2025屆湖北七市州高三年級(jí)上冊(cè)聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研數(shù)學(xué)試題+答案

數(shù)學(xué)

限時(shí)120分鐘滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.設(shè)集合4=｛引尤2—3X<O｝,8=｛引log2%>”,則ACQB”（）

A.（0,2）B.（O,2]C.（l,2]D.（2,3）

2.已知復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z,z滿足z（4—3i）=3+4i,貝10可=（）

43

A.-B.-C.lD.2

54

3.已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,若而=反,則而?麗=（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.已知橢圓。：上+丁=1（加>0）,貝I]“根=2”是“橢圓C的離心率為安”的（）

m2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.過點(diǎn)P（T1）的直線/與圓。：必+丁+以―「0交于A1兩點(diǎn)，則的最小值為（）

A.2gB.V15C，V3D.2

6.已知公差為負(fù)數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,若%，4，%是等比數(shù)列，則當(dāng)S"取最大值時(shí)，〃=

()

A.2或3B.2C.3D.4

...「兀兀、C0S6Z

7.右a旬,tan6Z=-~~；—?jiǎng)tsin2a--

\22)3—sma

476+7d476-704行+76「4行-

18181818

8.能被3個(gè)半徑為1的圓形紙片完全覆蓋的最大的圓的半徑是（）

A26RV6「26nV31

32332

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知A,8為隨機(jī)事件，。（4）=0.5,P（3）=0.4,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若為互斥事件，則「（4+3）=0.9

B.若A,3為互斥事件，則P（Z+月）=0.1

C.若A,8相互獨(dú)立，則尸（A+3）=0.7

D.若P（@A）=0.3,則P（B\A）=0.5

10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！?與G°i中，E為棱。烏的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（包括邊界），且與戶〃平面ABE,則下列說法正確的有（）

A.動(dòng)點(diǎn)/軌跡的長(zhǎng)度為J5

B.三棱錐DXEF體積的最小值為|

C.B]戶與48不可能垂直

25

D.當(dāng)三棱錐與-2。尸的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為彳兀

11.我們知道，函數(shù)v=/（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/（x）為奇函數(shù).

有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)

y=〃x+a）-6為奇函數(shù).已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（）

A.函數(shù)/⑺的值域?yàn)椋?,2]

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）成中心對(duì)稱圖形

C.函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D.若函數(shù)g(x)滿足y=g(x+l)-1為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為

2024

A(積X)(，=1，2,,2024),則Z(七+X)=4048

i=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/(x)=sin［ox+胃(0〉0)滿足/(x)守［g］恒成立，且在區(qū)間［,兀)上無最小值，則

(D=.

2

13.已知雙曲線。：爐―2L=i的左右頂點(diǎn)分別為A,8,點(diǎn)p是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線

3

PA,PB的傾斜角分別為a,/3,則tana-tan^=；當(dāng)2tana+tag取最小值時(shí)，口PAB的面

積為.

14.已知函數(shù)〃*=1“辦+'，尸74有零點(diǎn)，當(dāng)/+從取最小值時(shí)，g的值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)如圖，四棱錐P—A3CD的底面是矩形，45=2,5。=20,口尸3。是等邊三角形，平面

PBC±平面ABCD,O,F分別是BC,PC的中點(diǎn)，AC與8。交于點(diǎn)E.

(1)求證：BD_L平面PAO；

(2)平面QEF與直線尸。交于點(diǎn)。，求直線。。與平面PCD所成角。的大小.

16.（15分）某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛

煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)（其中男生30名，女生30名）在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果

如下表：

一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567

男生人數(shù)12456543

女生人數(shù)45564321

合計(jì)5791110864

（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”.

請(qǐng)完成以下2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉

的經(jīng)常性有關(guān)系.

鍛煉

性別合計(jì)

不經(jīng)常經(jīng)常

男生

女生

合計(jì)

（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多

健康問題.以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為X,求E（X）和

D（X）；

（3）若將一周參加體育鍛煉的次數(shù)為6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活

習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為y,求y

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)2

附:n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

17.(本小題15分)

已知各項(xiàng)均不為o的數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，且％=i,s“=

4

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對(duì)于任意〃eN*,2""》S〃成立，求實(shí)數(shù)；I的取值范圍.

18.(17分)如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/為拋物線y=2%的焦點(diǎn)，過E的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，直線

AO交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，設(shè)拋物線在8點(diǎn)處的切線為/.

(1)若直線/與,軸的交點(diǎn)為E,求證：阿=|印;

(2)過點(diǎn)B作/的垂線與直線AO交于點(diǎn)G,求證：|ADF=|AOHAG|

19.(17分)微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段.對(duì)于函數(shù)

/(x)=[x>O),"x)在區(qū)間可上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分fLx便是由直線

XJC

X=a,X=0,y=O和曲線y=/(X)=L(x>0)所圍成的區(qū)域(稱為曲邊梯形45。尸)的面積，根據(jù)微積

X

分基本定理可得「匕"=In匕-In。，易知曲邊梯形ABQP的面積小于梯形ABQP的面積，即

JaX

a-b2

S曲邊梯形ABQP<S梯形ABQP，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：

ab

(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：j

ln〃-In/?2

(2)已知函數(shù)R(x)=加￡+〃x+xlnx,其中

⑴證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)和％2，曲線丁=口(力在點(diǎn)(和R(xJ)和點(diǎn)伍,R(々))處的切線均

不重合；

(ii)當(dāng)〃=-1時(shí)，若不等式R(x)22sin(x-1)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

湖北省七市州高三年級(jí)聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試本次考試

物理方向清北線136分，985線111分，211線105分，一本線87分，本科線67分：歷史方向清北線122

分，985線97分，211線90分，一本線74分，本科線44分

q5r□情境包新?借助■!彩樂片號(hào)奏圓與

也山一況的位JL美系妁單詞也

創(chuàng)新

A<

4TpsI樂識(shí)推廣一?*m微圖能的時(shí)體性

推廣外一領(lǐng)事C闋a的時(shí)體也

rrTSY正方體的性4r?*的裊面枳+軸傕的伴例?

0rjl或與平面妁斗行8?吊?動(dòng)，.妁MW用4

qrsxl真歧與與■統(tǒng)的位亶昊系?直線的8京.[

也上勺二次.做的量值|

*1.熔金

-QZS)-昌做妁*看?陰手代繼完44t的單調(diào)也，

4數(shù)的量值.晶到宜景的蹬鳥公義

H立性檢臉?鳥收集At機(jī)食量的網(wǎng)箋與才

JL?二W分率?黑幾行分考

精穗戶畫4五次并華一學(xué)生體育債博I

新度學(xué)文化?微也習(xí)

1.B一元二次不等式的解法+對(duì)數(shù)不等式的解法+集合的交、補(bǔ)運(yùn)算解法一基本量法因?yàn)?/p>

2

A=1x|x-3x<Oj-={x10<x<31,B={x|log2冗〉1}二{%|x〉2}

,所以《5={%|l<2},47《5）={%|0<%42},故選B.

解法二排除法因?yàn)?w5,所以2e（；3,又2eA,所以2eAc（[；B）.故排除A,D；

因?yàn)?任5,所以geQB,又;eA,所以;eAc（45）,故排除C.故選B.

3+4i（3+4i）（4+3i）25i.

2.C復(fù)數(shù)的幾何意義+復(fù)數(shù)的模解法-基本量法由題意，得2=^7====1,（題

4-31:（4，-3-1）。（4，+3"1）25

眼）所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（0,l）,所以應(yīng)=（0,1）,所以西=行方=1,故選C.

3+4i

解法二模的幾何意義法由題意，得z=-----,（題眼）所以

4-3i

22

3+4i|3+4i_73+4

故選C.

4-3i|4-3i74"+(-3)2

3.B平面向量的數(shù)量積+向量的線性運(yùn)算解法一基向量法由題意知點(diǎn)P為3c的中點(diǎn)，所以

AP-5D=(AB+BP)(AD-AB)=^AB+|BC^(AD-AB)=ABAD-AB2+15C-AD-|BCAB

-----*21-----*2r.1r

22

=-AB+-BC=-2+-x2=-2f故選B.

22

解法二坐標(biāo)法如圖，以8為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則3（0,0）,A（0,2）,D（2,2）,P（l,0）,所以

而=（1,—2）,前=（2,2）,所以麗?麗=lx2+（—2）x2=—2,故選B.

m>10<m<1

（易錯(cuò)警示：只考慮焦，點(diǎn)在X軸上的一種情形，從而編解）所以

“根=2”是“橢圓C的離心率為在”的充分不必要條件，故選A.

2

5.A直線與圓的位管關(guān)系圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）2+y2=5,所以圓C的圓心C（—2,0）,半徑廠=J5.

因?yàn)椋èDl+2）2+F=2<5,所以點(diǎn)P在圓C內(nèi)，連接CP,則當(dāng)A3,CP時(shí)，|A回取得最小值.（題

眼）（知識(shí)拓展：過圈內(nèi)一點(diǎn)的弦最長(zhǎng)為固的直徑，最短為以流，點(diǎn)為中點(diǎn)的弦）因?yàn)?/p>

ICP\=7（-1+2）2+12=V2,所以|A3|min=2j?！?2百,故選A.

6.B等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式+等比中項(xiàng)的性質(zhì)+數(shù)列中的最值問題

設(shè)等差數(shù)列的公差為d（d<0）,則由%，/，%是等比數(shù)列，得（％+31）2=（%+21）（%+61）,（提

3

示：等比中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用）整理得d（2q+3d）=0,所以2%+3d=0,即％=-萬1,（題眼）所以

S=="q+"（；T）d=1~〃2—2而=g（〃—2f—2d.因?yàn)閐<0,（易錯(cuò)提示：忽略題設(shè)條件中該等差

數(shù)列的公差為負(fù)數(shù)，導(dǎo)數(shù)錯(cuò)解）所以當(dāng)“=2時(shí)，S,取得最大值-2d,故選B.

COS。

7.D同角三角函數(shù)的基本關(guān)系+二倍角公式+兩角差的正弦公式由tana=----------，得

3—sina

smacosa

（方法戰(zhàn)巧：對(duì)于化簡(jiǎn)求值問題，當(dāng)式中含有切與弦的混合式時(shí)，往往化切為弦）結(jié)

cos。3—sina

]（兀兀、

合sin?。+cos2。=1,整理得3sina=l,所以sina=§,（題眼）因?yàn)??！?一萬,'），（提醒：在利用

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值時(shí)，一定要注意角的范圍）所以cosa=Jl—sin2”=述,所以

3

sin2cif=2sinacosa=4后cos2a=1-2sin26Z=工，所以

99

.〃叫「兀。.兀4行17G4V2-7V3訪啡「

sin2a——=sin2（zcos——cos2asm—=-----x-------x——=--------------,故選D.

3）33929218

8.C圓與圓的位置關(guān)系+利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

第1步：根據(jù)圓的對(duì)稱性作出圖形

要求出被完全覆蓋的最大的圓的半徑，由圓的對(duì)稱性知只需麥慮三個(gè)圓的圓心拽成等邊三角形的情況，

（題眼）設(shè)三個(gè)圓的圓心分別為。],。2，。3,被覆蓋的圓的圓心為。，如圖所示，口。1。2°3為等邊三角

形，設(shè)圓。1與圓Q的交點(diǎn)分別為AB,連接AB并延長(zhǎng)交圓O,于點(diǎn)C,交。1。2于點(diǎn)

解法一函數(shù)法第2步：利用函數(shù)的單調(diào)性求圓0的最大半徑

連接設(shè)。。=。。3=%，則==

22

3

2

YI--%>0

所以HA=小。6-OH=所以O(shè)4=0H+HA=—+.由《4,得

2x>0

0<x<—，（提醒：求參數(shù)范圍時(shí)，注意除需考慮函數(shù)的定義域外，還需結(jié)合實(shí)際）又

3

OC=OO+OC=X+1>OA,所以。4為目O的最大半池設(shè)/(X)=.+J1—<2⑸

330x<-----

3J

則/'（》）=---/2一?由Wx=>所以當(dāng)0<x<【；時(shí),/'（x）〉0，函數(shù)/（X）單

調(diào)遞增：當(dāng)立＜x〈迪時(shí)，r（x）＜0,函數(shù)/⑴單調(diào)遞減.所以/（X）max=/￡=咚,即被完

33I3J3

全覆蓋的最大的圓的半徑為孚，此時(shí)。叱QQW即圓。他,。沖的任一圓均經(jīng)過另外

兩圓的圓心.

解法二三角函數(shù)法第2步：利用三角函數(shù)知識(shí)求圓。的最大半徑連接GA。。],設(shè)/Aa“=e,則

cos。2cos。

0xH-QAcos^=cos^,AH=Asin^=sin^,所以0H=—^~,00[=0O3=—^~,貝ij

2cos0cos0

OC=OO3+03C=——7=—Fl,＜?A=OH+HA—r-+sin^＜OC,所以為圓0的最大半徑.因?yàn)?/p>

OA=cos￡+s,n^=2V3273；（方法：利用三角函數(shù)求最值時(shí)，需利用輔助角公式化為

V3363

丁=45由（。％+。）+3（或丁=4＜：05（。%+。）+3）的形式，然后利用三角函數(shù)的有界性求解）所以當(dāng)

0+-=-,即。='時(shí)，04取得最大值名?,即被完全覆蓋的最大的圓的半徑為出，此時(shí)

62333

。02=QQ=。3。1=1，即圓。1，%。3中的任一圓均經(jīng)過另外兩圓的圓心.

9.ACD互斥事件的概率+對(duì)立事件的概率+條件概率+獨(dú)立事件的概率乘法公式對(duì)于A,根據(jù)互斥事件的

加法公式可得，P（A+B）=P（A）+P（B）=0.5+0.4=0.9,故A正確；對(duì)于B,若A,B為互斥事件，

則P（A5）=0,所以尸（印+耳）=尸（無。豆）=尸（而§）=尸（[而）=1—P（A5）=1—0=1,故B不正確；

對(duì)于C,由于A,8是相互獨(dú)立事件，所以P（AB）=P（A）P（B）,所以

P（A+JB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.4-0.5x0.4=0.7,故C正確；對(duì)于D,由

p（曲力=*

''P（A）0.5

/,、P（AB）P（AB）/、

04=0.7,故C正確；對(duì)于D,由尸（1A）=J:）=0.3,得尸（A3）=0.15,

2（/IIU.D

所以P（必4）=上逛1=尸（5）—P（AB）=0.4—0-15=0.5故D正確.綜上所述,選ACD.

P（A）l-P（A）0.5

10.ABD立體幾何中的軌跡問題+三棱錐的體積公式+線面位置關(guān)系的判定+棱錐的外接球問題如圖，對(duì)于

A,分別取C12，GC的中點(diǎn)連接B[M,B[N,MN,則由正方體的性質(zhì)可得與N〃〃

4瓦因?yàn)镸N,4Na平面ABE,a尻AEu平面ABE,所以MN〃平面ABE，4N〃平面ABE.

又MN,B[Nu平面B、MN,MNcBiN=N,所以平面4MN〃平面4BE,所以點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為線

段MN,（題眼）即動(dòng)點(diǎn)E軌跡的長(zhǎng)度為MN=0，故A正確.對(duì)于B,

12人

VB「D,EF=馬義S口D,EF*B[C[=}S^D,EF，易知當(dāng)尸與Af重合時(shí)，S口》后取得最小值，即

（用*FLn=gxlxl=g，所以（義，故B正確對(duì)于C,當(dāng)尸為線段MN的中點(diǎn)

時(shí)，因?yàn)椤?=N4,所以BJ上MN.又MN〃,所以用尸上弓臺(tái)，故C不正確.對(duì)于

12-

DM_DQF=]XSgDFXBC=§SmDF，易知當(dāng)E與N重合時(shí)，用。加取得最大值，連接

D】N,DN,所以（VBLADFLX=%-DQN.由正方體的性質(zhì)知所以口42。為直角三角形，

易知點(diǎn)N在平面上的投影為的斜邊耳。的中點(diǎn)，設(shè)為G,連接NG,則三棱錐

B「DQN,即三棱錐N-49。的外接球的球心。在直線NG上，（關(guān)鍵：求解多面體的外接球相關(guān)

問題，確定球心位置是求解問題的關(guān)捷）設(shè)球。的半徑為火，易知與。=2百,NG=后，則由

（V2±7?）2+（V3）2=7?2,（提示：棱錐外接球的球心可能在校錐內(nèi)，也可能在棱錐外）得R=述，所

4

以球。的表面積S=4兀尺2=生兀，故。正確.綜上所述，選ABD.

2

4

11.BCD函數(shù)的值域+函數(shù)圖象的對(duì)稱性對(duì)于A,因?yàn)?*+2〉2,所以0<572<2,所以函數(shù)/（x）

的值域?yàn)椋?,2）,故A不正確；對(duì)于B,由題意，/（x）=「5,令

4

F(X)=/(X+1)-1=2J++2~1,顯然函數(shù)R(X)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且

44??x+i/、4

F(x)+F(-x)=—^——1+—y——1=^—+^——2=0,所以函數(shù)戶(x=F——1是奇

I1V)2*22-%+1+22、+11+2*2*2

函數(shù)，所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(U)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C,因?yàn)?/p>

4-2rln2_421n2_2xln2,、，

/(町=一不一22X+4-2-v+4=-22X~2+2X+1'(題眼)(提示：(優(yōu))=罐111。)所以

(2+2)

rin2

r(2—x)=_22'"2—=_2*.22=——2=r(x)，所以函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)

、)22~2x+2^x+l22+22+X+22Xl+2r+22^2')

/'(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D,因?yàn)楹瘮?shù)g(x)滿足y=g(x+l)-l為奇函數(shù)，

所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)1)中心對(duì)稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對(duì)稱，

204

所以2(玉+%)=(芯+%2+~+%204)+(弘+%+3+為04)

1=1

=2024+2024=4048,故D正確.故選BCD.

I27c717r1

12.-正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)由題意知？-o+—=—+2EQeZ),所以。=—+3左代eZ)

324

—兀0+兀—》274兀兀,

①.因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間兀］上無最小值，aa?

所以《，(左eZ),解得

兀/C73兀

兀0+一---

32

57

6k—左H—(kGZ)

26

②.又G>0,所以由①②可得，CD=~.

4

13.32屈直線與雙曲線的位置關(guān)系+斜率公式由題意知A(-1,0),3(1,0).設(shè)

2

P(xo,yo)(xo>l,yo>O),則片—當(dāng)=1,所以寸=3焉—3,(題眼)所以

tana-tan/?=kPAkPB=-=1)=3,(知識(shí)拓展：設(shè)點(diǎn)”,N為雙曲線

%+1x0-l-1

營(yíng)=1(?！?,0〉0)上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于M,N的任意一點(diǎn)，若直線

A2

PM,PN的斜率均存在，則必有kpM

a

2tan…電2k"含+3=、=氏)3/|了.令

t+1z、2tana+tan0=J3.

3x0-l=t,則/=？-?>2),所以

(難點(diǎn)：通過換元轉(zhuǎn)化表達(dá)式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小

值)則當(dāng);="，即，=8時(shí)，2tana+tan￡取得最小值，止匕時(shí)

罰=3,%=2&,S“AB=x閭=；x2x=2指.

14.土注函數(shù)的零點(diǎn)+利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值+點(diǎn)到直線的距離公式第1步：根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的

4

運(yùn)算將原問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題設(shè)函數(shù)/(%)的零點(diǎn)為心則Inat+-b=0,即

由+/_19=0(*)?設(shè)「(aS)為直線/:比+gy—/匕=0上任意一點(diǎn)，原點(diǎn)。(0,0)到直線/的距離

9

ev____

d=丁丁了.連接OP,則|0尸|=6+/詡,第2步：換元，構(gòu)造函數(shù)求/+戶的最小值令

V+9

卜+：=?心5(提醒：在換元時(shí)，一定要結(jié)合條件求出新元的取值范圍)則

d=g(m\=—,g'(m\=,當(dāng),〈根<1時(shí)，g'(加)<0,函數(shù)g(加)單調(diào)遞減，當(dāng)根〉1時(shí),

mm~3

g'(m)>Q,函數(shù)g(m)單調(diào)遞增，所以g(m)min=g(D=e，即(片+。的最小值為e,a?十川的最小值

為e2,第3步：根據(jù)最小值成立的條件求結(jié)果此時(shí)71=1,得/=土迪，所以直線/的斜率

\93

左=±2行，所以2=—工=±正，此時(shí)。=±宜至/=￡.

ak433

15.線面垂直與平行的判定定理+直線與平面所成的角+空間向量的應(yīng)用

解：（1）第1步：由面面垂直的性質(zhì)證BD

因?yàn)榭谛巍榈冗吶切?，。是的中點(diǎn)，所以PO_L5C,（方法技項(xiàng)：當(dāng)條件中出現(xiàn)等邊三角形

時(shí)，可利用等邊三角形三線合一的性質(zhì)推出線線垂直）

又平面PBC±平面ABCD,平面PBCc平面ABCD=BC,所以「0，平面ABCD.

又8￡>u平面A3CD,所以PO上BD.

第2步：利用向量法證AOL5D

BDAO=^BC+BA^^BC-BA^=^BC2-BA=4-4=0,所以麗心，（提醒：注意利用向

量相關(guān)知識(shí)證線線垂直）

所以AOLBD.

第3步：由線面垂直的判定定理證結(jié)論

又PO,AOu平面240,P0c40=0,所以8。，平面P4O.

（2）第1步：利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理證。是的中點(diǎn)

因?yàn)镋,。分別為3D,的中點(diǎn)，所以EO〃DC,（方法技巧：當(dāng)條件中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，可利用三角形

中位線定理推出線線平行）又EO<Z平面PDCDCu平面PDC,所以EO〃平面PDC,（7分）又平

面OEFc平面尸。。=。/，所以EO〃QE,所以Q/〃。C,因?yàn)槭荘C的中點(diǎn)，所以。是「。

的中點(diǎn).

解法一第2步：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與相關(guān)向量的坐標(biāo)

易知0E,0C,0尸兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，?！?。。,。尸所在直線分別為羽y/軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，（提醒：建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要抓住空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)

系（或在圖形中構(gòu)造垂直關(guān)系））

1V2V6、

則0（0,0,0）,網(wǎng)0,0,佝，40,血,0）,〃2,"0）,0L,

22J

所以而=(2,0,0),正=(o,0,-憫.

第3步：求出平面PCD的一個(gè)法向量

/、CD-h=0

設(shè)平面PCD的法向量為拓=（x,y,2）,由＜_.

PCn=O

2x=0/廠、

得〈廠廠，取方=O,J3,1,

V2y-V6z=0、'

第4步：利用向量的夾角公式求結(jié)果

0Q=1,^-,^-,易知0,-|-,貝i]sind=kos〈云,0Q〉|=-^^=^^,

（提示：線面角的正弦

值是該直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值）

7T

所以"“

解法二第2步：根據(jù)定義作出線面角

如圖，過點(diǎn)。作PC的垂線，垂足為“，連接Q".（關(guān)鍵：求斜線與平面所成的角的關(guān)鍵是找到斜線在

平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一，點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直的性質(zhì)來確定垂足

的位置）

易知。CL5C,因?yàn)镻OL平面48。。,。。＜=平面45。。，

所以POLDC.

又BCu平面PBC,PO＜z平面PBC,POcBC=O,所以DC，平面PBC,

所以平面P3CL平面PCD,且平面PBCc平面PCD=PC,故易得平面PCD,故真線0Q與

平面PCD所成的角6=N。?！?（題眼）

第3步：解直角三角形求結(jié)果

在直角三角形O"C中，Z0CH=-,0C=41,所以O(shè)H=逅.

32

因?yàn)?。CJ_平面PBC,PCu平面P3C,所以DCLPC,又。/〃DC,所以QELPC.

在直角三角形。切中，QF=l,FH=t，所以?！?乎.（12分）在直角三角形OQ”中,

OH=QH=,所以6=--

24

16.獨(dú)立性檢驗(yàn)+離散型隨機(jī)變量的期望與方差+二項(xiàng)分布與超幾何分布

解：（1）第1步：補(bǔ)全2x2列聯(lián)表完成列聯(lián)表如下.

鍛煉

性別合計(jì)

不經(jīng)常經(jīng)常

男生72330

女生141630

合計(jì)213960

第2步：根據(jù)公式求力?的值

零假設(shè)為“0：性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)?根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，得

2_60x(7xl6-23xl4)260x(7x30)-=140%359()>

__30x30x21x39-30x30x21x3939

706=x0,i.

第3步：對(duì)照臨界表得結(jié)論

根據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷“。不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推

斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0」.

（2）第1步：判斷X服從二項(xiàng)分布

因?yàn)閷W(xué)?？偟膶W(xué)生人數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生人數(shù)，故X近似服從二項(xiàng)分布，隨機(jī)抽取1名學(xué)生為“極度缺

乏鍛煉”者的概率"=^=g,則X?5[20,3],

第2步：根據(jù)公式求出期望與方差

故E(X)=20x4=5

3

D（X）=20x-^-x^-=||.（提示：若占則E（J）=叩，。圖=呼》（1-2））

121236

（3）第1步：根據(jù)超幾何分布求出相應(yīng)概率由題意可知，10名“運(yùn)動(dòng)愛好者”中有7名男生，3名女

生，y服叢超幾何分布，（題眼）

32

則尸（y=0）=受C°C=1」-,尸位=1）=2C1學(xué)C=?21=7’,尸位=2）

I）C：o120I）C：o120401）

=C|C[=21x3=21（）35=7

C：o12040'（）C：o12024’

第2步：列分布列

故所求分布列為

Y0123

17217

P

120404024

第3步：求數(shù)學(xué)期望

E(Y}=——=2.1.

「10

1,7°21c7°,

(另解：￡(y)=ox-----1-1x-----F2x----F3x—=2.1)

120404024

17,根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式+等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式+等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式+根據(jù)不等式恒

成立求參數(shù)的取值范圍

解：（1）第1步：根據(jù)?！芭cS”之間的關(guān)系，結(jié)合已知遞推關(guān)系證數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列

由題意,4S“=anan+l+1,當(dāng)哈2時(shí),45?_,=%%+1,

兩式相減得4a”=an（a,+i-4冒）（哈2）.

因?yàn)?產(chǎn)0,故4+i=4（磋2）,

所以4,a，…及々，。4,…，4〃，…均為公差為4的等差數(shù)列.

第2步：由遞推關(guān)系求為

當(dāng)〃=1時(shí)，由%=[及S]="口：+1,得%=3,

第3步：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求見

所以=1+4(〃-1)=2(272—1)—1,

a2n=3+4（〃-1）=2（2〃）-l,

所以a“=2n-l.

（2）第1步：根據(jù)等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化不等式

由⑴及已知，得S“=〃2,

”2

所以對(duì)任意〃eN*,4）夕恒成立.

第2步：構(gòu)造數(shù)列，利用數(shù)列的增減性求出新數(shù)列的最大值

設(shè)勿=吩，^n+i-bn=^—-=—-.（題眼）

當(dāng)1—、歷<〃<1+J5,即"=1,2時(shí)，bn+l-bn>Q,bn<bn+l；（提酷：數(shù)列是一種特珠的函數(shù)，在利用

函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值）當(dāng)〃〉1+JL即*3,〃eN*時(shí)，

<0，”>〃+「

所以偽<么<偽〉“〉打〉…，

9

故（2）=&=_,

\n/maxng

第3步：求實(shí)數(shù)X的取值范圍

所以實(shí)數(shù)九的取值范圍是：，+“；

18.直線與拋物線的位置關(guān)系

解：易知直線AB的斜率不為0,歹［；,0

設(shè)直線AB的方程為x=my+；,（方法技珍：如果直線很顯然不與％軸平行或重合，但有可能與％軸垂

直時(shí)，可設(shè)直線方程為％=磔+?,避免討論）A（x1,y1）,B（x2,y2）,

1

x=my+―c

由<2,得y-2my-1=0,

y2=2x

A=4m2+4>0

.?.<%+%=2冽.（易錯(cuò)警示：在處理直線與圈錐曲線的相交問題中，易忽略判別式的作用）

"%=T

（1）第1步：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線/的方程，得點(diǎn)E的坐標(biāo)

不妨設(shè)A在第一象限，8在第四象限，

l,1

由y=-yjlx，得y=--7=,

,/yl=2x2,y2<0,

/的方程為y—%=二-（%一》2），即丁=」-%+々

（二級(jí)結(jié)論：點(diǎn)P（%,%）是拋物線

%%2

V=2px（p〉o）上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋物線的切線，切線方程為為y=P（x+x。））令x=0,得丁=三,

即E四）

第2步：求點(diǎn)。的坐標(biāo)

2

寸=—1，，直線OA的方程為丁=&%=二％=-2%%，

令x=一；,得y=%，即；，乂

第3步：利用向量知識(shí)證結(jié)論

又嗚,。卜旌麗嗚苦）,

即目=但萬|,得證.

（2）解法一第1步：求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)

由（1）知/的垂線的方程為y—%=—為（%一》2），

（2、

YVO

即,=_%%+%1+U，

12）

f（2\

y=-yx+y1,+—當(dāng),,

由j7-7I2J,得G的縱坐標(biāo)%=%（￡+2x）.（題眼）

y=-2y2x

第2步：根據(jù)四點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化所證等式

VA,G四點(diǎn)共線，要證明|AD『=|A。卜|AG|,

只需證明%「=|%HNG-%|（*）-（關(guān)鍵：根據(jù)四點(diǎn)共線將所證問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)

系）

第3步：利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)證得結(jié)論

|%卜|%一%|=<"(￡+2卜+

.?.（*）式成立,

即|AD『=|AOHAG|,得證.

解法二第1步：由。8〃X軸得相關(guān)線段比連接由（1）知，。[―；,%],3（%2，%），則。8與X

軸平行，

,,\AB\\AD\

%=_y

第2步：由。/〃3G得相關(guān)線段比連接。E,則。E的斜率為—工_j_",

~2~2

易知/的垂線BG的斜率為-%，

則DF與BG平行,

|AG|°

第3步：證結(jié)論

\AO\\AD\

由①②得扁=?'

即|AD『=