高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第七篇 立體幾何細(xì)致講解練 理 新人教A版

第七篇立體幾何

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

［最新考綱］

1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)

單物體的結(jié)構(gòu).

2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)單組合)的三視圖，能識(shí)別

，述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.

3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形

的不同表示形式.

4.會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格

要求).

診斷■基礎(chǔ)知識(shí)由淺入深芬基固本

知識(shí)梳理

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

(D棱柱的側(cè)棱都平行且杷笠，上下底面是全等且田的多邊形.

(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

(3)棱臺(tái)可由平行于底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形.

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓錐可以由直角三角形繞其任一直角邊旋轉(zhuǎn)得到.

(2)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓

錐底面的平面截圓錐得到.

(3)球可以由半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.

3.空間幾何體的三視圖

空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平

面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.

4.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫,其規(guī)則是：

(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，V軸、/軸的夾角為45°(或135°),

z，軸與/軸、/軸所在平面垂直.

(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于*軸和z軸的線

段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度丕變，平行于尸軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的?半.

辨析感悟

1.對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)

(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的兒何體是棱柱.(X)

(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(X)

(3)棱臺(tái)是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(V)

2.對(duì)?圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)

(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱.(義)

(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).(X)

(6)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓面.(J)

3.對(duì)直觀圖和三視圖的畫法的理解

⑺在用斜二測(cè)畫法畫水平放置的N/I時(shí)，若N/1的兩邊分別平行于*軸和y軸，且/力=90°,

則在直觀圖中乙4=45°.(X)

(8)(教材習(xí)題改編)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三個(gè)視圖均相同.(X)

［感悟?提升］

1.兩點(diǎn)提醒一是從棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義入手，借助幾何模型強(qiáng)

化空間幾何體特征.如(1)中例如幺(2)中例如.

二是圖形中與淘、y軸、z軸都不平行的線段可通過(guò)確定端點(diǎn)的辦法來(lái)解，即過(guò)端點(diǎn)作坐

標(biāo)軸的平行線段，再借助所作的平行線段來(lái)確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置.如(7).

2.一個(gè)防范二視圖的長(zhǎng)度特征：“長(zhǎng)對(duì)正、寬相等，高平齊”，即正視圖和側(cè)視圖一樣

高、正視圖和俯視圖一樣長(zhǎng)，側(cè)視圖和俯視圖一樣寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的交

線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法.如(8)中正方體與球各自的三視

圖相同，但圓錐的不同.

學(xué)生用書第106頁(yè)

突破?高頻考點(diǎn)以例求法舉一反三

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

【例1】給出下列四個(gè)命題：

①在圓柱的上、下底面的員1周上各取?點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線：

②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是().

A.0B.1C.2D.3

解析①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線：②正確；③錯(cuò)誤.當(dāng)以斜邊所在直

線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖所示，它是由兩個(gè)同

底圓錐組成的幾何體；④錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延

長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.

答案B

規(guī)律方法(D緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何

模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)

題意判定.

(2)通過(guò)舉反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.

【訓(xùn)練1】給出下列四個(gè)命題：

①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱；

②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；

④若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.

其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是_______.

解析認(rèn)識(shí)棱柱一般要從側(cè)棱與底面的垂直與否和底面多邊形的形狀兩方面去分析，故①③

都不準(zhǔn)確，②中對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說(shuō)明，故也不正確，④平行六面體的兩個(gè)

相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂百且互相平行，故④也不正確.

答案①②③④

考點(diǎn)二由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖

[例2](?新課標(biāo)全國(guó)I【卷)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系仆燈z中的坐標(biāo)分別是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投

影面，則得到正視圖可以為().

審題路線在空間直角坐標(biāo)系中畫出四面體=以z公平面為投影面=可得正視圖.

zB

解析在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體力4%的直觀圖，如圖，設(shè)0(0,0,0),1),

Ml,1,0),r(0,1,1),將以0,力，B,。為頂點(diǎn)的四面體被還原成一正方體后，由于勿_L6C,

所以該幾何體以/"平面為投影面的正視圖為a.

答案A

規(guī)律方法空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法

得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底

面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、

面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果.

【訓(xùn)練2】(?濟(jì)宇一模)點(diǎn)MN分別是正方體493/1心G〃的棱4兒44的中點(diǎn)，用過(guò)

4M*和僅反G的兩個(gè)截面截去正方體的兩個(gè)角后得到的幾何體如圖1,則該幾何體的

正視圖，側(cè)視圖、俯視圖依次為圖2中的().

A.①②③B.②③④C.①③④D.②??

解析由正視圖的定義可知；點(diǎn)兒B,笈在后面的投影點(diǎn)分別是點(diǎn)〃，C,G,線段小在后

面的投影面上的投影是以〃為端點(diǎn)且與線段CG平行且相等的線段，即正視圖為正方形，另

外線段川/在后面的投影線要畫成實(shí)線，被遮擋的線段。。要畫成虛線，正視圖為②；同理

可得側(cè)視圖為③，俯視圖為④.

答案B

考點(diǎn)三由空間幾何體的三視圖還原直觀圖

【例3】(1)(?四川卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是().

(2)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是().

解析(1)由于俯視圖是兩個(gè)圓，所以排除A,B,C,故選D.

(2)A,B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.

答案(1)D(2)1)

學(xué)生用書第107頁(yè)

規(guī)律方法在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視

圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在

還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.

【訓(xùn)練3】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是().

正視圖側(cè)視圖

S

俯視圖

經(jīng)鋁占粵

ABCD

解析所給選項(xiàng)中，A,C選項(xiàng)的正視圖、俯視圖不符合，D選項(xiàng)的側(cè)視圖不符合，只有選項(xiàng)

B符合.

答案B

I課堂小結(jié)I

1.棱柱、棱錐要掌握各剖分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決.

2.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀.

3.三視圖畫法：(1)實(shí)虛線的畫法：分界線和可見輪廓線用實(shí)線，看不見的輪廓線用虛線；

(2)理解“長(zhǎng)對(duì)正、寬平齊、高相

等”.

培養(yǎng)?解題能力教你解題提升他力

易錯(cuò)辨析7——三視圖識(shí)圖不準(zhǔn)致誤

【典例】（?陜西卷）將正方體（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則

該幾何體的側(cè)視圖為（）.

［錯(cuò)解］選A或D.

［錯(cuò)因］致錯(cuò)原因是根據(jù)提示觀測(cè)位置確定二視圖時(shí)其實(shí)質(zhì)是正投影，將幾何體中的可見輪

廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線為虛線，錯(cuò)選A或D都是沒(méi)有抓住看到的輪廓線在面

上的投影位置，從而導(dǎo)致失誤.

［正解］還原正方體后，將4,D,4三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線，。力的射影為U8

且為實(shí)線，4c被遮擋應(yīng)為虛線.故選B.

［答案］B

［防范措施］空間幾何體為三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得

到的三個(gè)平面投影圖.因此在分析空間幾何體的三視圖問(wèn)題時(shí)，就要抓住正投影，結(jié)合具體

問(wèn)題和空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行解答.

【自主體驗(yàn)】

（?東北三校模擬）如圖，多面體被切一板的底面力?切為正方形，F(xiàn)C=GI）=2EA,其俯視圖

如下，則其正視圖和側(cè)視圖正確的是（）.

AB俯視圖

解析注意BE,選在平面微節(jié)上的投影為實(shí)線，旦由已知長(zhǎng)度關(guān)系確定投影位置，排除A,

C選項(xiàng)，觀察B,D選項(xiàng)，側(cè)視圖是指光線從幾何體的左面向右面正投影，則8C,跖的投影

為虛線，故選D.

答案I）

課時(shí)?題組訓(xùn)練階梯訓(xùn)練練出高分

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P307

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時(shí)：40分鐘）

一、選擇題

1.一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是（）.

A.底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形

B.底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面

C.底面是菱形，具有?個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直

D.每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱

解析A,B兩選項(xiàng)中側(cè)棱與底面不一定垂直，I）選項(xiàng)中底面四邊形不一定為正方形，故選

C.

答案c

2.（?福州模擬）沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對(duì)角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視

圖為（）.

CD

解析給幾何體的各頂點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖1.4〃在側(cè)投影面上的投影重合，C,。在側(cè)投影

面上的投影重合，幾何體在側(cè)投影面上的投影及把側(cè)投影面展平后的情形如圖2所示，故正

確選項(xiàng)為B（而不是A）.

161圉2

答案B

3.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（）.

□△◎A

①正方體②圓錐③三棱臺(tái)④正四極錐

A.①②B.①③C.①④D.②④

解析正方體的三視圖都是正方形，不合題竟：圓錐的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯

視圖是圓，符合題意；三棱臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖、俯視圖各不相同，不合題意；正四棱錐的

正視圖和側(cè)視圖都是三角形，而俯視圖是正方形，符合題意，所以②④正確.

答案D

4.（?汕頭二模）如圖，某簡(jiǎn)單幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且其體積

為寧，則該幾何體的俯視圖可以是（）.

□□

正視圖側(cè)視圖

解析若該幾何體的俯視是選項(xiàng)A,則其體積為1,不滿足題意；由正視圖、側(cè)視圖可知俯

視圖不可能是B項(xiàng)；若該幾何體的俯視圖是選項(xiàng)C,則其體積為不符合題意：若該幾何

體的俯視圖是選項(xiàng)D,則其體積為:，滿足題意.

答案D

5.

俯視圖斜視圖

已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角

邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）.

解析空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2,正視圖和俯視

圖“長(zhǎng)對(duì)正”，故正視圖的底面邊長(zhǎng)為2,根據(jù)側(cè)視圖中的直角說(shuō)明這個(gè)空間幾何體最前面

的面垂直于底面，這個(gè)面遮住了后面的一個(gè)側(cè)棱，綜合以上可知，這個(gè)空間幾何體的正視圖

可能是C.

答案C

二、填空題

6.利用斜二測(cè)畫法得到的以下結(jié)論，正確的是（寫出所有正確的序號(hào)）.

①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是立行四邊形；③正方形的直觀圖是正

方形；④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形.

解析①正確；由原圖形中平行的線段在直觀圖中仍平行可知②正確；但是原圖形中垂直的

線段在直觀圖中一般不垂直，故③錯(cuò)；④正確；⑤中原圖形中相等的線段在直觀圖中不一定

相等，故錯(cuò)誤.

答案①②④

7.一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的（填入

所有可能的幾何體前的編號(hào)）.

①三棱錐；②四棱錐；③三楂柱；④四棱柱；⑤圓錐；⑥圓柱.

解析

顯然，三棱錐、圓錐的正視圖可以是三角形；三楂柱的王視圖也可以是三角形（把三楂柱放

倒，使一側(cè)面貼在地面上：并讓其底面面對(duì)我們，如圖所示）；只要形狀合適、擺放適當(dāng)（如

一個(gè)側(cè)面正對(duì)著觀察者的正四棱錐），四棱錐的正視圖也可以是三角形（當(dāng)然，不是任意擺放

的四棱錐的正視圖都是三角形），即正視圖為三角形的幾何體完全有可能是四棱錐：不論四

棱柱、圓柱如何擺放，正視圖都不可能是三角形(可以驗(yàn)證，隨意擺放的任意四棱柱的正視

圖都是四邊形，圓柱的正視圖可以是圓或四邊形).綜L所述，應(yīng)填①②?⑤.

答案①②③⑤

8.如圖，用斜二測(cè)畫法得到四邊形力懶是下底角為45°的等腰梯形，/

其下底長(zhǎng)為5,一腰長(zhǎng)為成，則原四邊形的面積是_______..42一

解析作"'_L/18于'CF1AB于F,則力￡=8Q/Wbos45。=1,???⑦=跖=3.將原圖復(fù)原

(如圖)，則原四邊形應(yīng)為直角梯形，ZJ=90a,/俗=5,緩=3,AD=2y[2,AS四邊形皿=1

X(5+3)義2鏡=8，1

答案8^2

三、解答題

9.如圖所示的是?個(gè)零件?的直觀圖，試畫出這個(gè)幾何體的三視圖.

解這個(gè)幾何體的三視圖如圖.

10.如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖.

(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；

⑵畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積;

（3）求出該幾何體的體積.

解（1）正六棱錐.

（2）其側(cè)視圖如圖：其中，仍=月4AD1BC,且8C的長(zhǎng)是俯視圖中的正六邊形對(duì)邊的距離,

即比=小/，的長(zhǎng)是正六棱錐的高，即4?=小a,

，該平面圖形的面積5=7小a-小a=

(3)/=；X6X平才X小

能力提升題組

（建議用時(shí)：25分鐘）

一、選擇題

1.一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是（）.

A.球B.三棱錐C.正方體D.圓柱

解析球的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為圓，且形狀相同、大小相等；三棱錐的止視圖、側(cè)

視圖和俯視圖可以為全等的三角形；正方體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖可以為形狀相同、大

小相等的正方形；圓柱的正視圖、側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為圓.

答案D

2.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面

積等于（）.

A.B.2,^2C.才D.

解析根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的

直觀圖的面積S'之間的關(guān)系是S'本題中直觀圖的面枳為才，所以原平面四邊形

的面積等于=2//

4

答案B

二、填空題

3.

4

日7

A

如圖所示，E,6分別為正方體/收N—48C〃的面力如M、面8s8的中心，則四邊形③叨￡

在該正方體的面上的正投影可能是(填序號(hào)).

解析由正投影的定義，四邊形身切￡在面力與面國(guó)GC上的正投影是圖③；其在面

月防M與面以Z4上的正投影是圖②；其在面力筋與面4644上的正投影也是②，故①④

錯(cuò)誤.

答案②③

三、解答題

4.已知正三棱錐，一力比’的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示.

(1)畫出該三棱錐的直觀圖;

(2)求出側(cè)視圖的面積.

解(1)直觀圖如圖所示：

(2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC=2季,

???側(cè)視圖中

Sz蛻=3X2yX2^3=6.

學(xué)生用書第108頁(yè)

第2講空間幾何體的表面積與體積

［最新考綱］

1.了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的計(jì)算公式.

2.了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公

式.

診斷?基礎(chǔ)知識(shí)由淺入深夯基固本

知識(shí)梳理

1.柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積

面積體積

圓柱S則=2nrhV=Sh=n

11

V=-Sh=-nfh

JJ

圓錐Jirl

o

/=：（Si.+S下+dSi：S卜）Z?=1n（才+成+八心）h

圓臺(tái)S值=n（n+n）1

Jo

直楂柱S^\=ChV=Sh

S例=；汨

正棱錐V=\sh

J

【/=5(S上+S卜+75毋)。

正楂臺(tái)）h'

*5

v=\nR

球S球詡=4——

<5

2.幾何體的表面積

(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和.

(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形;它們的表面積等于側(cè)面積

與底面面積之和.

辨析感悟

1.柱體、錐體、臺(tái)體與球的面積

(1)圓柱的一個(gè)底面積為，側(cè)面展開圖是?個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是21Ts(X)

(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

3.(X)

2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積

(3)(教材練習(xí)改編)若一個(gè)球的體積為4小n,則它的表面積為12n.(V)

(4)(?浙江卷改編)若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等于24

cm\(V)

H-4TH-3-H

俯視圖

(5)在△力比中，AB=2fBC=3,ZABC=\20°,使△45C繞直線旗旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何

體的體積為9n.(X)

3.柱體、錐體、臺(tái)體的展開與折疊

(6)將圓心角為鋁，面積為3”的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積等于4兀.(J)

(7)(?青州模擬改編)將邊長(zhǎng)為a的正方形力應(yīng)刀沿對(duì)角線力。折起，使劭=&,則三楂錐〃

一/1回的體積為點(diǎn)/(x)

1乙

［感悟?提升］

兩點(diǎn)注意?是求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形.將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形將

其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.

二是幾何體展開、折疊問(wèn)題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系.

學(xué)生用書第109頁(yè)

突破?高頻考點(diǎn)以例求法舉一反三

考點(diǎn)一空間幾何體的表面積

【例11(?日照?模)如圖是■個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，具俯視圖

是面積為8鏡的矩形.則該幾何體的表面積是().

A.8B.20+8\傷

C.16D.24+8\歷

解析由已知俯視圖是矩形，則該幾何體為一個(gè)三棱柱，根據(jù)三視圖的性質(zhì)，俯視圖的矩形

寬為2鏡，由面積隊(duì)得長(zhǎng)為4,則該兒何體的表面積為S=2X+2X2+2鏡X4+2X2X4

=20+8*.

答案B

規(guī)律方法(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)?/p>

分析，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.

(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而

表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.

【訓(xùn)練1】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.

解析如圖所示：

該幾何體為長(zhǎng)為4,寬為3,高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓柱后

剩卜的部分.

，S表=(4X1+3X4+3X1)X2+2JiX1X1-2JTXl2=38.

答案38

考點(diǎn)二空間幾何體的體枳

[例2](1)(?新課標(biāo)全國(guó)I卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該兒何體的體積為().

A.16+8nB.8+8n

C.16+16“D.8+16n

（2）（?福州模擬）如圖所示，己知三棱柱ABC—ABQ的所有棱長(zhǎng)均為1,且底面ABC,

則三棱錐片一/1施；的體積為（）.

碑

D羋

解析（1）由三視圖可知該幾何體由長(zhǎng)方體和圓柱的一半組成.其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分

別為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、而為4.所以P=2X2X4+1X22XJTX4=16+8”.故選

A.

⑵三棱錐R—ABC的體積等于三棱錐的體積，三楂錐A-B.BG的高為坐，底面積

為I，故其體積為:X：x^=噌.

乙J乙乙1乙

答案（DA（2）A

規(guī)律方法（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形

狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的

體積不能直接利用公式得出，則常用等枳法、分割法、外形法等方法進(jìn)行求解.

【訓(xùn)練2】如圖所示，已知反，.分別是棱長(zhǎng)為a的正方體力自笫一44G〃的棱CG的

中點(diǎn)，求四棱錐G一笈切尸的體積.

解法一連接4G，4〃交于點(diǎn)4,連接打〃，/:五,

過(guò)。作RH【B\D于H.

???臣〃4G,且4GQ平面區(qū)瓦方

E/a平面BMF.

???4G〃平面笈垃應(yīng)

???C到平面劣及*的距離就是4G到平面〃/步’的距離.

???平面笈〃〃_L平面8及泥，且平面呂?！–I平面8\EDF=B\D,

平面笈切E

即〃〃為棱錐的高.

,:叢B\RH^叢B\DD\,

.八,，乖

?,"”一民D-6?

「1，-、1

「?Vc「B]EDF=三-S四邊形為EOF*°1"=與—?EF?B7?

?g?/a?y(3a?^a=^a.

法二連接EF,HJ）.

設(shè)笈到平面O的距離為力】，〃到平面G環(huán)的距離為/力，則力+力尸笈&

由題意得，TC[B]EDF=I'D—C]EF=馬?S4Q印?（加十九）

考點(diǎn)三球與空間幾何體的接、切問(wèn)題

【例3】（1）（?福建卷）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正

視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積

是______________

（2）（?遼寧卷）已知直三棱柱4?。一/出G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若48=3,AC=\,

ABLAC,力4=12,則球〃的半徑為

B.2y/10

C竽D.3-^76

審題路線（1）正方體內(nèi)接于球=正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑=求得球的半徑=代入

球的表面積公式（注意只算球的表面積）.

⑵比為過(guò)底面4比’的截面圓的直徑=取比'中點(diǎn)〃，則球心在a'的垂直平分線上，再由對(duì)

稱性求解.

解析（1）由三視圖知，梭長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2小，即為

球的直徑.

所以球的表面積為S=4n?圖）=]2口.

（2）因?yàn)樵谥比庵衃6=3,AC=4,力4=12,ABLAC,所以公5,且比為過(guò)底面力8C

的截面圓的直徑，取比'中點(diǎn)D,則勿J_底面則。在側(cè)面BCC8內(nèi),矩形6s5的對(duì)

.______12

角線長(zhǎng)即為球的直徑，所以2r=N12-'+5'=13,即「=?.

答案（l）12n（2）C

學(xué)生用書第110頁(yè)

規(guī)律方法解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的

關(guān)系和數(shù)最關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種

元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的.

【訓(xùn)練3】(?新課標(biāo)全國(guó)I卷)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8

cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如

果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為

500n

A.~--cm

2048Ji

I).-------------cm

解析作出該球的軸截面，如圖所示，依題意BE=2cir,AE=CE=\cm,設(shè)DE=x,故AD

=24-x,因?yàn)?於，解得x=3(cm),故該球的半徑AD=5cm,所以J/=^nt='°：」

oJ

答案A

考點(diǎn)四幾何體的展開與折售問(wèn)題

【例4】⑴如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形紙片力伙為中，然與做相交于，剪去△/!如,

將剩余部分沿3,勿折疊，使。1，OB重合,則以4B,C,〃，。為頂點(diǎn)的四面體的體積為

(2)如圖所示，在直三棱柱力比一力心G中，△/1比為直角三角形，N[3=90°,1C=4,BC

=笫=3.〃是〃。上一動(dòng)點(diǎn)，則CP+/H的最小值為(其中表示只4兩點(diǎn)沿棱

柱的表面距離).

解析(1)折疊后的四面體如圖所示.

OA,0C,5兩兩相互垂直，且OA=0C=00=2*\/2?體積K=~5A(O?O/1=~X~X(2*\^2)3="

J3乙J

(2)由題總知，把面669。沿做展開與面/勿山。在一個(gè)平面上，如圖所示，連接4。即可.

則4、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，"十處|最小,

???/力⑦=90°,月C=4,BC=GC=3,

.\/1I^I=^=^/42+32=5,???4G=5+3=8,

???4。=亞百=/.故CP+PA,的最小值為班.

⑵/

規(guī)律方法(1)有關(guān)折疊問(wèn)題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間

圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變.

(2)研究?jī)汉误w表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩

點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題.

【訓(xùn)練4】如圖為一幾何體的展開圖，其中/以力是邊長(zhǎng)為6的正方形，SD-PD-GCR-

SC,AQ=AP,點(diǎn)S,D,月，0共線，點(diǎn)、P,D,C,〃共線，沿圖中虛線將它們折置起來(lái)，使巴

0,R,S四點(diǎn)重合，則需要個(gè)這樣的幾何體，可以拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體.

Q

解析由題意知，將該展開圖沿虛線折疊起來(lái)以后，得到一個(gè)四棱錐〃一/仍⑦（如圖所示），

其中"L平面因此該四棱錐的體積P=；X6X6X6=72,而棱長(zhǎng)為6的正方體的體

V

積『=6X6X6=216,故需要等=3個(gè)這樣的幾何體，才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體.

答案3

I課堂小結(jié)I

1.對(duì)于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問(wèn)題，要結(jié)合它們

的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決.

2.求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三楂錐的三條側(cè)棱兩兩

垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積.

3.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)

和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切

點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均

在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

培養(yǎng)?解題能力

方法優(yōu)化5一一特殊點(diǎn)在求解幾何體的體積中的應(yīng)用

【典例】（?山東卷）如圖，正方體/山⑺一力歸G〃的棱長(zhǎng)為1,E,廠分別為線段4八BxC

上的點(diǎn)，則三棱錐〃一板的體積為

［一般解法］三棱錐〃一的體積即為三棱錐少一〃4少的體積.因?yàn)榉謩e為力人4。

1

上的點(diǎn)，所以在正方體力比7＞一力心6〃中△拉族的面積為定值萬(wàn)，〃到平面力44〃的距離為定

T7j_[I

值1,所以'P-JJU￡=3X2X1=6.

1

［優(yōu)美解法］￡點(diǎn)移到1點(diǎn)，尸點(diǎn)移到。點(diǎn)，則TD］-EDF=D^—\DC=3X2

X1X1X1=g.

［答案］1

［反思感悟］(1)一般解法利用了轉(zhuǎn)化思想，把三棱錐

〃一以田的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐少一〃〃少的體積，但這種解法還是難度稍大，不如采用特殊點(diǎn)

的解法易理解、也簡(jiǎn)單易求.

(2)在求幾何體體積時(shí)還經(jīng)常用到等積法、害ij補(bǔ)法.

【自主體驗(yàn)】

如圖，在三棱柱力4c一力歸G中，側(cè)棱44與側(cè)面灰的距離為2,側(cè)面灰的面積為4,

此三楂柱ABC—ABG的體枳為

解析補(bǔ)形法將三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示.

記4到平面BCCB的距離為d,則d=2.

11Q

則四邊形8“巧=，X4X2=4.

Dy

G

答案4

課時(shí)?題組訓(xùn)練階梯訓(xùn)練練出高分

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P309

基礎(chǔ)鞏固題組

（建議用時(shí)：40分鐘）

一、選擇題

1.（?廣東卷）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是（）.

便視圖

俯視圖

A.4B."C."D.6

oJ

解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為1的正方形；下底面是邊長(zhǎng)為2

的正方形，高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積r=-（l2+V^>^+22）X2=，

JTJ

故選B.

答案B

2.（?湖南卷）已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正

視圖的面積不可能等于（）.

A.1B.mC.嚀1D.畢

解析由俯視圖的面積為1可知,該正方體的放置如圖所示,當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)

面垂直時(shí)，正視圖的面積最小，其值為1,當(dāng)正視圖的方向與正方體的對(duì)角面〃〃或

垂宜時(shí)，正視圖的面積最大，其值為出,由于正視圖的方向不同，因此正視圖的面積S￡[l,

p.故選C.

答案C

3.（?許昌模擬）如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯

視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的表面積為1）.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

3

A.4JTB.-JiC.3nD.2n

乙

解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱，S衣=2X五x（g）+JIX1X1=^

答案B

4.

如圖，在多面體力比被中，已知是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△/1%；均為正三角

形，/:尸〃4〃，/:尸=2,則該多面體的體積為（）.

A.平B.乎C.|D.|

JJJ4

解析如圖，分別過(guò)點(diǎn)4/，作融的垂線，垂足分別為G,//,連接%，CH,容易求得用=

AG=GD=BH=和=乎，/.加.=義嘩XI=平，:.V=匕-候?+/-做+加）■畋

乙乙乙乙士

=2必所眥=五義"^~乂wX.2義1=^^~.故選A.

j4/qj

答案A

5.（?新課標(biāo)全國(guó)卷）平面a截球。的球面所得圓的半徑為】，球心。到平面a的距離為小,

則此球的體積為（）.

A.乖RB.4^/3JTC.4季nD.673n

解析

如圖，設(shè)截面圓的圓心為0',1V為截面圓上任一點(diǎn)，貝IJ0（/=&O'M=l,；.0洶=

y/y[22+1=A/3,即球的半徑為小，???1/=[兀（譙尸=4鋪八.

答案B

二、填空題

6.（?遼寧卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________.

l-kt*-2-+.k<

解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)三四棱柱，圓柱底面圓半徑為2,高

為4,故體積為16n；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2,高為4,故體積為16,所以兒何體的體積為

16”—16.

答案16n-16

7.（?陜西卷）某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為

解析該幾何體為一個(gè)半到錐，故其體枳為JiK12x22=q".

J乙J

答案

TJ

8.（?江蘇卷）如圖，在三棱柱/出G—月及?中，D,E,k分別是防，AC,力4的中點(diǎn)，設(shè)三

楂錐尸-4應(yīng)的體積為匕三棱柱48￡一力緲的體積為心則匕：V2=.

解析設(shè)三棱柱45G—肪。的高為力，底面三角形4%的面積為S,則％=Jx；S?力

=』％,即匕：叢=1：24.

答案1：24

三、解答題

9.如圖，」知某幾何體的三視圖如下（單位：cm）：

俯視圖

（1）畫出這個(gè)幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；

（2）求這個(gè)幾何體的表面積及體積.

解

（1）這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示.

（2）這個(gè)幾何體可看成是正方體力G及直三棱柱840—4〃/的組合體.

由剛=9=鏡cm,A^=AD=2cm,可得處.故所求幾何體的表面積

5=5X22+2X2X^2+2X1X（隹了=22+4啦（end,

體積K=23+1X(^2)2X2=10(cm3).

10.有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為T的鐵球,

并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度.

解如圖所示，作出軸械面，因軸橫面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的

深度為3八水面半徑皮的長(zhǎng)為十八則容器內(nèi)水的體積為

p=〃球=；丸（水■?、）"?3?一

將球取出后，設(shè)容器中水的深度為力，

則水面圓的半徑為半瓦從而容器內(nèi)水的體積為

O

V="”力="714，由v=v，,得力=即%，:

能力提升題組

（建議用時(shí):25分鐘）

一、選擇題

1.已知球的直徑SC=4,A,8是該球球面上的兩點(diǎn)，/伊=小，4ASC=/BSC=30：則棱

錐S—49。的體枳為（）.

A.B.2鎘C./D.1

解析由題意知，如圖所示，在棱錐5一力仇?中，△必￡△$%都是有一個(gè)角為30°的直角

三角形，其中/仍=/，SC=4,所以SA=SB=2小,AC=BC=2,作8〃_LSC于〃點(diǎn)，連接

AD,易證SC_L平面月6Z4因此Vs-.inc-(^3)JX4-^3.

答案C

2.(?臨沂一模)具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積

A.3B.7+3也

7

C.-n[).14

解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放

置的圓柱.由圖可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為1,底面邊長(zhǎng)分別為1,3,所以表面

積為2(1X3+1X1+3X1)=14.

答案D

二、填空題

3.如圖，已知正三棱柱"。一48￡的底面邊長(zhǎng)為2cm、高為5cm,則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)力出發(fā),

沿著三楂柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)4的最短路線的長(zhǎng)為________(cm).

解析根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所

示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長(zhǎng)為卡不訪=13(cm).

答案13

三、解答題

4.如圖1,在直角梯形四⑦中，N4T=90°,CD//AB,48=4,AD=CD=2,將沿

折起，使平面4T_L平面力比；得到幾何體〃一如圖2所示.

圖2

（1）求證：8aL平面力切:

（2）求兒何體/?-/1/'的體積.

⑴證明在圖中，可得〃'二優(yōu)三2小,

從而AC+Bd=AE,

故ACLBC,

又平面力〃C_L平面ABC,

平面ADCC\平面ABC=AC,

BCu平面ABC,

，夕UL平面ACI）.

⑵解由（1）可知，%為三楂錐6一.4。的高，BC=2^i,以心=2,二％,心=<&心?%=J

JJ

X2X2^=羋，由等體積性可知，兒何體6月%的體積為羋.

JJ

學(xué)生用書第111頁(yè)

第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

［最新考綱］

1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.

2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.

3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

診斷?基礎(chǔ)知識(shí)由淺入深夯基固本

知識(shí)梳理

1.平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

(2)公理2：過(guò)不在?條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有二±公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直

線.

⑷公理2的三個(gè)推論

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；

推論2：經(jīng)過(guò)兩條亞交直線有且只有一個(gè)平面；

推論3：經(jīng)過(guò)兩條亞直線有且只有一個(gè)平面.

2.空間中兩直線的位置關(guān)系

(1)空間兩直線的位置關(guān)系

「共面直喘I

、異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,6是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。作直線a'Ha,bl//b,把a(bǔ)'與

所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

②范圍：(0,y.

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于回二條直線的兩條直線互相平行.

②等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

3.空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

（1）直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.

（2）平面與平面的位置關(guān)系有拉、相交兩種情況.

辨析感悟

1.對(duì)平面基本性質(zhì)的認(rèn)識(shí)

（1）兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.（X）

（2）兩個(gè)平面a,8有一個(gè)公共點(diǎn)力，就說(shuō)a,B相交于力點(diǎn)，記作（義）