2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 第3講　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系原卷版

第3講直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 2【考點一】弦長問題 2【考點二】面積問題 4【考點三】中點弦問題 5【專題精練】 7考情分析：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考的必考內(nèi)容，涉及直線與圓錐曲線的相交、相切、弦長、面積以及中點弦等問題，難度中等．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．二、解答題2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點.(1)求C的離心率;(2)若過P的直線交C于另一點B，且的面積為9，求的方程．3．（2023·全國·高考真題）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．4．（2022·全國·高考真題）已知點在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．考點突破考點突破【考點一】弦長問題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓，其右焦點為，若直線過點與交于，則最小值為（

）A． B．1 C． D．22．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知雙曲線的兩個焦點分別為，過的直線與雙曲線的同一支交于，兩點，且，則線段的長度為（

）A． B．9 C． D．6二、多選題3．（2024·山東·二模）已知拋物線焦點為，過點（不與點重合）的直線交于兩點，為坐標(biāo)原點，直線分別交于兩點，，則（

）A． B．直線過定點C．的最小值為 D．的最小值為4．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知直線經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，且與在第四象限交于點的左、右焦點分別為，則（

）A．離心率為 B．的周長為C．以為直徑的圓過點 D．三、填空題5．（23-24高三上·北京東城·期末）已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是；直線與雙曲線相交于，兩點，則.6．（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點斜率為的直線交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則的值為.規(guī)律方法：(1)設(shè)直線方程時，需考慮特殊直線，如直線的斜率不存在、斜率為0等．(2)涉及直線與圓錐曲線相交時，Δ>0易漏掉．(3)|AB|＝x1＋x2＋p是拋物線過焦點的弦的弦長公式，其他情況該公式不成立．【考點二】面積問題一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點分別為，，直線與交于兩點，四邊形的周長為，若的面積是的面積的2倍（為坐標(biāo)原點），則（

）A． B． C． D．2．（2024·天津·二模）已知拋物線的焦點為，拋物線上的點到的距離為6，雙曲線的左焦點在拋物線的準(zhǔn)線上，過點向雙曲線的漸近線作垂線，垂足為，則與雙曲線兩個焦點構(gòu)成的三角形面積的最大值為（

）．A．2 B． C． D．3二、多選題3．（2024·山東·模擬預(yù)測）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線，阿基米德三角形，弦過的焦點，其中點在第一象限，則下列說法正確的是（

）A．點的縱坐標(biāo)為 B．的準(zhǔn)線方程為C．若，則的斜率為 D．面積的最小值為164．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長軸端點分別為?兩個焦點分別為是上任意一點，則（

）A．的離心率為 B．的周長為C．面積的最大值為 D．三、填空題5．（2024·湖南常德·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別相交于兩點，直線與雙曲線的另一交點為，若為等腰三角形，且的面積是的面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.6．（2024·江西南昌·二模）如圖，有一張較大的矩形紙片分別為AB，CD的中點，點在上，.將矩形按圖示方式折疊，使直線AB（被折起的部分）經(jīng)過P點，記AB上與點重合的點為，折痕為.過點再折一條與BC平行的折痕，并與折痕交于點，按上述方法多次折疊，點的軌跡形成曲線.曲線在點處的切線與AB交于點，則的面積的最小值為.規(guī)律方法：圓錐曲線中求解三角形面積的方法(1)常規(guī)面積公式：S＝eq\f(1,2)×底×高．(2)正弦面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC.(3)鉛錘水平面面積公式：①過x軸上的定點：S＝eq\f(1,2)a|y1－y2|(a為x軸上定長)；②過y軸上的定點：S＝eq\f(1,2)a|x1－x2|(a為y軸上定長)．【考點三】中點弦問題核心梳理：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上兩點，AB的中點C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則k＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq\f(p,y0).一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知橢圓，一組斜率的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢圓截得的段的中點所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東肇慶·一模）已知直線：與雙曲線：交于，兩點，點是弦的中點，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·湖南長沙·開學(xué)考試）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（

）A．雙曲線的離心率B．為定值C．AB的最小值為3D．若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點，點為的中點，（為坐標(biāo)原點）的斜率為，則4．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）已知斜率為的直線交拋物線于、兩點，下列說法正確的是（

）A．為定值 B．線段的中點在一條定直線上C．為定值 D．為定值（為拋物線的焦點）三、填空題5．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點，直線與雙曲線交于兩點，直線和交于點（異于坐標(biāo)原點）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為.6．（2023·北京朝陽·二模）已知圓A：，拋物線C：，則圓心A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為；過圓心A的直線與圓A相交于P，Q兩點，與拋物線C相交于M，N兩點，若，則.規(guī)律方法：處理中點弦問題常用的求解方法專題精練專題精練一、單選題1．（2024·四川內(nèi)江·三模）設(shè)是橢圓的兩個焦點，點P在橢圓C上，若為直角三角形，則的面積為（

）A． B．1或 C． D．1或2．（2024·陜西銅川·三模）已知原點為，橢圓與直線交于兩點，線段的中點為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線l的焦距為2c，右頂點為A，過A作x軸的垂線與E的漸近線交于M、N兩點，若則E的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[3，2]4．（2023·陜西商洛·三模）如圖，已知過原點的直線與雙曲線相交于兩點，雙曲線的右支上一點滿足，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，過點的的弦中最短的弦長為8，點在上，是線段上靠近點的五等分點，則（為坐標(biāo)原點）的最大值為（

）A． B． C． D．6．（2024·甘肅蘭州·三模）過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線交軸于點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．87．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓過點，其右頂點，上頂點．那么以下說法正確的是（

）A．設(shè)是半焦距到的其中一個焦點的距離，那么必然有B．到直線的距離不是定值C．和沒有交點D．三角形面積的取值范圍是8．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線為坐標(biāo)原點，若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，則內(nèi)切圓的半徑等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知是橢圓：（）位于第一象限上的一點，，是的兩個焦點，，點在的平分線上，的平分線與軸交于點，為原點，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的面積為B．的離心率為C．點到軸的距離為D．10．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知雙曲線與雙曲線，其中，則下列說法中正確的是（

）A．雙曲線的焦距之比為B．雙曲線的離心率相同，漸近線也相同C．過上的任一點引的切線交于點，則點為線段的中點D．斜率為的直線與，的右支由上到下依次交于點，則11．（2024·河北唐山·二模）設(shè)拋物線：的焦點為，準(zhǔn)線為，過點的直線與交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A． B．以為直徑的圓與相切C．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點 D．為直角三角形三、填空題12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點，平行于軸的直線與交于點，直線與直線在第一象限交于點，且，，，，若過點的直線與交于點，且點為的中點，則的方程為．13．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，雙曲線：（，）的左，右焦點分別為，，過左焦點作斜率為的直線與雙曲線交于，兩點（在第一象限），是的中點，若是等邊三角形，則直線的斜率為．14．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，且.記點的軌跡為曲線，若直線與曲線交于兩點，且線段中點的橫坐標(biāo)為1，則直線的斜率為.四、解答題15．（2020·浙江·模擬預(yù)測）已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.(1)求拋物線的方程；(2)已知動直線過點，交拋物線于、兩點，坐標(biāo)原點為中點，①求證：；②是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.16．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）已知，我們稱雙曲線與橢圓互為“伴隨曲線”，點為雙曲線和橢圓的下頂點.(1)若為橢圓的上頂點，直線與交于，兩點，證明：直線，的交點在雙曲線上；(2)過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦長為，雙曲線的一條漸近線方程為，若為雙曲線的上焦點，直線經(jīng)過且與雙曲線上支交于，兩點，記的面積為，（為坐標(biāo)原點），的面積為.（i）求雙曲線的方程；（ii）證明：.17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為．過F作兩條互相垂直的直線，，且直線與交于M，N兩點，直線與交于E，P兩點，M，E均在第一象限．設(shè)A，B分別為弦MN，EP的中點，直線ME與直線NP交于點H．(1)求的方程．(2)直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．(3)證明：點H在直線