3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算2021/6/271一、引入1.共線向量定理：2.共線向量定理的推論：(1)若直線l過點(diǎn)A且與向量平行，則(2)三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件有：2021/6/2723.共面向量定理：4.P、A、B、C四點(diǎn)共面充要條件：2021/6/273一、兩個(gè)向量的夾角兩條相交直線的夾角是指這兩條直線所成的銳角或直角，即取值范圍是(0°,90°],而向量的夾角可以是鈍角,其取值范圍是[0°,180°]2021/6/2742021/6/275BB1AA1一、空間向量數(shù)量積的定義

已知空間兩個(gè)非零向量,則叫做的數(shù)量積，記作,即注意:①兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.②規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.2021/6/276不一定為銳角不一定為鈍角2021/6/277三、空間兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)空間向量的數(shù)量積具有和平面向量的數(shù)量積完全相同的性質(zhì).(2)性質(zhì)(2)是用來判斷兩個(gè)向量是否垂直，性質(zhì)(5)是用來求兩個(gè)向量的夾角．(3)性質(zhì)(3)是實(shí)數(shù)與向量之間轉(zhuǎn)化的依據(jù)．2021/6/278空間向量數(shù)量積可以解決的立體幾何問題：3）向量的夾角（兩異面直線所成的角）；2）證明垂直問題；1）線段的長(zhǎng)（兩點(diǎn)間的距離）；，也就是說2021/6/279四、空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律與平面向量一樣，空間向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：

向量數(shù)量積的運(yùn)算適合乘法結(jié)合律嗎?即(a?b)c一定等于a(b·c)嗎?注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律即2021/6/2710已知空間向量a，b滿足|a|=4，|b|=8，a與b的夾角是150°，計(jì)算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．2021/6/2711如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)。求下列向量的數(shù)量積：練習(xí)1ABCDEFG2021/6/2712在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對(duì)角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B，D間的距離．練習(xí)22021/6/2713練習(xí)3解：2021/6/2714已知空間四邊形OABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點(diǎn)，若AB=OC，求證：PM⊥QN．證明：練習(xí)42021/6/2715練習(xí)5如圖，在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（）

A.B.C.D.2021/6/27162021/6/27172021/6/2718證明：如圖,已知:求證：在直線l上取向量,只要證為逆命題成立嗎?2021/6/2719分析:同樣可用向量,證明思路幾乎一樣,只不過其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來分析.2021/6/2720分析：要證明一條直線與一個(gè)平面垂直,由直線與平面垂直的定義可知,就是要證明這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直.例2:(試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理)

已知直線m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線,如果⊥m,⊥n,求證:⊥.mng

取已知平面內(nèi)的任一條直線g,拿相關(guān)直線的方向向量來分析,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件?要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)?怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系?

共面向量定理.2021/6/2721mng解:在內(nèi)作不與m,n重合的任一直線g,在上取非零向量因m與n相交,故向量m,n不平行,由共面向量定理,存在唯一實(shí)數(shù),使例2:已知直線m,n是平面內(nèi)的兩條相交直線,如果⊥m,⊥n,求證:⊥.2021/6/2722

小結(jié)：通過學(xué)習(xí),體會(huì)到我們可以利用向