2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)精練3 聚焦熱點(diǎn)情境弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化（真題精練+模擬精練）原卷版

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練3聚焦熱點(diǎn)情境，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化【模擬精練】一、單選題1．（23-24高一上·山東青島·期中）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒(méi)有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（

）A．對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒(méi)有正整數(shù)解B．對(duì)任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國(guó)際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥纾f(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來(lái)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．3．（2024·重慶·一模）英國(guó)著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)用無(wú)限連加式來(lái)表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開(kāi)式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．4．（2024·寧夏·一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖，若正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．5．（2023·湖北武漢·二模）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問(wèn)題．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．376．（2024·陜西西安·一模）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．60 B．61 C．75 D．767．（2024·黑龍江·二模）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語(yǔ)言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如，可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為的圓柱與半徑為的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為，高為的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用平行于半球底面的平面去截半徑為的半球，且球心到平面的距離為，則平面與半球底面之間的幾何體的體積是（

）A． B． C． D．8．（22-23高三上·江西撫州·期中）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，若以原點(diǎn)為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．（2024·遼寧沈陽(yáng)·二模）我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個(gè)陽(yáng)爻”．則（

）A． B． C． D．10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題11．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（與互質(zhì)），則（）A．若n為質(zhì)數(shù)，則 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列的最大值為1 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列12．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）由倍角公式可知，可以表示為的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（

）A． B．C． D．13．（2024·江西宜春·三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A，B之間的距離為a（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到A，B的距離之比為常數(shù)（，且），則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)M滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，MO始終平分14．（22-23高三上·山東濰坊·期中）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大利數(shù)學(xué)家列昂納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”,在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列滿足:,.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇數(shù)C． D．被4除的余數(shù)為015．（22-23高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，定義的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù).下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．16．（2023·遼寧·三模）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說(shuō)法正確的是（

）A．四棱錐為“陽(yáng)馬”B．四面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為C．四棱錐體積最大值為D．四面體為“鱉臑”17．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對(duì)稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國(guó)結(jié).中國(guó)結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3D．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18．