人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：3 2 1 雙曲線及其標準方程

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE13.2雙曲線3.2.1雙曲線及其標準方程課標要求素養(yǎng)要求1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程.2.理解雙曲線標準方程的推導過程，并能運用標準方程解決相關問題.通過推導雙曲線方程的過程，提升邏輯推理素養(yǎng)；通過求解雙曲線的方程，提升數(shù)學運算素養(yǎng).新知探究如圖，取一條拉鏈，打開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在拉鏈的拉手M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線，這條曲線就是雙曲線的其中一支.問題在以上情境中，曲線上的點應滿足怎樣的幾何條件？〖提示〗如題圖，曲線上的點滿足條件：|MF1|－|MF2|＝常數(shù).1.雙曲線的定義當距離之差的絕對值等于|F1F2|時，動點的軌跡就是兩條射線，端點分別是F1，F(xiàn)2，當距離之差的絕對值差大于|F1F2|時，動點的軌跡不存在把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2.雙曲線的標準方程在雙曲線中，a不一定大于b.“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的關系c2＝a2＋b2拓展深化〖微判斷〗1.平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.(×)〖提示〗必須是距離的差的絕對值才表示雙曲線.2.平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線.(×)〖提示〗平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點的軌跡為雙曲線的一支.3.平面內(nèi)到點F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.(×)〖提示〗因為||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故對應的軌跡為兩條射線.〖微訓練〗1.已知雙曲線的焦點為F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，雙曲線上一點P滿足|PF1|－|PF2|＝2，則雙曲線的標準方程是________.〖解析〗由題知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,15)＝1.〖答案〗x2－eq\f(y2,15)＝12.設點P是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是左、右焦點，若|PF1|＝10，則|PF2|＝________.〖解析〗由雙曲線方程，得a＝3，b＝4，c＝5.當點P在雙曲線的左支上時，由雙曲線定義，得|PF2|－|PF1|＝6，所以|PF2|＝|PF1|＋6＝10＋6＝16；當點P在雙曲線的右支上時，由雙曲線定義，得|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.故|PF2|＝4或|PF2|＝16.〖答案〗4或163.已知雙曲線x2－y2＝m與橢圓2x2＋3y2＝72有相同的焦點，則m的值為________.〖解析〗橢圓方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,24)＝1，c2＝a2－b2＝36－24＝12，∴焦點F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0).∵雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m)＝1與橢圓有相同焦點，∴2m＝12，∴m＝6.〖答案〗6〖微思考〗1.雙曲線定義中的“距離的差的絕對值”中的“絕對值”能否去掉？〖提示〗不能去掉.若去掉，就變成雙曲線的一個分支了.2.雙曲線中a，b，c的關系如何？與橢圓中a，b，c的關系有何不同？〖提示〗雙曲線中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a與b的大小關系不確定；而在橢圓中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c與b大小不確定.題型一雙曲線定義的應用〖例1〗(1)若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A.11 B.9C.5 D.3(2)設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,24)＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2|，則△PF1F2的面積等于()A.4eq\r(2) B.8eq\r(3)C.24 D.48〖解析〗(1)由雙曲線的定義，得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(負值舍去)，故選B.(2)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2，,3|PF1|＝4|PF2|，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8，,|PF2|＝6.))又由|F1F2|＝10，可得△PF1F2是直角三角形，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)·|PF1|·|PF2|＝24.〖答案〗(1)B(2)C規(guī)律方法求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意對所求結果進行必要的驗證(負數(shù)應該舍去，且所求距離應該不小于c－a).〖訓練1〗在△ABC中，已知|AB|＝4eq\r(2)，A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)，且內(nèi)角A，B，C滿足sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC，求頂點C的軌跡方程.解由sinB－sinA＝eq\f(1,2)sinC及正弦定理，可得b－a＝eq\f(c,2)，從而有|CA|－|CB|＝eq\f(1,2)|AB|＝2eq\r(2)<|AB|，由雙曲線的定義知，點C的軌跡為雙曲線的右支(除去頂點).∵a＝eq\r(2)，c＝2eq\r(2)，∴b2＝c2－a2＝6，∴頂點C的軌跡方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1(x>eq\r(2)).題型二求雙曲線的標準方程〖例2〗根據(jù)下列條件，分別求雙曲線的標準方程.(1)經(jīng)過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))；(2)c＝eq\r(6)，經(jīng)過點(－5，2)，焦點在x軸上.解(1)法一若焦點在x軸上，則設雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由于點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(15,4)))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,3)，5))在雙曲線上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9,a2)－\f(225,16b2)＝1，,\f(256,9a2)－\f(25,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝－16，,b2＝－9))(舍去).若焦點在y軸上，則設雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，將P，Q兩點坐標代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(225,16a2)－\f(9,b2)＝1，,\f(25,a2)－\f(256,9b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝16，))所以雙曲線的標準方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.綜上，雙曲線的標準方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.法二設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q兩點在雙曲線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m＋\f(225,16)n＝1，,\f(256,9)m＋25n＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,16)，,n＝\f(1,9).))∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1.(2)法一依題意可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝6，,\f(25,a2)－\f(4,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝1，))∴所求雙曲線的標準方程為eq\f(x2,5)－y2＝1.法二∵焦點在x軸上，c＝eq\r(6)，∴設所求雙曲線方程為eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,6－λ)＝1(其中0<λ<6).∵雙曲線經(jīng)過點(－5，2)，∴eq\f(25,λ)－eq\f(4,6－λ)＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求雙曲線的標準方程是eq\f(x2,5)－y2＝1.規(guī)律方法求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設出標準方程，然后求出a，b的值.若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復雜.若雙曲線過兩定點，可設其方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，通過解方程組即可確定m，n，避免了討論，從而簡化求解過程.〖訓練2〗分別求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)兩個焦點的坐標分別是(－5，0)，(5，0)，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8；(2)焦點在x軸上，經(jīng)過點P(4，－2)和點Q(2eq\r(6)，2eq\r(2)).解(1)由雙曲線的定義知，2a＝8，所以a＝4，又知焦點在x軸上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以雙曲線的標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.(2)因為焦點在x軸上，故可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，將點(4，－2)和(2eq\r(6)，2eq\r(2))代入方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(4,b2)＝1，①,\f(24,a2)－\f(8,b2)＝1，②))解得a2＝8，b2＝4，所以雙曲線的標準方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,4)＝1.題型三雙曲線中的焦點三角形問題〖例3〗如圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個焦點.若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|·|PF2|＝32，試求△F1PF2的面積.解雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，故a＝3，b＝4，c＝eq\r(a2＋b2)＝5.將||PF2|－|PF1||＝2a＝6兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(100－100,2×32)＝0，且0°＜∠F1PF2＜180°，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×32＝16.規(guī)律方法在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時，首先要注意定義中的條件||PF1|－|PF2||＝2a的應用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用.〖訓練3〗已知雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積.解由eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.由雙曲線的定義和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)×64×eq\f(\r(3),2)＝16eq\r(3).一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學習，提升邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng).2.雙曲線定義中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了絕對值符號，當2a＝|F1F2|時表示兩條射線.3.在雙曲線的標準方程中，a>b不一定成立.要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別，在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2.4.用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設出標準方程后，由條件列出關于a，b，c的方程組.如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.二、素養(yǎng)訓練1.已知F1(3，3)，F(xiàn)2(－3，3)，動點P滿足|PF1|－|PF2|＝4，則P點的軌跡是()A.雙曲線 B.雙曲線的一支C.不存在 D.一條射線〖解析〗因為|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由雙曲線定義知，P點的軌跡是雙曲線的一支.〖答案〗B2.若橢圓eq\f(x2,34)＋eq\f(y2,n2)＝1和雙曲線eq\f(x2,n2)－eq\f(y2,16)＝1有相同的焦點，