新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念學(xué)案新人教A版選擇性必修第二冊

4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念課程標(biāo)準(zhǔn)1．借助教材實例理解等差數(shù)列、等差中項的概念．2．借助教材實例了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系．3．會求等差數(shù)列的通項公式，并能利用等差數(shù)列的通項公式解決相關(guān)問題．學(xué)法解讀1．能夠通過實際問題理解等差數(shù)列、公差、等差中項的概念，提升分析問題、解決問題的實力．(數(shù)學(xué)抽象)2．駕馭等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)方法，并能夠敏捷地進(jìn)行運(yùn)算．(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．駕馭等差數(shù)列的判定方法，能運(yùn)用定義法證明等差數(shù)列．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)學(xué)問點1等差數(shù)列的定義一般地，假如一個數(shù)列_從第2項__起，每一項與_它前一項__的差都等于_同一個常數(shù)__，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的_公差__，公差通常用字母d表示．想一想：對等差數(shù)列的理解，有哪些問題須要留意？提示：1.“從第2項起”因為首項沒有“前一項”．2．一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差即使等于常數(shù)，這個數(shù)列也不肯定是等差數(shù)列，因為當(dāng)這些常數(shù)不同時，該數(shù)列不是等差數(shù)列，因此定義中強(qiáng)調(diào)“同一個常數(shù)”，留意不要漏掉這一條件．3．求公差d時，可以用d＝an－an－1(n≥2)來求，也可以用d＝an＋1－an來求．留意公差是每一項與其前一項的差，且用d＝an－an－1求公差時，要求n≥2，n∈N*.練一練：已知數(shù)列{an}滿意an≠0，則a1＋a4＝a2＋a3是{an}為等差數(shù)列的(B)A．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件[解析]例如a1＝1，a4＝－1，a2＝3，a3＝－3，滿意a1＋a4＝a2＋a3，但是a2－a1＝2≠a3－a2＝－6，不符合等差數(shù)列的定義，故推不出{an}為等差數(shù)列；若{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝2a1＋3d，a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d，則a1＋a4＝a2＋a3.所以a1＋a4＝a2＋a3是{an}為等差數(shù)列的必要條件但不是充分條件．故選B.學(xué)問點2等差中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡潔的等差數(shù)列．這時，A叫做a與b的等差中項．事實上，若a，A，b成等差數(shù)列，則A＝eq\f(a＋b,2)，且A是a與b的等差中項；若A＝eq\f(a＋b,2)，即A－a＝b－A，則a，A，b成等差數(shù)列．想一想：“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”與“2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N＋)”之間是什么關(guān)系？提示：等價關(guān)系．練一練：在等差數(shù)列{an}中，a3、a5是方程x2－4x＋3＝0的兩根，則a4的值為(A)A．2 B．3C．±2 D．eq\f(3,2)[解析]由韋達(dá)定理和等差中項的性質(zhì)可得a3＋a5＝4＝2a4，因此a4＝2.故選A．學(xué)問點3等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式_an＋1－an__＝d(n∈N*)an＝_a1＋(n－1)d__(n∈N*)想一想：等差數(shù)列的通項公式有怎樣的內(nèi)涵？提示：(1)由等差數(shù)列的通項公式可知，等差數(shù)列中的任一項均可用首項和公差表示出來，因此，要確定等差數(shù)列的通項公式，只需確定該數(shù)列的首項和公差即可，因此我們把等差數(shù)列的首項和公差稱為等差數(shù)列的基本量．(2)等差數(shù)列的通項公式中涉及an，a1，d，n四個量，知道其中三個量可以求出第四個量．練一練：已知{an}是等差數(shù)列，首項a1＝－1，公差d＝－3，則a8＝_－22__.學(xué)問點4等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以當(dāng)d≠0時，等差數(shù)列{an}的第n項an是一次函數(shù)f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)當(dāng)x＝n時的函數(shù)值，即an＝f(n)．想一想：等差數(shù)列與一次函數(shù)有怎樣的聯(lián)系與區(qū)分？提示：等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an＝kn＋b(k≠0，n∈N*)f(x)＝kx＋b(k≠0)不同點定義域為N*，圖象是一系列孤立的點(在直線f(x)＝kx＋b上)定義域為R，圖象是一條直線相同點等差數(shù)列通項公式與函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次整式，等差數(shù)列的圖象是相應(yīng)的一次函數(shù)圖象上的一系列孤立的點練一練：已知點(1,5)，(2,3)是等差數(shù)列{an}圖象上的兩點，則數(shù)列{an}為(B)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無法確定[解析]等差數(shù)列{an}的圖象所在直線的斜率k＝eq\f(5－3,1－2)＝－2<0，故數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．題型探究題型一等差數(shù)列的通項公式典例1已知{an}為等差數(shù)列，分別依據(jù)下列條件寫出它的通項公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三項為：a,2a－1,3－a.[解析](1)設(shè)首項為a1，公差為d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1＋2d＝5，,a7＝a1＋6d＝13，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.∴通項公式為an＝2n－1.(2)由等差中項的公式，得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，a＝eq\f(5,4).∴首項為a＝eq\f(5,4)，公差為2a－1－a＝a－1＝eq\f(5,4)－1＝eq\f(1,4).∴an＝eq\f(5,4)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(n,4)＋1.∴通項公式為an＝eq\f(n,4)＋1.[規(guī)律方法]要想求出等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d，那么a1和d就是必需求出的量，我們稱之為基本量，在解題中，要時刻把握這兩個量，它們經(jīng)常是我們解題的基礎(chǔ)．對點訓(xùn)練?(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝(C)A．8 B．12C．16 D．24(2)等差數(shù)列{an}中，①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．[解析](1)設(shè)公差為d，首項為a1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝0，,d＝2.))∴a9＝a1＋8d＝16.(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.②an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d，所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，令－2n＋21＝1，得n＝10.題型二等差中項的應(yīng)用典例2(1)已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項為(A)A．eq\r(3) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),2)(2)等差數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項等于(B)A．0 B．9C．12 D．18(3)已知eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，證明：eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．[分析](1)求a，b的等差中項?等差中項的定義?等式?計算．(2)先依據(jù)已知求出x的值，再求出數(shù)列的第四項．(3)先由條件得到a，b，c的關(guān)系，再計算eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)，化簡可得等于2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,b))).[解析](1)a，b的等差中項為eq\f(a＋b,2)＝eq\f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq\f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq\r(3).(2)由題意得2(3x＋3)＝x＋(6x＋6)，所以x＝0.所以等差數(shù)列的前三項為0,3,6，公差為3，所以等差數(shù)列的第四項為9.故選B.(3)證明：因為eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)，化簡得2ac＝b(a＋c)，又eq\f(b＋c,a)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ac)＝eq\f(b(a＋c)＋c2＋a2,ac)＝eq\f(2ac＋c2＋a2,ac)＝eq\f((a＋c)2,ac)＝eq\f((a＋c)2,\f(b(a＋c),2))＝2·eq\f(a＋c,b)，所以eq\f(b＋c,a)，eq\f(a＋c,b)，eq\f(a＋b,c)成等差數(shù)列．[規(guī)律方法]1.等差中項的應(yīng)用策略(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項問題可用等差中項求解．(2)在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等差中項，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)；事實上，等差數(shù)列中的某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m<n)．2．等差中項法判定等差數(shù)列若數(shù)列{an}滿意2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則可判定數(shù)列{an}是等差數(shù)列．對點訓(xùn)練?若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項．[解析]由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10.兩式相加，得m＋n＝6.所以m和n的等差中項為eq\f(m＋n,2)＝3.題型三等差數(shù)列的推斷與證明典例3(1)推斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？①an＝3n＋2；②an＝n2＋n.(2)已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)(n∈N*)，bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出首項和公差．[解析](1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常數(shù))，n為隨意正整數(shù)，所以此數(shù)列為等差數(shù)列．②因為an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常數(shù))，所以此數(shù)列不是等差數(shù)列．(2)方法一：因為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋3，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝3，又因為bn＝eq\f(1,an)(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，且b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為eq\f(1,2)，公差為3.方法二：因為bn＝eq\f(1,an)，且an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，所以bn＋1＝eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1＋3an,an)＝eq\f(1,an)＋3＝bn＋3，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，b1＝eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2).所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為eq\f(1,2)，公差為3.[規(guī)律方法]證明一個數(shù)列是等差數(shù)列常用的方法有：(1)利用定義法，即證an＋1－an＝常數(shù)．(2)利用等差中項的概念來進(jìn)行判定，即證2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．對點訓(xùn)練?(1)若數(shù)列{an}的通項公式為an＝10＋lg2n(n∈N*)，求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；(2)已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)．求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．[證明](1)因為an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg2.所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(n∈N*)．所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．(2)由條件，得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(an,n)＋1，即eq\f(an＋1,n＋1)－eq\f(an,n)＝1，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以eq\f(an,n)＝n＋1，即an＝n(n＋1)．易錯警示求等差數(shù)列的公差時因考慮不周致誤典例4首項為－24的等差數(shù)列從第10項起起先為正數(shù)，則公差的取值范圍是(D)A．d>eq\f(8,3) B．d<3C．eq\f(8,3)≤d<3 D．eq\f(8,3)<d≤3[錯解]a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，解得d>eq\f(8,3).故選A．[誤區(qū)警示]該等差數(shù)列的首項為負(fù)數(shù)，從第10項起起先為正數(shù)，說明公差為正數(shù)，且第9項為非正數(shù)，第10項為正數(shù)，解決此類問題時簡潔忽視第9項的要求．[正解]由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－24＋9d>0，,－24＋8d≤0，))解得eq\f(8,3)<d≤3，故選D.1．(多選題)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是(AC)A．0,0,0,0,0，…B．1,11,111,1111，…C．－5，－3，－1,1,3，…D．1,2,3,5,8，…[解析]依據(jù)等差數(shù)列的定義可知A，C中的數(shù)列是等差數(shù)列，故選AC．2．等差數(shù)列－3