新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)三十拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(三十)拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)(2)[練基礎(chǔ)]1．設(shè)a為實(shí)數(shù)，則曲線C：x2－eq\f(y2,1－a2)＝1不行能是()A．拋物線B．雙曲線C．圓D．橢圓2．一個(gè)動(dòng)圓與定圓F：(x－3)2＋y2＝4相外切，且與直線l：x＝－1相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()A．y2＝6xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝12x3．設(shè)A，B是拋物線x2＝4y上兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為16，則∠AOB等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為45°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，A在x軸上方，則eq\f(|AF|,|BF|)＝()A．3＋2eq\r(2)B．1＋eq\r(2)C．8D．2eq\r(2)5．(多選)已知拋物線C：y＝eq\f(x2,8)的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，且|AF|＝2y0，則x0等于()A．2B．－2C．－4D．46．已知定點(diǎn)F(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在x軸上，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N，使得|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，則點(diǎn)N的軌跡方程是________．7．已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為拋物線C上在第一象限的點(diǎn)．若M為PF的中點(diǎn)，O為拋物線C的頂點(diǎn)，則直線OM斜率的最大值為________．8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0，2)與焦點(diǎn)F的距離為|MF|＝p.(1)求x0和p的值；(2)直線l：y＝x－1與C相交于A，B兩點(diǎn)，求直線AM，BM的斜率之積．[提實(shí)力]9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，M是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p＝()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．1D．210．(多選)已知點(diǎn)F是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的最小距離為1B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，則|MP|＋|MF|的最小值為eq\f(5,2)C．以MF為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切D．eq\f(1,|MF|)＋eq\f(1,|NF|)＝211．已知直線l是拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線，半徑為eq\f(3,4)的圓過拋物線的頂點(diǎn)O和焦點(diǎn)F，且與l相切，則拋物線C的方程為________；若A為C上一點(diǎn)，l與C的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，在△ABF中，sin∠AFB＝eq\r(2)sin∠ABF，則|AB|的值為________．12．動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(eq\f(1,4)，0)的距離比它到直線l：x＋eq\f(1,2)＝0的距離小eq\f(1,4)，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知圓D：(x－2)2＋y2＝1，設(shè)P，A，B是C上不同的三點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為eq\r(2)，求直線AB的方程．[培優(yōu)生]13.eq\r(4y＋（y－1）2)＋eq\r(（2\r(y)－1）2＋（y－5）2)的最小值為()A．5B．2＋eq\r(17)C．6D．1＋eq\r(26)課時(shí)作業(yè)(三十)拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)(2)1．解析：因?yàn)榍€C的方程中x，y都是二次項(xiàng)，所以依據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，曲線C不行能是拋物線，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)1－a2>0時(shí)，曲線C為雙曲線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)1－a2＝－1時(shí)，曲線C為圓，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)1－a2<0且1－a2≠－1時(shí)，曲線C為橢圓，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：A2．解析：定圓F：(x－3)2＋y2＝4的圓心F(3，0)，半徑為2，設(shè)動(dòng)圓圓心P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，動(dòng)圓的半徑為r，d為動(dòng)圓圓心到直線x＝－1的距離，即r，則依據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，|PF|－2＝r，d＝r，所以eq\r(（x－3）2＋y2)－2＝x＋1，化簡(jiǎn)得：y2＝12x.∴動(dòng)圓圓心軌跡方程為y2＝12x.答案：D3．解析：由|OA|＝|OB|，知拋物線上點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,4)))，a>0.S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,4)＝16，解得a＝4，∴△AOB為等腰直角三角形，∠AOB＝90°.答案：D4．解析：由題意可知F(1，0),所以直線AB的方程為y＝x－1，代入拋物線方程可得x2－6x＋1＝0，解得xA＝3＋2eq\r(2)，xB＝3－2eq\r(2)，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(xA＋1,xB＋1)＝eq\f(4＋2\r(2),4－2\r(2))＝eq\f(2＋\r(2),2－\r(2))＝eq\f(6＋4\r(2),2)＝3＋2eq\r(2).答案：A5．解析：∵拋物線C：y＝eq\f(x2,8)，∴x2＝8y，∴焦點(diǎn)F(0，2)，準(zhǔn)線方程為y＝－2.∵A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，且|AF|＝2y0，由拋物線的定義，得y0＋2＝2y0，∴y0＝2，∴xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝16，∴x0＝±4.答案：CD6．解析：由于|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，則P為MN的中點(diǎn)．設(shè)N(x，y)，則M(－x，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，由eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2)))＝0，所以(－x)·1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))＝0，則y2＝4x，即點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x.答案：y2＝4x7．解析：由題意，可得F(1，0)，設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4)，y0))，(y0>0)，M(x，y)，∵M(jìn)是線段PF的中點(diǎn)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8)，\f(y0,2)))，∴kOM＝eq\f(\f(y0,2),\f(1,2)＋\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),8))＝eq\f(4y0,4＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))＝eq\f(4,\f(4,y0)＋y0)≤eq\f(4,2\r(\f(4,y0))×y0)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)y0＝2時(shí)取等號(hào)，∴直線OM的斜率的最大值為1.答案：18．解析：(1)依題意拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(x0，2)與焦點(diǎn)F的距離為|MF|＝p，依據(jù)拋物線的定義可知x0＝eq\f(p,2)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得22＝2p×eq\f(p,2)?p＝2，x0＝1.(2)由(1)得拋物線方程為y2＝4x，M(1，2)，不妨設(shè)A在B下方eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1,y2＝4x))?A(3－2eq\r(2)，2－2eq\r(2))，B(3＋2eq\r(2)，2＋2eq\r(2))，所以kAM·kBM＝eq\f(－2\r(2),2－2\r(2))·eq\f(2\r(2),2＋2\r(2))＝2.9．解析：如圖所示：準(zhǔn)線l與橫軸的交點(diǎn)為A，由拋物線的性質(zhì)可知：|AF|＝p，因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以|NF|＝2，∠MNF＝eq\f(π,3)，明顯∠ANF＝eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，在直角三角形ANF中，sin∠ANF＝eq\f(|AF|,|NF|)?eq\f(1,2)＝eq\f(|AF|,2)?|AF|＝1?p＝1.答案：C10．解析：如圖：Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且準(zhǔn)線為x＝－eq\f(1,2)，過F的直線交拋物線于M、N，則該直線斜率存在時(shí)不為0，由拋物線性質(zhì)知：|MF|>|OF|＝eq\f(1,2)，即M到焦點(diǎn)F沒有最小距離，A錯(cuò)誤；如圖，MA⊥拋物線準(zhǔn)線，要使|MP|＋|MF|最小，則P，M，A共線，即|MP|＋|MF|＝|PA|＝eq\f(5,2)，B正確；以M為圓心，以MN為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，而以MF為直徑的圓不與拋物線的準(zhǔn)線相切，C錯(cuò)誤；令MN為x＝ky＋eq\f(1,2)，聯(lián)立拋物線可得：y2－2ky－1＝0，則yM＋yN＝2k，yMyN＝－1，∴xM＋xN＝k(yM＋yN)＋1＝2k2＋1，xMxN＝k2yMyN＋eq\f(k,2)(yM＋yN)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).由eq\f(1,|MF|)＋eq\f(1,|NF|)＝eq\f(|NF|＋|MF|,|MF||NF|)＝eq\f(xM＋xN＋1,xM·xN＋\f(1,2)（xM＋xN）＋\f(1,4))＝2，正確．答案：BD11．解析：由題意得：圓的圓心橫坐標(biāo)為eq\f(1,4)p，半徑為eq\f(3,4)，∴eq\f(3,4)p＝eq\f(3,4)?p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x；設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，∵sin∠AFB＝eq\r(2)sin∠ABF，∴|AB|＝eq\r(2)|AF|，∴eq\f(d,|AB|)＝eq\f(\r(2),2)＝cos∠ABF，∴∠ABF＝45°，∴l(xiāng)AB：y＝x＋eq\f(1,2)，代入y2＝2x，解得：xA＝eq\f(1,2)，yA＝1，∴|AF|＝xA＋eq\f(p,2)＝1＝d，∴|AB|＝eq\r(2).答案：y2＝2xeq\r(2)12．解析：(1)由題意得動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))的距離等于到直線x＝－eq\f(1,4)的距離，所以曲線C是以Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))為焦點(diǎn)，x＝－eq\f(1,4)為準(zhǔn)線的拋物線．設(shè)C：y2＝2px(p>0)，則p＝eq\f(1,2)，于是C的方程為y2＝x.(2)由(1)可知P(2，eq\r(2))，設(shè)A(x1，y1)，PA的兩點(diǎn)式方程為(y－y1)(2－x1)＝(x－x1)(eq\r(2)－y1).由x1＝y(tǒng)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，y2≠eq\r(2)，可得PA：x－(y1＋eq\r(2))y＋eq\r(2)y1＝0.因?yàn)镻A與D相切，所以eq\f(|2＋\r(2)y1|,\r(1＋（y1＋\r(2)）2))＝1，整理得yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋2eq\r(2)y1＋1＝0.因?yàn)閥eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝x1，可得x1＋2eq\r(2)y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得x2＋2eq\r(2)y2＋1＝0.于是直線AB的方程為x＋2eq\r