2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列 第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列原卷版

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 3【考點(diǎn)二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 4【考點(diǎn)三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明 6【專題精練】 7考情分析：1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．155．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．6．（2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．408．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．二、填空題9．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.10．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算核心梳理：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))一、單選題1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個(gè)人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請(qǐng)馬上告訴我，半個(gè)月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個(gè)問題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（

）A．413 B．427 C．308 D．1332．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（22-23高二下·河南信陽·階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，則成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．當(dāng)時(shí)，最大值為4．（23-24高三上·河南·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(為常數(shù))，則（

）A． B．的公比為2 C． D．三、填空題5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則.6．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項(xiàng)a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項(xiàng)和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．【考點(diǎn)二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)核心梳理：1．通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對(duì)于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對(duì)于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對(duì)于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對(duì)于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時(shí)除外)．(2)對(duì)于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.一、單選題1．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．252．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時(shí)光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（

）A．31 B．32 C．63 D．64二、多選題3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若存在，，，使得，則（

）A．B．是數(shù)列的公比C．?dāng)?shù)列可能為等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列不可能為常數(shù)列4．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項(xiàng)為三、填空題5．（2024·上海閔行·三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則.6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差數(shù)列中，為前項(xiàng)和，，則.規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．【考點(diǎn)三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明核心梳理：等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中項(xiàng)法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．一、解答題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（22-23高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且為正項(xiàng)等比數(shù)列，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．（23-24高三上·山西太原·期末）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?(1)求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋╥）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.規(guī)律方法：(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·三模）設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．20 B．16 C．14 D．124．（2023·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·江蘇南通·二模）若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．6．（2024·廣東廣州·一模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·廣西南寧·期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為（

）A．10 B．18 C．36 D．408．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若對(duì)任意的，都有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·甘肅金昌·期中）若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．B．是數(shù)列中的項(xiàng)C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減D．?dāng)?shù)列前7項(xiàng)和最大10．（2023·山東德州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，的最大值為C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項(xiàng)、公差均相同D．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和為，最大11．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列中，，，若，，則（

）A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值三、填空題12．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則．13．（2024·安徽淮北·一模）正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為.14．（23-24高二上·廣東潮州·期末）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則實(shí)數(shù)．四、解答題15．（2023·四川南充·一模）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項(xiàng)．(1)求an(2)若數(shù)列的公比,設(shè)數(shù)列bn滿足,求bn的前2023項(xiàng)和．16．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知數(shù)列a