2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：統(tǒng)計(jì)（學(xué)生版）

第83講統(tǒng)計(jì)

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、抽樣

1、抽樣調(diào)查

(1)總體：統(tǒng)計(jì)中所考察對(duì)象的某一數(shù)值指標(biāo)的全體構(gòu)成的集合稱(chēng)為總體.

(2)個(gè)體：構(gòu)成總體的每一個(gè)元素叫做個(gè)體.

(3)樣本：從總體中抽取若干個(gè)個(gè)體進(jìn)行考察，這若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合叫做總體

的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

2、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

(1)定義

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃個(gè)個(gè)體作為樣本

(wWN),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫

做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

(2)兩種常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法

①抽簽法：一般地，抽簽法就是把總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)

簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取w次，就得到一個(gè)容

量為”的樣本.

②隨機(jī)數(shù)法：即利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣.這里僅

介紹隨機(jī)數(shù)表法.隨機(jī)數(shù)表由數(shù)字0,1,2,…，9組成，并且每個(gè)數(shù)字在表中各個(gè)位置

出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都是一樣的.

注意：為了保證所選數(shù)字的隨機(jī)性，需在查看隨機(jī)數(shù)表前就指出開(kāi)始數(shù)字的橫、縱位

置.

(3)抽簽法與隨機(jī)數(shù)法的適用情況

抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況，隨機(jī)數(shù)法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況，

但是當(dāng)總體容量很大時(shí)，需要的樣本容量也很大時(shí)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本仍不方便.

(4)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特征

①有限性：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的，便于通過(guò)樣本對(duì)總體

進(jìn)行分析.

②逐一性：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，便于實(shí)踐中操作.

③不放回性：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算.

④等可能性：簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽樣中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，從而保證了抽樣方法的

公平.

只有四個(gè)特點(diǎn)都滿(mǎn)足的抽樣才是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

3、分層抽樣

(1)定義

一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地

抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽

樣.

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的.

(2)分層抽樣問(wèn)題類(lèi)型及解題思路

①求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.

②己知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比

例式進(jìn)行計(jì)算.

樣本容量

③分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=蜂卷=

各層樣本數(shù)量,,

各層個(gè)體數(shù)量

注意：分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必須滿(mǎn)足抽?。?竺

㈠=1,2,…#)個(gè)個(gè)體(其中，是層數(shù)，w是抽取的樣本容量，乂是第，層中個(gè)體的個(gè)

數(shù)，N是總體容量).

知識(shí)點(diǎn)二、用樣本估計(jì)總體

1、頻率分布直方圖

(1)頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法

頻率

端歪x組距=頻率.

頻數(shù)頻數(shù)

②武)量=頻率'命第=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

③頻率分布直方圖中各個(gè)小方形的面積總和等于1.

2、頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算

(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左

（右）側(cè)矩形面積之和等于0.5,即可求出x.

（3）平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面

積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即有工二國(guó)網(wǎng)+網(wǎng)月+…+七衛(wèi)，其中當(dāng)為每個(gè)小

長(zhǎng)方形底邊的中點(diǎn)，為每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積.

3、百分位數(shù)

（1）定義

一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等

于這個(gè)值，且至少有（100-0%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值.

（2）計(jì)算一組〃個(gè)數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算i=p%.

③若，不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)j,則第p百分位數(shù)為第/項(xiàng)數(shù)據(jù)；若，是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

（3）四分位數(shù)

我們之前學(xué)過(guò)的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).在實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常

用的分位數(shù)還有第25百分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)

據(jù)分成四等份，因此稱(chēng)為四分位數(shù).

4、樣本的數(shù)字特征

（1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間

兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

③平均數(shù)：〃個(gè)樣本數(shù)據(jù)公尤2,…,7的平均數(shù)為1=>+"2+…,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平

n

均水平，公式變形：=nx.

Z=1

5、標(biāo)準(zhǔn)差和方差

（1）定義

①標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)

據(jù)是和々,…,X”，X表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)差

s=-尤）2+（x-x）2+■-■+（x?-x）2].

Vn2

②方差：方差就是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即$2=—[（玉-”了+卜-左丁+…+⑸-幻」.顯然,

n

在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的分散程度上,方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

（2）數(shù)據(jù)特征

標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)程度的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，則數(shù)據(jù)

的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推

算標(biāo)準(zhǔn)差、方差的大小.

（3）平均數(shù)、方差的性質(zhì)

如果數(shù)據(jù)玉,々，……，七的平均數(shù)為最，方差為S',那么

2

①一組新數(shù)據(jù)玉+b,x2+b,...xn+b的平均數(shù)為尤+b,方差是s.

②一組新數(shù)據(jù)...,axn的平均數(shù)為ax,方差是/s?.

③一組新數(shù)據(jù)叫+b,ax2+b,...,axn+Z?的平均數(shù)為ax+b,方差是a2s

必考題型全歸納

題型一：隨機(jī)抽樣、分層抽樣

例1.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某工廠為了對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行嚴(yán)格把關(guān)，從500件產(chǎn)品

中隨機(jī)抽出50件進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)這500件產(chǎn)品進(jìn)行編號(hào)001,002,500,從下列隨機(jī)數(shù)

表的第二行第三組第一個(gè)數(shù)字開(kāi)始，每次從左往右選取三個(gè)數(shù)字，則抽到第四件產(chǎn)品的編

號(hào)為()

283931258395952472328995

721628843660107343667575

943661184479514096949592

601749514068751632414782

A.447B.366C.140D.118

例2.（2024?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解

學(xué)生每天閱讀課外書(shū)籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)

查.將46名學(xué)生按01,02,…，46進(jìn)行編號(hào).現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行:

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695565719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

若從表中第7行第41列開(kāi)始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù),

則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是（）

A.07B.12C.39D.44

例3.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)要完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：

①?gòu)?0盒酸奶中抽取3盒進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；

②東方中學(xué)共有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名.為了

了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的意見(jiàn)，擬抽取一個(gè)容量為20的樣本.

較為合理的抽樣方法是（）

A.①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣B.①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣

C.①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法D.①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法

變式1.（2024?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在二戰(zhàn)期間，技術(shù)先

進(jìn)的德國(guó)坦克使德軍占據(jù)了戰(zhàn)場(chǎng)主動(dòng)權(quán)，了解德軍坦克的生產(chǎn)能力對(duì)盟軍具有非常重要的

戰(zhàn)略意義，盟軍請(qǐng)統(tǒng)計(jì)學(xué)家參與情報(bào)的收集和分析工作.在繳獲的德軍坦克上發(fā)現(xiàn)每輛坦

克都有獨(dú)一無(wú)二的發(fā)動(dòng)機(jī)序列號(hào)，前6位表示生產(chǎn)的年月，最后4位是按生產(chǎn)順序開(kāi)始的

連續(xù)編號(hào).統(tǒng)計(jì)學(xué)家將繳獲的德軍坦克序列號(hào)作為樣本，用樣本估計(jì)總體的方法推斷德軍

每月生產(chǎn)的坦克數(shù).假設(shè)德軍某月生產(chǎn)的坦克總數(shù)為N,繳獲的該月生產(chǎn)的〃輛坦克編號(hào)

從小到大為毛，巧，L,xn,繳獲的坦克是從所生產(chǎn)的坦克中隨機(jī)獲取的，繳獲坦克的

編號(hào)4，巧，L,Z,相當(dāng)于從［1,N］中隨機(jī)抽取的”個(gè)整數(shù)，這幾個(gè)數(shù)將區(qū)間［0,N］分

成（W+1）個(gè)小區(qū)間（如圖）.可以用前"個(gè)區(qū)間的平均長(zhǎng)度土估計(jì)所有5+1）個(gè)區(qū)間的平均

n

N

長(zhǎng)度」7,進(jìn)而得到N的估計(jì).如果繳獲的坦克編號(hào)為：35,67,90,127,185,245,

n+1

287.則可以估計(jì)德軍每月生產(chǎn)的坦克數(shù)為（）

III____________________|____I?

0即…NX

A.288B.308C.328D.348

變式2.（2024?江蘇?高三江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨第

二十次全國(guó)代表大會(huì)，學(xué)校采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一1002人，高二

1002人，高三1503人中抽取126人觀看“中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)”直播，那么

高三年級(jí)被抽取的人數(shù)為（）

A.36B.42C.50D.54

變式3.（2024?北京?高三強(qiáng)基計(jì)劃）某校共2017名學(xué)生，其中每名學(xué)生至少要選A,B

兩門(mén)課中的一門(mén)，也有些學(xué)生選了兩門(mén)課.已知選A的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在70%到

75%之間，選8的人數(shù)占全校人數(shù)的百分比在40%到45%之間.則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.同時(shí)選A,8的可能有200人B.同時(shí)選A,8的可能有300人

C.同時(shí)選A,8的可能有400人D.同時(shí)選A,8的可能有500人

變式4.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）現(xiàn)有300名老年人，500名中年人，400名

青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，人，若抽取的老年人與青年人共21名，

則〃的值為（）

A.15B.30C.32D.36

【解題方法總結(jié)】

不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.

題型二：統(tǒng)計(jì)圖表

例4.（多選題）（2024?河北石家莊?高三校聯(lián)考期中）恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個(gè)

人消費(fèi)支出總額的比重，它在一定程度上可以用來(lái)反映人民生活水平.恩格爾系數(shù)的一般

規(guī)律：收入越低的家庭，恩格爾系數(shù)就越大；收入越高的家庭，恩格爾系數(shù)就越小.國(guó)際

上一般認(rèn)為，當(dāng)恩格爾系數(shù)大于0.6時(shí)，居民生活處于貧困狀態(tài)；在0.5-0.6之間，居民生

活水平處于溫飽狀態(tài)；在0.4-0.5之間，居民生活水平達(dá)到小康；在0.3-0.4之間，居民生

活水平處于富裕狀態(tài)；當(dāng)小于0.3時(shí)，居民生活達(dá)到富有.下面是某地區(qū)2022年兩個(gè)統(tǒng)計(jì)

圖，它們分別為城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)統(tǒng)計(jì)圖和城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)你

依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析判斷，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)(％)

35_____________________________________________31.6

3028.327.427.728.326.1

2522.7[~]23.1口23.8口24_

20—

15—

10—

5—

20172018201920202021

口城鎮(zhèn)居民口農(nóng)村居民

圖1

城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收人（元）

140000

120000

8326284793

100000

7735279132題92

80000

6000040。8240Z884屋50系甌

40000

43878

20000

20172018201920202021

農(nóng)村居民城鎮(zhèn)居民

圖2

A.農(nóng)村居民自2017年到2021年，居民生活均達(dá)到富有

B.近五年城鄉(xiāng)居民家庭人均可支配收入差異最大的年份是2020年

C.城鄉(xiāng)居民恩格爾系數(shù)差異最小的年份是2019年

D.2022年該地區(qū)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的生活水平已經(jīng)全部處于富有狀態(tài)

例5.（多選題）（2024?河北唐山?遷西縣第一中學(xué)?？级＃?022年的夏季，全國(guó)多地

迎來(lái)罕見(jiàn)極端高溫天氣.某課外小組通過(guò)當(dāng)?shù)貧庀蟛块T(mén)統(tǒng)計(jì)了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最

高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，則根據(jù)圖表，下列判斷正確的是（）

B.七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差

C.七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃

D.七月份前10天（1—10日）最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差

例6.（多選題）（2024?山西忻州?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）航海模型項(xiàng)目在我國(guó)已開(kāi)展四

十余年，深受青少年的喜愛(ài).該項(xiàng)目整合國(guó)防、科技、工程、藝術(shù)、物理、數(shù)學(xué)等知識(shí)，主

要通過(guò)讓參賽選手制作、遙控各類(lèi)船只、艦艇等模型航行，普及船艇知識(shí)，探究海洋奧

秘，助力培養(yǎng)未來(lái)海洋強(qiáng)國(guó)的建設(shè)者.某學(xué)樣為了解學(xué)生對(duì)航海模型項(xiàng)目的喜愛(ài)程度，用比

例分配的分層隨機(jī)抽樣法從某校高一、高二、高三年級(jí)所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)

查.已知該學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級(jí)

學(xué)生有32人，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.該校高一學(xué)生人數(shù)是2000

B.樣本中高二學(xué)生人數(shù)是28

C.樣本中高三學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多12

D.該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是8000

變式5.（多選題）（2024?湖南株洲?高三校考階段練習(xí)）某公司統(tǒng)計(jì)了2024年1月至6

月的月銷(xiāo)售額（單位：萬(wàn)元），并與2022年比較，得到同比增長(zhǎng)率數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示

的統(tǒng)計(jì)圖，則下列說(shuō)法正確的是（）

注：同比增長(zhǎng)率=（今年月銷(xiāo)售額一去年同期月銷(xiāo)售額）;去年同期月銷(xiāo)售額x100%.

B.2024年1月至6月的月銷(xiāo)售額的第60百分位數(shù)為8

C.2024年1月至6月的月銷(xiāo)售額的中位數(shù)為9.5

D.2022年5月的月銷(xiāo)售額為10萬(wàn)元

變式6.（多選題）（2024?廣東梅州?統(tǒng)考三模）某公司經(jīng)營(yíng)五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對(duì)市場(chǎng)變

化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤(rùn)不斷增長(zhǎng)，今年總利

潤(rùn)比五年前增加了一倍，調(diào)整前后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)與總利潤(rùn)的占比如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)

誤的是（）

傳媒因手

書(shū)

73傳?

2^32%J\

25%寸雜志

K\5y\

2*23%7

房地產(chǎn)卷房地產(chǎn)試卷

調(diào)整前調(diào)整后

A.調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量小于雜志

B.調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)有所下降

C.調(diào)整后試卷的利潤(rùn)增加不到一倍

D.調(diào)整后圖書(shū)的利潤(rùn)增長(zhǎng)了一倍以上

變式7.（多選題）（2024?福建福州?福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)我國(guó)若干大

型科技公司進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到了從事芯片、軟件兩個(gè)行業(yè)從業(yè)者的年齡分布的餅形圖和

“90后”從事這兩個(gè)行業(yè)的崗位分布雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法中一定正確的是（）

90后從事芯片、軟件芯片、軟件行業(yè)

行業(yè)崗位的分布從業(yè)者年齡分布

A.芯片、軟件行業(yè)從業(yè)者中，“90后”占總?cè)藬?shù)的比例超過(guò)50%

B.芯片、軟件行業(yè)中從事技術(shù)、設(shè)計(jì)崗位的“90后”人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的25%

C.芯片、軟件行業(yè)從事技術(shù)崗位的人中，“90后”比“80后”多

D.芯片、軟件行業(yè)中，“90后”從事市場(chǎng)崗位的人數(shù)比“80前”的總?cè)藬?shù)多

變式8.（多選題）（2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某地環(huán)保部門(mén)公布了該地A,8兩個(gè)景區(qū)

2016年至2022年各年的全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù).現(xiàn)根據(jù)這組數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的

散點(diǎn)圖，則由該圖得出的下列結(jié)論中正確的是（）

數(shù)

天

34O

32O

30O1

301

2X0上293￡80上283一,293

260________________▲262上266▲262

240.254?254人255一

皴。217.203、

02016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年年份

?景區(qū)A▲景區(qū)B

A.景區(qū)A這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的中位數(shù)為254

B.景區(qū)8這7年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的第80百分位數(shù)為280

C.這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比景區(qū)8的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

大

D.這7年景區(qū)A的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)比景區(qū)3的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的平均數(shù)

大

【解題方法總結(jié)】

統(tǒng)計(jì)圖表的主要應(yīng)用

扇形圖：直觀描述各類(lèi)數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例；

折線圖：描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)；

條形圖和直方圖：直觀描述不同類(lèi)別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.

題型三：頻率分布直方圖

例7.（2024?四川成都?高三成都七中?？茧A段練習(xí)）某區(qū)為了解全區(qū)12000名高二學(xué)生

的體能素質(zhì)情況，在全區(qū)高二學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，并將這1000名

的體能測(cè)試成績(jī)整理成如下頻率分布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖，這1000名學(xué)生平均

成績(jī)的估計(jì)值為.

例8.（2024?云南?統(tǒng)考二模）某大學(xué)有男生2000名.為了解該校男生的身體體重情

況，隨機(jī)抽查了該校100名男生的體重，并將這100名男生的體重（單位：kg）分成以下

六組：［54,58）、［58,62）、［62,66）、［66,70）、［70,74）、［74,78］,繪制成如下的頻率分布

該校體重（單位：kg）在區(qū)間[70,78]上的男生大約有人.

例9.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）2022年12月4日是第九個(gè)國(guó)家憲法日，主題為“學(xué)習(xí)

宣傳貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全面貫徹實(shí)施憲法”，某校由學(xué)生會(huì)同學(xué)制作了憲法學(xué)習(xí)問(wèn)

卷，收獲了有效答卷2000份，先對(duì)其得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按照[50,60）、[60,70）.........

[90,100]分成5組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，則圖中工=.

變式9.（2024?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）從某小學(xué)所有學(xué)生中隨

機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高（單位：cm）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其

中樣本數(shù)據(jù)分組口。0,11。），口1。，120）,[120,130）,[130,140）,[140,150）,若要從身高在

[120,130）,[130,140）,口40,150）三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取12人參加一項(xiàng)

活動(dòng)，則從身高在口30,140）內(nèi)的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為.

變式10.（2024?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）某校調(diào)查了200名學(xué)生每周的

自習(xí)時(shí)間（單位:小時(shí)），制成了如圖所示的的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖，這200名學(xué)

生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為：.

變式11.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?高三海拉爾第一中學(xué)校考階段練習(xí))某蔬菜批發(fā)市場(chǎng)

銷(xiāo)售某種蔬菜.在一個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)，每售出1噸該蔬菜獲利500元，未售出的蔬菜低價(jià)處

理，每噸虧損100元.統(tǒng)計(jì)該蔬菜在過(guò)去的100個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)的市場(chǎng)需求量所得頻率分布直

方圖如下：

(1)求圖中a的值并求100個(gè)銷(xiāo)售周期的平均市場(chǎng)需求量；

(2)若經(jīng)銷(xiāo)商在下一個(gè)銷(xiāo)售周期購(gòu)入19。噸該蔬菜，設(shè)>為銷(xiāo)售周期所得利潤(rùn)(單位：

元)，x為該銷(xiāo)售周期的市場(chǎng)需求量(單位：噸)，求x,y的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)銷(xiāo)售的利

潤(rùn)不少于86000元的概率.

【解題方法總結(jié)】

(1)利用頻率分布直方圖求頻率、頻數(shù);

(2)利用頻率分布直方圖估計(jì)總體.

（3）頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是繁，而不是頻率.

組距

題型四：百分位數(shù)

例10.（2024?上海?高三專(zhuān)題練習(xí)）以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的15人的成績(jī)（單

位:分），分?jǐn)?shù)從低到高依次：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,則這15人成

績(jī)的第80百分位數(shù)是.

例11.（2024?上海浦東新?高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校為了了解高三年級(jí)

學(xué)生的身體素質(zhì)狀況，在開(kāi)學(xué)初舉行了一場(chǎng)身體素質(zhì)體能測(cè)試，以便對(duì)體能不達(dá)標(biāo)的學(xué)生

進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，促進(jìn)他們體能的提升，現(xiàn)從整個(gè)年級(jí)測(cè)試成績(jī)中抽取100名學(xué)生的

測(cè)試成績(jī)，并把測(cè)試成績(jī)分成[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組，繪制

成頻率分布直方圖（如圖所示）.其中分?jǐn)?shù)在[90,100]這一組中的縱坐標(biāo)為“，則該次體能

測(cè)試成績(jī)的80%分位數(shù)約為分.

例12.（2024?安徽?校聯(lián)考二模）國(guó)慶節(jié)前夕，某市舉辦以“紅心頌黨恩、喜迎二十大”

為主題的青少年學(xué)生演講比賽，其中10人比賽的成績(jī)從低到高依次為：85,86,88,88,

89,90,92,93,94,98（單位：分），則這10人成績(jī)的第75百分位數(shù)是.

變式12.（2024?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱市第四中學(xué)校?？计谀┮阎唤M數(shù)據(jù)：

24,30,40,44,48,52.則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)的平均數(shù)為.

變式13.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動(dòng)習(xí)慣，某人記錄了自己一周

內(nèi)每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），分別為53,57,45,61,79,49,x,若這組數(shù)據(jù)的第

80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3,則％=（）

A.58或64B.59或64C.58D.59

【解題方法總結(jié)】

計(jì)算一組”個(gè)數(shù)據(jù)的的第p百分位數(shù)的步驟

①按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

②計(jì)算i=p%■

③若，不是整數(shù)而大于，的比鄰整數(shù)j,則第p百分位數(shù)為第，項(xiàng)數(shù)據(jù)；若，.是整數(shù)，則

第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第i+1項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù).

題型五：樣本的數(shù)字特征

例13.（多選題）（2024?廣東惠州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）有一組樣本數(shù)據(jù)：4%，…,飛，

其平均數(shù)為2,由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：見(jiàn),馬，…，演,2,那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定

有相同的（）

A.平均數(shù)B.中位數(shù)C.方差D.極差

例14.（多選題）（2024?吉林?高一榆樹(shù)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知數(shù)據(jù)1：

3，巧，L，xn,數(shù)據(jù)2：2玉-1,2X2-1,L,則下列統(tǒng)計(jì)量中，數(shù)據(jù)2不是

數(shù)據(jù)1的兩倍的有（）

A.平均數(shù)B.極差C.中位數(shù)D.標(biāo)準(zhǔn)差

例15.（2024?貴州黔東南?凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）“說(shuō)文明話、辦文明事、做文明人，

樹(shù)立城市新風(fēng)尚！創(chuàng)建文明城市，你我共同參與！”為宣傳創(chuàng)文精神，華強(qiáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一

（2）班組織了甲乙兩名志愿者，利用一周的時(shí)間在街道對(duì)市民進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次

數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則以下說(shuō)法不正理的為（）

甲、乙志愿者宣傳次數(shù)的頻數(shù)分布折線圖

A.甲的眾數(shù)小于乙的眾數(shù)B.乙的極差小于甲的極差

C.甲的方差大于乙的方差D,乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)

變式14.（2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）某學(xué)校對(duì)班級(jí)管理實(shí)行量化打分，每周一

總結(jié)，若一個(gè)班連續(xù)5周的量化打分不低于80分，則為優(yōu)秀班級(jí).下列能斷定該班為優(yōu)秀

班級(jí)的是（）

A.某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83,中位數(shù)為81

B.某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83,方差大于0

C.某班連續(xù)5周量化打分的中位數(shù)為81,眾數(shù)為83

D.某班連續(xù)5周量化打分的平均數(shù)為83,方差為1

變式15.（2024?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一組數(shù)據(jù):2,3,4,6,m,則下列說(shuō)法

不正確的是（）

A.若m=7,則平均數(shù)為4.4B.若m=4,則眾數(shù)為4

C.若機(jī)=6,則中位數(shù)為4D.若加=10,則方差為40

變式16.（2024?貴州銅仁?高二貴州省銅仁第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)

準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平均氣溫低于10。。即為入冬，將連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記

錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，現(xiàn)有4組樣本①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如

下：

①平均數(shù)元＜4；

②平均數(shù)x＜4且極差小于或等于3；

③平均數(shù)于＜4且標(biāo)準(zhǔn)差sV4；

④眾數(shù)等于5且極差小于或等于4.

則4組樣本中一定符合入冬指標(biāo)的共有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

變式17.（2024?天津河?xùn)|?高一統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組的四名同學(xué)各自拋擲骰子5

次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，四名同學(xué)的部分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

甲同學(xué)：中位數(shù)為3,方差為2.8；乙同學(xué)：平均數(shù)為3.4,方差為1.04；

丙同學(xué)：中位數(shù)為3,眾數(shù)為3；丁同學(xué)：平均數(shù)為3,中位數(shù)為2.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，數(shù)據(jù)中肯定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是同學(xué).

變式18.（2024?云南大理?高一校考階段練習(xí)）根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，連續(xù)5天的日平

均氣溫低于10℃即為入冬.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)

（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為7,眾數(shù)為6；②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,極差為3；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,中位數(shù)為4；④丁地：5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差小于

3.

則肯定進(jìn)入冬季的地區(qū)是（）

A.甲地B.乙地

C.丙地D.丁地

變式19.（2024?河北滄州?高二肅寧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）氣象意義上的春季進(jìn)入

夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度不低于22°C.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均

氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：

①甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)是中位數(shù)為24,眾數(shù)為22；

②乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)是中位數(shù)為27,總體均值為24；

③丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8

則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有

A.①②③B.①③C.②③D.①

變式20.（2024?吉林長(zhǎng)春?高一長(zhǎng)春市第五中學(xué)?？计谀┫铝忻}中是真命題的是

（）

A.一組數(shù)據(jù)2,1,4,3,5,3的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同；

B.有A、B、C三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的A個(gè)體數(shù)為9,則

樣本容量為30；

C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)為5,6,9,10,5,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的

是甲；

D.一組數(shù)1,2,2,2,3,3,3,4,5,6的80%分位數(shù)為4.

【解題方法總結(jié)】

（1）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小.

（2）方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2=%（x：+x；+…+靖-癡1或?qū)懗?/p>

S?+—+*）_￡,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

題型六：總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

例16.（2024?湖北孝感?高二孝昌縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）文明城市是反映城

市整體文明水平的綜合性榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文

明城市的主要?jiǎng)?chuàng)造者.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)

競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績(jī)（滿(mǎn)分100分，成績(jī)均為不

低于40分的整數(shù)）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］得到如圖所示的頻率分布

（1）求頻率分布直方圖中。的值；

（2）求樣本成績(jī)的第75百分位數(shù)；

⑶已知落在［50,60）的平均成績(jī)是61,方差是7,落在［60,70）的平均成績(jī)?yōu)?0,方差是

4,求兩組成績(jī)的總平均數(shù)三和總方差,2.

例17.（2024?河南南陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）2022年入冬以來(lái)，為進(jìn)一步做好疫情防控工

作，避免疫情的再度爆發(fā)，A地區(qū)規(guī)定居民出行或者出席公共場(chǎng)合均需佩戴口罩，現(xiàn)將A

地區(qū)20000個(gè)居民一周的口罩使用個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，其中每周的口罩使用個(gè)數(shù)在6以

024681012x/口罩使用個(gè)數(shù)

（1）求引力的值，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，完善上面的頻率分布直方圖；（只畫(huà)圖，不要過(guò)程）

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)A地區(qū)居民一周口罩使用個(gè)數(shù)的75%分位數(shù)和中位數(shù)；（四舍

五入，精確到0』）

（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)A地區(qū)居民一周口罩使用個(gè)數(shù)的平均數(shù)以及方差.（每組數(shù)據(jù)

用每組中點(diǎn)值代替）

例18.（2024?河北邯鄲?高二校考開(kāi)學(xué)考試）某工廠在加大生產(chǎn)量的同時(shí)，狠抓質(zhì)量管

理，不定時(shí)抽查產(chǎn)品質(zhì)量.該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)

量指標(biāo)值分成以下六組：[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100].得到如下頻率分布直方

⑴求出直方圖中m的值；

(2)利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和60%分位

數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作代表，60%分位數(shù)精確到0.01).

變式21.(2024?福建?高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)小晟統(tǒng)計(jì)了他6月份的手機(jī)通話明細(xì)清

單，發(fā)現(xiàn)自己該月共通話100次，小晟將這10。次通話的通話時(shí)間(單位：分鐘)按照

(0,4),[4,8),[8,12),[12,16),[16,20),[20,24]分成6組,畫(huà)出的頻率分布直方圖如圖

所示.

⑴求a的值;

⑵求通話時(shí)間在區(qū)間[4,12)內(nèi)的通話次數(shù)；

(3)試估計(jì)小晟這100次通話的平均時(shí)間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

變式22.（2024?浙江溫州?高二樂(lè)清市知臨中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了迎接新高考，某校

舉行物理和化學(xué)等選科考試，其中，600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)（滿(mǎn)分100分）的頻率分布直方

圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：第一組［45,55）,第二組［55,65）,第三組［65,75）,第

四組［75,85）,第五組［85,95）.已知圖中第三組頻率為0.45,第一組和第五組的頻率相同.

(1)求a,b的值;

⑵估算高分（大于等于80分）人數(shù)；

（3）估計(jì)這600名學(xué)生化學(xué)成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和

中位數(shù).（中位數(shù)精確到0.1）

變式23.（2024?湖北武漢?高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）某學(xué)校為了了解老師對(duì)“民法典”知識(shí)的

認(rèn)知程度，針對(duì)不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識(shí)競(jìng)答，滿(mǎn)分100分（95分及以上

為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有心人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第

二組：［25,30）,第三組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的

頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這〃，人年齡的第75百分位數(shù);

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取40人，擔(dān)任“民法典”知識(shí)的宣傳使者.

①若有甲(年齡23),乙(年齡43)兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第一組和第五組

被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人恰有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1,第五組宣傳使者的年齡的平均

數(shù)與方差分別為42和2,據(jù)此估計(jì)這用人中35-45歲所有人的年齡的方差.

【解題方法總結(jié)】

頻率分布直方圖的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.

(3)平均數(shù):平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.

題型七：總體離散程度的估計(jì)

例19.(2024?高一課時(shí)練習(xí))某學(xué)校高一100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)考試，成績(jī)均在40分到100

分之間，學(xué)生成績(jī)的頻率分布直方圖如下圖：

（I）估計(jì)這1。0名學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)與平均數(shù)；（精確到0.1）

⑵某老師抽取了10名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：小與七，…，/，已知這10個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)元=90,標(biāo)準(zhǔn)

差s=6,若剔除其中的100和80兩個(gè)分?jǐn)?shù)，求剩余8個(gè)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

（參考公式：［無(wú)；一疝*

s=|------------

n

例20.（2024?四川綿陽(yáng)?綿陽(yáng)中學(xué)校考二模）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返

回艙成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志

著中國(guó)空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿(mǎn)完成.并將進(jìn)入建造階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對(duì)天文

學(xué)的興趣，開(kāi)展了天文知識(shí)比賽，滿(mǎn)分100分（95分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度

高的有機(jī)人，這加人按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三

組：［30,35）,第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已

知第一組有10人.

頻率

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這，"人的第80百分位數(shù)（中位數(shù)=第50百分位數(shù)）；

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者.

①若有甲（年齡36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組

被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和,第五組宣傳使者的年齡的平均

數(shù)與方差分別為42和1,據(jù)此估計(jì)這根人中35?45歲所有人的年齡的平均數(shù)和方差.

例21.（2024?北京?高三校考階段練習(xí)）某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，對(duì)高一、

高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試.現(xiàn)從兩個(gè)年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取20人，將他們的

測(cè)試數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如下:

高一高二

6439058

962381458

9852172339

9776464578

8305026

402

《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如下表.規(guī)定：測(cè)試數(shù)據(jù)次0,體質(zhì)健康為合格.

等級(jí)優(yōu)秀良好及格不及格

測(cè)試數(shù)據(jù)[90,100][80,89][60,79][0,59]

(1)從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率；

(2)從兩個(gè)年級(jí)等級(jí)為優(yōu)秀的樣本中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，求選取的兩名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)平

均數(shù)大于95的概率；

(3)設(shè)該校高一學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為工用，高二學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方

差分別為兀,s；，試比較X與E、s：與s；的大小.(只需寫(xiě)出結(jié)論)

變式24.(2024?廣西?高一期末)某中學(xué)400名學(xué)生參加全市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，根據(jù)男女

學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)

據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),…，怪0,90],并整理得到如下頻率分布直方圖：

f頻率/組距

0.04------------------------------1—1

0.02----------------------------------------

o.oi-------

)~~~~~I1111r

o2030405060708090分?jǐn)?shù)

(1)由頻率直方圖求樣本中分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；

⑵已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40,50)的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；

(3)已知樣本中男生與女生的比例是3:1,男生樣本的均值為70,方差為10,女生樣本的均

值為80,方差為12,請(qǐng)計(jì)算出總體的方差.

變式25.(2024?湖北武漢?高一期末)某中學(xué)為了貫策教育部對(duì)學(xué)生的五項(xiàng)管理中的體

質(zhì)管理，對(duì)高一年級(jí)學(xué)生身高進(jìn)行調(diào)查，在調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽

樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男34人，其平均數(shù)和方差分別為170.5和15,抽

取了女生16人，其平均數(shù)和方差分別為160.5和35.

(1)由這些數(shù)據(jù)計(jì)算總樣本的平均數(shù)；

(2)由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差作出估計(jì).

參考數(shù)據(jù)：(15+3.22)x34=858.16,(35+6.82)x16=1299.84

變式26.(2024?湖北武漢?高一期末)為了監(jiān)控某種裝件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢

驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸(單位：cm).其中于元近似為

樣本平均數(shù)，s近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，用樣本平均數(shù)方和標(biāo)準(zhǔn)差s能夠反映數(shù)據(jù)取值的信

息.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(元-3s,元+3s)之外的零

件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)

行檢查.下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:

9.910.110.210.29.99.810.110

10.210.39.110.19.99.910.110.2

116

經(jīng)計(jì)算得元=白20.280,16x0.282?

16,=1

1.25,15x10.062?1518.05,V0.026?0.16,其中為為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=l,2,…,16.

(1)利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？

(2)剔除叵-3s,元+3s)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)樣本平均數(shù)元和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,(精確

到0.01).

變式27.（2024?廣西玉林?高一校聯(lián)考期末）某學(xué)校為了了解高二年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能

力，對(duì)高二年級(jí)的300名學(xué)生進(jìn)行了一次測(cè)試.已知參加此次測(cè)試的學(xué)生的分?jǐn)?shù)

玳，=1,2,…,300）全部介于45分到95分之間，該校將所有分?jǐn)?shù)分成5組：

[45,55）,[55,65）,...,[85,95],整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值

（1）求加的值，并估計(jì)此次校內(nèi)測(cè)試分?jǐn)?shù)的平均值元；

（2）學(xué)校要求按照分?jǐn)?shù)從高到低選拔前30名的學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，試估計(jì)這30名學(xué)生的最低分

數(shù)；

⑶試估計(jì)這300名學(xué)生的分?jǐn)?shù)%1=1,2,…,300）的方差S2,并判斷此次得分為52分和94

分的兩名同學(xué)的成績(jī)是否進(jìn)入到了巨-2s,元+2s]范圍內(nèi)？

22

（參考公式：s=-^f\Xi-x）,其中力為各組頻數(shù)；參考數(shù)據(jù)：V129?11.4）

幾1=1

變式28.（2024?黑龍江牡丹江?高一牡丹江一中校考期末）4月23日是世界讀書(shū)日，樹(shù)

人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)

生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到

40名男生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間（單

位：小時(shí)）的頻率分布直方圖.（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值）

男生一周課外閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表

小時(shí)頻數(shù)

[0,2)9

[2,4)25

[4,6)3

[6網(wǎng)3

(1)從一周課外閱讀時(shí)間為［4,6)的學(xué)生中按比例分配抽取6人，再?gòu)倪@6名學(xué)生中選出2名

同學(xué)調(diào)查他們閱讀書(shū)目.求這兩人都是女生的概率;

⑵分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)U；

(3)估計(jì)總樣本的平均數(shù)5和方差小.

參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時(shí)間