云南省昆明市第九中學(xué)2025屆高三上學(xué)期10月質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題

機(jī)密★啟用前2024-2025學(xué)年上學(xué)期10月質(zhì)量監(jiān)測(cè)高三年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷（全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出后結(jié)合模長(zhǎng)定義即可得.【詳解】，則.故選：A.2.某校高一（4）班學(xué)生47人，寒假參加體育訓(xùn)練，其中足球隊(duì)25人，排球隊(duì)22人，游泳隊(duì)24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，三項(xiàng)都參加的人數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)參加各類活動(dòng)學(xué)生的集合，找出各類運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，然后結(jié)合題意列方程求解即可【詳解】設(shè)參加足球隊(duì)的學(xué)生組成集合，參加排球隊(duì)的學(xué)生組成集合，參加游泳隊(duì)的學(xué)生組成集合，則，，設(shè)三項(xiàng)都參加的人數(shù)為，則，因?yàn)樗杂?，得，解得，即三?xiàng)都參加的人數(shù)為5人，故選：D3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出參數(shù)范圍比較即可.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.4.已知正方形的邊長(zhǎng)為，，，則的值為（）A.6 B.3 C. D.【答案】C【解析】分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法計(jì)算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)，則，，，，，，．故選：C．5.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，因底面邊長(zhǎng)均為，側(cè)棱長(zhǎng)均為，故球心在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，由正弦定理，解得，在中，，則，在中，由，解得，則球的表面積為.故選：B.6.中華人民共和國(guó)體育代表團(tuán)參加夏季奧運(yùn)會(huì)以來(lái)，中國(guó)健兒們不斷取得好成績(jī)，到今天成長(zhǎng)為體育大國(guó)，從2000年以來(lái)，金牌情況統(tǒng)計(jì)如下（不含中國(guó)香港?中國(guó)臺(tái)灣）：中國(guó)體育代表團(tuán)夏季奧運(yùn)會(huì)獲得金牌數(shù)屆數(shù)第27屆第28屆第29屆第30屆第31屆第32屆屆數(shù)代碼123456地點(diǎn)2000年悉尼2004年雅典2008年北京2012年倫敦2016年里約熱內(nèi)盧2021年?yáng)|京金牌數(shù)283248382638根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的線性回歸方程，若不考慮其他因素，根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)第33屆（2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)）中國(guó)體育代表團(tuán)金牌總數(shù)為（）（精確到0.01，金牌數(shù)精確到1，參考數(shù)據(jù)：）；參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：.A.29 B.33 C.37 D.45【答案】C【解析】【分析】先求出，然后由回歸直線的方程公式求出方程，預(yù)測(cè)2024年對(duì)應(yīng)代入回歸方程即可求解.【詳解】，，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為.2024年對(duì)應(yīng)，代入回歸方程得，故選：C.7.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得，進(jìn)而根據(jù)即可代入化簡(jiǎn)得求解.【詳解】解：，要的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，所以，故，又，故，故選：B.8.已知方程，的根分別為，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】得到，，構(gòu)造，故，求導(dǎo)得到其單調(diào)遞增，故，求出.【詳解】由題意得，，令，則，又恒成立，故在R上單調(diào)遞增，故，所以.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A.與垂直 B.與平面C.與所成的角為 D.平面【答案】ABD【解析】【分析】連接，運(yùn)用中位線定理推出，結(jié)合線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分析判斷可得A、B、D正確；再由異面直線所成的角的概念判斷可得C．【詳解】對(duì)A：連接，，則交于，又為中點(diǎn)，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對(duì)B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，可得平面，故B正確；對(duì)C：與所成角就是，連接，由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．10.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是等比數(shù)列，則公比為B.是公比為2的等比數(shù)列C.D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】依題意有，則an中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，可判斷BC選項(xiàng)，若an是等比數(shù)列，求出公比判斷A選項(xiàng)，由已知條件求an的通項(xiàng)判斷D【詳解】數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，得，則，因?yàn)?，則，且.若an是等比數(shù)列，則，故，所以公比，A錯(cuò)誤；由，故，即，故是公比為2的等比數(shù)列，B正確；同理，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，由，則，C正確；由，則，設(shè)為偶數(shù)，則，同理設(shè)為奇數(shù)，則，所以，D正確，故選：BCD.11.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.點(diǎn)在上，則C.點(diǎn)在橢圓上，若，則D.過(guò)作軸的垂線交于兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)“雙紐線”定義即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，根據(jù)“雙紐線”定義得到，再計(jì)算即可判斷B錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確，對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，根據(jù)勾股定理得到，再解方程即可判斷D正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，由定義知，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，點(diǎn)在上，則，化簡(jiǎn)得，所以，，B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以，C正確；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，則，因?yàn)?，則，又，所以，化簡(jiǎn)得，故，所以，故1，所以，故D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且成等比?shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.13.自然常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，大約等于2.71828.某人用“調(diào)日法”找逼近的分?jǐn)?shù)，稱小于2.718281的值為弱值，大于2.718282的值為強(qiáng)值.由，取2為弱值，3為強(qiáng)值，得，故為弱值，與上一次的強(qiáng)值3計(jì)算得，故為弱值，繼續(xù)計(jì)算，，若某次得到的近似值為弱值，與上一次的強(qiáng)值繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為強(qiáng)值，與上一次的弱值繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推，若，則__________.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)題意利用“調(diào)日法”不斷計(jì)算，進(jìn)行歸納推理能求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)闉槿踔?，則與上一次的強(qiáng)值3計(jì)算得為強(qiáng)值，與上一次的弱值計(jì)算得為弱值，與上一次的強(qiáng)值計(jì)算得為強(qiáng)值，與上一次的弱值計(jì)算得，故.故答案為：.14.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，直線的斜率為，則______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓的半徑為且，根據(jù)三角形的面積公式，得到時(shí)，的最大值為，結(jié)合圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】由，可化為，則圓心，設(shè)圓的半徑為且，則，當(dāng)時(shí)，的最大值為，不妨取直線的方程為，因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線的距離為，所以，解得，又由，可得，解得.故答案為：.四．解答題：本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知為邊上一點(diǎn).（1）若為的中點(diǎn)，且，求；（2）若平分，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以CD=12CA+CB，兩邊平方可得，即可解得（2）由平分，則，由，利用三角形的面積公式可求得，進(jìn)而可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】在中，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以CD=12兩邊平方得，則，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠椒郑?，又，所以，解得，所?16.在如圖所示的圓柱中，AB，CD分別是下底面圓O，上底面圓的直徑，AD，BC是圓柱的母線，E為圓O上一點(diǎn)，P為DE上一點(diǎn)，且平面BCE.（1）求證：；（2）若，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先通過(guò)面面平行的判斷證明平面平面，再由面面平行的性質(zhì)證明，即是中位線，由此得到是的中點(diǎn)；（2）設(shè)，通過(guò)勾股定理計(jì)算將到的距離和到平面的距離用表示，根據(jù)二面角的正弦值列方程求出，再代入體積公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，，因?yàn)闉槟妇€，所以,又平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，即.【小問(wèn)2詳解】如下圖，作，，.設(shè)到的距離為，則到的距離為.設(shè)，則有，，，，，因?yàn)椋?因?yàn)槠矫?，所以到平面的距離即是到平面的距離，即.所以，解得.所以.17.已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）如果函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，證明：【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以求出a的值，再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案.（2）將函數(shù)在R上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化成在R上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.（3）由已知可得是的兩個(gè)根，再構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，由的圖象在處的切線方程為，得，，所以.【小問(wèn)2詳解】由函數(shù)在R上是增函數(shù)，得恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則，所以實(shí)數(shù)取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】依題意，函數(shù)，求導(dǎo)得，由是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，得有兩個(gè)不同的實(shí)根，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，不符合要求；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，即函數(shù)在上遞減，在上遞增，，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此要有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以.18.羽毛球比賽采用21分制，比賽規(guī)則如下：一場(chǎng)比賽為三局兩勝制，在一局比賽中，每贏一球得1分，先得21分且至少領(lǐng)先2分者獲勝，該局比賽結(jié)束；當(dāng)比分打成后，以投擲硬幣的方式選擇發(fā)球權(quán)，隨后得分者擁有發(fā)球權(quán)，一方領(lǐng)先2分者獲勝，該局比賽結(jié)束.現(xiàn)有甲?乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)21分制的羽毛球比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立.已知第一局目前比分為.（1）若再打兩個(gè)球，這兩個(gè)球甲得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）假設(shè)一旦兩人比分相等，以投擲硬幣的方式選擇發(fā)球權(quán)，求一局比賽甲獲勝的概率；（3）用估計(jì)每局比賽甲獲勝的概率，求該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）（3）.【解析】【分析】（1）由題意得的所有可取值為，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布列，再用期望公式求出即可；（2）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，由（1）知，，利用全概率公式求解即可；（3）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解.【小問(wèn)1詳解】依題意，所有可取值為.設(shè)打成后甲先發(fā)球?yàn)槭录?，則乙先發(fā)球?yàn)槭录?，所以，?所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則，由（1）知，，由全概率公式得：，即，解得，所以.【小問(wèn)3詳解】.由（2）知，估計(jì)每一局甲獲勝的概率均為，設(shè)甲獲勝時(shí)比賽的總局?jǐn)?shù)為，因?yàn)槊恳痪直荣惖慕Y(jié)果相互獨(dú)立，所以，，故該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率為.19.已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（第一象限），且與直線相交于點(diǎn).①證明：；②設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）①聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證得.②先求得三角形面積的表達(dá)式，然后導(dǎo)