3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)【兩大必考點(diǎn)+七大秒殺招+七大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類(lèi)（解析版）

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)【兩大必考點(diǎn)+七大秒殺招+七大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，用函數(shù)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題，初步選擇模型．(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法得出的結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中．可將這些步驟用框圖表示如下：知識(shí)點(diǎn)02常見(jiàn)的函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：即直線模型，其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值勻速增大或減?。F(xiàn)實(shí)生活中很多事例可以用該模型來(lái)表示，例如：勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和位移的關(guān)系，彈簧的伸長(zhǎng)量與拉力的關(guān)系等．(2)二次函數(shù)模型：二次函數(shù)為生活中最常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等問(wèn)題常常是二次函數(shù)的模型．(3)分段函數(shù)模型：由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問(wèn)題，或者在某一特定條件下的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用．解題大招解題大招大招01用一次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的解題方法(1)建立一次函數(shù)模型時(shí)應(yīng)先求出自變量的取值范圍；(2)根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立一次函數(shù)模型；(3)利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行求解、檢驗(yàn)．注：（1）一次函數(shù)模型應(yīng)用時(shí)，本著“問(wèn)什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．（2）一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來(lái)求最值．大招02二次函數(shù)模型的解析式為g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函數(shù)建模中，它占有重要的地位，在根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題，二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來(lái)解答．大招03利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等最值問(wèn)題．(2)注意：取得最值的自變量與實(shí)際意義是否相符．大招04冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，明確函數(shù)關(guān)系式．(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．大招05用分段函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的解法分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．大招06應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.大招07解決“對(duì)勾”函數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵解決“對(duì)勾”函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性(函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a))))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))上單調(diào)遞增)、值域和圖象等．一般通過(guò)變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值．題型分類(lèi)題型分類(lèi)題型01一次函數(shù)模型的應(yīng)用【例1】果蔬批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)某種水果，不少于100千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克2.5元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場(chǎng)采購(gòu)這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買(mǎi)進(jìn)，如果購(gòu)買(mǎi)的水果為x千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為y元，則x與y之間的函數(shù)關(guān)系為（

）A．y=3000?100xB．y=3000?100xC．y=3000?2.5xD．y=3000?2.5x【解題思路】根據(jù)題意，直接列式，根據(jù)題意求x的最小值和最大值，得到x的取值范圍.【解答過(guò)程】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是y=3000?2.5x，由題意可知最少買(mǎi)100千克，最多買(mǎi)30002.5=1200故y=3000?2.5x；x∈故選:C.【變式1-1】網(wǎng)上購(gòu)鞋常?？吹较旅孢@樣一張表，第一行可以理解為腳的長(zhǎng)度，第二行是我們習(xí)慣稱(chēng)呼的“鞋號(hào)”中國(guó)鞋碼實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)（mm）220225230235240245250255260265中國(guó)鞋碼習(xí)慣叫法（號(hào)）34353637383940414243習(xí)慣稱(chēng)為“30號(hào)”的童鞋，對(duì)應(yīng)的腳實(shí)際尺寸為多少毫米（

）A．150 B．200 C．180 D．210【解題思路】根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出腳的長(zhǎng)度與鞋碼滿足的函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式即可求解.【解答過(guò)程】由題意，腳的長(zhǎng)度與鞋碼是一次函數(shù)關(guān)系式，滿足y?220=5x?34，解析式為y=5x+50當(dāng)x=30時(shí)，y=200mm.故選：B.【變式1-2】一等腰三角形的周長(zhǎng)是20，底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)，則它的解析式為（

）A．y=20?2x B．y=20?2x(0<x<10)C．y=20?2x(5≤x≤10) D．y=20?2x(5<x<10)【解題思路】由等腰三角形的周長(zhǎng)為20，得到y(tǒng)=20?2x，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得5<x<10，即可得到函數(shù)的解析式.【解答過(guò)程】由等腰三角形的周長(zhǎng)為20，且底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x，可得y+2x=20，所以y=20?2x，又由2x>y，即2x>20?2x，即x>5，因?yàn)閥>0，即20?2x>0，可得x<10，所以5<x<10，所以解析式為y=20?2x(5<x<10).故選：D.題型02二次函數(shù)模型的應(yīng)用【例2】把長(zhǎng)為8cmA．4cm2 B．3cm2 C．【解題思路】設(shè)鐵絲的一段長(zhǎng)度為xcm，則另一段鐵絲長(zhǎng)為(10?x)cm，得到【解答過(guò)程】設(shè)鐵絲的一段長(zhǎng)度為xcm，（其中0<x<8），則另一段鐵絲長(zhǎng)為(10?x)兩個(gè)正方形的面積之和為ycm根據(jù)題意，可得y=(當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，y取得最小值，最小值為2cm故選：D.【變式2-1】生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱(chēng)為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本(單位：萬(wàn)元)為C(x)＝12x2＋2x＋20.已知1萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為（

A．36萬(wàn)件 B．22萬(wàn)件C．18萬(wàn)件 D．9萬(wàn)件【解題思路】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，根據(jù)題意得到y(tǒng)=20x-C(x)＝-12x2＋18x【解答過(guò)程】設(shè)利潤(rùn)為y萬(wàn)元，由題意得：y=20x-C(x)＝-12x2＋18x=?1故為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為18萬(wàn)件故選：C.【變式2-2】據(jù)國(guó)家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣．漫漫暑期，某制冷杯成了暢銷(xiāo)商品．某企業(yè)生產(chǎn)制冷杯每月的成本（單位：萬(wàn)元）由兩部分構(gòu)成：①固定成才（與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量無(wú)關(guān)）：20萬(wàn)元；②生產(chǎn)所需材料成本：10x+x220(1)該企業(yè)每月產(chǎn)量x為何值時(shí)，平均每萬(wàn)套的成本最低?一萬(wàn)套的最低成本為多少?(2)若每月生產(chǎn)x萬(wàn)套產(chǎn)品，每萬(wàn)套售價(jià)為：30+x10萬(wàn)元，假設(shè)每套產(chǎn)品都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制定計(jì)劃，才能確保該制冷杯每月的利潤(rùn)不低于【解題思路】（1）根據(jù)題意，可知平均每套所需的成本費(fèi)用為y=20（2）由題意可知月利潤(rùn)P=x220【解答過(guò)程】（1）設(shè)平均每套的成本為y元，由題有y=20+10x+當(dāng)且僅當(dāng)20x=x所以企業(yè)每月產(chǎn)量20萬(wàn)套時(shí)，平均每萬(wàn)套的成本最低，一萬(wàn)套的最低成本為12萬(wàn)元.（2）設(shè)月利潤(rùn)為P萬(wàn)元，則有P=x(30+x由題知x220+20x?20≥625，整理得到x所以，該企業(yè)每月生產(chǎn)不小于30萬(wàn)套，才能確保該制冷杯每月的利潤(rùn)不低于625萬(wàn)元.題型03冪函數(shù)模型的應(yīng)用【例3】2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【解題思路】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，依題意列方程求x即可.【解答過(guò)程】由題意，設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則150(1+x)所以x=3故選：B.【變式3-1】異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（A．14 B．12 C．23【解題思路】初始狀態(tài)設(shè)為(x1,y1)，變化后為【解答過(guò)程】設(shè)初始狀態(tài)為(x1,y1又y1=kx1α，y8y1y1=k?16αx故選：D．【變式3-2】遺忘曲線（又稱(chēng)作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國(guó)心理學(xué)家艾·賓浩斯（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類(lèi)大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律．人體大腦對(duì)新事物遺忘的循序漸進(jìn)的直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力．該曲線對(duì)人類(lèi)記憶認(rèn)知研究產(chǎn)生了重大影響．陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率y與初次記憶經(jīng)過(guò)的時(shí)間x（小時(shí)）的大致關(guān)系：y=1?0.6x0.06，若陳同學(xué)需要在明天15時(shí)考語(yǔ)文考試時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶的42%，則他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在（（參考數(shù)據(jù):12A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00【解題思路】利用函數(shù)模型求出需要記憶的時(shí)間，即可推斷出考前復(fù)習(xí)背誦的時(shí)間在幾點(diǎn)開(kāi)始.【解答過(guò)程】令1?0.6x0.06=0.42∵12∴x的估計(jì)值可取0.5，即他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在14：30.故選：A.題型04分段函數(shù)模型的應(yīng)用【例4】杭州亞運(yùn)會(huì)以“綠色，智能，節(jié)儉，文明”為辦賽理念，展示杭州生態(tài)之美，文化之韻，充分發(fā)揮國(guó)際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需要另投入80元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備x萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入Gx（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量x（萬(wàn)臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：G(x)=(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(x)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【解題思路】（1）依題意可得W(x)=xGx?80x?50，根據(jù)（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出0<x≤20、x>20上的最值，進(jìn)而確定年利潤(rùn)最大時(shí)對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)及最大利潤(rùn)值.【解答過(guò)程】（1）依題意可得W(x)=xGx又G(x)=180?2x,當(dāng)0<x≤20時(shí)W(x)=x180?2x當(dāng)x>20時(shí)W(x)=x70+所以Wx（2）當(dāng)0<x≤20時(shí)，Wx由函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=25可知函數(shù)在0,20上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=20時(shí)，Wx當(dāng)x>20時(shí)，W≤?210(x+1)?當(dāng)且僅當(dāng)10(x+1)=9000x+1時(shí)，即因?yàn)?360>1150，所以當(dāng)年產(chǎn)量為29萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得年利潤(rùn)最大為1360萬(wàn)元.【變式4-1】某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線，建設(shè)該生產(chǎn)線的成本為300萬(wàn)元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出x萬(wàn)枚芯片，還需要投入物料及人工等成本Vx（單位：萬(wàn)元），已知當(dāng)0<x≤5時(shí)，Vx=125；當(dāng)5<x≤20時(shí)，Vx=(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤(rùn)為Px（單位：萬(wàn)元），試求出P(2)請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤(rùn)最大，并預(yù)測(cè)最大利潤(rùn)．【解題思路】（1）由Px（2）借助一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式計(jì)算每段的利潤(rùn)最大值即可得.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)0<x≤5時(shí)，Px當(dāng)5<x≤20時(shí)，Px當(dāng)x>20時(shí)，Px故Px（2）當(dāng)0<x≤5時(shí)，Px當(dāng)5<x≤20時(shí)，Px=?xPx當(dāng)x>20時(shí)，由基本不等式知x+1600x≥80即x=40時(shí)等號(hào)成立，故Px綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元.【變式4-2】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，受生產(chǎn)能力、技術(shù)水平以及機(jī)器設(shè)備老化等問(wèn)題的影響，每天都會(huì)生產(chǎn)出一些次品，根據(jù)對(duì)以往產(chǎn)品中次品的分析，得出每日次品數(shù)P（萬(wàn)件）與日產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間滿足關(guān)系式P=x6?x,1≤x≤c,(1)求每天的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)分別在c=2和c=4的條件下計(jì)算當(dāng)日產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)可獲得最大利潤(rùn).【解題思路】（1）根據(jù)題意列出y（萬(wàn)元）與x的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)和基本不等式可求最值.【解答過(guò)程】（1）由題意得:當(dāng)x>c時(shí)，y=x?當(dāng)1≤x≤c時(shí)，y=x?綜上，y=18x?4（2）令t=6?x，則y=18x?4若c=2，當(dāng)x>2時(shí)，每天的利潤(rùn)為0，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，t=6?x∈[4,5]，y在[4,5]上單調(diào)遞減，故最大值在t=4即x=2時(shí)取到，為ymax若c=4，當(dāng)x>4當(dāng)1≤x≤4時(shí)，t=6?x∈[2,5]，?4t+9t故最大值在t=3，即x=3時(shí)取到，為ymax綜上，若c=2，則當(dāng)日產(chǎn)量為2萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若c=4，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn).題型05分式型函數(shù)模型的應(yīng)用【例5】如圖，居民社區(qū)要建一個(gè)休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為100m2的成軸對(duì)稱(chēng)的“⊥”形地域.計(jì)劃在正方形MNGH上建一座花壇，造價(jià)為2100元/m2；在兩個(gè)相同的矩形AHMD和NCBG上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2；在兩個(gè)三角形DEM和CFN上鋪草坪，造價(jià)為40元/m2.設(shè)總造價(jià)為

(1)設(shè)AH長(zhǎng)為y（單位：m），寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最??？并求出這個(gè)最小值.【解題思路】（1）由題意得4xy+x2=100（2）根據(jù)題意表示出每一部分的面積，再乘以相應(yīng)的每平方米的造價(jià)，然后相加可得S，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值.【解答過(guò)程】（1）由題意得4xy+x解得y=100?由于x>0,y>0，得0<x<10，所以y=100?（2）由題意得AH=100?所以S=2100x=2000x=20000+9500=29500當(dāng)且僅當(dāng)2000x2=50000所以當(dāng)x=5時(shí)，S最小，且S【變式5-1】某公園為了美化游園環(huán)境，計(jì)劃修建一個(gè)如圖所示的總面積為750m2的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間A，B，C三個(gè)矩形區(qū)域?qū)⒎N植牡丹、郁金香、月季（其中B，C區(qū)域的形狀、大小完全相同）.設(shè)矩形花園的一條邊長(zhǎng)為xm(1)用含有x的代數(shù)式表示a；(2)當(dāng)x的值為多少時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大？【解題思路】（1）設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym，結(jié)合x(chóng)y=750，進(jìn)而求得a關(guān)于x（2）由（1）知a=375x?【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為ym因?yàn)榫匦位▓@的總面積為750m2，所以xy=750，可得又因?yàn)殛幱安糠质菍挾葹?m的小路，可得2a+3=750x，可得即a關(guān)于x的關(guān)系式為a=375（2）解：由（1）知，a=375則S=(x?2)a+(x?3)a=(2x?5)a=(2x?5)×(≤15152?23x?1875所以當(dāng)x=25m時(shí)，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為1215【變式5-2】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位；cm）滿足關(guān)系：Cx=16(1)求fx(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用fx【解題思路】（1）由建造費(fèi)與能源消耗費(fèi)求和可得；（2）利用基本不等式求解即可.【解答過(guò)程】（1）每年能源消耗費(fèi)用為Cx=16∴fx（2）因?yàn)?≤x≤10，所以fx當(dāng)且僅當(dāng)512x+2=8x+2所以當(dāng)x=6時(shí)，fx取得最小值f∴當(dāng)隔熱層修建6cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為112萬(wàn)元.題型06“對(duì)勾”函數(shù)模型的應(yīng)用【例6】某甜品店今年年初花費(fèi)21萬(wàn)元購(gòu)得一臺(tái)新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可為甜品店提供12萬(wàn)元的總收入，已知使用x年x∈N*所需的總維護(hù)費(fèi)用為(1)該甜品店第幾年開(kāi)始盈利？(2)若干年后，該甜品店計(jì)劃以2萬(wàn)的價(jià)格賣(mài)出設(shè)備，有以下兩種方案：①當(dāng)年平均盈利最大時(shí)賣(mài)出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大時(shí)賣(mài)出；試問(wèn)哪一方案較為劃算？說(shuō)明理由．【解題思路】（1）表達(dá)出x年后所得總利潤(rùn)y=?x（2）設(shè)方案①的年平均利潤(rùn)為wx，表達(dá)出w【解答過(guò)程】（1）設(shè)該甜品店x年后所得總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y=12x?x若開(kāi)始盈利即y>0，∴?x2+10x?21>0∴第四年開(kāi)始盈利．（2）方案①：設(shè)年平均利潤(rùn)為wx則wx由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得wx在x∈0,21又x∈N?，x=4時(shí)，w4x=5時(shí)，w5方案②：y=?x2+10x?21=?即x=5時(shí)總利潤(rùn)最大為4萬(wàn)元，故選擇方案一或方案二是一樣的，最終都是在x=5即第5年總利潤(rùn)達(dá)到最大值4萬(wàn)元，加上賣(mài)設(shè)備的2萬(wàn)元，一共6萬(wàn)元利潤(rùn)．【變式6-1】漢服文化是反映儒家禮典服制的文化總和，通過(guò)祭服、朝服、公服、常服以及配飾體現(xiàn)出來(lái)．漢服文化從三皇五帝延續(xù)（清代被迫中斷），通過(guò)連綿不斷的繼承完善著自己，是一個(gè)非常成熟并自成體系的千年文化．在當(dāng)代，漢服文化正在通過(guò)漢服運(yùn)動(dòng)這一民間文化運(yùn)動(dòng)形式逐漸復(fù)興．近年來(lái)，盛行漢服沉浸式體驗(yàn)，人們喜歡身著漢服在充滿傳統(tǒng)文化特色的古鎮(zhèn)游覽拍照．近30天，某文化古鎮(zhèn)的一漢服體驗(yàn)店，漢服的日租賃量H（件）與日租賃價(jià)格S（元/件）都是時(shí)間t（天）的函數(shù)，其中Ht=t+4（0<t≤30），(1)寫(xiě)出該店日租賃利潤(rùn)W與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系；(2)求該店日租賃利潤(rùn)W的最大值．（注：租賃利潤(rùn)＝租賃收入－租賃成本）【解題思路】（1）由題意得到W=Ht（2）分0<t<15與15≤t≤30兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性，求出最大值.【解答過(guò)程】（1）W=H=?（2）當(dāng)0<t<15時(shí)，W=?t當(dāng)t=12時(shí)，W取得最大值，最大值為256，當(dāng)15≤t≤30時(shí)，W=2420令2420t?4=5t?4由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知W=2420t?4+5在26,30上單調(diào)遞增，且當(dāng)t=15時(shí)，W=2420當(dāng)t=30時(shí)，W=2420由于315?3420故15≤t≤30時(shí)，W的最大值為315，因?yàn)?15>256，所以該店日租賃利潤(rùn)W的最大值為315元．【變式6-2】某地中學(xué)生社會(huì)實(shí)踐小組為研究學(xué)校附近某路段交通擁堵情況，經(jīng)實(shí)地調(diào)查、數(shù)學(xué)建模，得該路段上平均行車(chē)速度v（單位：kmh）與該路段上的行車(chē)數(shù)量n（單位：輛）的關(guān)系為：v=600n+10,n≤933000n2+k,n≥10(1)求實(shí)數(shù)k的值；(2)定義q=nv，求一天內(nèi)q的最大值（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．【解題思路】（1）根據(jù)題意把17時(shí)測(cè)得的平均行車(chē)速度為3km/h（2）根據(jù)分段函數(shù)求最值的方法，分別利用函數(shù)單調(diào)性求每段的最值，即可得出函數(shù)q=nv的最大值．【解答過(guò)程】（1）由17時(shí)測(cè)得的平均行車(chē)速度為3km則n=?2(|17?12|?5)代入v=600n+10,n≤9解得k=1000．（2）①當(dāng)n≤9時(shí)，q=nv=600n所以q≤600×9②當(dāng)n≥10時(shí)，q=nv=33000n由函數(shù)f(x)=n+1000n在(0,1000)上遞減，在且1000∈(31,32)，當(dāng)n=31時(shí)，q=3300031+100031故qmax綜上可知，一天內(nèi)車(chē)流量q的最大值為522.題型07函數(shù)模型的選擇問(wèn)題【例7】某果園占地約600畝，擬選用果樹(shù)A進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹(shù)A每畝最多可種植50棵，種植成本y（萬(wàn)元）與果樹(shù)數(shù)量x（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.x14916y14.47.811.2(1)根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)判斷y=ax+b與y=cx+d哪一個(gè)更適合作為y與(2)已知該果園的年利潤(rùn)z（萬(wàn)元）與x，y的關(guān)系為z=2y?0.2x，利用（1）中適合的模型估計(jì)果樹(shù)數(shù)量x為多少時(shí)年利潤(rùn)最大？【解題思路】（1）將(1,1),(4,4.4)代入y=ax+b和y=cx+d，求出兩個(gè)函數(shù)，然后x=9和（2）由（1）得z=34【解答過(guò)程】（1）①若選擇y=ax+b作為y與x的函數(shù)模型，將(1,1),(4,4.4)的坐標(biāo)分別代入，得1=a+b4.4=4a+b，解得a=所以y=17此時(shí)，當(dāng)x=9時(shí)，y=151當(dāng)x=16時(shí)，y=18與表格中的11.2相差較大，所以y=ax+b不適合作為y與x的函數(shù)模型.②若選擇y=cx+d作為y與將(1,1),(4,4.4)的坐標(biāo)分別代入，得1=c+d4.4=2c+d，解得c=所以y=175x?12當(dāng)x=16時(shí)，y=565=11.2所以y=cx+d更適合作為y與（2）由題可知，該果園最多可種植30000棵該品種果樹(shù)，所以x的取值范圍為[0,300]，當(dāng)y=175x易知，當(dāng)x=17，即x=289故果樹(shù)數(shù)量為289百棵時(shí)，年利潤(rùn)最大.【變式7-1】隨著全球?qū)Νh(huán)保和可持續(xù)發(fā)展的日益重視，電動(dòng)汽車(chē)逐步成為人們購(gòu)車(chē)的熱門(mén)選擇.有關(guān)部門(mén)在高速公路上對(duì)某型號(hào)電動(dòng)汽車(chē)進(jìn)行測(cè)試，得到了該電動(dòng)汽車(chē)每小時(shí)耗電量P(單位：kwh)與速度v(單位：kmv60708090100P8.81113.616.620為描述該電動(dòng)汽車(chē)在高速公路上行駛時(shí)每小時(shí)耗電量P與速度v的關(guān)系，現(xiàn)有以下兩種函數(shù)模型供選擇：①P1v=a(1)請(qǐng)選擇你認(rèn)為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（不需要說(shuō)明理由），并求出相應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)有一輛同型號(hào)電動(dòng)汽車(chē)從A地出發(fā)經(jīng)高速公路（最低限速60km/h，最高限速120km/h）勻速行駛到距離為500km的B地，出發(fā)前汽車(chē)電池存量為65kwh，汽車(chē)到達(dá)B地后至少要保留5kwh的保障電量（假設(shè)該電動(dòng)汽車(chē)從靜止加速到速度為v的過(guò)程中消耗的電量與行駛的路程都忽略不計(jì)）.已知該高速公路上有一功率為16kw的充電樁（充電量【解題思路】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型①，代入數(shù)據(jù)計(jì)算系數(shù)可得函數(shù)解析式；（2）計(jì)算行駛耗電量，判斷是否需要充電，表示出總時(shí)間，利用基本不等式求所用時(shí)間的最小值.【解答過(guò)程】（1）P與v的函數(shù)關(guān)系，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由增長(zhǎng)速度可知，選擇函數(shù)模型①，由題意有：3600a+60b+c=8.8,4900a+70b+c=11,6400a+80b+c=13.6,所以P1（2）設(shè)耗電量為fv，則f任取60≤vfv由60≤v1<v2≤120，則有fv1?f所以函數(shù)fv在區(qū)間60,120單調(diào)遞增，f即最小耗電量大于電池存量減去保障電量，所以該車(chē)不在服務(wù)區(qū)充電不能到達(dá)B地.又設(shè)行駛時(shí)間與充電時(shí)間分別為t1,t2，總和為則初始電量+充電電量-消耗電量≥保障電量，即65+16t2?f所以總時(shí)間t=t當(dāng)且僅當(dāng)v16=625v，即v=100時(shí)取等，所以該汽車(chē)到達(dá)【變式7-2】北京時(shí)間2023年10月26日11時(shí)14分，搭載神舟十七號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十七運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心精準(zhǔn)發(fā)射，約10分鐘后，神舟十七號(hào)載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，航天員乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，這是我國(guó)載人航天工程立項(xiàng)實(shí)施以來(lái)的第30次發(fā)射任務(wù)，也是空間站階段的第2次載人飛行任務(wù).航天工程對(duì)人們的生活產(chǎn)生方方面面的影響，有關(guān)部門(mén)對(duì)某航模專(zhuān)賣(mài)店的航模銷(xiāo)售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該專(zhuān)賣(mài)店每天銷(xiāo)售一款特價(jià)航模，在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的特價(jià)航模日銷(xiāo)售價(jià)格Px（元/個(gè)）與時(shí)間x（一個(gè)月內(nèi)的第x天，下同）的函數(shù)關(guān)系近似表示為Px=20+kx+2（常數(shù)k>0x（天）271423Qx4567已知一個(gè)月內(nèi)第7天該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入為350百元.(1)給出以下三種函數(shù)模型：①Q(mào)x=px+q，②Qx=ax?152+b(2)借助你在（1）中選擇的模型，記該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入為fx（百元），其中1≤x≤30，x∈【解題思路】（1）根據(jù)變化速度排除模型①，根據(jù)不對(duì)稱(chēng)性排除模型②，代入數(shù)據(jù)計(jì)算Qx（2）確定k=150，fx【解答過(guò)程】（1）選擇模型③，理由如下：表格中Qx對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)勻速遞增時(shí)，x因?yàn)楸砀裰袛?shù)據(jù)滿足Q7≠Q(mào)23對(duì)于模型③，將2,4，7,5代入模型③，有2m+n=43m+n=5，解得m=1此時(shí)Qx經(jīng)驗(yàn)證，14,6，23,7均滿足Qx故選擇模型③.（2）f7=350，故20+kf≥26000當(dāng)且僅當(dāng)20x+2=300所以預(yù)估該專(zhuān)賣(mài)店特價(jià)航模日銷(xiāo)售收入在一個(gè)月內(nèi)的第13天最低.分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】1．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)奇偶性定義易得函數(shù)奇偶性，對(duì)于函數(shù)單調(diào)性判斷，可以通過(guò)函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，或者等價(jià)轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化函數(shù)解析式，再進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于項(xiàng)，為奇函數(shù)，不符合題意，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，符合題意，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，為奇函數(shù)，不符合題意，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C．2．已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】由一次函數(shù)的圖象可得：，，然后判斷二次函數(shù)的圖象即可.【詳解】由一次函數(shù)的圖象可知：，，所以二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為：，故選：D.3．你見(jiàn)過(guò)古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹(shù)銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹(shù)千光照，花焰七枝開(kāi)”.煙花，雖然是沒(méi)有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來(lái)人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時(shí)刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【分析】利用配方法，求二次函數(shù)最大值及相應(yīng)值即可.【詳解】由題意，，則當(dāng)時(shí)，即煙花達(dá)到最高點(diǎn)，爆裂的時(shí)刻是第秒.故選：A.4．血氧飽和度是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).人體的血氧飽和度正常范圍是，當(dāng)血氧飽和度低于時(shí)，需要吸氧治療，在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：描述血氧飽和度隨給氧時(shí)間t（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已知，給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為.若使得血氧飽和度達(dá)到，則至少還需要給氧時(shí)間（單位：時(shí)）為（

）（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9【答案】B【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于時(shí)間t的方程，解之即可求得給氧時(shí)間至少還需要的小時(shí)數(shù).【詳解】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)，由題意可得，，兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)并整理，得，，則，則給氧時(shí)間至少還需要小時(shí)故選：B5．某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為（萬(wàn)元），每件商品售價(jià)為元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當(dāng)月所獲得的總利潤(rùn)用（萬(wàn)元）表示，用表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤(rùn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)生產(chǎn)萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤(rùn)萬(wàn)元B．當(dāng)生產(chǎn)萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤(rùn)萬(wàn)元C．當(dāng)生產(chǎn)萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤(rùn)最大為元D．當(dāng)生產(chǎn)萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤(rùn)最大為元【答案】D【分析】求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，求出的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值，即可出結(jié)論.【詳解】由題意可得，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，當(dāng)生產(chǎn)萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤(rùn)萬(wàn)元，當(dāng)生產(chǎn)萬(wàn)件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤(rùn)最大為元.故選：D.6．某班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買(mǎi)回來(lái)8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形?三角形?弓形這三種方案，最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【答案】C【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合二次函數(shù)及基本不等式判斷方案1、2，利用特殊情況判斷方案3；【詳解】解：方案1：設(shè)米，則米，則菜園面積，當(dāng)時(shí)，此時(shí)菜園最大面積為；方案2：依題意，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)；方案3：若弓形為半圓，則半圓的半徑米，此時(shí)菜園最大面積；故選：C．7．隨著社會(huì)的發(fā)展，小汽車(chē)逐漸成了人們?nèi)粘５慕煌üぞ?小王在某段時(shí)間共加號(hào)汽油兩次，兩次加油單價(jià)不同.現(xiàn)在他有兩種加油方式：第一種方式是每次加油元，第二種方式是每次加油升.我們規(guī)定這兩次加油哪種加油方式的平均單價(jià)低，哪種就更經(jīng)濟(jì)，則更經(jīng)濟(jì)的加油方式為（

）A．第一種 B．第二種 C．兩種一樣 D．不確定【答案】A【分析】設(shè)第一次的油價(jià)為，第二次的油價(jià)為，且，計(jì)算出兩種加油方式的平均油價(jià)，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)第一次的油價(jià)為，第二次的油價(jià)為，且,第一種加油方式的平均油價(jià)為，第二種加油方式的平均油價(jià)為，因?yàn)?，則，因此，更經(jīng)濟(jì)的加油方式為第一種.故選：A.8．異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】初始狀態(tài)設(shè)為，變化后為，根據(jù)，的關(guān)系代入后可求解．【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．9．某地區(qū)居民生活用電分高峰和低谷兩個(gè)時(shí)段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià).高峰時(shí)間段用電價(jià)格表：高峰月用電量（單位：千瓦時(shí)）高峰電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）50及以下的部分超過(guò)50至200的部分超過(guò)200的部分低谷時(shí)間段用電價(jià)格表：低谷月用電量（單位：千瓦時(shí)）低谷電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）50及以下的部分超過(guò)50至200的部分超過(guò)200的部分若某家庭7月份的高峰時(shí)間段用電量為250千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為150千瓦時(shí)，則該家庭本月應(yīng)付電費(fèi)為（

）元A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)分段求解電費(fèi)即可.【詳解】高峰時(shí)段電費(fèi)為元，低谷時(shí)段電費(fèi)為元，共計(jì)元.故選：D10．將如圖的“愛(ài)心”獻(xiàn)給在抗疫一線的白衣天使，向他們表達(dá)崇高的敬意！愛(ài)心輪廓是由曲線與構(gòu)成，則（

）A．10 B．-10 C．2 D．-2【答案】A【分析】由圖可知點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，將點(diǎn)代入計(jì)算可求，，的值，從而得到結(jié)果.【詳解】解：由得，其圖象為x軸上方（包含x軸上的點(diǎn)）的兩個(gè)半圓，由“愛(ài)心”圖知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，．由“愛(ài)心”圖知必過(guò)點(diǎn)與，所以，得，，從而．故選：A．11．（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】AB【分析】利用不等式的性質(zhì)，賦值法可分析判斷A、C、D選項(xiàng)，利用冪函數(shù)的性質(zhì)可分析判斷B選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，可得，有，故A正確；對(duì)于B，由函數(shù)是在定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，沒(méi)有意義，此時(shí)和無(wú)法比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；故選：AB.12．（多選）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．4是f（x）的周期 B．C． D．【答案】AC【分析】首先利用軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)的公式，化簡(jiǎn)條件，然后利用賦值法即可求解.【詳解】關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則有，令，可得，令，得①.又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得②，聯(lián)立①②，可得，故A正確；，令得，故C正確.對(duì)于BD，例如，該函數(shù)符合AC，但是代入BD條件時(shí)，均不滿足，故BD錯(cuò)誤.故選：AC13．（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說(shuō)法，其中正確的說(shuō)法是（

）A．圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本【答案】BC【分析】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，分析出為票價(jià)，為固定成本，根據(jù)圖（2）和圖（3）圖像的變化，即可分析出正確答案．【詳解】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，為票價(jià)，當(dāng)時(shí)，，則為固定成本；由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價(jià)不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即變大，票價(jià)提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC．14．某手作特產(chǎn)店擬舉行某產(chǎn)品的促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量萬(wàn)份與年促銷(xiāo)投入費(fèi)用萬(wàn)元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是2萬(wàn)件.已知店內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入（設(shè)備等）為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)一萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入4萬(wàn)元，店家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（每件產(chǎn)品年平均成本按元來(lái)計(jì)算），按需生產(chǎn)，生產(chǎn)出的產(chǎn)品恰好被全部售出.(1)將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該店家的促銷(xiāo)投入費(fèi)用為多少萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)(2)促銷(xiāo)投入費(fèi)用為1萬(wàn)元時(shí)，店家獲得最大利潤(rùn)9萬(wàn)元.【分析】（1）由已知求得，結(jié)合每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格，可得出利潤(rùn)；（2）利用基本不等式求解最大利潤(rùn)即可．【詳解】（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，，則，得，故.

故每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為，故利潤(rùn).（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即促銷(xiāo)投入費(fèi)用為1萬(wàn)元時(shí)，店家獲得最大利潤(rùn)9萬(wàn)元.15．某工廠2022年年初用100萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬(wàn)元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為萬(wàn)元，盈利總額為y萬(wàn)元.(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開(kāi)始，使用該設(shè)備開(kāi)始盈利?【答案】(1)(2)第三年【分析】（1）根據(jù)題意，即可得出函數(shù)；（2）由，得出不等式，求解即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，.（2）當(dāng)時(shí)，開(kāi)始盈利，即，整理可得，解得.又，所以，即從第三年開(kāi)始盈利.

【能力提升】1．對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，若函數(shù)的圖象存在“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解問(wèn)題，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸和根的判別式得到不等式，求出答案.【詳解】設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解，求的取值范圍問(wèn)題.由在有解得：.故選：A2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作軸，交y軸于點(diǎn)E，在直線上找一點(diǎn)F，使得，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用數(shù)形結(jié)合，這里面有兩個(gè)等腰直角三角形，再結(jié)合幾何意義就能找到最小值點(diǎn).【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交y軸于N，如圖所示：∵一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)，于，設(shè)，則，延長(zhǎng)交y軸于N，，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，取到最小值，，∴此時(shí)，解得，是的中點(diǎn)，軸，，故選：B．3．對(duì)于函數(shù)，若存在，使得，則稱(chēng)點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，若函數(shù)的圖象存在“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在給定的區(qū)間上有解，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則x>0時(shí)，.則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程：在上有解，求的取值范圍問(wèn)題.由在有解得：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)“隱對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”的概念，把函數(shù)fx位于軸左側(cè)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，必與函數(shù)fx位于軸右側(cè)的圖象有公共點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上有零點(diǎn)的問(wèn)題解決是該問(wèn)題的關(guān)鍵.屬于中檔題.4．函數(shù)的大致圖象如圖所示，則它的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)情況，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在0,+∞對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，但當(dāng)時(shí)，恒成立，無(wú)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意，故D正確，故選：D.5．已知函數(shù)滿足，，，且當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)且周期為，由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，則與的圖象在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)，，作出圖象，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以，所以，所以的周期為，又因?yàn)?，所以令中，則，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，令，即，即與的圖象在區(qū)間有四個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，斜率為，如圖所示：

為臨界狀態(tài)，當(dāng)處于時(shí)，此時(shí)直線的斜率為，當(dāng)處于時(shí)，此時(shí)直線的斜率為，因?yàn)闈M足，不滿足.所以由圖可知，a的取值范圍是.故選：C6．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即直線與曲線，作出函數(shù)圖象，即轉(zhuǎn)化為在有兩個(gè)不等實(shí)根，可得答案.【詳解】設(shè)，該直線恒過(guò)點(diǎn)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根如圖作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象，則，所以直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以在有兩個(gè)不等實(shí)根，令，實(shí)數(shù)滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7．長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)）來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記為調(diào)度前該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)關(guān)于的函數(shù)解析式：①；②；③；④.則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．③④【答案】A【分析】需滿足四個(gè)條件：（1）自變量的取值范圍是；（2）函數(shù)值域?yàn)榈淖蛹?；?）該函數(shù)在上恒有；（4）該函數(shù)在上為增函數(shù).逐一對(duì)照分析即可求解.【詳解】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以，超出了范圍，不符合題意；，時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，，即，符合題意；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不符合題意；函數(shù)為增函數(shù)，且時(shí)，，，則，即，符合題意.故滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號(hào)是②④.故選：.8．如圖，在中，于D，，矩形的頂點(diǎn)E與A點(diǎn)重合，，將矩形沿AB平移，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移，設(shè)點(diǎn)E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】分類(lèi)討論重合部分的形狀，然后利用面積公式將y關(guān)于x的函數(shù)表示出來(lái)即可.【詳解】于D，，,,且故當(dāng)時(shí)，重合部分為三角形，三角形的高，面積，函數(shù)圖像為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，故排除A選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，重合部分為直角梯形，上底長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為，高為4，故，函數(shù)圖像為一條直線，故排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，重合部分可以看作兩個(gè)直角梯形，左邊直角梯形的上底長(zhǎng)為，高為兩個(gè)梯形下底長(zhǎng)均為，右邊直角梯形上底長(zhǎng)為，高為，故，圖像為開(kāi)口下的二次函數(shù)，且對(duì)稱(chēng)軸為，故排除B選項(xiàng)；故選：C9．學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來(lái)到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過(guò)程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出函數(shù)解析式，利用解析式即可得出圖象.【詳解】設(shè)行進(jìn)的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A10．?dāng)?shù)學(xué)建模，就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，然后根據(jù)結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題．小明和他的數(shù)學(xué)建模小隊(duì)現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，那么，怎樣才可以提高呢？我們理想化地建立這樣一個(gè)關(guān)系，在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)．研究表明，當(dāng)[20,200]時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)．問(wèn)：當(dāng)車(chē)流密度多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）可以達(dá)到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【分析】首先求得分段函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論求解不等式即可確定車(chē)流密度的取值．【詳解】解