2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練8 恒成立問(wèn)題與能成立問(wèn)題（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練8恒成立問(wèn)題與能成立問(wèn)題[考情分析]恒成立問(wèn)題(能成立問(wèn)題)多與參數(shù)的取值范圍問(wèn)題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的熱門(mén)題型，難度大，一般為高考題中的壓軸題．【練前疑難講解】一、恒成立問(wèn)題(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的策略①求最值法，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題．②分離參數(shù)法，將參數(shù)分離出來(lái)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍．(2)不等式有解問(wèn)題可類(lèi)比恒成立問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類(lèi)問(wèn)題的差別．(3)判斷含x，lnx，ex的混合式的函數(shù)值的符號(hào)時(shí)，需利用x0＝及ex≥x＋1，lnx≤x－1對(duì)函數(shù)式放縮，有時(shí)可放縮為一個(gè)常量，變形為關(guān)于x的一次式或二次式，再判斷符號(hào)．二、能成立問(wèn)題(1)含參數(shù)的不等式能成立(存在性)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化方法若a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min；若a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.(2)不等式能成立問(wèn)題的解題關(guān)鍵點(diǎn)一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州·二模）已知函數(shù)，，對(duì)任意，，都有不等式成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·安徽馬鞍山·一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．4．（2023·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，點(diǎn)分別在函數(shù)的的圖像上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若關(guān)于的方程在上無(wú)解，則B．存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．若存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則D．若存在滿(mǎn)足，則三、填空題5．（2024·河北·三模）已知對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)，若有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題7．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．8．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：題號(hào)1234答案CCADBCD1．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分離參數(shù)求最值即可.【詳解】不等式等價(jià)于，令，根據(jù)題意對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立問(wèn)題，常用到以下兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.2．C【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)求在上的最小值、在上的最小值，即可得結(jié)果.【詳解】對(duì)任意，，都有不等式成立，，，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，，，，則在上單調(diào)遞增，，，則在上單調(diào)遞減，，，故，綜上，.故選：C3．AD【分析】根據(jù)轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成恒成立，構(gòu)造，求解最值即可.【詳解】，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.4．BCD【分析】根據(jù)給定條件，求出方程在上有解的a范圍判斷A；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由方程有解判斷B；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，建立函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的值域判斷CD作答.【詳解】函數(shù)，對(duì)于A，方程在上有解，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，解得，因此關(guān)于的方程在上無(wú)解，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，依題意，點(diǎn)Q關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即關(guān)于t的方程有解，即有解，此時(shí)，令函數(shù)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，它們的取值集合分別為，因此函數(shù)的值域?yàn)?，又，于是在有解，所以存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即，令，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，，又，恒有，因此，C正確；對(duì)于D，令，由得，顯然，且，，令，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，即有，，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，D正確.故選：BCD5．【分析】將原不等式變形為，設(shè)，通過(guò)求導(dǎo)求的最小值，然后解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，設(shè)，，令，，即在上單調(diào)遞增，令，，即在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.故答案為：.6．【分析】分析的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】，所以是奇函數(shù)，又，在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，有解等價(jià)于，有解，令，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)x趨于時(shí)，趨于，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，；令，則，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足題意，所以a的取值范圍是；故答案為：.7．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.8．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）由已知不等式成立，先分離參數(shù)，結(jié)合成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】（1）因?yàn)?，，令f'(x)=0，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）依題意，存在，使得，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，因此，故的取值范圍為．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·河南·三模）若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．1 D．2．（2021·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)a使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（21-22高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則B．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞減，則D．若在上恒成立，則5．（2021·山東菏澤·一模）對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在(0,+∞)上恒成立，則6．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）若存在正實(shí)數(shù)x，y，使得等式成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a的取值可能是（

）A． B． C． D．2三、填空題7．（2023·河北保定·一模）已知是函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)，且，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的最小值為．8．（2023·河南開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的值為．9．（2023·山西·二模）已知，，且滿(mǎn)足，則．四、解答題10．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.11．（23-24高二上·陜西榆林·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.12．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）（1）已知，求的最大值與最小值；（2）若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：題號(hào)123456答案BABABCACDACD1．B【分析】對(duì)所給不等式進(jìn)行適當(dāng)變形，利用同構(gòu)思想得出對(duì)于任意的恒成立，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)求出不等式右邊的最小值即可求解.【詳解】顯然首先，，令，則，所以在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞增，所以若有成立，則必有，即對(duì)于任意的恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，從而，所以的取值范圍是，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：B.2．A【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個(gè)在直線上方，一個(gè)在直線下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，即可得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個(gè)在直線上方，一個(gè)在直下方，等價(jià)于一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最大值，由，得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，沒(méi)有最小值，由，得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無(wú)最小值，不合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．3．B【分析】題設(shè)中的不等式等價(jià)于，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由有意義可知，.由，得.令，即有.因?yàn)?，所以，令，?wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得.因?yàn)?，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榇嬖?，使得成立，所以只需且，解?故選：.4．ABC【分析】對(duì)于A，由可求出的值，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值，對(duì)于C，由題意可得，可求出的范圍，對(duì)于D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可【詳解】對(duì)于A，由，得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最小值，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以C正確，對(duì)于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調(diào)遞增，所以，所以，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC5．ACD【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性即可得極值，可判斷選項(xiàng)A；由的單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)可判斷選項(xiàng)B；利用得單調(diào)性以及函數(shù)值與的關(guān)系可判斷選項(xiàng)C；分離可得，計(jì)算的最大值可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，，令可得，令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，故選項(xiàng)A正確對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然，在單調(diào)遞減，可得，因?yàn)?，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意知：在(0,+∞)上恒成立，令則，因?yàn)橐字?dāng)時(shí).，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的步驟：①寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)，代入解析式即可得極值.6．ACD【分析】，即，令，則，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，從而可得出答案.【詳解】解：由題意，不等于，由，得，令，則，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單詞遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，即，解得或.故.故選：ACD.7．1【分析】（1）首先根據(jù)條件等式，變形得到函數(shù)，再變形得到，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)得到，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域，即可求的取值范圍.【詳解】在中，，∴，∴∴（c為常數(shù)），由，解得：，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，整理可得：，設(shè)，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)即存在，使，設(shè)，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，所以，故m最小值為1,故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)，不等式的綜合問(wèn)題，本題的關(guān)鍵一是利用導(dǎo)數(shù)的等式，通過(guò)構(gòu)造得到函數(shù)的解析式，關(guān)鍵二是利用同構(gòu)得到等式，再構(gòu)造函數(shù)求得，參變分離后即可求解.8．【分析】將原不等式變?yōu)?，利用換元法令和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．顯然，令，則，且，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以對(duì)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)，解得．故答案為：9．【分析】原式等價(jià)于.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，?gòu)造，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，也是最大值，所以.由題意可知，，所以，.因?yàn)?，所以，，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：同構(gòu)變形后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得出結(jié)論.10．(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類(lèi)討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；（2）將不等式變形為，令，對(duì)求導(dǎo)，再令，由的單調(diào)性判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性，求出的最大值即可求出的取值范圍.【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)椋?/p>

，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，令，，故方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別為，，且，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由可得，即，設(shè)，，則，設(shè)，，因?yàn)?，則在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，所以，即的取值范圍為.11．(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類(lèi)討論即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用二次導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的最值情況，證得，從而得證.【詳解】（1）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：恒成立問(wèn)題：（1）恒成立；恒成立．（2）恒成立；恒成立．（3）恒成立；恒成立；（4），，．12．（1）最大值，最小值1；（2）【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較大小即可求解最值；（2）解法一：把不等式化為，由的單調(diào)性結(jié)合端點(diǎn)函數(shù)值分析求解即可；解法二：令，求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得a的范圍，結(jié)合gx>0有唯一整數(shù)解，進(jìn)一步求出a的取值范圍【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，令，解得，f'x，的變化情況如下表所示．x1f+0單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值，也是的最大值.又因?yàn)?，，而，所以，所以為的最小?（2）解法一：因?yàn)?，所以不等式可化為，由?）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)榈淖畲笾?，，，，，所以，時(shí)，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以a的取值范圍為.解法二：令，由題意可知gx>0，當(dāng)時(shí)，，所以在0,+∞單調(diào)遞增，而，所以，與題意矛盾；當(dāng)時(shí)，由可得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時(shí)，取最大值為，由題意可知，解得，因?yàn)?，所以?dāng)即時(shí)，由gx>0有唯一整數(shù)解知，解得，若，由在單調(diào)遞增知，矛盾所以，由在單調(diào)遞減可知，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，，，由在單調(diào)遞減可知，，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍為.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)最大值為（

）A． B．4 C． D．82．（2024·湖南·一模）若不等式對(duì)恒成立，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2025·廣東·一模）已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)，且當(dāng)x>0時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減C．若，則D．若是在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，則5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，恒成立，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．C．恒成立 D．的最大值為6．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知，當(dāng)時(shí)，存在b，，使得成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題7．（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.8．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為：．9．（22-23高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．四、解答題10．（2024·福建廈門(mén)·二模）若，都存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，則稱(chēng)函數(shù)存在“源數(shù)列”.已知.(1)證明：存在源數(shù)列；(2)（?。┤艉愠闪?，求的取值范圍；（ⅱ）記的源數(shù)列為，證明：前項(xiàng)和.11．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù).(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)求證：（）.12．（2023·北京海淀·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在，使得，求a的取值范圍．參考答案：題號(hào)123456答案BAAACDACDABC1．B【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，根據(jù)題意易于分離參數(shù)得，再利用切線放縮化簡(jiǎn)求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，由，?令令，則在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以即，由，得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，此時(shí)，由與圖象可知使，此時(shí).所以，即有最大值為4.故選：B.2．A【分析】先討論的范圍，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，根據(jù)最小值大于等于0可得，然后將二元化一元，令，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.【詳解】令，即，當(dāng)時(shí)，由函數(shù)與的圖象可知，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，記為，則當(dāng)時(shí)，，即，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'x>0，所以時(shí)，有最小值，又對(duì)恒成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題屬于恒成立問(wèn)題，難點(diǎn)在于將恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，以及利用的不等關(guān)系將二元化一元，此處應(yīng)注意保證任何時(shí)候都能取到等號(hào).3．A【分析】將由不等式轉(zhuǎn)化為，令，得到，令函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，得到且，即可求解.【詳解】由不等式，即，令，即有，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，令，?wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因?yàn)?，令，可得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，若存在，使得成立，只需且，解得，因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)或；②，構(gòu)造函數(shù)或；③，構(gòu)造函數(shù)或.4．ACD【分析】選項(xiàng)，令x=0，可求；選項(xiàng)，對(duì)兩邊求導(dǎo)，結(jié)合得，，可判斷單調(diào)性；C選項(xiàng)，的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，利用函數(shù)單調(diào)性，證明不等式；D選項(xiàng)，證明，利用函數(shù)單調(diào)性，證明且，可得結(jié)論.【詳解】選項(xiàng)，令x=0，則有，所以，故正確.選項(xiàng)，對(duì)兩邊求導(dǎo)，得，所以，代入，得當(dāng)x>0時(shí)，，所以.又因?yàn)?，所以?因此，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.故錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，對(duì)的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，顯然有；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.令，又因?yàn)?，所以，因?因?yàn)?，由的單調(diào)性得，.故C正確.選項(xiàng)，因?yàn)?，所?先證，即證，即，只需證，即證.事實(shí)上，，因此得證.此時(shí)有.因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，又，所?綜上，，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.5．ACD【分析】構(gòu)造，則原命題等價(jià)為，恒成立.由導(dǎo)數(shù)法判斷，可求得為最小值點(diǎn)，即有a與b的關(guān)系.對(duì)A，由a與b的關(guān)系求范圍；對(duì)B，由a與b的關(guān)系直接判斷；對(duì)CD，由a與b的關(guān)系化簡(jiǎn)式子，結(jié)合導(dǎo)數(shù)法求最值判斷.【詳解】對(duì)B，令，則，恒成立等價(jià)為，恒成立.單調(diào)遞增，由，且，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.又，∴，B錯(cuò)；對(duì)A，，，A對(duì)；對(duì)C，，令，由.故，單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增.故，C對(duì)；對(duì)D，，令，由.故，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.故，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】含指對(duì)數(shù)式不等式恒成立問(wèn)題，一般需構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性及最值，結(jié)合命題，從而得到相關(guān)結(jié)論6．ABC【分析】對(duì)A，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，再設(shè)，利用其單調(diào)性得到，然后對(duì)分類(lèi)討論即可；對(duì)B，計(jì)算出在時(shí)的切線方程即可得到，即可得到的范圍，對(duì)于C,D，代入得，則可確定和的范圍，【詳解】對(duì)A，由,令,所以,令,其對(duì)稱(chēng)軸為,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),即時(shí),,則函數(shù)單調(diào)遞增,所以.當(dāng)時(shí),即時(shí),存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)單調(diào)遞減,所以0,與矛盾,綜上,，A正確;對(duì)B，由可得與在上存在分隔直線,，，，，，，則在處的切線方程分別為:,所以,可得,故B正確;對(duì)C，取得,所以,得,故C正確,對(duì)D，由C知，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題A選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，對(duì)B關(guān)鍵是得到在處的切線方程的斜率，從而得到不等式，對(duì)C和D通過(guò)代入得到，即可進(jìn)行判斷.7．【分析】原不等式變形轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究，可得，再分離參數(shù)即可得解.【詳解】原不等式，構(gòu)造函數(shù)，則，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，若，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒不成立，故，所以，所以成立，只需成立即可，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的觀察，同構(gòu)出函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)大致變化情況，再由對(duì)的分類(lèi)討論確定，且能得出，即可脫去“”，轉(zhuǎn)化為恒成立，分參即可得解.8．【分析】將不等式化簡(jiǎn)后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解【詳解】，∴，構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增，故等價(jià)于，即任意的實(shí)數(shù)恒成立，．令，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，得．故答案為：9．【分析】令，求導(dǎo)計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，題目轉(zhuǎn)化為，計(jì)算，得到，計(jì)算得到答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，原不等式等價(jià)于或（不存在整數(shù)解），有且只有一個(gè)整數(shù)解，，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性，將題目轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.10．(1)證明見(jiàn)解析(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，根據(jù)數(shù)列的新定義，即可證明結(jié)論；（2）（i）由恒成立，可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，即可求得答案；（ii）由（i）可得，從而由，推得，可得到，繼而可利用放縮法以及裂項(xiàng)求和法，證明不等式.【詳解】（1）由，得，即在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)且x無(wú)限趨近于0時(shí)，趨向于正無(wú)窮大，即的值域?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減，對(duì)于可以取到任意正整數(shù)，且在上都有存在唯一自變量與之對(duì)應(yīng)，故對(duì)于，令，其在上