2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：定點、定值問題

第77講定點、定值問題

知識梳理

1、定值問題

解析幾何中定值問題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來解決.證明過程可總結(jié)為“變量一

函數(shù)一定值”，具體操作程序如下：

(1)變量--選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?

(2)函數(shù)--把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù).

(3)定值--化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值.

2、求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；

(2)直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值.

常用消參方法：

①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系/)=0,用一個參數(shù)表示另外一個

參數(shù)左=y(m，即可帶用其他式子，消去參數(shù)%.

②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值.

③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉.

④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為o時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：

y-2+kg(x)=0,只要因式g(x)=0,就和參數(shù)上沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)后不起作

用.

3、求解直線過定點問題常用方法如下：

(1)“特殊探路，一般證明“：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的

的一般性證明；

(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直

線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組

的解為坐標(biāo)的點即為所求點；

(3)求證直線過定點(升,%),常利用直線的點斜式方程尤-％)或截距式

y=kx+b來證明.

一般解題步驟:

①斜截式設(shè)直線方程：y^kx+m,此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個.

②找關(guān)系：找到左和機(jī)的關(guān)系：機(jī)=于此）,等式帶入消參，消掉

③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和左沒有關(guān)系的點.

必考題型全歸納

題型一：面積定值

22

例1.（2024?安徽安慶?安慶一中校考三模）已知橢圓C：T+2=1（〃＞人＞0）過點

A（-a,O）,3（O,-6）兩點，橢圓的離心率為白，0為坐標(biāo)原點，且5叩=1.

（1）求橢圓C的方程；

⑵設(shè)尸為橢圓C上第一象限內(nèi)任意一點，直線%與y軸交于點直線網(wǎng)與無軸交于點

N,求證：四邊形的面積為定值.

【解析】（1）根據(jù)題意可知e=￡=走，

a2

OAB=^ab=l,即可得o/?=2,結(jié)合/=62+°2,

解得a2=4,b2=l,c2=3；

即橢圓C的方程為!+V=1.

（2）證明：由（1）可知A（-2,0）,3（0,T）,如下圖所示：

易知直線PA的斜率-47，所以的直線方程為V=熹（尤+2）；

1yn+1yn+1,

同理直線PB的斜率kPB=，所以PB的直線方程為y=--X-1；

由題意解得“［。，2、］,"［』一,。］;

（尤o+2j1%+1）

所以可得|AN|=T7+2,忸閭=會）+1,

%+1%+2

四邊形ABMW的面積

忸閭」（上+2丫n+1]=（：。+2勺+2）2、「；+4>4%%+4尤。+8”4

22（%+1人工o+2J2（x0+2）（%+1）2伉%+/+2%+2）

又毛+尤=1,可得需+4需=4,

+攵S=%+4yj+4飛%+4尤0+8%+4=4+4/％+4%+8%+4_4（%%+/+2%+2）_?

,25％+毛+2%+2）25%+升+2%+2）2（毛%+%+2%+2）

即四邊形ABNM的面積為定值.

22

例2.（2024?陜西漢中?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：會-1=1（a>0）>0）的焦

距為2指，且焦點到近線的距離為1.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P,Q兩

點，。為坐標(biāo)原點，證明：△。尸Q的面積為定值.

h

【解析】（1）依題意得2c=2而，c=R,一條漸近線為y=2x,即玩9=0,右焦點為

a

（76,0）,

所以J病?=1,即?=1,瘋=6，所以6=1,

yjb2+a2c

所以Q2=。2_人2=6一]=5,

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y-y2=l.

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時，若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，則直線/經(jīng)過雙曲

線的頂點，不妨設(shè)/:x=q，又漸近線方程為丫=土坐X,

將工=6代入y=^^x,得，=1,將x=君代入y=,得V=-1,

貝l]|PQ|=2,S!OPe=|x75x2=V5.

當(dāng)直線/的斜率存在，設(shè)直線/：'=履+乙且左*±@,

5

y=kx+t

聯(lián)立d,消去y并整理得（1一542）/一10比x-5〃-5=0,

-----V=1

[5

因為動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，

1—5產(chǎn)wO

所以;A=100汁+4(1-5^)⑸2+5)=0,得女2=產(chǎn)+1，

設(shè)動直線/與y=@x的交點為P,與丫=一好x的交點為Q,

55

y=kx+tr

r~［曰y/5t同理得『一扁

聯(lián)立y與'2一直了

亞t+同1_2&IHJ/+1

則IPQ1=J1+乃\xp—Xg\=41+k~|—

瓜-1&+1一|5^2-1|

因為原點。到直線/的距離d=

W+i

grpiO1IQI712A/5I11+1HI_舟

所以％蛇9尸P/0"=5?一II

五三一15?一1|

又因為反2=/+1,所以音匕=號=6，即S0.2=6,

\5k2-\\t2Q

故△OPQ的面積為定值，且定值為百.

例3.(2024?廣東廣州?高三廣州市真光中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知雙曲線

C：4-TJ-=K?>0^>0),漸近線方程為"5=0,點A(2,0)在C上；

cib2

(1)求雙曲線c的方程；

⑵過點A的兩條直線AP,AQ分別與雙曲線C交于P,。兩點(不與A點重合)，且兩條

直線的斜率尢，以滿足勺+&=1，直線P。與直線x=2,了軸分別交于M,N兩點，求

證：AW的面積為定值.

bl

【解析】（1）a>0,Z?>0,依題意，,。2nb=1,

a=2

22

所以雙曲線C的方程為土-乙=1.

41

（2）依題意可知PQ斜率存在，設(shè)方程為丁=丘+加，Q（x2,y2）f

8kHi

y=kx+mX+電=----T

}121-4/

—4=0n<

*----/-=1尸4m2+4

Ui

A=64k2nr+4（l-4Z:2）（4m2+4）>0,W+1-4公>0①,

2何％2+（加一2左）（再+x）-4m

…=人+上2

X]—2x?-2/工2-2（石+%2）+4

=1,

4m2+48kmA.

"T134P卜4

整理得（租+2%乂加+2左-1）=0.

1）〃?+2左=0,=PQ：y=kx-2k,過A（2,0）舍去,

2）m+2k-1=Q,PQ:y=kx-2k+\,過點（2,1）,

1

92

止匕時，將根=1—2左代入①）得（1—2左）+1—4Z:=2—4k>0,k<—9

，尸。與％=2交于點A/（2,l）,故義業(yè)=；x2xl=l（定值）

變式1.（2024?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓E：

22

.+方=1（a>6>0）過點M（夜,1）,且左焦點為耳卜點,0）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）ASC內(nèi)接于橢圓E,過點P（4,l）和點A的直線/與橢圓E的另一個交點為點。，與BC

交于點Q,滿足,尸||04=,0||尸斗，證明：PBC面積為定值，并求出該定值.

21

【解析】（1）由題意得二+77=1,

ab~

c2=a2-b2

解得/=4,檸=2

所以橢圓C的方程為工+《=i.

42

（2）設(shè)點。,A,O的坐標(biāo)分別為（x,y）,（孫兀），（冷）2）.

由題設(shè)知網(wǎng)，歸4，,4，|明均不為零,

APAQ

記八則2>0且;U1

PDQD

又A,PQ,Q四點共線，從而=AQ=AQD

4=^-2^]Ji%],無/+?%

7H1-2'1-A>1+A'>1+2

從而[二7=4x①,②,

1—Z1—X

又點A,。在橢圓C上，即町+2寸=4③，考+2乂=4④，

①十②x2并結(jié)合③、④得4元+2k4,

即點O（x,y）總在定直線2無+y-2=0上.

3C所在直線為2中一2=0上.

2x+y-2=0

由<Y,2消去y得一16%+4=0,A=162—4x9x4>0,

---1---=1

[42

、164

設(shè)B（%3,%）,。（%4'丁4）'則%+%4=，%3%4=§，

于|BC\=Jl~+22|X3-%41~']（七+工4）2-4工3工4='x/5'

又P到BC的距離d=]；1一2|=7,

A/4+I。5

?<14—

,,JPBC~9

LPBC面積定值為挈.

2

變式2.(2024?全國?高二專題練習(xí))已知4，4既是雙曲線G：V-2L=1的兩條漸近

22

線，也是雙曲線C?：，-2r=1的漸近線，且雙曲線c?的焦距是雙曲線G的焦距的6倍.

(1)任作一條平行于乙的直線/依次與直線4以及雙曲線G，孰交于點L,M,N,求箸

NL

的值；

(2)如圖，P為雙曲線G上任意一點，過點P分別作乙，4的平行線交C1于A,B兩點，證

明：jAB的面積為定值，并求出該定值.

【解析】(1)依題意b=2a,根據(jù)雙曲線C?的焦距是雙曲線G的焦距的百倍，可得

5a2=15,

22

即f=3,故雙曲線C?：L-匕=1,

312

不妨設(shè)4：丁=一2%,則設(shè)/：y=-2x+m,

y=-2x+m

y=-2x+m

m2+4m

從而黑=療*?/+4=t，所以篝=g

MN

4m4m

y=-2（x-x）+y

,貝！J：y=-2（%—%）+%,聯(lián)立00

y=2x

而PB：y=2（x—%）+%,聯(lián)立]'一2，"。）+%,解得,

[y=-2x4

從而1Pq.|尸必=君區(qū)_%卜嶼/—訪|=52x。；％,2x。：%=5,

設(shè)，2的傾斜角為。，貝ijtana=2,ZAPB=ZCOD=2a,故sin2a=2tan：=@,

1+tana5

則5寸6=3歸。忖。加2a=|,因此S△叩=|.

變式3.（2024?四川成都?高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:二+丁=1,A,B是

橢圓上的兩個不同的點，。為坐標(biāo)原點，AO,8三點不共線，記,的面積為SMB

⑴若。4=（百,%）,。3=（々,%）,求證：SAOB=^\x1y2-x2yl\；

(2)記直線OA03的斜率為配履，當(dāng)左他=-；時，試探究S2OB是否為定值并說明理由?

【解析】⑴設(shè)。4。8的夾角為e(ovewTi),

則cos6=|0%0：,所以sine=J1-cos?6=11-^OA'^^―,

川\OA\\OB\'y\OA\2\OB\2

則SAOB=Jod|oqsine=gJoai、OB1一(0408)2

=gJ(x：+才)(考+貨)一(尤也+%為J=1^1^-無2乂|；

設(shè)直線OA,03的方程分別為：y=klX,y=k2x,

設(shè)4（%,%）,3（%2，%）.

44

貝[]2X]2——.

人」X]1=1+46T,-1+4片,

k.k=一"-

“2?4

所以S%B=-%城=；X；x；（尢一修）2

_4（勺一心『_4（4：+舄_2伏）_4^!+k2+

（1+46）（1+4后）1+4（女：+后）+16左；左；2+4代+抬）

題型二：向量數(shù)量積定值

22

例4.(2024?新疆昌吉?高二統(tǒng)考期中)已知橢圓C:，+2=1(°>6>0),耳，乃是C

的左、右焦點，過1的動直線/與C交于不同的兩點48兩點，且AAB瑪?shù)闹荛L為

40，橢圓C的其中一個焦點在拋物線V=4x準(zhǔn)線上，

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點,證明:M4.八四為定值.

【解析】(1)由丁=4x可得準(zhǔn)線為戶一1,

所以橢圓C的左焦點片(-1,0),所以橢圓C的半焦距c=l,

因為△ABg的周長為4后，

所以4a=4及，故。=0.

所以加=。2-/=2-1=1,

所求橢圓的方程為：+y2=l.

(2)如圖所示：

①當(dāng)直線/斜率不存在時，/的方程為x=-l,

將％=—1代入］+產(chǎn)=1可得y=±日，

所以人1一1,孝,21一1,一日］此時=［；，￥］,MB=當(dāng),

則一變x走=-二，

442216

②當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線/的方程為y=%(x+l),設(shè)4儀,%)，3(馬,為),

y=左(％+1)

由*得(1+2左，了2+442了+2尢2一2=0,

——+y=1

12

4kz

貝!J玉+/=一TT2F,M4=ri+4,yTMB=(X2+4,j2

1+2/

所以知4〃2=(占+；)［%+；］+%>2=(芭+：)［々+；］+笈2(X1+l)(x2+l),

l+2k21+2/16

7

綜上所述，MA-MB為定值，且定值為一、.

例5.（2024?江西萍鄉(xiāng)?高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考期末）已知M（4,〃?）是拋物線

C:丁=2px（p>0）上一點，且M到C的焦點的距離為5.

⑴求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo)；

⑵如圖所示，過點尸（2,0）的直線/與C交于A,8兩點，與y軸交于點。，設(shè)QA=XPA,

QB=/JPB,求證：幾+〃是定值.

【解析】（1）由拋物線的定義，得4+^=5,解得p=2.

所以拋物線C的方程為y2=4x,M的坐標(biāo)為（4,4）或（4,-4）.

（2）由題意知直線/的斜率存在且不為0,設(shè)/的方程為x=^+l（/0）,貝UQ（0，-口.將x

=9+1代入>2=4x得_/-4力-4=0.設(shè)4（百,%）,3（孫％），則%+%=務(wù)，y^2=-4.

由。4=%PA,得彳=1+獷；由=得〃=1+瓦.

所以2+〃=2+4+4=2+?+乃=2+==1,故4+〃是定值1.

例6.（2024?四川南充?高二四川省南充高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點尸到A（-2,0）的

距離是點P到8（1,0）的距離的2倍.

（1）求點尸的軌跡方程；

⑵若點尸與點。關(guān)于點B對稱，過8的直線與點。的軌跡「交于E,尸兩點，探索BE-BF

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【解析】（1）設(shè)點P（%y）,由題意可得|網(wǎng)=2「即，即&+2）2+/=2#-1『+/,

化簡可得（*-2）2+y2=4.

x+x=2xl

（2）設(shè)點。（毛,％）,由（1）P點滿足方程:（了一2）2+/=4,0

.%+y=0

代入上式消去可得片+y：=4,即。的軌跡方程為尤2+y=4,

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)其斜率為左，則直線/的方程為>=左（了-1）,

由工廠:，消去>，得（1+公產(chǎn)一2左2%+公—4=0,顯然A>0,

y=Kix—11

設(shè)E（X，X），廠（%2,%）則%+入2=]+左2，=]+々2，

又B石=（%-1,乂）,BF=（x2-l,y2）,

則尸=1—（項+九2）+%龍2+%%=1—（%+尤2）+西龍2+/（玉—1）（X2—1）

=（1+左2）占々_（1+/）（玉+尤2）+（1+左2）=（1+/）^^_（1+/）7^+（1+左2）

1十￡

k4-3k2-4-2k4-2k2+k4+2k2+l-3k2-3

=17P1+k2'

當(dāng)直線/的斜率不存在時，網(wǎng)1,退)，尸(1,-6),BEBF=-3.

故尸是定值，即BE-B尸=-3.

22

變式4.(2024?全國?高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓石:芯+方=1(°>6>0)的右焦點

為網(wǎng)1,0),點《一1,1|在E上.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點廠的直線/與橢圓E交于A,B兩點，點Q為橢圓E的左頂點，直線。A,分別

交x=4于M,N兩點，。為坐標(biāo)原點，求證：OAfON為定值.

【解析】(1)由題意得c=l,又點在橢圓上，

a2—b2=1

a2=4

則19，解得

[/+后=1/=3

故所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為反+M=1.

43

(2)由題意知直線/的斜率不為0,可設(shè)/方程為1=歿+1,

x=my+1

聯(lián)立尤22,消x得(3療+4)丁+6〃“_9=0,

—+—=1

143

貝ijA=36m2+4x9（3m2+4）＞0,

設(shè)（巧,丫2）,

由韋達(dá)定理得，X+%=a7/，

3m+43m+4

I-..I.r/、c-6機(jī)28

貝lj再+%=沖1+1+my2+1=根（X+y2）+2=g滔+4+2=3冽2+4

且玉％2=（沖1+1）（沖2+1）=機(jī)2yly2+機(jī)（%+%）+1

-9m2-6m2.-12m2+4

二-~5——+—9——+1=-----5-------，

3m2+43m2+43m2+4

又。（-2,0）,則直線Q4的方程為：y=」三（才+2）,

占+2

令x=4得,

玉+2

同理可得，"（4,一*）,

%+2

36yly2

（%+2）（X2+2）

*小+4+4+4=T-

由（玉+2）（X+2）=xx+2（石+%）+4=

2123〃廠+43m：+43m"+4

則36%%36x（一9）,：3加+4_9

（益+2）（々+2）31+436'

貝1JOM-ON=16-9=7.

變式5.（2024?上海寶山?高三上海交大附中?？计谥校┘褐獧E圓

C：，+（=l（a>b>0）的離心率為橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成的三角形面積為

2.

⑴求橢圓C的方程；

⑵已知直線了=左（》-。（左>0）與橢圓C交于A,8兩點，且與X軸，y軸交于M,N兩點.

①若MB=AN，求上的值；②若點。的坐標(biāo)為［：，。］,求證：Q4QB為定值.

【解析】（1）.e=￡=變，代入片=加+°2得6=以

a2

又橢圓的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為2,即"x2c=2,即慶=2,

22

以上各式聯(lián)立解得4=4,〃=2,則橢圓方程為—+^=1.

42

（2）①直線y=Mx-l）與X軸交點為M（l,o）,與y軸交點為N（o,-左），

x2+2y2=4

聯(lián)立7肖去丁得：（1+2左2）x-4左2尤+2左2-4=0

y=

2

A=16無&-4（1+2/2）（2無2-4）=24k+16>0

4k2

設(shè)4（玉,%）,3（彳2，%），則%+無2=又=(9-I'%),A/V=4，—左一必),

1+2左2

4r

由MB=AN得:無]+x,==1,解得:k=±.由％〉0得無=

1+2公22

4k22k2-4

②證明：由①知2+々=-------7X,X=-----

1+2左21?-l+2k2

。403=卜1).卜2X

”)'~\%2―1+女2("1—1)(12—])

7

-----左2］（石+工2）+左之+竺

416

4k22k2-4+r+”=15

=(1+用-------7+

1+2/J1+2左21616,

.〔QAQB為定值.

題型三：斜率和定值

22

例7.（2024?四川成都?高三成都七中?？奸_學(xué)考試）已知G：工+工=1（0<a<4）,

a4-（7

22

C:—+^^=l(Z?>4).

2b4-b')

⑴證明：y=k|-2總與a和c?相切;

⑵在（1）的條件下，若，=|x|-2與G在y軸右側(cè)相切于A點，與c?在y軸右側(cè)相切于8

點.直線/與G和C?分別交于尸，Q,M,N四點.是否存在定直線/使得對任意題干所給

a,6,總有KP+K°+即戶+原°為定值？若存在，求出/的方程；若不存在，請說明理由.

22

【解析】（1）下面證明橢圓E:二+與=1在（%,%）處的切線方程為誓+咨=1,理由如

abab

下：

當(dāng)%看。時，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為>=去+機(jī)，

代入橢圓方程得：（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,

由A=（2〃.）2_4（〃2左2+b2）（々2加2_〃2匕2）=Q,化簡得:

c^k2-m2+b2=0,

-2iz2^m±VA-2a2km±y/Q-a2k

所以毛=可壽而=—w—==

-n2kh2

把飛=①代入%=5+機(jī)，得：y0=—,

mm

xb1_b2x

于是』*00

-2—2

a〃%a%

則橢圓的切線斜率為—產(chǎn)，切線方程為y-y()=—

2222

整理得到ay0y+bxQx=ay^+bx1,

其中從京+〃2y；=〃26，故42yoy+從/%=〃262,即警+理=］,

ab

當(dāng)先二。時，此時尤o=?；蛞弧?，

當(dāng)/。時，切線方程為］二。，滿足瑞~+=1,

ab

當(dāng)。時，切線方程為％=一。，滿足岑+碧^=1,

ab

所以橢圓氏1+』=1在(%,%)處的切線方程為干+等=1;

22

W一*i(s>0,r>0)上一點(孫珀的切線方程為子-爺=1,理由如下：

22

設(shè)過點(孫打)的切線方程為了一乂="(》一為)，與巳一忘=l(s>0j>0)聯(lián)立得,

222

1112(2/%2ny1-nxf-yf-t

=0,

二司工+7---丁產(chǎn)示

222

化簡得（％-g）2=sn-t,

因為W=qi,代入上式得［%一二1.占］=sj匕工］-f,

x-x\IX—玉J<兀_石1

整理得（孫1一石,）2=/（y_乂）2_/（X_%］）2,

同除以s,產(chǎn)得，（孫）[（—為）:

s2t2t2s2

即/弁2孫士\+鉆2=戶2%二+4_X2-2X[X+X：

's2t2t2s2

x1y；-2孫X]y+x^y~

所以

S2t2

2

%-1

22222222

%x玉y%X?M>_i

聯(lián)立,,兩式相乘得,-—=

Jsststt

U2

22…小”丁

從而端+一一“丁+丁

sts2t2

?y；/?2孫為9_22%y123x

s,r4s2t2t2s2

令h=W一子,則一1+川=一2+2人即(//-1)2=0,

解得力=1,即答一岑=1,

st

所以捺-"=l(s＞0/＞0)上一點(“)的切線方程為學(xué)—=1,

綜上：工+￡=1在點伍,為)的切線方程為.+￡L1.

uVuV

故曲線《+上=1(左＞0且左力4)在點優(yōu),%)的切線方程為y=j-小丁尤.

k4-ky0yok

2

當(dāng)吐夕=1時，2=4(4一叮,聯(lián)立瓦十$_=1得，4+e(4T

%ky°k2k4-kkk2

解得聞=[,則|%|=?，

乙乙

當(dāng)人＞4時，闖=g,=滿足卜|=兇一2,

當(dāng)?！醋螅?時，聞=g,\yQ\=^—^~,滿足忖=2—國，

即曲線C與y=|x|-2相切，

而此時上＞0且人中4.故y=|x|-2總與C]和C?相切.

(2)設(shè)直線/：，=履+777.

設(shè)/與G交于P（%，M）和。（孫力），

-i=o,

-2kmzu2-4+a

由韋達(dá)定理得%+無2=4一。?心,為々=4f廿,

aa

4-a4-a

W----%~^2-----%

由題意，k+k=：

APAQaa

22

2

3（1-左2）+〃（2產(chǎn)一6+22+加一4）+（加一2）（4%—4）

代入整理得原p+%AQ2

+Q(6n+2)+(m+2)(m-2)

因為％4「+%陽+%5尸+%須為定值對任意〃，/?均成立，故左AQ為定值與〃無關(guān)，%BP+七2

為定值與人無關(guān).

2k2-km+2k+m-4(m-2)(4^-4)

當(dāng)1一上2片。時，必有［------

2Tkm+2(m+2)(m-2)

此時m手2.

M-4左一42k2-km+2k+m-4小

故有-----=-------------------=2,

m+2km+2

代入解得左=±1，矛盾.

當(dāng)1—左2=0時，％=1且%=2時成立.

此時直線/r=%-2,由（1）知與曲線僅有1個交點，矛盾.

故不存在/,使心尸+上AQ+%BP+&Q為定值對任意。，b均成立.

例8.（2024?河南洛陽?高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線

2

G：/=2PMB>0）與拋物線C2:X=2P2y（P2>0）在第一象限交于點P.

⑴已知產(chǎn)為拋物線G的焦點，若尸尸的中點坐標(biāo)為。,1）,求Pi；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線。尸的斜率為若斜率為&的直線/與拋物線G和C2均相切，證

明勺+%為定值，并求出該定值.

【解析】(1)由C|：/=2pHp>0)得設(shè)尸產(chǎn),％

旦+4t=2xl

因為的中點坐標(biāo)為(U),所以22Pl

ji=2x1

解得Pi=2,

（2）

產(chǎn)”解得x=0X=2』P4

聯(lián)立c或S

尤=2p2yy=o3=2赤九

所以尸2電P成p⑦2

所以直線。尸的斜率/=1也

2口\Pi

設(shè)直線/的方程為y=&x+b.

y2。，了,消去y得片x?+2化6-pJx+廿=。，

聯(lián)立

y—k?x+b

因為直線/與拋物線G相切,

所以A=4他，一Pi)。一4片匕，=0,即k2b-px=±k2b,

若砂一口=砧,則P]=0,不符合題意,

所以自b-P1=-&b,即2&b=Pi，①

聯(lián)立],消去y得x?—2p,&x—2p2b=0,

[y=k2x+b

因為直線/與拋物線C2相切，

所以A=4p；依+8P2Z?=0,BPp2kf+2b=0,②

由①②可得-―陋

所以《+&=0,

~VPi

故勺+%為定值，該定值為0.

例9.（2024?河南許昌?高二統(tǒng)考期末）已知一上45的兩個頂點A,8的坐標(biāo)分別是

（0,3）,（0,-3）,且直線外，PB的斜率之積是-3,設(shè)點尸的軌跡為曲線

（1）求曲線X的方程；

（2）經(jīng)過點（1,3）且斜率為左的直線與曲線打交于不同的兩點E,尸（均異于A,B）,證明:

直線BE與BF的斜率之和為定值.

【解析】（1）設(shè)P5y）（xH0）,則由直線9，PB的斜率之積是-3可得,

22

化簡可得L+工=I（xwO）

39v7

（2）設(shè)直線方程為：y=kx-k+3,

則與橢圓方程聯(lián)立可得：（3+左2）尤2+2左（3—左）尤+3-6左=。，

貝UA=4/（3—無）2—4（3+左2）（r一6k）=24左（k+3）＞0,故左＜-3或）＞0,

設(shè)E（4X）/（X2，%）,則尤1+%="*，中2=》^.

（何一k+6）%2+（g—k+6）玉

If77y+3%+3

故^BE+原尸=+

玉x2

07k?—6kgn2M左一3）

2何々+（6—女）（F+%2）_2公3+左丁+（6一幻.3+k2_6k?-36k

%/k2-6kk2—6k

3+k2

變式6.（2024?河南商丘?高二校考階段練習(xí)）已知吊，&，3是橢圓

22

亍+方=1（。>6>0）的頂點（如圖），直線/與橢圓交于異于頂點的pQ兩點，且

1//A.B,若橢圓的離心率是乎，且他用=行，

⑴求此橢圓的方程；

（2）設(shè)直線4尸和直線2Q的斜率分別為匕，k2,證明%+履為定值.

【解析】（1）由已知可得橢圓的離心率e=/n「自，

也.=yja1+b2=^5,

a=2,b=l,

???橢圓方程為『y=；

由（1）可知：4（-2,0）,A（2,0）,5（0,1）,且///43,所以直線/的斜率3B=-g,

設(shè)直線/的方程為y=-g尤+%,設(shè)2（石,乂）,。（%2，%），

—+/=1

4

聯(lián)立得:x2—2mx+2m2—2=0,

1

y=——x+m

2

A=4m2-4(2m2-2^=8-4m2>0,:.—叵<m<^(2，

2

貝Ix{+x2=2m,xix2=2m-2,

D7,_乂7，_%-111

又/—二，/一，M=-77%+根，，2=一1％2+根，

%+2*222

T「2%+a+2)(%T)

k、+k?=X?%

+2x2（石+2區(qū)

1x+mj+zf-g/+m

%+.2_&_2(〃z—。(±+X])―尤]尤2+2m—2

2

(%1+2)%2

(西+l)x2

m-l)x2m-2m2-2\+2m-2

=0,為定值.

(玉+2)X2

變式7.（2024?云南昆明?高二云南師范大學(xué)實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點"（1,0）的直

線為/，N為圓C:f+（y-2）2=4與y軸正半軸的交點.

⑴若直線/與圓C相切，求直線/的方程：

（2）證明：若直線/與圓C交于AB兩點，直線4V,3N的斜率之和為定值.

【解析】（1）由已知可得，圓心C（0,2）,半徑「=2.

當(dāng)直線/斜率不存在時，/方程為x=l,此時直線與圓不相切；

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線/斜率為左，貝心方程為y=%（x-1）,即日-y-左=。.

由直線/與圓C相切，可知圓心到直線的距離4=匚*=2,

W+1

整理可得，3k2-4k=0,

4

解得左=0或%=子

44

所以，直線/的方程為＞=?；騳=

44

綜上所述，直線/的方程為y=?；蚨?耳1-

（2）由題設(shè)得到點N（0,4）,

當(dāng)直線/斜率不存在時，/方程為x=l,

此時直線與圓的交點為（L2-若），（1,2+6）,

則L+kBN=三9+=-4；

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)直線方程為y=%（x-l）,

代入圓的方程可得（8+1）/一（2/+4左）尤+（/+4左）=。.

設(shè)點4（石,%）,8（々，%），

2k2+4kV+4左

貝U占+%=

公+11C+X

所以L=U=女（菁—1）—4kx^—[k+4^

菁玉玉

—4左一1）—4Ax?_（左+4）

左BN===

則k+k=-3一（：+4）1履2一（左+4）2優(yōu)9一（>+4）（占+々）,2；

再占尤2

-----廠王^-=2左-2%-4=-4.

B+4k

k2+l

綜上所述，AN與BN的斜率之和為定值T.

故AN與BN的斜率之和為定值.

題型四：斜率積定值

例10.（2024?河南鄭州?高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓

C：：+，=l（a>6>0）的離心率為白，以C的短軸為直徑的圓與直線y=辦+6相切.

（1）求C的方程；

（2）直線/：y=Z（x-：Q住20）