新課標(biāo)2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第3節(jié)隨機(jī)事件與概率教師用書

PAGEPAGE1第三節(jié)隨機(jī)事務(wù)與概率考試要求：1．了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．2．了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)分．3．了解兩個(gè)互斥事務(wù)的概率加法公式．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．確定試驗(yàn)的樣本空間(1)樣本點(diǎn)和樣本空間我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn)．(2)有限樣本空間假如一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．2．事務(wù)類型的推斷(1)隨機(jī)事務(wù)我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事務(wù)，簡稱事務(wù)，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事務(wù)稱為基本領(lǐng)件．隨機(jī)事務(wù)一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事務(wù)A發(fā)生．(2)必定事務(wù)Ω作為自身的子集，包含了全部的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必定事務(wù)．(3)不行能事務(wù)空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為不行能事務(wù)．3．事務(wù)的關(guān)系(1)互斥(互不相容)定義一般地，假如事務(wù)A與事務(wù)B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不行能事務(wù)，即A∩B＝?，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?圖形表示(2)互為對(duì)立定義一般地，假如事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立．事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)記為eq\x\to(A)含義A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示4．事務(wù)的運(yùn)算(1)包含關(guān)系定義一般地，若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，我們就稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或事務(wù)A包含于事務(wù)B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號(hào)表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形假如事務(wù)B包含事務(wù)A，事務(wù)A也包含事務(wù)B，即B?A且A?B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等，記作A＝B(2)并事務(wù)(和事務(wù))定義一般地，事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事務(wù)中的樣本點(diǎn)或者在事務(wù)A中，或者在事務(wù)B中，我們稱這個(gè)事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))含義A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∪B(或A＋B)圖形表示(3)交事務(wù)(積事務(wù))定義一般地，事務(wù)A與事務(wù)B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事務(wù)中的樣本點(diǎn)既在事務(wù)A中，也在事務(wù)B中，我們稱這樣的一個(gè)事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))含義A與B同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B(或AB)圖形表示互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)都是指兩個(gè)事務(wù)的關(guān)系，互斥事務(wù)是不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)，而對(duì)立事務(wù)除要求這兩個(gè)事務(wù)不同時(shí)發(fā)生外，還要求必需有一個(gè)發(fā)生．5．概率的基本性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)隨意的事務(wù)A，都有P(A)≥0．性質(zhì)2：必定事務(wù)的概率為1，不行能事務(wù)的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0．性質(zhì)3：假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性質(zhì)4：假如事務(wù)A與事務(wù)B互為對(duì)立事務(wù)，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性質(zhì)5：假如A?B，那么P(A)≤P(B)．性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事務(wù)，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．1．隨機(jī)事務(wù)A，B互斥與對(duì)立的區(qū)分與聯(lián)系當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B互斥時(shí)，不肯定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B對(duì)立時(shí)，肯定互斥．2．從集合的角度理解互斥事務(wù)和對(duì)立事務(wù)(1)幾個(gè)事務(wù)彼此互斥，是指由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．二、基本技能·思想·活動(dòng)閱歷1．推斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)事務(wù)發(fā)生的頻率與概率是相同的． (×)(2)隨機(jī)事務(wù)和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事． (×)(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (√)(4)兩個(gè)事務(wù)的和事務(wù)發(fā)生是指這兩個(gè)事務(wù)至少有一個(gè)發(fā)生． (√)(5)若A，B為互斥事務(wù)，則P(A)＋P(B)＝1． (×)(6)對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)，互斥事務(wù)不肯定是對(duì)立事務(wù)． (√)2．(2024·莆田期末)一個(gè)不透亮的袋子中裝有8個(gè)紅球，2個(gè)白球，除顏色外，球的大小、質(zhì)地完全相同，采納不放回的方式從中摸出3個(gè)球．下列事務(wù)為不行能事務(wù)的是()A．3個(gè)都是白球B．3個(gè)都是紅球C．至少1個(gè)紅球D．至多2個(gè)白球A解析：由于袋子中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)，摸出的3個(gè)球都是白球是不行能事情，故A選項(xiàng)正確．摸出的3個(gè)球都是紅球是隨機(jī)事務(wù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．摸出的球至少一個(gè)紅球是必定事務(wù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．摸出的球至多2個(gè)白球是必定事務(wù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．3．(2024·煙臺(tái)期末)拋擲一枚質(zhì)地勻稱的正六面體骰子，其六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，視察朝上一面的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事務(wù)A＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“點(diǎn)數(shù)為4”，則A與B的關(guān)系為()A．互斥 B．相等C．互為對(duì)立 D．相互獨(dú)立A解析：事務(wù)A與B不行能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故A與B是互斥事務(wù)．4．(多選題)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形態(tài)相同的小球，從中取出2球，事務(wù)M＝“取出的兩球同色”，N＝“取出的兩球中至少有一個(gè)黃球”，S＝“取出的兩球至少有一個(gè)白球”，T＝“取出的兩球不同色”，H＝“取出的兩球中至多有一個(gè)白球”則()A．M與T互為對(duì)立 B．N與S互斥C．S與H互斥 D．N與H不互斥AD解析：對(duì)于選項(xiàng)A，事務(wù)M＝“取出的兩球同色”，T＝“取出的兩球不同色”，明顯不行能同時(shí)發(fā)生，且也不行能都不發(fā)生，所以M和T是對(duì)立事務(wù)．故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，假如“取出的兩個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)白球和一個(gè)黃球”，則N和S同時(shí)發(fā)生，所以N和S不是互斥事務(wù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，假如“取出的兩個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)白球和一個(gè)黃球”，則S和H同時(shí)發(fā)生，所以S和H不是互斥事務(wù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，假如“取出的兩個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)白球和一個(gè)黃球”，則N和H同時(shí)發(fā)生，所以N和H不是互斥事務(wù)，故D選項(xiàng)正確．5．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為_________．0．45解析：落在[10,40)的頻率為eq\f(2＋3＋4,20)＝0.45．6．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則在先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率，實(shí)質(zhì)上就是其次次摸到白球的概率．因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此所求概率為eq\f(2,5)．考點(diǎn)1隨機(jī)事務(wù)的關(guān)系——基礎(chǔ)性(1)(多選題)(2024·棗莊期末)一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4)，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，每次摸出一個(gè)球．設(shè)事務(wù)R1＝“第一次摸到紅球”，R＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，則()A．R1?R B．R∩G＝?C．R∪G＝M D．M＝eq\x\to(N)BCD解析：由題意知，R＝“兩次都摸到紅球”，R1＝“第一次摸到紅球”，所以R?R1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．因?yàn)镽＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，兩個(gè)事務(wù)沒有公共的基本領(lǐng)件，所以R∩G＝?，故選項(xiàng)B正確．因?yàn)镽＝“兩次都摸到紅球”，G＝“兩次都摸到綠球”，M＝“兩球顏色相同”，故R或G表示摸的兩個(gè)球的顏色相同，所以R∪G＝M，故選項(xiàng)C正確．因?yàn)镸＝“兩球顏色相同”，N＝“兩球顏色不同”，由對(duì)立事務(wù)的定義可知，M＝eq\x\to(N)，故選項(xiàng)D正確．(2)把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”的關(guān)系是()A．既不互斥也不對(duì)立B．既互斥又對(duì)立C．互斥但不對(duì)立D．對(duì)立C解析：把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”的關(guān)系是互斥但不對(duì)立．故選C．推斷互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)的兩種方法(1)定義法：推斷互斥事務(wù)、對(duì)立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個(gè)事務(wù)，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事務(wù)為對(duì)立事務(wù)，對(duì)立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．(2)集合法：①由各個(gè)事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事務(wù)互斥．②事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事務(wù)A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．1．同時(shí)投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事務(wù)是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且“至少有1枚正面朝上”不發(fā)生時(shí)，“2枚都是反面朝上”肯定發(fā)生，故A中的兩個(gè)事務(wù)是對(duì)立事務(wù)．在B中，當(dāng)2枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時(shí)，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故B中的兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)．在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且其中一個(gè)不發(fā)生時(shí)，另一個(gè)有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個(gè)事務(wù)是互斥而不對(duì)立事務(wù)．在D中，當(dāng)2枚硬幣同時(shí)反面朝上時(shí)，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故D中的兩個(gè)事務(wù)不是互斥事務(wù)．故選C．2．口袋里裝有6個(gè)形態(tài)相同的小球，其中紅球1個(gè)，白球2個(gè)，黃球3個(gè)．從中取出兩個(gè)球，事務(wù)A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”．下列推斷中正確的序號(hào)為________．①A與D為對(duì)立事務(wù)；②B與C是互斥事務(wù)；③C與E是對(duì)立事務(wù)；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：明顯A與D是對(duì)立事務(wù)，①正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事務(wù)C與E都發(fā)生，③不正確；C∪E為必定事務(wù)，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點(diǎn)2隨機(jī)事務(wù)的頻率與概率——基礎(chǔ)性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44．(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時(shí)間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5．因?yàn)镻(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1．同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9．因?yàn)镻(B1)＜P(B2)，所以乙應(yīng)選擇L2．1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事務(wù)出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事務(wù)概率的估計(jì)值．頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．2．隨機(jī)事務(wù)概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事務(wù)的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)發(fā)生的頻率會(huì)漸漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．提示：概率的定義是求一個(gè)事務(wù)概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，共投擲了100次，正面朝上的頻數(shù)為51次，則正面朝上的頻率為()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由題意，依據(jù)事務(wù)發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51．2．某學(xué)校共有教職工120人，對(duì)他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教化程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科探討生合計(jì)35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是()A．該校教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60%B．該校教職工具有探討生學(xué)歷的概率超過50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學(xué)歷的概率超過10%D解析：對(duì)于選項(xiàng)A，該校教職工具有本科學(xué)歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，該校教職工具有探討生學(xué)歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有探討生學(xué)歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D．考點(diǎn)3互斥事務(wù)與對(duì)立事務(wù)的概率——綜合性考向1互斥事務(wù)的和事務(wù)某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，支配一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100名顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示．一次購物量(件)1～45～89～1213～1617及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%．(1)求x，y的值．(2)求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘的概率．解：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20．(2)記A：一位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間超過2分鐘；A1：該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為2.5分鐘；A2：該顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間為3分鐘．將頻率視為概率可得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(20,100)＋eq\f(10,100)＝0.3．考向2“至多”“至少”型問題的概率經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345及以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．解：記“無人排隊(duì)等候”為事務(wù)A，“1人排隊(duì)等候”為事務(wù)B，“2人排隊(duì)等候”為事務(wù)C，“3人排隊(duì)等候”為事務(wù)D，“4人排隊(duì)等候”為事務(wù)E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事務(wù)F，則事務(wù)A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事務(wù)G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)(方法一)記“至少3人排隊(duì)等候”為事務(wù)H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．(方法二)記“至少3人排隊(duì)等候”為事務(wù)H，則其對(duì)立事務(wù)為事務(wù)G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．求困難互斥事務(wù)概率的兩種方法(1)干脆法：將所求事務(wù)分解為一些彼此互斥事務(wù)的和，運(yùn)用互斥事務(wù)概率的加法公式計(jì)算．(2)間接法：先求此事務(wù)的對(duì)立事務(wù)，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特殊是“至多”“至少”型題目，用間接法就會(huì)較簡便．提示：應(yīng)用互斥事務(wù)概率的加法公式，肯定要留意首先確定各個(gè)事務(wù)是否彼此互斥，然后求出各事務(wù)發(fā)生的概率，再求和(或差)．間接法體現(xiàn)了“正難則反”的思想方法．考向3與其他學(xué)問的綜合某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉，其中有96%的學(xué)生喜愛足球或游泳，60%的學(xué)生喜愛足球，82%的學(xué)生喜愛游泳，則該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%C解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球”為事務(wù)A，“該中學(xué)學(xué)生喜愛游泳”為事務(wù)B，則“該中學(xué)學(xué)生喜愛足球或游泳”為事務(wù)A＋B，“該中學(xué)學(xué)生既喜愛足球又喜愛游泳”為事務(wù)AB，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46．所以該中學(xué)既喜愛足球又喜愛游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%．故選C．概率綜合問題求解須要明確概率類型，從而選擇相應(yīng)概型公式求解．特殊留意“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義，可利用對(duì)立事務(wù)的概率快速解決．1．拋擲一個(gè)質(zhì)地勻稱的骰子的試驗(yàn)，事務(wù)A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事務(wù)B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事務(wù)A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(5,6)C解析：拋擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種等可能結(jié)果．依題意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,