2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第4講　范圍、最值問題解析版

第4講范圍、最值問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)一】范圍、最值問題 8【專題精練】 21考情分析：1.圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常見的熱點(diǎn)題型有范圍、最值問題，定點(diǎn)、定直線、定值問題及探索性問題.2.以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．真題自測真題自測一、解答題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)若離心率時(shí)，求的值．(2)若為等腰三角形時(shí)，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)連接并延長，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．2．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請說明理由．3．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．參考答案：1．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)離心率公式計(jì)算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再代入計(jì)算向量數(shù)量積的等式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意得，則，．（2）當(dāng)時(shí)，雙曲線，其中，，因?yàn)闉榈妊切?，則①當(dāng)以為底時(shí)，顯然點(diǎn)在直線上，這與點(diǎn)在第一象限矛盾，故舍去；②當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，則,聯(lián)立解得或或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質(zhì)知，矛盾，舍去）；③當(dāng)以為底時(shí)，，設(shè)，其中，則有，解得，即．綜上所述：.（3）由題知，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意，則，則設(shè)直線，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)延長線交雙曲線于點(diǎn)，根據(jù)雙曲線對稱性知，聯(lián)立有，顯然二次項(xiàng)系數(shù)，其中，①，②，

，則，因?yàn)樵谥本€上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因?yàn)?，則，綜上知，，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，為了方便運(yùn)算可設(shè)，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再寫出相關(guān)向量，代入計(jì)算，要注意排除聯(lián)立后的方程得二次項(xiàng)系數(shù)不為0.2．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解?若過點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).3．(1)(2)【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因?yàn)?，解得：．?）因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因?yàn)椋?，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當(dāng)時(shí)，的面積．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.4．(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡可得，由柯西不等式即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最大值是.（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算，第一問利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問思路簡單，運(yùn)算量較大，求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值，對學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】范圍、最值問題一、單選題1．（2023·河南周口·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q是C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2二、多選題3．（2024·貴州貴陽·三模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，斜率為正的漸近線為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，若，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的共軛雙曲線方程為C．當(dāng)點(diǎn)位于雙曲線右支時(shí)，D．點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為4．（23-24高三上·山東德州·期末）雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（

）A．平面上點(diǎn)的最小值為B．直線的方程為C．過點(diǎn)作，垂足為，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）D．四邊形面積的最小值為4三、填空題5．（2022高三·全國·專題練習(xí)）拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離是．6．（22-23高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，且滿足，設(shè)弦的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d，則的最小值為．四、解答題7．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知橢圓的兩焦點(diǎn)，且橢圓過.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設(shè)，的面積分別為，求的取值范圍8．（21-22高二上·上海長寧·期末）已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，它的兩條漸近線分別為和.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)雙曲線C的左?右焦點(diǎn)分別為?，過左焦點(diǎn)作直線l交雙曲線的左支于A?B兩點(diǎn)，求周長的取值范圍.9．（2022·上海徐匯·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線K，P是曲線K上一點(diǎn)．(1)求曲線K的方程；(2)過點(diǎn)A且斜率為k的直線l與曲線K交于B、C兩點(diǎn)，若且直線OP與直線交于Q點(diǎn)．求的值；(3)若點(diǎn)D、E在y軸上，的內(nèi)切圓的方程為，求面積的最小值．參考答案：題號1234答案CAACDABD1．C【分析】由對稱性和橢圓定義得到，從而表達(dá)出，并計(jì)算出，從而得到最值，求出答案.【詳解】由對稱性和橢圓定義可知，其中，故，不妨設(shè)，，，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為4，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為64，故，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為51，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：C2．A【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，而，所以?dāng)時(shí)，的最大值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡單幾何性質(zhì)，由兩點(diǎn)間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯(cuò)點(diǎn)是容易誤認(rèn)為短軸的相對端點(diǎn)是橢圓上到上定點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者認(rèn)為是橢圓的長軸的端點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)距離最大，這些認(rèn)識是錯(cuò)誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個(gè)閉區(qū)間，而不是全體實(shí)數(shù)上求最值.．3．ACD【分析】利用三角形面積公式得，再利用余弦定理得，則解出雙曲線方程，再利用離心率定義和共軛雙曲線方程的含義即可判斷AB；對C，計(jì)算得，再根據(jù)的范圍即可判斷；對D，，利用點(diǎn)到直線的距離公式并結(jié)合點(diǎn)雙曲線上化簡即可.【詳解】如圖，因?yàn)椋?，，則，所以，又，在中，，化簡得，所以，雙曲線方程為，對于A，雙曲線的離心率為，A正確；對于B，雙曲線的共軛雙曲線方程為，B錯(cuò)誤；對于C，，因?yàn)椋瑒t，即，C正確；對于D，漸近線方程為，設(shè)，點(diǎn)到兩漸近線的距離之積為，D正確，故選：ACD.4．ABD【分析】對A，利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為可得解；對B，設(shè)出直線的方程為與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)化簡運(yùn)算得解；對C，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點(diǎn)，則垂直平分，即，為的中點(diǎn)，進(jìn)而得得解；對D，求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，結(jié)合基本不等式可求解.【詳解】對于A，由雙曲線定義得，且，則，所以的最小值為.故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，化簡整理得，解得，可得直線的方程為，即，故B正確；對于C，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點(diǎn)，則垂直平分，即，為的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，由直線的方程為，令，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以四邊形面積的最小值為4，故D項(xiàng)正確.故選：ABD..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：C項(xiàng)中，結(jié)合已知給出的雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即可推出垂直平分，.5．【分析】設(shè)出拋物線上的點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解作答.【詳解】設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以所求最短距離為.故答案為：6．1【分析】設(shè),利用余弦定理表示出，利用拋物線定義結(jié)合梯形中位線性質(zhì)表示出，從而可得的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式化簡，可求得答案.【詳解】由拋物線可得準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由余弦定理可得,由拋物線定義可得P到準(zhǔn)線的距離等于，Q到準(zhǔn)線的距離等于，M為的中點(diǎn)，由梯形的中位線定理可得M到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，故，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為1，故答案為：1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，涉及到余弦定理和拋物線定義以及基本不等式等，解答的關(guān)鍵是利用拋物線的定義表示出弦的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合余弦定理表示出的表達(dá)式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值問題.7．(1)(2)【分析】（1）由題意可得：，求解即可；（2）先確定直線的斜率必不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，結(jié)合題意可得直線恒過軸上一定點(diǎn).從而可求得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）依題意，，設(shè)，直線斜率為.若直線的斜率為0，則點(diǎn)關(guān)于軸對稱，必有，不合題意.所以直線的斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得，所以，且因?yàn)镸x1,所以，則，即.因?yàn)樗?，此時(shí)，故直線恒過軸上一定點(diǎn).因此，所以，令，當(dāng)即時(shí)，取得最大值..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.8．(1)(2)【分析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，代入坐標(biāo)可得答案；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得A?B的坐標(biāo)及的周長；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，的周長利用韋達(dá)定理得到，設(shè)，根據(jù)的范圍可得答案.【詳解】（1）設(shè)雙曲線C的方程為，代入點(diǎn)，得，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）雙曲線C的左焦點(diǎn)為，設(shè)?，①若直線l的斜率不存在，則，得A?B的坐標(biāo)分別為和，此時(shí)的周長為.②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由得，因?yàn)橹本€l交雙曲線的左支于A?B兩點(diǎn)，所以，得設(shè)的周長為z，，設(shè)，由，得，，，所以，綜上，由①②可得的周長的取值范圍.9．(1)(2)(3)8【分析】（1）由題意動(dòng)圓的軌跡滿足拋物線的定義，所以得出拋物線的軌跡方程即可，（2）聯(lián)立直線l與拋物線，求出的值，又，設(shè)出OP的方程，再聯(lián)立拋物線求出的值，再求出，得出的值；（3）由于D、E在y軸上，設(shè)出D、E坐標(biāo)，并求出，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的高，再求面積的最小值即可．【詳解】（1）由題意可知圓心到的距離等于到直線的距離，由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為，（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，

設(shè)，∴,又，∴∵，∴設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，消y得，∴，∴，∴，令，則，∴，∴，∴，故的值為，（3）設(shè)，直線PD的方程為，又圓心到PD的距離為1，即，整理得，同理可得，所以，可知b，c是方程的兩根，所以，，

依題意，即，則，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取等號，所以面積的最小值為8．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．規(guī)律方法：求解范圍、最值問題的常見方法(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系．(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系．(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式．(4)利用基本不等式．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離最小值為（

）A． B．5 C． D．3．（22-23高三上·河北石家莊·期末）已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別是，，左右頂點(diǎn)分別是，，離心率為2，點(diǎn)P在上，若直線，的斜率之和為，的面積為，則（

）A．1 B． C． D．24．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．5．（22-23高二下·湖北荊州·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．6．（23-24高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知拋物線C：，點(diǎn)M在C上，直線l：與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若面積的最小值為，則（

）A．44 B．4 C．4或44 D．1或47．（22-23高二上·北京延慶·期末）已知點(diǎn)P在拋物線上，且，則的最小值為（

）．A．2 B． C．3 D．48．（2023·山東日照·一模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線：上，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國·模擬預(yù)測）過橢圓的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．周長的最小值為18B．四邊形可能為矩形C．若直線PA斜率的取值范圍是，則直線PB斜率的取值范圍是D．的最小值為-110．（22-23高二上·山東濟(jì)寧·期末）已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與該雙曲線相交于兩點(diǎn)（其中在第一象限），連接，下列說法中正確的是（

）A．的取值范圍是B．若，則C．若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為D．若雙曲線的右支上存在點(diǎn)，滿足三點(diǎn)共線，則的取值范圍是11．（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）已知拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與軸交于點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．是定值C．是定值 D．三、填空題12．（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為.13．（21-22高二上·浙江嘉興·期末）已知橢圓，雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且與橢圓在四個(gè)象限的交點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最大值是.14．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題15．（22-23高三上·天津南開·期末）已知橢圓C：的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)若A、B兩點(diǎn)在橢圓C上，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且滿足，（i）求的取值范圍；（ii）求的面積.16．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，圓Γ的圓心P在y軸上（不與重合），且與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)．已知．(1)求Ω的離心率；(2)若Ω的右焦點(diǎn)為，且圓Γ過點(diǎn)F，求的取值范圍．17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上僅存在個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，且面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的左側(cè)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、.求的取值范圍.18．（2024·湖北·一模）已知雙曲線經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)的離心率分別為，且．(1)求的方程；(2)設(shè)為上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)分別為，記直線的斜率為，當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（23-24高三上·山東臨沂·開學(xué)考試）已知拋物線，為E上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)P到E的準(zhǔn)線的距離為5．(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為E的焦點(diǎn)，A，B為E上異于P的兩點(diǎn)，且直線與斜率乘積為．（i）證明：直線過定點(diǎn)；（ii）求的最小值．參考答案：題號12345678910答案DDADBBAAACABD題號11答案ABD1．D【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將的坐標(biāo)代入方程中，相減，構(gòu)造出直線，的斜率，相乘轉(zhuǎn)化只含有的表達(dá)式，再根據(jù)的關(guān)系以及橢圓的離心率的取值范圍是建立不等式，求出直線，斜率之積的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以且，由題意知：，兩式相減得：，即，又，由橢圓的離心率的取值范圍是，即，所以，即，故選：D.2．D【分析】由題意設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)P到直線的距離，結(jié)合輔助角公式化簡即可求得答案.【詳解】由題意點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)P到直線的距離為，其中，當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：D3．A【分析】根據(jù)離心率公式結(jié)合的面積為，可得，再利用列方程求解即可.【詳解】①②所以故③由①②③，得，解得故選：A.4．D【分析】設(shè)在右支上，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得、且，由已知雙曲線有，結(jié)合的范圍求范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由雙曲線的對稱性，假設(shè)在右支上，即，由到的距離為，而，所以，綜上，，同理，則，對于雙曲線，有且，所以，而，即.故選：D5．B【分析】由拋物線定義及勾股定理得到，，由基本不等式求出最值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線于點(diǎn)，，由拋物線定義可知，由梯形中位線可知，

因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，故，的最小值為.故選：B6．B【分析】為定值，設(shè)則可將面積表示為以為自變量的二次函數(shù)，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可將面積的最小值用表示出來，因?yàn)槊娣e的最小值為，解方程可以求出的值.【詳解】不妨設(shè)，，由，，知．設(shè)，則，故，故.故選：B．7．A【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】設(shè)，則有，又，所以因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以的最小值為2，故選：A8．A【分析】先求出橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題得，解不等式得到，再解不等式即得解.【詳解】點(diǎn)在雙曲線：上，所以.所以橢圓左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所?點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，所以，所以或.綜上：.故選：A9．AC【分析】A由橢圓對稱性及定義有周長為，根據(jù)橢圓性質(zhì)即可判斷；B根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程與已知判斷正誤；C、D設(shè)，利用斜率兩點(diǎn)式可得，進(jìn)而判斷C正誤，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合橢圓有界性求最值.【詳解】A：根據(jù)橢圓的對稱性，，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，有最小值8，所以周長的最小值為18，正確；B：若四邊形為矩形，則點(diǎn)P，Q必在以為直徑的圓上，但此圓與橢圓無交點(diǎn)，錯(cuò)誤；C：設(shè)，則，因?yàn)橹本€PA斜率的范圍是，所以直線PB斜率的范圍是，正確；D：設(shè)，則．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最小值為，錯(cuò)誤.故選：AC．10．ABD【分析】對于A，根據(jù)漸近線分析即可求解；對于B，結(jié)合對稱性，雙曲線定義即可求解；對于C，結(jié)合對稱性可知為直角三角形，，結(jié)合雙曲線定義及勾股定理，可得，進(jìn)而求解；對于D，根據(jù)臨界情況，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，可得，進(jìn)而求解.【詳解】對于A，雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于，所以的取值范圍是，故A正確；對于B，設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，連接，由對稱性知，，又，所以，故B正確；對于C，結(jié)合選項(xiàng)B，知為直角三角形，且，所以，化簡得，設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則，故C不正確；對于D，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為：，聯(lián)立方程組，得，又，所以，所以雙曲線的右支上存在點(diǎn)，滿足三點(diǎn)共線，則的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.11．ABD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判定A選項(xiàng)；根據(jù)A、B關(guān)于直線對稱及點(diǎn)在拋物線上可得，，，聯(lián)立化簡可判定B、C選項(xiàng)；再利用AB中點(diǎn)在拋物線內(nèi)可得，結(jié)合直線方程可判定D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即A正確；設(shè)A、B的中點(diǎn)為D，則，易得①，又②，且③，④，將③④代入②可得：，代入①可得，故B正確，C錯(cuò)誤；所以A、B的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為：，令得：，而位于拋物線內(nèi)部，即，可得，則．即D正確.故選：ABD12．【分析】可設(shè)，可求得與的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合橢圓的方程即可求得其答案．【詳解】點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，依題意得左焦點(diǎn)，，，，，，，．則．故答案為：．13．【分析】設(shè)雙曲線和橢圓在第一象限得交點(diǎn)為，根據(jù)對稱性易得四邊形是矩形且面積為，只需聯(lián)立雙曲線和橢圓，求出交點(diǎn)表達(dá)式即可.【詳解】依題意得，雙曲線的焦點(diǎn)是，設(shè)雙曲線方程為，且，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)對稱性易得四邊形是矩形，且面積為：，聯(lián)立，解得，注意到，化簡得，于是，所以四邊形面積為，又，取等號，則四邊形面積最大值為.故答案為：.14．/【分析】根據(jù)已知條件將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和軸的距離之和的最小值，作出圖形，利用拋物線的定義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由題可知，過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線交直線于，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，為拋物線焦點(diǎn)，由，得，所以，如圖所示則動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即(此時(shí)為點(diǎn)到直線的距離)，所以到直線的距離為，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：15．(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）利用菱形的面積和橢圓的性質(zhì)列方程組即可得出；（2）（i）設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、再利用斜率的計(jì)算公式、數(shù)量積運(yùn)算即可得出；（ii）利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式及三角形的面積公式即可得出.【詳解】（1）由已知可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，，即，，.，.,，即，，，，，又直線的斜率不存在時(shí),的取值范圍是.（ii）設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，由化簡可得.的面積為.16．(1)(2)【分析】（1）由點(diǎn)差法與直線與圓的性質(zhì)分別得到與直線的斜率有關(guān)的等量關(guān)系，結(jié)合已知條件將坐標(biāo)化，得，再結(jié)合兩斜率關(guān)系，整體消元可得，從而求出斜率；（2）將化斜為直，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，再由韋達(dá)定理代入得關(guān)于的函數(shù)解析式，求解值域即可.【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1，由題意不與重合，則，由在雙曲線右支上，則，所以斜率存在且不為.由在雙曲線上，則，且，兩式作差得，所以有，故①，由圓Γ的圓心P在y軸上（P不與O重合），設(shè)，由題意，則，化簡得，由，得，由圓Γ的圓心為，弦中點(diǎn)為，所以，則，即②，由①②得，，則，故Ω的離心率為.（2）由Ω的右焦點(diǎn)為，得，由（1）知，，所以有，故雙曲線的方程為.設(shè)圓的方程為，由圓Γ過點(diǎn)，則，則圓的方程可化為，聯(lián)立，消化簡得，，其中，，則有，由，同理，所以，其中，令，則，所以，設(shè)，，由函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，所以有，故,.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線最值范圍問題，關(guān)鍵在把要求最值（范圍）的幾何量、代數(shù)式轉(zhuǎn)化為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式方法進(jìn)行求解.17．(1)(2)【分析】（1）分析可知，當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，再利用面積的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）證明出拋物線在點(diǎn)Ax1,y1處的切線方程為，可得出拋物線在點(diǎn)處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，其中，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)軸時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)軸時(shí)，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，當(dāng)時(shí)，由題意可知，存在兩個(gè)點(diǎn)，使得為直角三角形，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，且，，則，可得，由題意可知，，則，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)時(shí)，到軸的距離最大，此時(shí)，的面積取最大值，即，則，故，因此，橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2聯(lián)立可得，即，解得，所以，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可知，拋物線在點(diǎn)處