安徽省池州一中2025屆高考數(shù)學四模試卷含解析

安徽省池州一中2025屆高考數(shù)學四模試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．43．“”是“直線與互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．設函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤5．已知復數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．6．如圖，雙曲線的左，右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．7．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對稱，則下述四個結(jié)論：①②③④點為函數(shù)的一個對稱中心其中所有正確結(jié)論的編號是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④8．已知中，角、所對的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件9．設是虛數(shù)單位，則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分不必要條件10．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．11．過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．12．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則______，的最大值是______.14．在中，已知，則的最小值是________．15．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則_____.16．已知一組數(shù)據(jù)，1，0，，的方差為10，則________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點是拋物線的頂點，，是上的兩個動點，且.（1）判斷點是否在直線上？說明理由；（2）設點是△的外接圓的圓心，點到軸的距離為，點，求的最大值.18．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應的特征向量．19．（12分）已知是圓：的直徑，動圓過，兩點，且與直線相切.（1）若直線的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恰好與軸相切？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.21．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．22．（10分）在中，角所對的邊分別為，，的面積.（1）求角C；（2）求周長的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎知識、邏輯推理能力的考查.【詳解】當時，，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.【點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是基本不等式掌握不熟，導致判斷失誤；二是不能靈活的應用“賦值法”，通過特取的值，從假設情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.2、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設雙曲線的半個焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎題3、A【解析】

利用兩條直線互相平行的條件進行判定【詳解】當時，直線方程為與，可得兩直線平行；若直線與互相平行，則，解得，，則“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，故選【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件和性質(zhì)，充分條件，必要條件的定義和判斷方法，屬于基礎題．4、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.5、D【解析】由復數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項.6、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.7、B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯誤.故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎題.8、D【解析】

由大邊對大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對的邊分別是、，由大邊對大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎知識，考查邏輯推理能力，是基礎題．9、D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念，可得，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù)，則，所以，若，不妨設，此時復數(shù)，不是純虛數(shù)，所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：D【點睛】本題考查充分條件和必要條件，考查了純虛數(shù)的概念，理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.10、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意，得，，.令，所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以，且，即，所以.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查對數(shù)式比較大小，屬于中檔題.11、C【解析】

由得F是弦AB的中點.進而得AB垂直于x軸，得，再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因為，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以，即，則，故.故選：C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題．12、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用等差數(shù)列前項和公式，列出方程組，求出首項和公差的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式，可求出的表達式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，數(shù)列的通項公式為；（2），，令，則且，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，當或時，取得最大值為.故答案為：；.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．14、【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結(jié)合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關(guān)系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.15、【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的定義列方程，化簡求得的值.【詳解】由于為偶函數(shù)，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，考查運算求解能力，屬于中檔題.16、7或【解析】

依據(jù)方差公式列出方程，解出即可．【詳解】，1，0，，的平均數(shù)為，所以解得或．【點睛】本題主要考查方差公式的應用．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不在，證明見詳解；（2）【解析】

（1）假設直線方程，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，計算，可得，然后驗證可得結(jié)果.（2）分別計算線段中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點的軌跡方程，然后可得焦點，結(jié)合拋物線定義可得，計算可得結(jié)果.【詳解】（1）設直線方程，根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，則則由所以將代入上式化簡可得，所以則直線方程為，所以直線過定點，所以可知點不在直線上.（2）設線段的中點為線段的中點為則直線的斜率為，直線的斜率為可知線段的中垂線的方程為由，所以上式化簡為即線段的中垂線的方程為同理可得：線段的中垂線的方程為則由（1）可知：所以即，所以點軌跡方程為焦點為，所以當三點共線時，有最大所以【點睛】本題考查直線于拋物線的綜合應用，第（1）問中難點在于計算處，第（2）問中關(guān)鍵在于得到點的軌跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理，屬難題.18、矩陣屬于特征值的一個特征向量為，矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意，矩陣的特征多項式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.19、（1）或.（2）存在，；【解析】

（1）根據(jù)動圓過，兩點，可得圓心在的垂直平分線上，由直線的方程為，可知在直線上；設，由動圓與直線相切可得動圓的半徑為；又由，及垂徑定理即可確定的值，進而確定圓的方程.（2）方法一：設，可得圓的半徑為，根據(jù)，可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設，，可得的中點，進而由兩點間距離公式表示出半徑，表示出到軸的距離，代入化簡即可求得的值，進而確定所過定點的坐標；方法二：同上可得的軌跡方程為，由拋物線定義可求得，表示出線段的中點的坐標，根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系，進而確定所過定點的坐標.【詳解】（1）因為過點，，所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為，且，關(guān)于于坐標原點對稱，所以在直線上，故可設.因為與直線相切，所以的半徑為.由已知得，，又，故可得，解得或.故的半徑或，所以的方程為或.（2）法一：設，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設，，則得，的中點，則以為直徑的圓的半徑為：，到軸的距離為，令，①化簡得，即，故當時，①式恒成立.所以存在定點，使得以為直徑的圓與軸相切.法二：設，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設，因為拋物線的焦點坐標為，點在拋物線上，所以，線段的中點的坐標為，則到軸的距離為，而，故以為徑的圓與軸切，所以當點與重合時，符合題意，所以存在定點，使得以為直徑的圓與軸相切.【點睛】本題考查了圓的標準方程求法，動點軌跡方程的求法，拋物線定義及定點問題的解法綜合應用，屬于難題.20、（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設,則轉(zhuǎn)化問題為與的交點問題,利用導函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設,利用導函數(shù)可得,則,即,再設,利用導函數(shù)求得的最小值,則,進而求解.【詳解】（1）當時,,定義域為,由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當時,；當時,,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當時,直線和函數(shù)