寧夏回族自治區(qū)銀川市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第五次月考文試題含解析

Page17寧夏回族自治區(qū)銀川市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第五次月考（文）試題留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上．寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的定義域求集合B，利用交集的概念和運(yùn)算求即可.詳解】由題設(shè)知：，而，∴.故選：D.2.若復(fù)數(shù)滿意，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)滿意方程，，的虛部為1.故選：C．3.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.命題“若則”的逆否命題是“若則”B.命題，使得則均有C.“”是“”的充分不必要條件D.若為假命題，則均為假命題【答案】B【解析】【分析】A選項(xiàng)，“若，則”的逆否命題是“若，則”，B選項(xiàng)，特稱命題的否定是全稱命題，C選項(xiàng)，求出，和比較，推斷是充分不必要條件，D選項(xiàng)，邏輯連接詞“或”，只有兩個(gè)全是假命題的時(shí)候，才是假命題【詳解】對(duì)于A:依據(jù)逆否命題的定義，命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故正確;對(duì)于B:命題“，使得”，則：“，均有”，故錯(cuò)誤;對(duì)于C:或，因此“”是“”的充分不必要條件，故正確;對(duì)于D:若為假命題，則都是假命題，故正確．故選：B.4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出切點(diǎn)及斜率，再用點(diǎn)斜式即可求切線方程.【詳解】因?yàn)椋?，又，，故所求切線方程為．故選：A5.在區(qū)間隨機(jī)取個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題可依據(jù)幾何概率的概率計(jì)算公式得出結(jié)果.【詳解】取到的數(shù)小于的概率，故選：A.6.關(guān)于函數(shù)，下列推斷正確的是（）A.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)B.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是減函數(shù)D.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義推斷函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可得解.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)槎际巧系臏p函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù).故選：C.7.設(shè)變量，滿意約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在坐標(biāo)平面中畫出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，平移動(dòng)直線后可求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：由可得，故，將初始直線平移至?xí)r，有最小值為，故選：D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出S的值為0.99，則推斷框內(nèi)可填入的條件是（）

A.i<100 B.i>100 C.i<99 D.i<98【答案】A【解析】【分析】依據(jù)程序功能計(jì)算時(shí)值，然后確定循環(huán)條件．【詳解】由程序框圖知，，解得，由于是計(jì)算后，賦值，因此循環(huán)條件是，故選：A．9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的最大值為2C.在上單調(diào)遞增 D.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.詳解】由題意，函數(shù)，由函數(shù)的最小正周期，可得，所以A錯(cuò)誤；由函數(shù)的最大值為，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)椋傻?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；由，令，解得，當(dāng)時(shí)，可得，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確.故選：D.10.若函數(shù)在上無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由可得，恒成立，為開口向上的拋物線，若函數(shù)在上無極值，則恒成立，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，則（）A. B. C.3027 D.3028【答案】A【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，，利用并項(xiàng)求和法即可得出答案.【詳解】解：由，得.故選：A.12.若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知，曲線表示一個(gè)半圓，結(jié)合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得，畫出圖像如圖：當(dāng)直線與半圓O相切時(shí)，直線與半圓O有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，所以，由圖可知，此時(shí)，所以，當(dāng)直線如圖過點(diǎn)A、B時(shí)，直線與半圓O剛好有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，由圖可知，當(dāng)直線介于與之間時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以.故選：D.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則______．【答案】0【解析】【分析】先求出f(1)，再求f(f(1))即可﹒【詳解】f(1)＝－1，f(－1)＝ln1＝0，∴0，故答案為：0﹒14.在中，若，，，則______．【答案】##【解析】【分析】干脆利用三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】解：，所以.故答案為：.15.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是______．【答案】6【解析】【分析】依據(jù)拋物線的定義即可求出.【詳解】由，可得．已知拋物線方程可得其準(zhǔn)線方程．又由點(diǎn)到軸的距離為4，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由拋物線定義可知點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即．故答案為：6.16.已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，則三棱柱的外接球的體積為___________．【答案】【解析】【分析】先取兩底面三角形的外心、，進(jìn)而確定三棱柱的外接球的球心位置，再利用正弦定理和直角三角形求外接球的半徑，再利用球的體積公式求其體積.【詳解】分別取兩底面三角形的外心、，連接，取的中點(diǎn)，連接、，則是三棱柱的外接球的球心，是外接球的半徑.在中，利用正弦定理，得，即，在中，，則，所以外接球的體積為..故答案為：.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分17.已知數(shù)列滿意：，且，其中；（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由，化簡得到，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可求解；（2）由（1）知：，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數(shù)列滿意：，且，可得，且，所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，所以，即.【小問2詳解】解：由（1）知：，則.18.已知菱形的邊長為，，如圖1．沿對(duì)角線將向上折起至，連接，構(gòu)成一個(gè)四面體，如圖2．（1）求證：；（2）若，求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可得到，，從而得到平面，即可得證；（2）首先求出，即可得到，從而求出，再依據(jù)計(jì)算可得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)榱庑蔚倪呴L為，，所以與為等邊三角形，所以，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；【小?詳解】因?yàn)榱庑蔚倪呴L為，所以，又，所以，所以，所以，所以19.某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，中學(xué)學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開學(xué)以來（60天）的課外閱讀時(shí)間，學(xué)校采納分層抽樣方法，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“中學(xué)學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時(shí)間（單位：時(shí)）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.

（1）估計(jì)全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在[30，40）小時(shí)內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；（2）從課外閱讀時(shí)間不足10小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至少有2個(gè)初中生的概率；（3）國家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時(shí)間不少于半個(gè)小時(shí).若該校初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間小于國家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時(shí)間，依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否須要增加初中學(xué)生的課外閱讀時(shí)間？并說明理由.【答案】（1）720人（2）（3）須要增加，理由見解析【解析】【分析】（1）由分層抽樣的特點(diǎn)可分別求得抽取的初中生、中學(xué)生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知初中生、中學(xué)生課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率，然后由頻數(shù)樣本容量頻率可分別得初中生、中學(xué)生課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的樣本學(xué)生數(shù)，最終將兩者相加即可．（2）記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少有2個(gè)初中生”為事務(wù)，由頻數(shù)樣本容量頻率組距頻率可分別得初中生、中學(xué)生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，然后用列舉法表示出隨機(jī)抽取3人的全部可能結(jié)果以及事務(wù)的結(jié)果，從而得．（3）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表來計(jì)算樣本中的全部初中生平均每天閱讀時(shí)間，并與30小時(shí)比較大小，若小于30小時(shí)，則須要增加，否則不須要增加．【小問1詳解】由分層抽樣知，抽取的初中生有人，中學(xué)生有人．初中生中，課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)為人．中學(xué)生中，課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)約有人，全校學(xué)生中課外閱讀時(shí)間在，小時(shí)內(nèi)學(xué)生總?cè)藬?shù)為人．【小問2詳解】記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，至少有2個(gè)初中生”為事務(wù)，初中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人，中學(xué)生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人．記這3名初中生為，，，這2名中學(xué)生為，，則從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，全部可能結(jié)果共有10種，即，，，，，，，，，，而事務(wù)的結(jié)果有7種，它們是：，，，，，，，至少抽到2名初中生的概率為．小問3詳解】樣本中的全部初中生平均每天閱讀時(shí)間為:（小時(shí)），而（小時(shí)），，該校須要增加初中學(xué)生課外閱讀時(shí)間．20.已知橢圓C：的上頂點(diǎn)與橢圓的左右頂點(diǎn)連線的斜率之積為.（1）求橢圓C的離心率；（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，依據(jù)，可得答案（2）由方程聯(lián)立，可得，，，可得出弦長，原點(diǎn)O到直線的距離，可得出答案.【小問1詳解】由題，橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，∴，即，則.又，∴，所以橢圓的離心率；【小問2詳解】設(shè)，，由得：，∴，，，∴，又原點(diǎn)到直線的距離，∴，解得，∴，滿意，∴，∴橢圓的方程為.21.已知函數(shù)（1）探討的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最大值.【答案】（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】【分析】（1），依據(jù)函數(shù)定義域，分，，探討求解；（2）依據(jù)（1）知：分，，，探討求解.【小問1詳解】解：(1)定義域，①時(shí)，成立，所以在上遞減；②時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單增，單減；【小問2詳解】由（1）知：時(shí)，在單減，所以；時(shí)，在單減，所以；時(shí)，在上單增，上遞減，所以；時(shí)，在單增，所以；綜上：.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，假如多做．則按所做的第一題記分．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為其中為參數(shù)，，曲線的參數(shù)方程為其中為參數(shù).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；（2）若，曲線，交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)先將參數(shù)方程化為一般方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式求解；（2）將代入的極坐標(biāo)方程，依據(jù)極坐標(biāo)的幾何意義求解即可.【詳解】解：（1）依題意，曲線的一般方程為即曲線的極坐標(biāo)方程為；曲線的一般方程為，即，故曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入曲線的極坐標(biāo)方程中，可得，設(shè)上述方程的兩根分別是，則，故.[選修4—5：不等式選講]23.設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）設(shè)，是兩正實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最小值為，且．求證：．【答案】（1）（2）