2025年初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)突破：全等三角形中的常見(jiàn)五種基本模型（含答案及解析）

大招全等三角形

的常見(jiàn)五種模型

模型介紹

全等三角形的模型種類多，其中有關(guān)中點(diǎn)的模型與垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細(xì)的講解,

這里就不在重復(fù).

模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。

如圖所示，在BF上截取BM=DF,易證aBMC義ADFC(SAS),則MC=FC=FG,ZBCM=ZDCF,

可得△MCF為等腰直角三角形，又可證NCFE=45°,ZCFG=90°,

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.

②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。

如圖所示，延長(zhǎng)GC至N,使CN=DF,易證4CDF出Z\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,

又知NFGC=45°,可證BN〃FG,于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

模型二、平移全等模型

A

模型三、對(duì)稱全等模型

模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型

模型五、手拉手全等模型

B

例題精講

模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

【例1】.如圖，ADLBC,AB+BD=DC,NB=54°,則NC=

A變式訓(xùn)練

【變式1-1].如圖，點(diǎn)尸是△ABC三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，連接AP、BP、ZACB

D.90°

【變式1-2].如圖，在四邊形ABC。中，BOBA,AD=CD,8。平分NA8C,

求證：ZA+ZC=180°.

【變式1-3].如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC,ZBAC=90°,點(diǎn)D在線段AB

上，連接。，ZADC=60°,A￡)=2,過(guò)C作CE_LCD,且CE=C。，連接DE,交.BC

于足

(1)求△(?￡>￡的面積；

(2)證明：DF+CF=EF.

模型二、平移全等模型

【例2].如圖，在四邊形ABC。中，E是的中點(diǎn)，AD//EC,ZAED=ZB.

(1)求證：△AED0△EBC.

(2)當(dāng)AB=6時(shí)，求CD的長(zhǎng).

AEB

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,5.DE^AF,求證:

△AFC名ADEB.如果將2。沿著4。邊的方向平行移動(dòng)，如圖2,3時(shí)，其余條件不變,

結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2-2].如圖，AD,BF相交于點(diǎn)。，AB//DF,AB^DF,點(diǎn)E與點(diǎn)C在8F上，且

BE=CF.

(1)求證：AABC咨ADFE；

(2)求證：點(diǎn)。為BE的中點(diǎn).

D

【變式2-3].如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，/AO2=NCOD=90°,。在

AB±.

(1)求證：△AOC四△20。；

(2)若AO=1,ZADC=60°,求C。的長(zhǎng).

模型三、對(duì)稱全等模型

【例3】.如圖，AD//BC,/。=90°,ZCPB=30°,/D42的角平分線與NCA4的角平

分線相交于點(diǎn)P，且。，P,C在同一條直線上.

(1)求的度數(shù)；

(2)求證：尸是線段CD的中點(diǎn).

D

/

C

AB

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，AB^AC,D、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，AM_LCZ）于M,AN1BE干N.

求證：AM=AN.

【變式3-2].如圖，已知點(diǎn)￡、P分別是正方形A2CD中邊A3、BC上的點(diǎn)，且AB=12,

AE=6,將正方形分別沿。E、。尸向內(nèi)折疊，此時(shí)D4與。C重合為。G,求CT的長(zhǎng)度.

【變式3-3].如圖，44。2=90°,0M平分NAOB,將直角三角板的頂點(diǎn)尸在射線0M上

移動(dòng)，兩直角邊分別與02相交于點(diǎn)C、。，問(wèn)PC與尸。相等嗎？試說(shuō)明理由.

模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型

【例4].如圖，已知：AD=AB,AE=AC,AD±AB,AE±AC.猜想線段CD與BE之間的

數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想.

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].已知△A8C和△ADE均為等腰三角形，且AB=AC,AD=

AE.

(1)如圖1,點(diǎn)E在BC上，求證：BC=BD+BE；

(2)如圖2,點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，求證：BC=BD-BE.

【變式4-2].如圖所示，已知尸是正方形ABC。外一點(diǎn)，且B4=3,PB=4,則PC的最大

模型五、手拉手全等模型

【例5】.如圖，ZVIBC與△ADE是以點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形，且AZ）=AE,AB=AC,

ZDAE=ZCAB=90°,且線段8￡＞、CE交于F.

（1）求證：AAEC絲AADB.

（2）猜想CE與DB之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

A變式訓(xùn)練

【變式5-1].如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三角

形ABC和正三角形CDE、AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,

連接尸Q.以下五個(gè)結(jié)論：?AD=BE-,@AP=BQ；③DE=DP；④NAO8=60°.恒成

立的結(jié)論有幾個(gè)（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式5-2].如圖，NBAD=NCAE=90°，AB=AD,AE^AC,AF±CB,垂足為足

(1)求證：AABC^AADE；

(2)求的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

【變式5-3].(1)如圖1,等腰△A8C與等腰△DEC有公共點(diǎn)C,S.ZBCA=ZECD,連接

BE、AD,若8C=AC,EC=DC,求證：BE=AD.

(2)若將△￡>￡(：繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3、圖4情形時(shí)，其余條件不變，8E與A。還相

等嗎？為什么？

圖3圖4

o

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，已知=BC=DE,且NC4D=10°,ZB=ZD=25°,ZEAB=120°,

則NEGb的度數(shù)為（

c.115°D.125°

2.如圖，在AAOB和△CO。中，0A=08,OC=OD,OA<OC,ZAOB=ZCOD=36°.連

接AC,BD交于點(diǎn)M,連接。M.下列結(jié)論：

①NAM8=36°,?AC=BD,③0M平分/AOD,④MO平分/AMO.其中正確的結(jié)論

個(gè)數(shù)有（）個(gè).

3.如圖，在△ABC中，ZBAC=30°,MAB=AC,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP+BP+CP的

最小值為46，則BC2=

4.正方形48。中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，CE=2DE,將△?1￡)￡沿4E折疊至△APE,

延長(zhǎng)跖交8C于點(diǎn)G,連接AG,CF.下列結(jié)論：①AABG咨AAFG；@SAFGC=6；

③EG=DE+BG；@BG=GC.其中正確的有(填序號(hào)).

5.如圖，在矩形ABC。中，AB=8,BC=4,將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)。落在處.

(1)求證：AF=CF

(2)求AF的長(zhǎng)度.

D'

6.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)￡>,DB=AB,連接C￡>,

以CO為直角邊作等腰三角形CDE,其中/OCE=90°,連接BE.

(1)求證：AACD2ABCE；

(2)若AB=3c〃z,則cm.

(3)BE與有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°，AB=AC,點(diǎn)D是42的中點(diǎn)，連接CD過(guò)B作

交C。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,過(guò)A作A尸，AE交C。于點(diǎn)足

(1)求證：AE^AF；

(2)求證：CD=2BE+DE.

8.如圖：在等腰直角三角形中，AB=AC,點(diǎn)。是斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)、E、尸分別為A8,

AC上的點(diǎn)，5.DE1DF.

(1)若設(shè)BE=a,CF=b,滿足-5|=在亞+日益，求BE及C尸的長(zhǎng).

(2)求證：B呼+CF2=EF2.

(3)在(1)的條件下，求△￡)￡廠的面積.

BD

9.如圖1,點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、8重合），分別以AC、BC為一腰在A2

的同側(cè)作等腰△AC。和△BCE,CA^CD,CB=CE,/ACD=/BCE=30°,連接AE

交CO于點(diǎn)連接8。交CE于點(diǎn)N,AE與BD交于點(diǎn)P,連接CP.

（1）線段AE與DB的數(shù)量關(guān)系為；請(qǐng)直接寫出NAPD=；

（2）將△BCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，其他條件不變，探究線段AE與DB的

數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；求出此時(shí)NAPO的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下求證：ZAPC=ZBPC.

10.閱讀與理解:

折紙，常常能為證明一個(gè)命題提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB>AC(如圖),

怎樣證明呢？

分析：把AC沿/A的角平分線翻折，因?yàn)锳8>AC,所以點(diǎn)C落在A8上的點(diǎn)C處，

即AC=AC,據(jù)以上操作，易證明△AC。絲△AC。，所以/ACD=NC,又因?yàn)镹AC。

>ZB,所以

感悟與應(yīng)用：

(1)如圖(a),在△ABC中，NACB=90°,NB=30°,C。平分NAC8,試判斷AC

和A。、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖(6),在四邊形ABCZ)中，AC平分/BA。，AC=16,AD=8,DC=BC=U,

①求證：ZB+ZD=180°；

②求A8的長(zhǎng).

11.如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且B4=2,PB=氏,PC=1,求/8PC的度

數(shù)和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng).

(1)李明同學(xué)作了如圖乙的輔助線，將△2PC繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如圖乙所示，

連接PP',可說(shuō)明△人「「是直角三角形從而問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你說(shuō)明其中理由并完成問(wèn)題

解答.

(2)如圖丙，在正方形ABC。內(nèi)有一點(diǎn)P,且AP=遙，BP=?PC=1：類比第一

小題的方法求N2PC的度數(shù)，并直接寫出正方形A3。的面積.

12.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,以CA為邊在/ACB的另一側(cè)作

ACB,點(diǎn)。為射線BC上任意一點(diǎn)，在射線CM上截取CE=2。，連接A。、DE、AE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。落在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，N4DE的度數(shù)為.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在線段BC(不含邊界)上時(shí)，AC與。E交于點(diǎn)凡請(qǐng)問(wèn)(1)中

的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，若A8=12,求CF的最大值.

大招全等三角形

的常見(jiàn)五種模型

O

W)模型介紹

全等三角形的模型種類多，其中有關(guān)中點(diǎn)的模型與垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細(xì)的講解,

這里就不在重復(fù).

模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。

如圖所示，在BF上截取BM=DF,易證^BMC之4DFC(SAS),則MC=FC=FG,ZBCM=ZDCF,

可得AMCF為等腰直角三角形，又可證NCFE=45°,ZCFG=90°,

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.

②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。

如圖所示，延長(zhǎng)GC至N,使CN=DF,易證4CDF出Z\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,

又知NFGC=45°,可證BN〃FG,于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

模型二、平移全等模型

A'

模型三、對(duì)稱全等模型

模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型

模型五、手拉手全等模型

E

o

例題精講

模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

解：在。。上截取連接AE,

VADXBC,DE=BD,

???AO是的垂直平分線，

：.AB=AE,

：.ZB=ZAEB=54°,

'：AB+BD=DC,DE+EC=DC,

：.AB=EC,

：.AE=EC,

：.ZC=ZEAC,

VZC+ZEAC=ZAEB=54°,

：.ZC=ZEAC=—ZAEB=27°,故答案為：27°.

2

A變式訓(xùn)練

【變式1-1].如圖，點(diǎn)尸是△ABC三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，連接AP、BP、CP,ZACB

=60°,且CA+A尸=3。，則NC48的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

解：如圖，在BC上截取CE=AC,連接PE,

VZACB=60°,

：.ZCAB+ZABC^120°

?..點(diǎn)尸是AABC三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，

/.ZCAP=ZBAP=—ZCAB,ZABP=ZCBP=—ZABC,ZACP=ZBCP,

22

ZABP+ZBAP=60°

'：CA^CE,ZACP=ZBCP,CP=CP

:.AACP*AECP(SAS)

：.AP=PE,ZCAP=ZCEP

'：CA+AP=BC,MCB=CE+BE,

：.AP=BE,

:.BE=PE,

EPB=/EBP,

：.ZPEC=NEBP+NEPB=2/PBE=ZCAP

：.ZR\B=2ZPBA,S.ZABP+ZBAP=60°,

：.ZPAB=40°,

AZCAB=80°故選：C.

【變式1-2].如圖，在四邊形A8C￡)中，BC>BA,AD=CD,3。平分NABC,

求證：ZA+ZC=180°.

證明：在線段BC上截取連接。E,如圖所示.

：8。平分/ABC,

ZABD=ZEBD.

'AB=EB

在△AB。和△EB。中，，NABD=NEBD，

BD=BD

:.△ABD/4EBD(.SAS),：.AD=ED,NA=NBED.

"：AD=CD,

:.ED=CD,：.ZDEC=ZC.

VZBED+ZDEC=180°,ZA+ZC=180°.

【變式1-3].如圖，ZkABC為等腰直角三角形，AB=AC,NA4c=90°，點(diǎn)。在線段A5

上，連接CD,ZAZ)C=60°,AD=2,過(guò)C作CEJ_C。，且CE=CD,連接。交,BC

于足

(1)求△CDE的面積；

(2)證明：DF+CF=EF.

(1)解：在RtZXAOC中，U：AD=2,ZADC=60°，

：.ZACD=30°,

：.CD=CE=2AD=4,

9：ECLCD,

：.ZECD=90°,

/.SAECD=—?CD-CE=AX4X4=8.

22

(2)證明：在EF上取一點(diǎn)M,使得

■:EC=CD,ZE=ZCDF=45°,

???△ECM妾LDCF,

：.CM=CF,

VZAZ)C=60°,

ZFZ)B=180°-60°-45°=75°,

ZDFB=ZCFM^180°-75°-45°=60°,

???△C廠M是等邊三角形，

:?CF=MF,

：.EF=EM+MF=DF+CF.

模型二、平移全等模型

【例2].如圖，在四邊形ABC。中，￡是AB的中點(diǎn)，AD//EC,NAED=NB.

(1)求證：4AED義AEBC.

(2)當(dāng)AB=6時(shí)，求CD的長(zhǎng).

AEB

(1)證明：\'AD//EC,：.ZA=ZBEC,

是A3中點(diǎn)，：.AE=EB,

:NAED=NB,:.△AEDWMBC.

(2)解：:AAED冬AEBC,：.AD=EC,

'：AD//EC,，四邊形AECO是平行四邊形，:.CD=AE,

；A2=6,,\CD=AAB=3.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,且。E=AR求證:

△AFgADEB.如果將BD沿著邊的方向平行移動(dòng)，如圖2,3時(shí)，其余條件不變,

結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

g/\

B/CD~/BDBD

F

⑵

解：-：AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD.

,JDE//AF,

'AF=DE

在△Af'C和△DEB中，＜NA=/D，

AC=DB

AAAFC^AZ)￡B(SAS).

在(2),(3)中結(jié)論依然成立.

如在(3)中，'：AB=CD,

；.AB-BC=CD-BC,

即AC=BD,

,JAF//DE,

ZA=ZD.

'AF=DE

在△ACF和△DEB中，<ZA=ZD>

AC=DB

:.AACF出ADEB(SAS).

【變式2-2].如圖，AD,8F相交于點(diǎn)O,AB//DF,尸，點(diǎn)E與點(diǎn)C在8尸上，且

BE=CF.

(1)求證：△ABC絲△。/E；

(2)求證：點(diǎn)。為的中點(diǎn).

ZB=NF,

?；BE=CF,

：.BC=EF,

在△ABC和△DFE中，

'AB=DF

<ZB=ZF>

BC=EF

...△ABg^DFE(SAS)；

(2)■:XABgXDFE,

：.AC=DE,ZACB=ZDEF,

在△ACO和△DEO中，

,ZACB=ZDEF

<ZAOC=ZDOE-

AC=DE

.,.△AC。注△DE。(A4S),

：.EO=CO,

.,.點(diǎn)。為8尸的中點(diǎn).

【變式2-3].如圖，ZkAOB和△<%>/)均為等腰直角三角形，ZAOB^ZCOD^90°,。在

AB上.

(1)求證：△AOC義△800；

(2)若AZ)=1,ZA￡)C=60°,求。的長(zhǎng).

(1)證明：???△AO8和△C。。均為等腰直角三角形,

/.ZA0B=ZC0D=9Q°,OA=OB,0C=0D,

：.ZBOD+ZAOD=90°,ZAOC+ZAOD=90°,

ZBOD=ZAOC,

在△AOC和△8。。中，

'CO=DO

<NBOD=/AOC，

OA=OB

.?.△AOC絲△BO￡>(SAS)；

(2)解：VAAOC^ABOD,

：.ZCAO^ZDBO^45°,

又/BAO=45°,

.\ZCA￡>=90°,

'：AD=1,ZADC=6Q°,：.CD=2AD=2.

模型三、對(duì)稱全等模型

【例3】.如圖，AD//BC,ZD=90°,/CP8=30°,的角平分線與NCB4的角平

分線相交于點(diǎn)P，且DP,C在同一條直線上.

(1)求NB4。的度數(shù)；

(2)求證：尸是線段C￡>的中點(diǎn).

DD

PP

⑴解：\9AD//BC,

AZC=180°-Zr>=180°-90°=90°,

'：ZCPB=30°,

：.ZPBC=90°-ZB=60°,

,.?尸8平分NABC,

AZABC=2ZPBC=120°,

■:AD//BC,

：.ZDAB+ZABC=\S0°,

：.ZDAB=1SO°-120°=60°,

〈AP平分ND48,

ZPAD=^ZDAB=30°；

2

(2)證明：過(guò)尸點(diǎn)作PELAB于E點(diǎn)，如圖，

〈AP平分NDA5,PDLAD,PELAB,

：.PE=PD,

???8尸平分NABC,PCLBC,PE_LAB,

：.PE=PC,

：.PD=PC,

???尸是線段CO的中點(diǎn).

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，AB=AC,D、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，AMJ_C。于M,AN1BE干N.

求證：AM=AN.

B

解：-：AB=AC,D、E分別是A3、AC的中點(diǎn),

J.AD^BD^AE^EC,NB=NC,

在△￡>2C和△E2C中

'BD=EC

-ZB=ZC

BC=CB

，ADBC^AEBC,

，ZBDC=ZBDE,

ZBDC=ZADM,ZBEC=ZAEN,

：.ZADM=ZAEN,

在△AMD和中

，ZAHD=ZANE=90°

ZADM=ZAEN

AD=AE

AAMD^AAZVE

：.AM=AN.

【變式3-2].如圖，已知點(diǎn)E、尸分別是正方形ABC。中邊A8、8C上的點(diǎn)，且48=12,

AE=6,將正方形分別沿。E、向內(nèi)折疊，此時(shí)。A與。C重合為。G,求CT的長(zhǎng)度.

解：設(shè)CF=x,則FG=x,FB^\2-x,

'：AB=n,AE=6,

:.BE=6,EG=6,

.\EF=6+x,

在RtZ\3跖中，

B號(hào)+BF?=EF2,

62+(12-x)2=(尤+6)2,

x=4,即CF的長(zhǎng)為4.

【變式3-3].如圖，ZAOB=90°,0M平分/A08,將直角三角板的頂點(diǎn)尸在射線0M上

移動(dòng)，兩直角邊分別與。4、08相交于點(diǎn)C、。，問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由.

AM4M

M°DR0MFDB

解：PC與尸。相等.理由如下：

過(guò)點(diǎn)P作PE±OA于點(diǎn)E,PFLOB于點(diǎn)F.

平分/AOB,點(diǎn)尸在上，PELOA,PF±OB,

:.PE=PF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）

又；NAOB=90°,ZPEO=ZPFO=90°,

四邊形O“尸為矩形，

AZEPF=9Q°,

：.ZEPC+ZCPF=90°,

又?.?/CP￡>=90°,

：.ZCPF+ZFPD=90°,

ZEPC=ZFPD=90°-ZCPF.

在△「（?￡?與中，

，ZPEC=ZPFD

????PE=PF，

ZEPC=ZFPD

：./\PCE^/\PDF（ASA）,:.PC=PD.

模型四、旋轉(zhuǎn)全等模型

【例4].如圖，已知：AD=AB,AE=AC,AD±AB,AE±AC.猜想線段CD與BE之間的

數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想.

BC

解：猜想：CD=BE,CDA.BE,

理由如下：'：AD±AB,AE±AC,

：.ZDAB=ZEAC=90°.

：.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,即/C4￡>=NEAB,

在△AC。和△AEB中，

，AD=AB

?ZCAD=ZEAB>

AC=AE

AAACD^AAEB(SAS),

:.CD=BE,NADC=NABE,

"：ZAGD=ZFGB,

：.ZBFD^ZBAD^9Qa,BPCDLBE.

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].已知△ABC和△AOE均為等腰三角形，且N8AC=ND4E,AB=AC,AD

AE.

(1)如圖1,點(diǎn)E在BC上，求證：BC=BD+BE；

(2)如圖2,點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，求證：BC=BD-BE.

(1)證明：,：ZBAC=ZDAE,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

即NDAB=ZEAC,

5L'：AB=AC,AD=AE,

：./\DAB^/\EAC(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BE+CE=BD+BE；

(2)證明：VZBAC=ZDAE,

：.NBAC+/EAB=ZDAE+ZEAB,

即/D4B=NE4C,

又：AB=AC,AD^AE,

：./\DAB^/\EAC(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=CE-BE=BD-BE.

【變式4-2].如圖所示，己知尸是正方形ABC。外一點(diǎn)，且B4=3,PB=4,則PC的最大

值是3+4、萬(wàn)

則PE=42PB=4-/2,

VZABE=ZABP+900,ZCBP=ZABP+9G0,

ZABE=ZCBP,

在AABE和△CBP中，

'AB=BC

，ZABE=ZCBP>

BE=PB

.,.△ABE<ACBP(SAS),

：.AE=PC,

由兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)AE最大,

止匕時(shí)AE=AP+PE=3+4&,

所以，PC的最大值是3+4a.故答案為：3+4V2.

模型五、手拉手全等模型

【例5】.如圖，△ABC與△AOE是以點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形，且AZ)=AE,AB^AC,

ZDAE^ZCAB^90°,且線段8。、CE交于F.

(1)求證：AAEC^AADB.

(2)猜想CE與。8之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(1)證明：VZBAC^ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△8AO與△CAE中，

，AB=AC

?ZBAD=ZCAE>

AD=AE

:.ABAD2ACAE(SAS)；

(2)解：CE=DB,CE±DB.

理由：由(1)知，ABAD^ACAE,

AZABD=ZACE,BD=CE,

'：ZBAC=90°,

：.ZCBF+ZBCF^ZABC+ZACB^90Q,.\ZBFC=90°,：.CE±BD.

A變式訓(xùn)練

【變式5-1].如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角

形ABC和正三角形CDE.AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)。，

連接尸。.以下五個(gè)結(jié)論：?AD=BE；@AP=BQ；③DE=DP；④NAO8=60°.恒成

立的結(jié)論有幾個(gè)()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解：①；正△ABC和正△(?￡)￡,

：.AC^BC,CD=CE,NACB=NDCE=60°,

:ZACD=ZACB+ZBCD,NBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

.?.△ADgABEC（SAS）,

；.AD=BE,NDAC=NEBC,（故①正確）;

②又：AC=2C,ZACP=ZBCQ=6Q°,ZDAC=ZEBC,

：./\CDP^/\CEQ（ASA）.

：.AP=BQ,（故②正確）；

③:△ACP四△BC。，

：.AP=QB,

'：△ADC"ABEC

J.AD^BE,

：.AD-AP^BE-QB,

:.DP=EQ,

'：DE>QE,S.DP=QE,

：.DE>DP,（故③錯(cuò)誤）；

④/AOB=NZM￡+NAEO=/ZME+/Ar>C=N￡）CE=60。,（故④正確）.

正確的有：①②④.故選：C.

【變式5-2].如圖，ZBAD=ZCAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF±CB,垂足為凡

(1)求證：△ABC會(huì)△AOE；

(2)求/耳IE的度數(shù)；

(3)求證：CD=2BF+DE.

E

證明：(1)ZBAD=ZCAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD^9Q°,ZCAD+ZDAE^9Q°,

：.ZBAC=ZDAE,

在△BAC和△ZME中，

，AB=AD

-ZBAC=ZDAE>

AC=AE

/.ABAC^ADAE(SAS)；

(2)VZCA￡=90°,AC^AE,

.?.Z￡=45°,

由(1)知△BACgZkDAE,

.?./BCA=/E=45°,

'JAFLBC,

：.ZCFA^90°,

：.ZCAF=45°,

：.ZFAE^ZFAC+ZCAE^45°+90°=135°；

(3)延長(zhǎng)BF1到G,使得FG=FB,

'JAFLBG,

：.ZAFG=ZAFB=90°,

在△AFB和△APG中，

'BF=GF

<ZAFB=ZAFG>

AF=AF

(SAS),

：.AB=AG,ZABF=ZG,

,.,△BAC^ADAE,

J.AB^AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED,

J.AG^AD,ZABF^ZCDA,

：.ZG=ZCDA,

'：ZGCA=ZDCA=45°,

在△CG4和△CDA中，

，ZGCA=ZDCA

-NCGA=NCDA，

AG=AD

.".△CGA^ACDACAAS),

ACG=CD,

'：CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

【變式5-3].（1）如圖1,等腰△ABC與等腰△DEC有公共點(diǎn)C,且NBCA=NEC。，連接

BE、AD,若8C=AC,EC=DC,求證：BE=AD.

（2）若將△￡?￡（:繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3、圖4情形時(shí)，其余條件不變，8E與A。還相

等嗎？為什么？

證明：(1),:NBCA=NECD,

：.ZBCA-NECA=NECD-ZECA,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC。中，

'BC=AC

<ZBCE=ZACD>

EC=CD

:.△BCE/XNCD(SAS),

:.BE=AD.

解：（2）圖2、圖3、圖4中，BE和AD還相等,

理由是：如圖圖2、圖3、圖4,,：ZBCA=ZECD,ZACD+ZBCA=180°,ZECD+

ZBCE=180°,

ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC￡)中，

，BC=AC

-ZBCE=ZACD>

<E=CD

/.ABCE^AACD(SAS),

：.BE=AD.

o

0s)實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，已知A3=AD,BC=DE,且NC4T>=10°,ZB=ZD=25°,Z￡AB=120°,

則NEG歹的度數(shù)為（)

A.120°B.135°C.115°D.125°

AB=AD

在13ABe和EMDE中(NB=ZD0蜘BCEBADE(SAS)^BBAC=WAE

BC=DE

1

^3\EAB=SBAC+WAE+SCAD=120°WAC=^DAE=一x(120。-10。)=55。

2

EB8AF=I38AC+[3CAD=65°團(tuán)在幽FB中，EMFB=18O°-0B-0B/IF=9OO[3[3GFD=9O"

在國(guó)FGD中，E1EGF=I3D+I3GFD=1：15°故選：C

2.如圖，在△AOB和△C。。中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,ZAOB^ZCOD=36°.連

接AC,BD交于點(diǎn)M,連接。M.下列結(jié)論：

①N4WB=36°,②AC=BD,③OM平分/AO。，④/。平分/AMD.其中正確的結(jié)論

個(gè)數(shù)有（）個(gè).

C.2D.1

解：VZAOB=ZCOD=36°,

ZAOB+ZBOC^ZCOD+ZBOC,

即ZAOC=ZBOD,

在△AOC和△BOD中，

rOA=OB

-ZA0C=ZB0D

OC=OD

.?.△AOC2△20。（SAS）,

：.ZOCA=ZODB,AC=BD,故②正確;

"：ZOAC=ZOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：

ZAMB+ZOBD=ZOAC+ZAOB,

/.ZAMB=ZAOB=36°,故①正確；

法一：作OGL4M于G,08_Lr>M于H,如圖所示,

△AOC四△BO。，

OG=OH,

.?.MO平分NAMD,故④正確;

法二：VAAOC^ABOD,

：.ZOAC=ZOBD,

...A、B、M,。四點(diǎn)共圓，

/.ZAMO=ZAB0=12°,

同理可得：D、C、M、。四點(diǎn)共圓，

ZDMO=ZDC0=12°=AAMO,

.?.MO平分NAAffl,

故④正確；

假設(shè)MO平分NA。。，則ZDOM=ZAOM,

在△AMO與ADMO中，

,ZAOM=ZDOM

"OM=OM，

ZAMO=ZDMO

/.AAMO^ADMO(ASA),

.\AO=OD,

???OC=OD,

：.OA=OC,

而OA<OC,故③錯(cuò)誤；

正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選：B.

3.如圖，在△ABC中，ZBAC=30°,且AB=AC,尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AP+2P+CP的

最小值為4衣，則BC?=32-16百

解：如圖將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG.連接PG,CM,

A,■B

\\::

W:/

、、，*

\'：G/

*???、??

*??、??

W：

?**

"???

則AB=AC=AM,MG=PB,AG=AP,ZGAP=60°,

△GA尸是等邊二角形，

：.PA=PGf

：.PA+PB+PC=CP+PG+GM,

???當(dāng)/，G,P,。共線時(shí)，R1+P5+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，

?JAP+BP+CP的最小值為4近,

:.CM=4近,

VZBAM=6Q°,ZBAC=30°,

：.ZMAC=90°,

：.AM=AC=4,

作BNLAC千N.貝I)BN=/AB=2,AN=2f,CN=4-2?,

：.BC2=BN2+CN2=21+(4-2A/3)2=32-16我，

故答案為：32-16次.

4.正方形ABCD中，42=6,點(diǎn)E在邊CD上，CE=2DE,將△?1￡)￡■沿AE折疊至△APE,

延長(zhǎng)EF交8C于點(diǎn)G,連接AG,CF.下列結(jié)論：①△ABGgzXAFG；②S"GC=6；

③EG=DE+BG；?BG=GC.其中正確的有①③④(填序號(hào)).

解：?.?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,CE=2DE,

：.DE=2,EC=4,

:將△ADE沿AE折疊至△Af'E,

：.AF=AD=6,EF=ED=2,ZAFE=ZD=90°,ZFAE=ZDAE,

在RtZ\ABG和RtZ\APG中，AB^AF,AG=AG,

RtAABG^RtAAFG(HL),

.?.①正確;

：.GB=GF,ZBAG=ZFAG,

設(shè)BG=x,貝ij：

GF=x,CG=BC-BG=6-x,

在RtACGE中，

GE=x+2,EC=4,CG=6-x,

VCG2+CE2=GE2,

(6-x)2+42=(X+2)2,

解得：x=3,

???5G=G尸=3,CG=6-3=3,

:.BG=CG,

???④正確；

?：EF=ED,GB=GF,

：.GE=GF+EF=BG+DE,

???③正確；

S^GCE=—GC9CE=AX3X4=6,

22

,:GF=3,EF=ED=2,ZiGFC和△bCE等高,

S/\,GFC：S/\FCE=3：2,

SAGFC=旦X6=越■W3,

55

②不正確，故答案為：①③④.

5.如圖，在矩形A3C。中，AB=8,BC=4,將矩形沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)。落在處.

(1)求證：AF=CF

(2)求AF的長(zhǎng)度.

(1)證明：依題意可知，矩形沿對(duì)角線AC對(duì)折后有:

ZD1=ZB=9Q°,ZAFD1=ZCFB,BC=AD',

.?.△AD'F^ACBF(AAS),

CF=AF；

(2)解：設(shè)Ab=CF=尤，

.'.BF=8-x,

在RtABCF中有BC2+BF2=FC2,

即42+(8-x)2=x2,

解得尤=5,

：.AF的長(zhǎng)度為5.

6.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D?DB=AB,連接CD

以CD為直角邊作等腰三角形C￡)E,其中/OCE=90°,連接BE.

(1)求證：AACD2ABCE；

(2)^AB=3cm,貝!jBE=6cm.

(3)BE與有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)證明：???△ACB和aocE都是等腰直角三角形,

:.CD=CE,CA=CB,

VZACB=90°,ZDCE=90°,

NECD+NDCB=ZDCB+ZACB,即NECB=ZACD,

在CD和△BCE中，

rCD=CE

<ZACD=ZBCE>

CA=CB

AACD^ABCE(SAS)；

(2)解：VAACD^ABCE,

：.AD=BE,

DB=AB=3cm,

BE=2X3cm=6cm；

(3)解：BE與A。垂直.理由如下：

,/AACD^ABCE,

.\Z1=Z2,而/3=/4,:.NEBD=NECD=90°,：.BE±AD.

7.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,4B=AC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CO,過(guò)B作

交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,過(guò)A作AFLAE交。于點(diǎn)尸.

(1)求證：AE^AF；

(2)求證：CD=2BE+DE.

E,

D

證明：(1)如圖，VZBAC=90°,AFLAE,

：.ZEAB+ZBAF=ZBAF+ZFAC=90°,

：.ZEAB=ZFAC,

VBE±CZ),

：.ZBEC=90°,

???ZEBD+ZEDB=ZADC+ZACD=90°,

*：ZEDB=ZADC,

：.ZEBA=ZACF,

rZEAB=ZFAC

???在AAEB與△AFC中,AB=AC，

ZEBA=ZACF

AAAEB^AAFC(ASA),

：.AE=AF；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG_LEC,垂足為G.

VAGXEC,BE_LCE,

：.ZBED=ZAGD=90°,

???點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

：.BD=AD.

'ZBED=ZAGD

???在43即與△AGO中，NBDE二NADG，

BD=AD

:.ABEDQAAGD(A4S),

：?ED=GD,BE=AG,

'：AE=AF

：.ZAEF=/AFE=45°

：.ZFAG=45°

：.ZGAF=ZGFAf

：?GA=GF,

：?CF=BE=AG=GF,

'：CD=DG+GF+FC,

/.CD=DE+BE+BE,

8.如圖：在等腰直角三角形中，AB=AC,點(diǎn)。是斜邊BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別為A8,

AC上的點(diǎn)，MDELDF.

(1)若設(shè)CF=b,滿足5/a-12+|bT|=V^+&M，求BE及CF的長(zhǎng).

(2)求證：BEr+CF^^EF1.

(3)在(1)的條件下，求△QEE的面積.

解得m=2,

則Ja-12+步-5|=。

所以a-12=0,b-5=0,

6f==12,6=5,

即BE=12,CF=5；

(2)證明：延長(zhǎng)E￡>到P,使DP=DE,連接FP,CP,

在ABED和△0>￡>中,

'ED=PD

<ZEDB=ZPDC，

BD=CD

:.ABED”ACPD(SAS),

：.BE=CP,ZB=ZDCP,

在△磯m'和△■?￡)/中，

fDE=DP

<ZEDF=ZPDE=90°-

DF=DF

/.AEDF^APDF(SAS),

:.EF=FP,

'：ZB=ZDCP,ZA=90°,

：.ZB+ZACB^90°,

：.ZACB+ZDCP=90°,即/FCP=90°,

在Rt△尸CP中，根據(jù)勾股定理得：CF2+CP2=PF2,

,:BE=CP,PF=EF,

.?.BF+C尸2=石尸；

(