2025屆北京東城五中高三第二次模擬考試數(shù)學試卷含解析

2025屆北京東城五中高三第二次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．3．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．， B．存在點，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值4．已知拋物線的焦點為，準線與軸的交點為，點為拋物線上任意一點的平分線與軸交于，則的最大值為A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，設，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．7．已知，，為圓上的動點，，過點作與垂直的直線交直線于點，若點的橫坐標為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．9．設函數(shù)在定義城內(nèi)可導，的圖象如圖所示，則導函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．10．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2） C．（–1，+∞） D．（1，+∞）11．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．3312．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，則A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量的分布列如表所示，則______，______．-10114．已知為等比數(shù)列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則__________.15．我國古代數(shù)學名著《九章算術》對立體幾何有深入的研究，從其中一些數(shù)學用語可見，譬如“憋臑”意指四個面都是直角三角形的三棱錐.某“憋臑”的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1）如圖所示，已知幾何體高為，則該幾何體外接球的表面積為__________．16．設集合，，則____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.18．（12分）在中，．（1）求的值；（2）點為邊上的動點（不與點重合），設，求的取值范圍．19．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，并且.（1）已知_______________，計算的面積；請①，②，③這三個條件中任選兩個，將問題（1）補充完整，并作答.注意，只需選擇其中的一種情況作答即可，如果選擇多種情況作答，以第一種情況的解答計分.（2）求的最大值.20．（12分）某貧困地區(qū)幾個丘陵的外圍有兩條相互垂直的直線型公路，以及鐵路線上的一條應開鑿的直線穿山隧道，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，以所在的直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，山區(qū)邊界曲線為，設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.（1）當為何值時，公路的長度最短?求出最短長度；（2）當公路的長度最短時，設公路交軸，軸分別為，兩點，并測得四邊形中，，，千米，千米，求應開鑿的隧道的長度.21．（12分）如圖，在四邊形中，，，.（1）求的長；（2）若的面積為6，求的值.22．（10分）已知，函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）討論函數(shù)極值點的個數(shù)；（Ⅱ）若，且命題“，”是假命題，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質(zhì)的應用．2、A【解析】

先利用最高點縱坐標求出A，再根據(jù)求出周期，再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），將代入得φ）＝1，∴φ，結(jié)合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因為分別是中點，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故B錯誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.4、A【解析】

求出拋物線的焦點坐標，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，，求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解．【詳解】解：由題意可得，焦點F（1，0），準線方程為x＝?1，

過點P作PM垂直于準線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|＝x＋1，

記∠KPF的平分線與軸交于

根據(jù)角平分線定理可得，，當時，，當時，，，綜上：．故選：A．【點睛】本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡單應用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力，屬于中檔題．5、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.6、A【解析】

根據(jù)圖象關于軸對稱可知關于對稱，從而得到在上單調(diào)遞增且；再根據(jù)自變量的大小關系得到函數(shù)值的大小關系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關于軸對稱圖象關于對稱時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞增又且，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關系問題，關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關系求得結(jié)果.7、A【解析】

由題意得，即可得點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點M的軌跡為以A，B為左、右焦點，的雙曲線，.故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.8、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關鍵．9、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應范圍上的符號和極值點，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個不同的零點，且在這兩個零點的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點睛】本題考查導函數(shù)圖象的識別，此類問題應根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導函數(shù)的符號與零點情況，本題屬于基礎題.10、C【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，故選C.【點睛】考查并集的求法，屬于基礎題.11、C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算,考查了學生的計算能力,屬于基礎題.12、A【解析】

解出集合A和B即可求得兩個集合的并集.【詳解】∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．故選：A．【點睛】此題考查求集合的并集，關鍵在于準確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準確寫出集合中的元素.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性質(zhì)計算均值，最后求得的值，由方差的性質(zhì)計算的值即可.【詳解】由題意可知，解得（舍去）或.則，則，由方差的計算性質(zhì)得.【點睛】本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計算公式，方差的計算公式，方差的性質(zhì)等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14、【解析】

設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，由于與的等差中項為，則，則，，，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和，解答的關鍵就是等比數(shù)列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】三視圖還原如下圖：，由于每個面是直角，顯然外接球球心O在AC的中點.所以，，填?！军c睛】三視圖還原，當出現(xiàn)三個尖點在一個位置時，我們常用“揪尖法”。外接球球心到各個頂點的距離相等，而直角三角形斜邊上的中點到各頂點的距離相等，所以本題的球心為AC中點。16、【解析】

先解不等式,再求交集的定義求解即可.【詳解】由題,因為,解得,即,則,故答案為:【點睛】本題考查集合的交集運算,考查解一元二次不等式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用余弦定理可求，從而得到的值.（2）利用誘導公式和正弦定理化簡題設中的邊角關系可得，得到值后利用面積公式可求.【詳解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因為，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因為，所以.又因，所以.所以的面積.【點睛】在解三角形中，如果題設條件是關于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設條件是關于邊的齊次式或是關于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設條件是邊和角的混合關系式，那么我們也可把這種關系式轉(zhuǎn)化為角的關系式或邊的關系式.18、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關系求得,再由求解即可；（2）在中,由正弦定理可得,則,再由求解即可.【詳解】解:（1）在中,,所以,所以（2）由（1）可知,所以,在中,因為,所以,因為,所以,所以.【點睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查正弦定理的應用.19、（1）見解析（2）1【解析】

（1）選②，③．可得，結(jié)合，求得．即可；若選①，②．由可得由，求得．即可；若選①，③，可得，又，可得，即可；（2）化簡，根據(jù)角的范圍求最值即可．【詳解】（1）若選②，③．，，，，又，．的面積．若選①，②．由可得，，，又，．的面積．若選①，③，，又，，可得，的面積．（2），當時，有最大值1．【點睛】本題考查了正余弦定理，三角三角恒等變形，考查了計算能力，屬于中檔題．20、（1）當時，公路的長度最短為千米；（2）（千米）.【解析】

（1）設切點的坐標為，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的方程為，根據(jù)兩點間距離得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出單調(diào)性，從而得出極值和最值，即可得出結(jié)果；（2）在中，由余弦定理得出，利用正弦定理，求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出的長度.【詳解】（1）由題可知，設點的坐標為，又，則直線的方程為，由此得直線與坐標軸交點為：，則，故，設，則.令，解得=10.當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù).所以當時，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時.故當時，公路的長度最短，最短長度為千米.（2）在中，，,所以，所以，根據(jù)正弦定理,，，，又，所以.在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（千米）.【點睛】本題考查利用導數(shù)解決實際的最值問題，涉及構(gòu)造函數(shù)法以及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和極值，還考查正余弦定理的實際應用，還考查解題分析能力和計算能力.21、