解；

（2）利用反證法推矛盾即可證明；

（3）設(shè)1W%結(jié)合（2）的結(jié)論推出國(guó)=1不成立，結(jié)合定義和再W1得”W4即

可求解.

【詳解】（1）

o77?7

若凡={1,3,9},由題意可得，1x3,1x9,3x9eT,即3,9,27eT,止匕時(shí),滿

足題意，

假設(shè)集合T中還有第四個(gè)元素為才，則由題意可知：若，<3,即/>9,則:任斗，回不成

立；

若/>3,則;eS一回/=3或9或27,矛盾.故集合T中無四個(gè)元素，所以集合7={3,9,27}.

(2)

設(shè)集合邑={4，。2，/}，不妨設(shè)4<的<。3,

假設(shè)IES2,即q=1,則1<%<。3且。2，。3，〃2a3W7，

由②知&eSz,注意到1<幺<。3,故有血=&,即%=蟾，所以J={1,凡,田},

故的3=。建7,即出,城,城?7,因?yàn)榧蟃中有4個(gè)元素，故設(shè)T={%㈤,a"},

33

由②可得：若/<的,則”>4，回里0亂，矛盾；

tt

若t>%，LRS?,則上=1或〃2或姆，所以，=%或加或4，與集合元素的互異性矛盾，

（^2C^2

假設(shè)錯(cuò)誤，故f.

（3）

S3={玉,々，…,x“}aN*,再,無2,…，尤“eN*,不妨設(shè)14玉</<…〈/，

所以玉々eT，xixneT又演尤2尤.，故土^=%~€53,同理可得乜€S3（14/</4"）,

再入2玉Xj

若為=1,與（2）類似得邑=9,尤2,考,…，芯T}，從而必有無2,石,…球一屋7,

J

對(duì)任意的14力<J42”—3,有用r三X后€風(fēng)，即E，尤;，…考”屋53,所以2力一4V為一1,即“W3.

x2

若占71,即玉22,1<—<—■■■<—<xn,故土=x“_|,=xn_2,-=x2,—=X1,

X[XjXjX]占玉玉

所以％=片,鼻=或…=琢一,3=*,即邑={占，4,…,無；},從而必有xf,x；,…，尤『IeT,

ri

對(duì)任意的3Wi</W2n-l,必有=T?'，即E，考,…尤廠屋S3,所以2〃—4（〃，即”W4.

玉——

綜上，得“V4,又w=4時(shí)，有5={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128}符合題意，

所以"的最大值為4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合新定義，關(guān)鍵是充分利用定義并分類討論芯=1和再#1

求解第三問，并充分利用反證法推理.

7.（2024?湖南邵陽?二模）給定整數(shù)”23,由〃元實(shí)數(shù)集合P定義其隨影數(shù)集

。={|》-刈x，〉eP，xNy}.若min（Q）=l,則稱集合尸為一個(gè)w元理想數(shù)集，并定義P的理

數(shù)f為其中所有元素的絕對(duì)值之和.

(1)分別判斷集合s={-2,-1,2,3},T={-0.3,-1.2,2.1,2.5}是不是理想數(shù)集；(結(jié)論不要求說明

理由)

⑵任取一個(gè)5元理想數(shù)集尸，求證：|min(P)|+|max(P)|“；

⑶當(dāng)P={和％，…，馬24}取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)/的最小值.

注：由“個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做"元實(shí)數(shù)集合，max(尸),min(尸)分別表示數(shù)集P中的最大數(shù)

與最小數(shù).

【答案】①集合S是理想數(shù)集，集合T不是理想數(shù)集

(2)證明見解析

⑶1024144

【優(yōu)尖升-分析[(1)由理想數(shù)集的定義即可判斷；

(2)為了方便說明，假定元素間一個(gè)有序關(guān)系為王<尤2<…<當(dāng)，從而分三種情況，X1>0,

x5<0,占<0,%>0討論即可得證；

(3)首先通過分類討論證明，對(duì)"元理想數(shù)集P,有|min(尸)|+|max(尸-1.從而有

|min(^.)|+|max(^.)|>2025-27,即|-^|+|^024|>2023,|J:2|+|J:2()23|>2021,---,|jq012|+|jq013|>1,

通過放縮與等差數(shù)列求和即可得解.

【詳解】(1)設(shè)5={-2,-1,2,3},7={-0.3,-122.1,2.5}的隨影數(shù)集分別為盤口,

則min(Qj=l>min(2)=0.9,

所以集合S是理想數(shù)集，集合T不是理想數(shù)集.

(2)不妨設(shè)集合尸={占,孫￡,5，毛}且再<尤2<…<天，即min(P)=&max(尸)=%.

?.?尸為理想數(shù)集，...VieN*,14i44,則尤陽一看21,eN*,l<z0<4,使得4+1-”=1

當(dāng)％20時(shí)，

|min(P)|+|max(P)|=1^]+|x5|=(x2-jq)+(x3-X2)H----l-(x4-x3)+(%5-X4)+2XJ>4+2jq>4.

當(dāng)且僅當(dāng)占+1-%=1且%=0時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)尤5Vo時(shí),

|x|=-x,=(%2(%3-^)+(x4-x+(x5—4)

|min(F)|+|max(F)|=|^|+5-x5—玉)+23)犬一2天>4-2x5>4

當(dāng)且僅當(dāng)天+1-%=1且％5=。時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)石<0,x5>0時(shí),

|min(?)|+]max(A)|=聞+岡=一%+毛=(%一%)+(%3一切+小一七)+(%5一%4)24.

當(dāng)且僅當(dāng)/「玉=1時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述：|min(P)|+|max(P)|>4.

(3)設(shè)百</<■■■<^2024.

?.?尸為理想數(shù)集.

;.VzeN*,l<z<2023,x;+1-x,>l,J.3/0eN*,l<z0<2023,使得x.+1-x.=1.

％0257keN*,14

對(duì)于弓=｛外,22，同樣有V，jW1012,x>+1-xy>l.

下先證對(duì)〃元理想數(shù)集P,有|min(P)|+|max(尸)02-1.

不妨設(shè)集合尸中的元素滿足再<…〈4.即min(尸)=占,max(P)=%.

?.?尸為理想數(shù)集，

—1,玉+1-%,1.3x0eN*,l<z0<n-1,使得%+11%=1.

當(dāng)占NO時(shí)，

x+x

|min(P)|+|max(P)|=國(guó)+闖=玉+%=(%-玉)+(泡-尤2)+…-n-i)^\>n-\+2xl>n-l

當(dāng)且僅當(dāng)%+1-%=1且%=0時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)斗V。時(shí)，

-x>n-l

|min(P)|+|max(P)|=|x1|+|xn|=-%]n=(x2-%j)+(x3-x2)+.-?+(x?)-2x;1>/z-l-2xn

,當(dāng)且僅當(dāng)尤且無.=。時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)不<0,%>0時(shí)，|min(P)|+|max(P)|=M+|xJ=_玉+x“=(%_&)+…+(七_(dá)七-1)2"T.

當(dāng)且僅當(dāng)心「%=1時(shí)，等號(hào)成立.

/.|min(P)|+|max(P)|>n-l.

，|min(弓)+[max仍)|>2025-20當(dāng)且僅當(dāng)如1-x,=1時(shí)，等號(hào)成立.

+I-V2024I—2023,|x2|+|x2023|>2021,…//4+|為013|—L

理數(shù)/=國(guó)+用+…+H22023+2021+…=10122.

當(dāng)且僅當(dāng)|%』=?；騶%』=。時(shí)，等號(hào)成立.

,理數(shù)f的最小值為1012?=1024144.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過分類討論證明，對(duì)"元理想數(shù)集P,有

|min(尸)|+|max(尸)2〃-1,由此即可順利得解.

8.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))設(shè)X,y為任意集合，映射定義：對(duì)任意小%eX,

若不2尤2，則/(%)力/?)，此時(shí)的/為單射.

(1)試在RfR上給出一個(gè)非單射的映射；

⑵證明：/是單射的充分必要條件是：給定任意其他集合Z與映射g,〃：Z->X,若對(duì)任意

zeZ,有/(g(z))：=/(Mz)),則g=〃；

⑶證明：f是單射的充分必要條件是:存在映射。:FfX,使對(duì)任意xeX,有。(/(元))=x.

【答案】⑴/(力=爐(答案不唯一)

⑵證明過程見解析

⑶證明過程見解析

【優(yōu)尖升-分析】

(1)結(jié)合單射的定義舉出符合條件的例子即可；

(2)結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可；

(3)結(jié)合單射的定義、反證法從兩方面來說明即可.

【詳解】(1)由題意不妨設(shè)〃x)=f,當(dāng)%(占,當(dāng)非0)互為相反數(shù)時(shí)，〃與)=〃/)滿

足題意；

(2)一方面若f是單射,且"g(z))=/①⑶),則g(z)=/z(z),即g=〃(否則若g(z)工/z(z),

有f(g(z))w/S(z)),矛盾),

另一方面，若對(duì)任意zeZ,由/（g（z））=/（〃（z））可以得到g=Q

我們用反證法證明了是單射，

【優(yōu)尖升-分析】（1）若七包-士[=1,2,3,4）等于同一常數(shù)，則{%}構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)等差

數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得到％=2事024，推出矛盾即可得解；

（2）依題意"1時(shí)，即當(dāng)1金；/<5時(shí)，max（x,.-x.）=l,貝|max{%}=405,min{xJ=404,

即可求出弓，巧，W，x4>4中有4個(gè)405,1個(gè)404,從而得解；

（3）由方差公式得到5=54+5/（/為方差），從而得到當(dāng)方差，取最小值時(shí)S取最小

值，從而推出（/馬,馬尤4,%）是1-密集，即可求出S的最小值.

【詳解】（1）若％f1=1,2,3,4）等于同一常數(shù)，

根據(jù)等差數(shù)列的定義可得化}構(gòu)成等差數(shù)列，所以%+%+%+%+%=5%=2024,

解得三=20等。4，與WeN*矛盾，

所以不存在一組解（4/，&，%，%），使得積1=1,2,3,4）等于同一常數(shù)；

_12024

（2）因?yàn)椋?1（占+%+項(xiàng)+無4+尤5）=---=404.8,

依題意t=l時(shí)，即當(dāng)時(shí)，max（%,.-x.）=l,

所以max{%}=405,min{x,}=404,

設(shè)有，個(gè)405,貝U有5-y個(gè)404,由405y+404（5—y）=2024,解得y=4,

所以毛,巧，W，匕，當(dāng)中有4個(gè)405,