2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練9 導(dǎo)數(shù)與不等式證明（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練9導(dǎo)數(shù)與不等式證明[考情分析]導(dǎo)數(shù)與不等式證明是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，在解答題中一般會(huì)考查函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的綜合運(yùn)用，試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、單變量函數(shù)不等式的證明用導(dǎo)數(shù)證明不等式一般有以下方法(1)構(gòu)造函數(shù)法．(2)由結(jié)論出發(fā)，通過(guò)對(duì)函數(shù)變形，證明不等式．(3)分成兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究．(4)利用圖象的特點(diǎn)證明不等式．(5)利用放縮法證明不等式．二、雙變量函數(shù)不等式的證明破解含雙參不等式的證明的關(guān)鍵：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其值；三是回歸含雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到含參的不等式中，即可證得結(jié)果．一、單選題1．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．2．（21-22高三下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知，都是正整數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)在區(qū)間的極值點(diǎn)分別為，，函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，，則（

）A． B．C． D．4．（2023·重慶萬(wàn)州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，，滿足對(duì)均有，則的取值不可能為（

）A． B． C． D．9三、填空題5．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知的定義域?yàn)镽，若函數(shù)滿足，則稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：①的不動(dòng)點(diǎn)是3；②存在不動(dòng)點(diǎn)；③若函數(shù)為奇函數(shù)，則其存在奇數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；若為偶函數(shù)，則其存在偶數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；④若為周期函數(shù)，則其存在無(wú)數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；⑤若存在不動(dòng)點(diǎn)，則也存在不動(dòng)點(diǎn)，以上結(jié)論正確的序號(hào)是.6．（2021·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若，則的最小值為.四、解答題7．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：.8．（2023·甘肅酒泉·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．參考答案：題號(hào)1234答案AAABDAB1．A【分析】構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得出.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值1即可得出，即可得出答案.【詳解】令，則，令，則恒成立，所以，即在R上單調(diào)遞增.又，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，在上單調(diào)遞減.又，，所以，即，，即，即，所以.令，則，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，且所以存在，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，又，所以；綜上可得，.故選：A.2．A【分析】根據(jù)題意得，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，令，所以，故在上單調(diào)遞增，由已知得，故，因?yàn)椋际钦麛?shù)，即.故選：A.3．ABD【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得，為方程的兩個(gè)根，進(jìn)而可得；選項(xiàng)B：，根據(jù)換元設(shè)得，與解析式相同，進(jìn)而可判斷；選項(xiàng)C：由可判斷；選項(xiàng)D：根據(jù)先求出，根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)而可得.【詳解】選項(xiàng)A：，，故由題意可知，為方程的兩個(gè)根，故，A正確；選項(xiàng)B：，設(shè)，因，則，此時(shí)函數(shù)y=fx可化為，由題意此函數(shù)的極值點(diǎn)分別為，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故，，故，，故B正確；選項(xiàng)C：由解得，，由題意函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，故，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：由A可知，，，因，故，即，故，故D正確，故選：ABD4．AB【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)重合，得出轉(zhuǎn)化單變量的函數(shù)最值問(wèn)題，求導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】條件對(duì)均有恒成立，等價(jià)于，易知，與均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且由，故時(shí)，若要滿足題意，只需兩函數(shù)的零點(diǎn)相同即可，則令，即，則，令，則，，即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，，顯然A、B不可能，C、D可能故選：AB5．①⑤【分析】①直接求解即可判斷；②利用導(dǎo)數(shù)證；③④取特殊函數(shù)進(jìn)行判斷；⑤根據(jù)定義可得：．【詳解】①則，①正確；②構(gòu)建則令則∴在上遞減，在上遞增，則∴即不存在不動(dòng)點(diǎn)，②不正確；③為偶函數(shù)，顯然只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；③不正確；(為奇函數(shù),顯然有無(wú)數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn))④為周期函數(shù)，顯然只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；④不正確；⑤若存在不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為，即∴，則也存在不動(dòng)點(diǎn)，⑤正確．故答案為：①⑤．6．【分析】設(shè)，可得，，從而，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值即可.【詳解】設(shè)，即，，解得，，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以的最小值為.故答案為：.7．(1)答案見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）求導(dǎo)可得，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)單調(diào)性；（2）構(gòu)建，，根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理分析hx的零點(diǎn)和符號(hào)，進(jìn)而可得Fx的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)代換分析證明.【詳解】（1）由題意可得：的定義域?yàn)?,+∞，，當(dāng)時(shí)，則在0,+∞上恒成立，可知在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令f'x>0，解得；令f'x可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)建，則，由可知，構(gòu)建，因?yàn)樵?,+∞上單調(diào)遞增，則hx在0,+且，可知hx在0,+∞上存在唯一零點(diǎn)當(dāng)，則hx<0，即；當(dāng)，則hx>0，即；可知Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，又因?yàn)?，則，，可得，即，所以.8．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式即可得出結(jié)果；（2）求出，可得，化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性即可求得答案.【詳解】（1），曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），則函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．則方程的判別式，且，．．設(shè)，則在上恒成立．故在單調(diào)遞減，從而．因此，的取值范圍是．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知且且且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．3．（21-22高三上·黑龍江哈爾濱·期末）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且則以下正確的是（

）A． B．C． D．5．（2022·廣東茂名·二模）若對(duì)任意的，，且，都有，則m的值可能是（

）A． B． C． D．1三、填空題6．（2021·湖北武漢·三模）當(dāng)x≠0時(shí)，函數(shù)f(x)滿足，寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式f(x)=．7．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題8．（2024·北京石景山·一模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值；(3)當(dāng)時(shí)，求證：．9．（2022·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn).10．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)(1)分析的單調(diào)性和極值；(2)設(shè)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若，且滿足時(shí)，證明：.11．（2023·河南鄭州·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求證：．參考答案：題號(hào)12345答案DDAABDBCD1．D【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得的大小.【詳解】因?yàn)?，故，同理，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)?，故，即，而，故，同理，，，因?yàn)椋?，所?故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下的大小比較問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)代數(shù)式的特征合理構(gòu)建函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，此類問(wèn)題，代數(shù)式變形很關(guān)鍵．2．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)值可比較大小.【詳解】設(shè)，，時(shí)，，為減函數(shù)，時(shí)，，為增函數(shù)，所以，，即.設(shè)，，時(shí)，，為增函數(shù)，時(shí)，，為減函數(shù)，所以，，即，所以.設(shè)，，為增函數(shù)，所以，所以，即.故選：D3．A【分析】根據(jù)題意將原不等式化簡(jiǎn)為，令，可知原不等式等價(jià)于，再令，則原不等式等價(jià)于；再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g(x)單調(diào)性，進(jìn)而可得，由此可知只有當(dāng)時(shí)，即時(shí)才滿足，據(jù)此即可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】∵∴，即

∴，設(shè)，則有，即，∴，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞減；∴，即，要使成立等價(jià)于成立，只有當(dāng)時(shí)，即時(shí)才滿足，∴∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是對(duì)原不等式的變形，將其變形成，再進(jìn)行換元、構(gòu)造輔助函數(shù)，借助函數(shù)的最值和唯一性求解.4．ABD【分析】首先利用因式分解法得，再通過(guò)證明，可知只有一解即：，然后把選項(xiàng)中的代換為并進(jìn)行化簡(jiǎn)可得A正確，C錯(cuò)誤，而BD則需要構(gòu)造為關(guān)于的函數(shù)，利用求導(dǎo)法來(lái)判斷單調(diào)性和最值，從而得證．【詳解】由因式分解可得：，又因?yàn)椋芍?，又由函?shù)，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，可知在上遞減，當(dāng)時(shí)，，可知在上遞增，所以在時(shí)取到最小值為0，有即不等式成立，所以，由可得：，即，對(duì)于選項(xiàng)A，，所以選項(xiàng)A的正確的；對(duì)于選項(xiàng)B，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，由時(shí)，，所以在上遞增，即，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C，與不可能等價(jià)，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；對(duì)于選項(xiàng)D，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，由時(shí)，，所以在上遞增，由時(shí)，，所以在上遞減，所以的最大值是，即，所以選項(xiàng)D是正確的；故選：ABD.5．BCD【分析】將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)遞減區(qū)間即可.【詳解】，且，則，整理得設(shè)，則只需要在上單調(diào)遞減即可，，令，解得，則，所以BCD符合，故選：BCD.6．【分析】先列舉一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式，再證明.【詳解】設(shè)，所以，所以在(0,+∞)單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以所以；設(shè)，所以；故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于這種開放性試題，一般先要根據(jù)已知條件，找到一個(gè)滿足已知條件的函數(shù)解析式，再進(jìn)行證明.7．【分析】可轉(zhuǎn)化為在上，，求導(dǎo)可得的單調(diào)性，將的最小值代入，即得解【詳解】，，使得成立等價(jià)于在上，．易得，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．易知在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：8．(1)(2)見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論和兩種情況求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值；（3）首先根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證明.【詳解】（1），，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2），當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，，得，在區(qū)間小于0，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間大于0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，，，顯然，所以函數(shù)的最大值為，綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為；（3）當(dāng)時(shí)，，即證明不等式，設(shè)，，，設(shè)，，，所以在單調(diào)遞增，并且，，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，使，即，則在區(qū)間，，單調(diào)遞減，在區(qū)間，，單調(diào)遞增，所以的最小值為，由，得，且，所以，所以，即.9．(1)證明過(guò)程見解析(2)證明過(guò)程見解析【分析】（1）令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，并求出其最小值即可證明；（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，利用零點(diǎn)存在性定理可證明在這個(gè)區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)即可證明在上單調(diào)遞減，同理利用零點(diǎn)存在性定理可證明在這個(gè)區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)，即可得證.【詳解】（1）由，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，∵，，∴和在上單調(diào)遞增，∴，，∴當(dāng)時(shí)，，，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即當(dāng)時(shí)，;（2）由已知得，①當(dāng)時(shí)，∵，∴在上單調(diào)遞增，又∵，，∴由零點(diǎn)存在性定理可知在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴，∴在上單調(diào)遞減，又∵，，∴由零點(diǎn)存在性定理可知在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).10．(1)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的極小值為，無(wú)極大值.(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后注意到，進(jìn)而得到，，再驗(yàn)證充分性；（3）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，從而證明不等式.【詳解】（1）函數(shù)，則，令，解得：，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，因此：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極小值為，無(wú)極大值.（2）對(duì)任意的，都有成立，即對(duì)任意的，恒成立，令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即，另一方面：當(dāng)時(shí)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在時(shí)單調(diào)遞增，故；故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（3）記，則，記，，，當(dāng)x∈0,1時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，，為減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)在0,+∞單調(diào)遞減，則為，注意到，不妨，要證，只需證，即證：，即證：，即證：，記，則，記，則，所以在0,1單調(diào)遞增，所以，即，所以在0,1單調(diào)遞減，所以，所以，所以，得證.11．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)判別式討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可知，，，，這樣可將所證明不等式進(jìn)行變形，從而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，設(shè)，令，，當(dāng)時(shí)，即，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，即，，令，得，，若，，，由即，得出.由即，得出.當(dāng)時(shí)，，由即，得出.由即，得出.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)，有，，此時(shí)，要證明，只要證明設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，即證【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，本題第二問(wèn)處理雙變量問(wèn)題，關(guān)鍵是，，，從而為后面的消參，構(gòu)造函數(shù)創(chuàng)造條件.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2022·江蘇·二模）已知實(shí)數(shù)，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·福建福州·模擬預(yù)測(cè)），則（

）A． B．C． D．3．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a，，滿足，則（

）A． B． C． D．5．（2024·河北滄州·一模）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．6．（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有最大值C．若，則D．若，且，則三、填空題7．（2023·浙江溫州·二模）已知函數(shù)，則的最小值是；若關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．（2024·北京西城·三模）已知函數(shù)，下面命題正確的是.①存在，使得；②存在，使得；③存在常數(shù)，使得恒成立；④存在，使得直線與曲線有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn).9．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為.四、解答題10．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))11．（2023·山東濰坊·一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.12．（2024·廣東佛山·二模）已知.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：.參考答案：題號(hào)123456答案DDAABDACACD1．D【分析】化簡(jiǎn)條件后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷不等式【詳解】因?yàn)?，所以，函?shù)在上單調(diào)遞增，且，因?yàn)樗?，所以，即，又，所以，所以，即，綜上，.故選：D2．D【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到，即可判斷、的大小關(guān)系；構(gòu)造函數(shù)判斷與0.1的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷0.1與大小，從而可判斷b、c大?。驹斀狻苛?，，則，所以當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，所以，即，即，即，令，則，在時(shí)，，則為減函數(shù)，∴，即；令，，則，故在為減函數(shù)，∴，即；∴，令，則，即，∴，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常用的不等式：，，，，，.3．A【分析】先得到，再由的單調(diào)性得，進(jìn)而得到，由導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可求解.【詳解】，，易得在上，則在上單調(diào)遞增，又，所以即，，所以，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，即時(shí)，取得最大值．故選：A4．ABD【分析】A、D利用基本不等式即可判斷，注意等號(hào)成立條件；B由，構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；C根據(jù)A、B的分析，應(yīng)用特殊值法判斷.【詳解】A：由，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確；B：由，則且，令且，則，遞減，所以，，即成立，正確；C：當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；D：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，正確.故選：ABD5．AC【分析】構(gòu)造函數(shù)利用奇偶性和單調(diào)性得出，結(jié)合選項(xiàng)逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】由題意有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，，，令，則，即為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；若，則，又，所以.對(duì)于A，，正確.對(duì)于B，若成立，則有，與矛盾，所以B不正確.對(duì)于C，由指數(shù)均值不等式可得，所以，C正確.對(duì)于D，令，，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以，即，D不正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：均值不等式的拓展：（1）對(duì)數(shù)型均值不等式：，其中，；（2）指數(shù)型均值不等式：，其中.6．ACD【分析】根據(jù)fx的解析式直接求解可對(duì)A判斷；利用導(dǎo)數(shù)求最值方法可對(duì)B判斷；結(jié)合給出的已知條件并利用A、B中的結(jié)論可對(duì)C、D判斷求解.【詳解】對(duì)A，由題意知，所以，故A正確；對(duì)B，由題意知fx的定義域?yàn)?，，?dāng)，，當(dāng)，，所以fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，fx取到極小值也是最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，得，又因?yàn)椋?，由B知fx在上單調(diào)遞增，所以，又由A知，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：靈活運(yùn)用已知條件，，并結(jié)合fx的對(duì)稱性和單調(diào)性進(jìn)行求解.7．【分析】第一空，由題意可知，故設(shè)，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，可得的最小值；第二空，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時(shí)的的值，將關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)數(shù)解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】根據(jù)與大小關(guān)系（比較與大小的推理見后附），可知，設(shè)，注意到曲線與曲線恰好交于點(diǎn)，顯然，，作出的大致圖象如圖，

可得的最小值是1，從而的最小值是．由，得．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，，直線過(guò)定點(diǎn)，則，解得，從而．由圖象可知，若關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，則直線與曲線有個(gè)交點(diǎn)，則或，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：；附：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵所在：（1）明確的含義，即；（2）數(shù)形結(jié)合思想，作出函數(shù)的圖象；（3）將關(guān)于的方程有個(gè)實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題.8．①③【分析】①函數(shù)求導(dǎo)，用，令，與同正負(fù).研究正負(fù)即可，用來(lái)研究即可得出答案.；②，即兩點(diǎn)間的斜率正負(fù)問(wèn)題，也就是轉(zhuǎn)化研究?jī)?nèi)的單調(diào)性.求導(dǎo)即可.③用三角函數(shù)的有界性可解.④借助函數(shù)單調(diào)性,數(shù)形結(jié)合可解.【詳解】函數(shù)，定義域.由于知其為偶函數(shù).，令，與同正負(fù)..對(duì)于①，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，則，故存在，，即存在，使得.故①正確.對(duì)于②，與①同理，當(dāng)，，則單調(diào)遞減，則，故，，即，單調(diào)遞減.任意，，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，由于為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，我們只需要考慮即可.令，則，即在上單調(diào)遞減，故，即，故，故存在常數(shù)，使得，故③正確.對(duì)于④，將代入，得，由于為偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，我們只需要考慮即可.由①②知，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增.一直往復(fù)下去.圖象如下.則與不能有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即與不能有無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn).故④錯(cuò)誤.綜上所得，只有①③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)很多性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)與方程，有界性等.綜合性較強(qiáng)，有一定難度，關(guān)鍵是借助導(dǎo)數(shù)來(lái)研究性質(zhì)，需要冷靜分析，認(rèn)真計(jì)算.9．【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，設(shè)，根據(jù)圖像確定的取值范圍，將化成只含有一個(gè)變量的二次函數(shù)，由定區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的性質(zhì)，從而確定的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得極小值為.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，且，函數(shù)的圖像如圖：設(shè)，由題可知，由得，則，則，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)是根據(jù)函數(shù)解析式做出函數(shù)圖像，然后根據(jù)換元的思想，把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，然后就可以輕松求解.10．(1)見解析(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)減區(qū)間；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時(shí)為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時(shí)為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，由得（其中）．且．要證，只需證，即