2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第10講　同構(gòu)函數(shù)問題原卷版

第10講同構(gòu)函數(shù)問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】雙變量同構(gòu)問題 2【考點(diǎn)二】指對(duì)同構(gòu)問題 4【專題精練】 5考情分析：同構(gòu)函數(shù)問題，是近幾年高考的熱點(diǎn)問題，考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新思維．同構(gòu)函數(shù)問題是指在不等式、方程、函數(shù)中，通過等價(jià)變形形成相同形式，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題，常見的同構(gòu)有雙變量同構(gòu)和指對(duì)同構(gòu)，一般都是壓軸題，難度較大．真題自測(cè)真題自測(cè)一、填空題1．（2023·湖北武漢·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，P，Q分別是函數(shù)和圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)任意，有恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為．二、解答題2．（2022·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過點(diǎn)．證明：（?。┤簦瑒t；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】雙變量同構(gòu)問題一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·一模）若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值為（

）A． B．C． D．2．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b滿足，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則ab的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（22-23高三上·廣東·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像連續(xù)不間斷，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞增C．若，則D．若是在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，則4．（23-24高二上·重慶·期末）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)存在兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為D．當(dāng)時(shí)，若，則的最小值為三、填空題5．（2023·福建三明·三模）已知不等式恒成立，其中，則的最大值為.6．（2023·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；若，則的最大值為．四、解答題7．（2023·北京通州·三模）已知函數(shù)(1)已知f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知f（x）在定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)已知有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍并證明.8．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┮阎瘮?shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．規(guī)律方法：含有地位相等的兩個(gè)變量的不等式(方程)，關(guān)鍵在于對(duì)不等式(方程)兩邊變形或先放縮再變形，使不等式(方程)兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【考點(diǎn)二】指對(duì)同構(gòu)問題一、單選題1．（2023·湖北武漢·三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·河北·期末）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高三上·河南·期中）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知,若,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2023·湖南郴州·三模）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.6．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．四、解答題7．（23-24高三上·陜西漢中·期中）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若，求函數(shù)的最小值；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.8．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)），若，求a的取值范圍.規(guī)律方法：指對(duì)同構(gòu)的常用形式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：aea≤lnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex；②同右構(gòu)造形式：ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnx；③取對(duì)構(gòu)造形式：a＋lna≤lnb＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnb))(b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋lnx.(2)商型：eq\f(ea,a)≤eq\f(b,lnb)，一般有三種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：eq\f(ea,a)≤eq\f(elnb,lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)；②同右構(gòu)造形式：eq\f(ea,lnea)≤eq\f(b,lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)；③取對(duì)構(gòu)造形式：a－lna≤lnb－ln(lnb)(b>1)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x－lnx.(3)和、差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構(gòu)方式：①同左構(gòu)造形式：ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x；②同右構(gòu)造形式：ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx.專題精練專題精練一、單選題1．（21-22高二下·陜西西安·期末）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，對(duì)于任意的、，當(dāng)時(shí)，總有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則＝（

）A． B．－ C． D．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若方程在上有實(shí)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（21-22高三上·福建三明·期末）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則（

）A．a(chǎn)的取值范圍為（－∞，1） B．C． D．6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，，，，則（

）A． B． C． D．7．（22-23高三下·浙江杭州·開學(xué)考試）直線與函數(shù)的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右四個(gè)交點(diǎn)分別為，它們的橫坐標(biāo)依次是，則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B．C． D．存在使得A點(diǎn)處切線與點(diǎn)處切線垂直8．（22-23高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，恒成立C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)D．若是關(guān)于x的方程的2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則三、填空題9．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為．10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若存在正數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．（2023·安徽安慶·二模）已知函數(shù)，其中，若不等式對(duì)任意恒成立，則的最小值為.12．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）若實(shí)數(shù)t是方程的根，則的值為.四、解答題13．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，且，證明：.14．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，