2025高考數(shù)學復習必刷題：圓錐曲線拓展題型一 （學生版）

第81講圓錐曲線拓展題型一

必考題型全歸納

題型一：定比點差法

例1.已知橢圓C：W+《=1(a>6>0)的離心率為更，過右焦點/且斜率為左

a2b22

(々>0)的直線與C相交于A,B兩點,若而=3而，求左

例2.已知《+其=1,過點P(0,3)的直線交橢圓于A,B(可以重合)，求啰取

94\PB\

值范圍.

丫23

例3.已知橢圓L+匕=1的左右焦點分別為耳，F(xiàn),A,B,P是橢圓上的三個動

622

點，且兩=2不，恒=〃印若2=2,求〃的值.

變式1.設耳，工分別為橢圓］+V=1的左、右焦點，點A,B在橢圓上,若用=5印，

求點A的坐標

變式2.已知橢圓c：5+y2=i，設過點尸(2,2)的直線/與橢圓C交于A，3,點Q是

11?

線段至上的點，且網(wǎng)+國=兩，求點Q的軌跡方程.

題型二：齊次化

例4.已知拋物線C:;/=4x,過點(4,0)的直線與拋物線C交于P,。兩點，。為坐

標原點.證明：ZPOQ=9Q\

例5.如圖，橢圓E:1+V=l,經(jīng)過點”(1,1),且斜率為左的直線與橢圓E交于不

同的兩點P,。(均異于點4(0,-1),證明：直線AP與A。的斜率之和為2.

例6.已知橢圓C:：+y2=1,設直線/不經(jīng)過點寫(0,1)且與C相交于A,B兩點.若

直線2A與直線￡8的斜率的和為-1,證明：直線/過定點.

r27

變式3.已知橢圓C：'+y2=i,P,。為上的兩個不同的動點，kBPkBQ=-,

求證：直線。。過定點.

題型三：極點極線問題

22

例7.(2024?全國?高三專題練習)橢圓方程「邑+與=1(〃>“0),平面上有一點

ab

產(chǎn)(七,%).定義直線方程/:與+誓=1是橢圓「在點尸(七,%)處的極線.已知橢圓方程

ab

產(chǎn)+九1

43

⑴若尸(1,%)在橢圓C上，求橢圓C在點P處的極線方程；

(2)若P(%,%)在橢圓C上，證明：橢圓C在點尸處的極線就是過點尸的切線；

⑶若過點p(-4,0)分別作橢圓c的兩條切線和一條割線，切點為X,r,割線交橢圓c于

M,N兩點，過點N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點Q.證明：Q,X,Y

三點共線.

例8.（2024?全國?高三專題練習）閱讀材料：

（一）極點與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點

P（%，%）和直線/：A?龍+仇、+。（％+%）+磯、+%）+/=。是圓錐曲線G的一對極點和

極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換以號替換x（另一變量y也是如此），

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即可得到點P（X°,%）對應的極線方程.特別地，對于橢圓5+多=1,與點P（x0,%）對應

ab

的極線方程為岑+岑=1;對于雙曲線二一4=1,與點尸（馬,%）對應的極線方程為

abbb

岑-萼=1；對于拋物線V=2px,與點P（%,%）對應的極線方程為%了=°優(yōu)+力.即

對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關(guān)系.

（二）極點與極線的基本性質(zhì)、定理

①當尸在圓錐曲線G上時，其極線/是曲線G在點尸處的切線；

②當尸在G外時，其極線/是曲線G從點尸所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦

所在直線）；

③當尸在G內(nèi)時，其極線/是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.

結(jié)合閱讀材料回答下面的問題：

（1）已知橢圓C：：+/=1（。>>>0）經(jīng)過點尸（4,0）,離心率是乎，求橢圓C的方程并寫

出與點尸對應的極線方程；

（2）己知。是直線/：y=-gx+4上的一個動點，過點。向（1）中橢圓C引兩條切線，切

點分別為M,N,是否存在定點T恒在直線上，若存在，當旃=而時，求直線

的方程；若不存在，請說明理由.

V2V2

例9.（2024秋?北京?高三中關(guān)村中學?？奸_學考試）已知橢圓M：=+與=1（。>6>0）

ab

過A(-2,0),B(0,1)兩點.

（1）求橢圓M的離心率；

（2）設橢圓M的右頂點為C,點尸在橢圓〃上（尸不與橢圓M的頂點重合），直線A8與

直線CP交于點0,直線8尸交x軸于點S,求證：直線S。過定點.

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變式4.（2024?全國?高三專題練習）若雙曲線V-產(chǎn)=9與橢圓c：、+==l（a>b>0）共

4

頂點，且它們的離心率之積為

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若橢圓C的左、右頂點分別為4，4,直線/與橢圓C交于尸、Q兩點，設直線

4尸與4Q的斜率分別為%,k2,且勺-;&=0.試問，直線/是否過定點？若是，求出

定點的坐標；若不是，請說明理由.

變式5.（2024.全國?高三專題練習）己知橢圓氏士+工=1（°>6>0）的離心率為3,且

ab2

過點,半1A,8分別為橢圓E的左，右頂點，P為直線x=3上的動點（不在x軸上），

R4與橢圓E的另一交點為C,PB與橢圓E的另一交點為記直線R4與PB的斜率分別

為左］,k?.

（I）求橢圓E的方程;

k.

（ID求7k的值；

（III）證明：直線co過一個定點，并求出此定點的坐標.

題型四：蝴蝶問題

例10.（2003?全國?高考真題）如圖，橢圓的長軸A4與x軸平行，短軸與層在y軸上，中

心為“(0")3>r>0).

⑴寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率;

（2）直線y=匕X交橢圓于兩點C（x”M）,0（*2,%）（%＞。）；直線y=k2x交橢圓于兩點

G?,為），”（為,/）（乂＞。）.求證：=

?A-iI人？4qI44

⑶對于（2）中的中的在C,D,G,H,設S交無軸于P點，G。交x軸于。點，求

證：10Pl=1。。1（證明過程不考慮S或GD垂直于x軸的情形）

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例11.⑵24?全國?高三專題練習）已知橢圓C京+力1?＞少＞°）,四點4（U）,

2(0,1)，P3,舄1，中恰有三點在橢圓C上.

（1）求橢圓c的方程;

（2）蝴蝶定理：如圖1,A3為圓。的一條弦，”是A3的中點，過M作圓。的兩條弦

CD,EF.若CF,即分別與直線A3交于點尸，Q,則=

圖1圖2

該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓C中，弦A3的中點M的坐標為且

兩條弦CO,EF所在直線斜率存在，證明：MP=MQ.

例12.（2021?全國?高三專題練習）（蝴蝶定理）過圓A3弦的中點任意作兩弦C。和

EF,CP與ED交弦A3于尸、。，求證：PM=QM.

變式6.（2024.全國.高三專題練習）蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴

蝶，一代代數(shù)學名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來.如圖，已知圓M的方程為

x2+（y-b）2=r2,直線*=沖與圓M交于。（為％）,。（%,為），直線％=沖與圓M交于

E（W，%）,網(wǎng)程%）?原點。在圓〃內(nèi).

（2）設CP交x軸于點尸，匹交x軸于點Q.求證：\OP\=\OQ\.

22

變式7.（2024.陜西西安.陜西師大附中?？寄M預測）已知橢圓C:a+方=1（。>8>0）的

左、右頂點分別為點A,B,且|AB|=4,橢圓C離心率為g.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C的右焦點，且斜率不為0的直線/交橢圓C于M,N兩點，直線AM,BN

的交于點Q,求證：點。在直線x=4上.

22

變式8.（2024?全國?高三專題練習）已知橢圓C：冬+2=1（。>6>0）的左、右頂點分別為

ab

A,B,離心率為!■，點2?為橢圓上一點.

（1）求橢圓c的標準方程；

（2）如圖，過點C（0,1）且斜率大于1的直線/與橢圓交于N兩點，記直線AM的斜

率為后，直線的斜率為左2,若作=2依，求直線/斜率的值.

22

變式9.（2021秋?廣東深圳.高二?？计谥校┮阎獧E圓C：^+方=1（“>6>0）的右焦點是

F（273,0）,過點b的直線交橢圓C于A,B兩點,若線段A8中點。的坐標為

61

177J

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知尸（0,-匕）是橢圓。的下頂點，如果直線廣質(zhì)+1（厚0）交橢圓C于不同的兩點

N,且M,N都在以尸為圓心的圓上，求女的值；

⑶過點。（段，。）作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A,8為橢圓的左右頂點，記

直線AR、8s的斜率分別為幻、k2,則口是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說

K2

明理由.

22

變式10.（2024?全國?高三專題練習）如圖，已知橢圓C:=+4=l（a>6>0）的離心率為

ab

I，A,3分別是橢圓C的左、右頂點，右焦點F,BE=1,過尸且斜率為依人>。）的直

線/與橢圓C相交于N兩點,〃在x軸上方.

（1）求橢圓C的標準方程；

S3

（2）記△A?,△班N的面積分別為SI，S2,若U=求左的值；

（3）設線段MN的中點為。，直線OD與直線x=4相交于點E,記直線AM,BN,EE的斜

率分別為尤，k2,k3,求&勺）的值.

變式11.（2024秋.福建莆田.高二莆田華僑中學?？计谀┮阎cA（l,-三）在橢圓C