2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第3講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系原卷版

第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 2【考點(diǎn)一】弦長(zhǎng)問(wèn)題 2【考點(diǎn)二】面積問(wèn)題 4【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問(wèn)題 5【專題精練】 7考情分析：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長(zhǎng)、面積以及中點(diǎn)弦等問(wèn)題，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是雙曲線右支上一點(diǎn)，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】弦長(zhǎng)問(wèn)題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓，其右焦點(diǎn)為，若直線過(guò)點(diǎn)與交于，則最小值為（

）A． B．1 C． D．22．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的同一支交于，兩點(diǎn)，且，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B．9 C． D．6二、多選題3．（2024·山東·二模）已知拋物線焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別交于兩點(diǎn)，，則（

）A． B．直線過(guò)定點(diǎn)C．的最小值為 D．的最小值為4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，且與在第四象限交于點(diǎn)的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．以為直徑的圓過(guò)點(diǎn) D．三、填空題5．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則.6．（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的值為.規(guī)律方法：(1)設(shè)直線方程時(shí)，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．(2)涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)公式，其他情況該公式不成立．【考點(diǎn)二】面積問(wèn)題一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與交于兩點(diǎn)，四邊形的周長(zhǎng)為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A． B． C． D．2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)到的距離為6，雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3二、多選題3．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過(guò)的焦點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 B．的準(zhǔn)線方程為C．若，則的斜率為 D．面積的最小值為164．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為?兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．面積的最大值為 D．三、填空題5．（2024·湖南常德·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一交點(diǎn)為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.6．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，記AB上與點(diǎn)重合的點(diǎn)為，折痕為.過(guò)點(diǎn)再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點(diǎn)，按上述方法多次折疊，點(diǎn)的軌跡形成曲線.曲線在點(diǎn)處的切線與AB交于點(diǎn)，則的面積的最小值為.規(guī)律方法：圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過(guò)x軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長(zhǎng))；②過(guò)y軸上的定點(diǎn)：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長(zhǎng))．【考點(diǎn)三】中點(diǎn)弦問(wèn)題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點(diǎn)所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東肇慶·一模）已知直線：與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．為定值C．AB的最小值為3D．若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則4．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．為定值 B．線段的中點(diǎn)在一條定直線上C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點(diǎn)）三、填空題5．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為.6．（2023·北京朝陽(yáng)·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為；過(guò)圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點(diǎn)，與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，若，則.規(guī)律方法：處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法專題精練專題精練一、單選題1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（

）A． B．1或 C． D．1或2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點(diǎn)為A，過(guò)A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點(diǎn)，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]4．（2023·陜西商洛·三模）如圖，已知過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，雙曲線的右支上一點(diǎn)滿足，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的的弦中最短的弦長(zhǎng)為8，點(diǎn)在上，是線段上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅蘭州·三模）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)．那么以下說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)是半焦距到的其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有B．到直線的距離不是定值C．和沒(méi)有交點(diǎn)D．三角形面積的取值范圍是8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則內(nèi)切圓的半徑等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點(diǎn)，，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，的平分線與軸交于點(diǎn)，為原點(diǎn)，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積為B．的離心率為C．點(diǎn)到軸的距離為D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線與雙曲線，其中，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．雙曲線的焦距之比為B．雙曲線的離心率相同，漸近線也相同C．過(guò)上的任一點(diǎn)引的切線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)D．斜率為的直線與，的右支由上到下依次交于點(diǎn)，則11．（2024·河北唐山·二模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．以為直徑的圓與相切C．以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) D．為直角三角形三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，直線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且，，，，若過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的方程為．13．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線：（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（在第一象限），是的中點(diǎn)，若是等邊三角形，則直線的斜率為．14．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且.記點(diǎn)的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則直線的斜率為.四、解答題15．（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知?jiǎng)又本€過(guò)點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，①求證：；②是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.16．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點(diǎn)為雙曲線和橢圓的下頂點(diǎn).(1)若為橢圓的上頂點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，證明：直線，的交點(diǎn)在雙曲線上；(2)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)且與雙曲線上支交于，兩點(diǎn)，記的面積為，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的面積為.（i）求雙曲線的方程；（ii）證明：.17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為．過(guò)F作兩條互相垂直的直線，，且直線與交于M，N兩點(diǎn)，直線與交于E，P兩點(diǎn)，M，E均在第一象限．設(shè)A，B分別為弦MN，EP的中點(diǎn)，直線ME與直線NP交于點(diǎn)H．(1)求的方程．(2)直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)證明：點(diǎn)H在直線