高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練28定點(diǎn)、定值問題含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練28定點(diǎn)、定值問題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識模塊，定點(diǎn)和定值問題是高考考查的重點(diǎn)知識，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、定點(diǎn)問題求解定點(diǎn)問題常用的方法(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明．(2)“一般推理，特殊求解”，即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo)．(3)求證直線過定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)來證明．二、定值問題求圓錐曲線中定值問題常用的方法(1)引出變量法：其解題流程為eq\x(變量)→eq\x(選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?↓eq\x(函數(shù))→eq\x(把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù))↓eq\x(定值)→eq\x(把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值)(2)特例法：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．一、單選題1．（22-23高三下·河北衡水·階段練習(xí)）已知拋物線過點(diǎn)，動點(diǎn)M，N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0，直線l的斜率為，且過C的焦點(diǎn)F，l把分成面積相等的兩部分，則直線MN的方程為（

）A． B．C． D．2．（22-23高二上·山東濟(jì)寧·期末）已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（22-23高三上·山東東營·期末）已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，記直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，則（

）A． B．橢圓過個定點(diǎn)C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．4．（2023·江蘇·二模）已知橢圓，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，則（

）A．周長為定值 B．直線與的斜率乘積為定值C．線段的長度存在最小值 D．該橢圓離心率為三、填空題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過的定點(diǎn)為.6．（2023·福建漳州·三模）已知橢圓的長軸長為，離心率為，為上的兩個動點(diǎn)，且直線與斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的短軸長為，.四、解答題7．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．8．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請說明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高二上·北京豐臺·期末）設(shè)圓，直線，為上的動點(diǎn)．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)四邊形為正方形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為②的取值范圍為③當(dāng)為等邊三角形時，點(diǎn)坐標(biāo)為④直線恒過定點(diǎn)其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．（22-23高三下·湖南·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上（異于頂點(diǎn)），（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)作直線的垂線與軸交于點(diǎn)，則（

）A．6 B． C．4 D．4．（22-23高二上·上海浦東新·期末）已知雙曲線：，點(diǎn)P為曲線在第三象限一個動點(diǎn)，以下兩個命題，則（

）①點(diǎn)P到雙曲線兩條漸近線的距離為，，則為定值.②已知A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱不同于P的兩個點(diǎn)，若PA、PB的斜率存在且分別為，，則為定值.A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假二、多選題5．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則（

）A．若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長為B．若，則的面積為C．若直線過點(diǎn)，則的最小值為D．若，則直線恒過定點(diǎn)6．（22-23高二下·浙江·開學(xué)考試）設(shè)為雙曲線：上一動點(diǎn)，，為上、下焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)，則最小值為7B．若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（與均不重合），則C．若點(diǎn)，在雙曲線的上支，則最小值為D．過的直線交于、不同兩點(diǎn)，若，則有4條7．（22-23高二上·湖南衡陽·期中）圓錐曲線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如圖是拋物線的阿基米德三角形，弦AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，又BC，AD均垂直于準(zhǔn)線l，且C，D為垂足，則下列說法正確的有（

）A．以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)B．為定值4C．為定值D．有最小值8．（22-23高三上·廣東云浮·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．若的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C．存在點(diǎn)滿足 D．直線與直線的斜率之積為三、填空題9．（2023·湖南長沙·一模）如圖，已知拋物線C：，圓E：，直線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積等于，則直線AB被圓E所截的弦長最小值為．10．（22-23高二上·山東棗莊·期末）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，且長軸長為，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)．11．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實(shí)數(shù)），求.12．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知為雙曲線上一點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．四、解答題13．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（ⅰ）證明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.14．（2023·江蘇南通·一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).15．（2023·四川南充·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．16．（23-24高二上·浙江·期中）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（21-22高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）點(diǎn)，是曲線C：的左右焦點(diǎn)，過作互相垂直的兩條直線分別與曲線交于A，B和C，D；線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，直線與x軸垂直且點(diǎn)G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，則圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·貴州貴陽·期末）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與此拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題3．（2023·安徽·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則下列說法正確的是（

）A．若、、三點(diǎn)共線，則的最小值為B．若，則的面積為C．若，則直線過定點(diǎn)D．若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為4．（22-23高三下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線交于，和，，過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足分別為，，則（

）A．四邊形面積的最大值為2B．四邊形周長的最大值為C．為定值D．四邊形面積的最小值為32三、填空題5．（2023·遼寧大連·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為.點(diǎn)A是雙曲線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為定值，則當(dāng)時實(shí)數(shù)的值為.6．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，則；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為．四、解答題7．（2022·遼寧沈陽·二模）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．8．（2023·重慶·一模）已知雙曲線E：的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線E右支上異于其頂點(diǎn)的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓C：的一條切線AM，切點(diǎn)為M，且．(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與雙曲線左支交于點(diǎn)B，雙曲線的右頂點(diǎn)為，直線AD，BD分別與圓C相交，交點(diǎn)分別為異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，Q．判斷弦PQ是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)，如果不過定點(diǎn)，說明理由．9．（24-25高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）橢圓與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)動直線與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù).①證明：動直線恒過軸上的某個定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求面積的最大值.10．（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知，M為平面上一動點(diǎn)，且滿足，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)若，過點(diǎn)的動直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練28定點(diǎn)、定值問題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識模塊，定點(diǎn)和定值問題是高考考查的重點(diǎn)知識，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、定點(diǎn)問題求解定點(diǎn)問題常用的方法(1)“特殊探路，一般證明”，即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目標(biāo)的一般性證明．(2)“一般推理，特殊求解”，即先由題設(shè)條件得出曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到定點(diǎn)坐標(biāo)．(3)求證直線過定點(diǎn)(x0，y0)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)來證明．二、定值問題求圓錐曲線中定值問題常用的方法(1)引出變量法：其解題流程為eq\x(變量)→eq\x(選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?↓eq\x(函數(shù))→eq\x(把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù))↓eq\x(定值)→eq\x(把得到的函數(shù)化簡，消去變量得到定值)(2)特例法：從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．一、單選題1．（22-23高三下·河北衡水·階段練習(xí)）已知拋物線過點(diǎn)，動點(diǎn)M，N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0，直線l的斜率為，且過C的焦點(diǎn)F，l把分成面積相等的兩部分，則直線MN的方程為（

）A． B．C． D．2．（22-23高二上·山東濟(jì)寧·期末）已知雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（22-23高三上·山東東營·期末）已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，記直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，則（

）A． B．橢圓過個定點(diǎn)C．存在實(shí)數(shù)，使得 D．4．（2023·江蘇·二模）已知橢圓，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，則（

）A．周長為定值 B．直線與的斜率乘積為定值C．線段的長度存在最小值 D．該橢圓離心率為三、填空題5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角的正切值為.若直線（且）與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線，的斜率的倒數(shù)和為，則直線恒經(jīng)過的定點(diǎn)為.6．（2023·福建漳州·三模）已知橢圓的長軸長為，離心率為，為上的兩個動點(diǎn)，且直線與斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的短軸長為，.四、解答題7．（2024·北京·高考真題）已知橢圓：，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形.過點(diǎn)且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)若直線BD的斜率為0，求t的值．8．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請說明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．參考答案：題號1234答案DCABBCD1．D【分析】由題意求出拋物線方程為，設(shè)，直線，聯(lián)立直線和拋物線的方程結(jié)合韋達(dá)定理由，可求出，再求出直線l的方程，由題意可轉(zhuǎn)化為到直線的距離為到直線距離的，代入求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，解得：，所以，設(shè)，直線，代入中整理得，所以,，所以，即，則，解得：，所以直線，直線l的斜率為，且過C的焦點(diǎn)，所以，則到直線的距離為，所以l把分成面積相等的兩部分，因?yàn)橹本€與直線平行，所以到直線的距離為到直線距離的，，解得：或（舍去）.所以直線MN的方程為.故選：D.2．C【分析】根據(jù)雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用為正三角形，列方程解系數(shù)既可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，不妨取，，為正三角形，由對稱性可知，直線的傾斜角為，則，解得，所以雙曲線的兩條漸近線方程為.故選：C3．AB【分析】將橢圓方程與直線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算和韋達(dá)定理可整理得到A正確；由A中結(jié)論變形可得，由此可得橢圓所過四個定點(diǎn)坐標(biāo)，知B正確；利用弦長公式表示并化簡得到，根據(jù)可求得的范圍，由此可知C錯誤；令，可解得，知D錯誤.【詳解】設(shè)，，由得：，則，，，；對于A，由題意知：，，，，即，，，A正確；對于B，由知：，則當(dāng)時，橢圓方程恒成立，橢圓過定點(diǎn)，，，，共個，B正確；對于C，，即；又，，，即，不存在實(shí)數(shù)，使得，C錯誤；對于D，令，解得：，存在實(shí)數(shù)使得，D錯誤.故選：AB.4．BCD【分析】通過取不同值求出周長即可判斷A，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)利用斜率公式化簡即可判斷B，確定線段取最小值的條件即可判斷C，確定、的值即可求出離心率從而判斷D．【詳解】該橢圓中，則，所以離心率為，故D正確；設(shè)，，，則在、斜率都存在的前提下有，，于是為定值，故B正確；由題意可設(shè)的方程為，聯(lián)立，消得，則，所以，則當(dāng)時，，所以線段的長度存在最小值，故C正確.當(dāng)時，直線與橢圓交于點(diǎn)和，不妨取點(diǎn)為，得直線方程為，求得交點(diǎn)為，則，，，此時的周長為，當(dāng)時，聯(lián)立，解得，不妨取，則垂直于軸，此時，，，此時的周長為，顯然周長不為定值，故A錯誤；故選：BCD．5．【分析】先根據(jù)漸近線的傾斜角算出，然后聯(lián)立直線和雙曲線，結(jié)合題目條件和韋達(dá)定理找到的關(guān)系，從而得到定點(diǎn).【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為一條漸近線的傾斜角的正切值為.所以，解得，所以雙曲線方程為.設(shè)，，聯(lián)立得，.由韋達(dá)定理得，.因?yàn)椋?所以，由題意知，此時.所以直線方程為，恒經(jīng)過的定點(diǎn)為.故答案為：6．【分析】根據(jù)橢圓長軸長、離心率可求得，由此可得短軸長及橢圓方程；設(shè)，，根據(jù)斜率關(guān)系，結(jié)合兩角和差公式可整理得到，利用兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】橢圓的長軸長為，，又離心率，，橢圓的短軸長為，橢圓；設(shè)，，，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，求解距離平方和的關(guān)鍵是能夠通過三角換元的方式，結(jié)合斜率關(guān)系得到所滿足的關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式來進(jìn)行求解.7．(1)(2)【分析】（1）由題意得，進(jìn)一步得，由此即可得解；（2）設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理有，而，令，即可得解.【詳解】（1）由題意，從而，所以橢圓方程為，離心率為；（2）直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，從而設(shè)，，聯(lián)立，化簡并整理得，由題意，即應(yīng)滿足，所以，若直線斜率為0，由橢圓的對稱性可設(shè)，所以，在直線方程中令，得，所以，此時應(yīng)滿足，即應(yīng)滿足或，綜上所述，滿足題意，此時或.8．(1)；(2)不存在，理由見解析；(3)證明見解析【分析】(1)根據(jù)題意列式求，進(jìn)而可得雙曲線方程；(2)設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理判斷是否為零即可；(3)用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線，得點(diǎn)坐標(biāo)，表示出，結(jié)合韋達(dá)定理，證明為定值．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，∴雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點(diǎn)，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，易得，設(shè)Ax1,y1∵，則，即，可得與不垂直，∴不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，∴，又，∴，∵，∴，且，∴，即為定值．

【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高二上·北京豐臺·期末）設(shè)圓，直線，為上的動點(diǎn)．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)四邊形為正方形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為②的取值范圍為③當(dāng)為等邊三角形時，點(diǎn)坐標(biāo)為④直線恒過定點(diǎn)其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（21-22高二上·安徽蚌埠·期末）已知直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率之積為，則直線l恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．3．（22-23高三下·湖南·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上（異于頂點(diǎn)），（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)），過點(diǎn)作直線的垂線與軸交于點(diǎn)，則（

）A．6 B． C．4 D．4．（22-23高二上·上海浦東新·期末）已知雙曲線：，點(diǎn)P為曲線在第三象限一個動點(diǎn)，以下兩個命題，則（

）①點(diǎn)P到雙曲線兩條漸近線的距離為，，則為定值.②已知A、B是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱不同于P的兩個點(diǎn)，若PA、PB的斜率存在且分別為，，則為定值.A．①真②真 B．①假②真C．①真②假 D．①假②假二、多選題5．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則（

）A．若垂直的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，則四邊形的周長為B．若，則的面積為C．若直線過點(diǎn)，則的最小值為D．若，則直線恒過定點(diǎn)6．（22-23高二下·浙江·開學(xué)考試）設(shè)為雙曲線：上一動點(diǎn)，，為上、下焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)，則最小值為7B．若過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（與均不重合），則C．若點(diǎn)，在雙曲線的上支，則最小值為D．過的直線交于、不同兩點(diǎn)，若，則有4條7．（22-23高二上·湖南衡陽·期中）圓錐曲線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如圖是拋物線的阿基米德三角形，弦AB經(jīng)過焦點(diǎn)F，又BC，AD均垂直于準(zhǔn)線l，且C，D為垂足，則下列說法正確的有（

）A．以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)B．為定值4C．為定值D．有最小值8．（22-23高三上·廣東云浮·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．若的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為C．存在點(diǎn)滿足 D．直線與直線的斜率之積為三、填空題9．（2023·湖南長沙·一模）如圖，已知拋物線C：，圓E：，直線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線OA與直線OB的斜率之積等于，則直線AB被圓E所截的弦長最小值為．10．（22-23高二上·山東棗莊·期末）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，且長軸長為，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，兩點(diǎn)，則直線過定點(diǎn)．11．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知橢圓左頂點(diǎn)為，為橢圓上兩動點(diǎn)，直線交于，直線交于，直線的斜率分別為且，（是非零實(shí)數(shù)），求.12．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知為雙曲線上一點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為．四、解答題13．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo).(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（與不重合），連接，交于點(diǎn).（?。┳C明：點(diǎn)在定直線上；（ⅱ）是否存在點(diǎn)使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.14．（2023·江蘇南通·一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).15．（2023·四川南充·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為．點(diǎn)P是橢圓C上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，射線、分別與橢圓C交于點(diǎn)A、B，的周長為8．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求證：為定值．16．（23-24高二上·浙江·期中）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.參考答案：題號12345678答案BAAABCDCDABCBD1．B【分析】對于①，當(dāng)四邊形為正方形時，利用，求出，再設(shè)，利用，解方程，可知①不正確；對于②，設(shè)，利用，以及二次函數(shù)知識可得；故②正確對于③，根據(jù)為等邊三角形，可得，，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用可求出結(jié)果；對于④，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，利用兩圓的方程相減得到公共弦的方程，將代入直線的方程恒成立，可得答案.【詳解】對于①，當(dāng)四邊形為正方形時，，又圓的圓心，半徑，所以，設(shè)點(diǎn)，則，所以，化簡得，該方程的判別式，該方程無解，所以不存在點(diǎn)使得四邊形為正方形，故①不正確；對于②，由①可知，，即的取值范圍為，故②正確；對于③，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)為等邊三角形時，可知，又平分，所以，在直角三角形中，由于,所以，即，所以，又點(diǎn)，所以，化簡得，解得，所以，則，故③不正確；對于④，設(shè)點(diǎn)，則，，以為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以為直徑的圓的方程為，化簡得，聯(lián)立，得，所以直線的方程為：，將代入直線的方程恒成立，故直線恒過定點(diǎn)，故④正確.所以正確的答案有2個，故選：B.2．A【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到，進(jìn)而得到的值，將直線的斜率之積為，用A,B點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，結(jié)合的值即可求得答案.【詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得：，需滿足，即，則，由，得：，所以，即，故，所以直線l為：，當(dāng)時，，即直線l恒過定點(diǎn)，故選：A.3．A【分析】設(shè)，由，得為的中點(diǎn),表示的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義求得結(jié)果.【詳解】法一：依題意，設(shè)，由，得為的中點(diǎn)且，則，易得直線的垂線的方程為.令，得，故，由拋物線的定義易知，故，故選:A.法二：特殊值法.不妨設(shè)，則，則，易得直線的垂線的方程為.令，得，故，又，故.故選:A.4．A【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程，借助點(diǎn)到直線距離計算判斷①，利用斜率坐標(biāo)公式計算判斷②作答.【詳解】依題意，設(shè)，且有，雙曲線的漸近線為，因此為定值，①真；設(shè)，則，且，顯然，否則，之一垂直于y軸，由雙曲線對稱性知另一條必垂直于x軸，其斜率不存在，不符合題意，則為定值，②真，所以①真②真.故選：A5．BCD【分析】對于A，由條件可得垂直于軸，然后可得四邊形的周長，對于B，由條件可得點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，即可得的面積，對于C，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線的方程消元，然后得到，然后結(jié)合基本不等式可得的最小值，對于D，設(shè)直線，然后聯(lián)立拋物線方程消元，然后由可求出的值.【詳解】

對于選項(xiàng)，由題意知，且垂直于軸，根據(jù)拋物線的定義可知.設(shè)與軸的交點(diǎn)為，易知，故，所以四邊形的周長為，選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)，由題意得，解得，所以，從而，選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，若直線過點(diǎn)，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，易得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程得，則，即，，所以，由可得，即，解得，故直線的方程為，即直線恒過定點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.6．CD【分析】結(jié)合雙曲線的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可確定本題答案.【詳解】由雙曲線：，得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以最小值為，故A錯誤；設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時，有，又因?yàn)?，所以；?dāng)時，有一個不存在；故B錯誤；，故C正確；由雙曲線：，可得通徑長為，且實(shí)軸長，所以這樣的直線有4條，故D正確.

故選：CD7．ABC【分析】根據(jù)拋物線的切線方程，相似關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程后根與系數(shù)的關(guān)系，兩角和的正切公式代入即可求解.【詳解】先證明出拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為證明如下：由于點(diǎn)在拋物線上，則，聯(lián)立即，，所以拋物線在其上一點(diǎn)處的切線方程為設(shè)，，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立消去x得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，又拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，即同理可知，拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為，由題意知，，直線MA的斜率為，直線MB的斜率為，，所以，，即點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上，即以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)，故A正確;當(dāng)AB垂直于x軸時，由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時，則，，又此時，則為定值4，當(dāng)AB不與x軸垂直時，直線AB的斜率為，直線MF的斜率為，，則，在中，，又以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切于M點(diǎn)，設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為，即得，則點(diǎn)M坐標(biāo)為，則，故B正確;，故C正確;由題意知，，則又根據(jù)題意知，則無最小值.故D錯誤.故選：ABC.8．BD【分析】結(jié)合橢圓的定義、直線斜率、橢圓中三角形的面積等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以，A選項(xiàng)錯誤.，，，B選項(xiàng)正確.

，“”中的等號成立的條件是，所以不存在滿足，C選項(xiàng)錯誤.設(shè)，，，，D選項(xiàng)正確.故選：BD.9．【分析】先由兩直線斜率之積構(gòu)造齊次化方程，得出直線AB過定點(diǎn)，再利用直線與圓的位置關(guān)系計算弦長確定最值即可.【詳解】設(shè)，，設(shè)：，又，∴，∴，∴．∴，∴，∴直線AB恒過點(diǎn)，由圖結(jié)合圓的弦長公式可知，當(dāng)圓心E到動直線AB的距離最大時，即當(dāng)直線時，弦長最短，此時弦最小為．故答案為：10．【分析】根據(jù)題意求出橢圓C的方程，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理與，求得的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】根據(jù)題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓的方程為∵上頂點(diǎn)為，∴，又長軸長為，∴，則橢圓C的方程為，

易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，由可得，∴，又，∴，解得或．當(dāng)時，直線AB經(jīng)過點(diǎn)D，不滿足題意，則直線AB的方程為，故直線AB過定點(diǎn)．故答案為：．11．1【分析】設(shè)，由以及解出，代入橢圓方程求出；同理可得；進(jìn)而求出的值．【詳解】解法1：可得點(diǎn)，設(shè)，則，由可得，即有，，，兩邊同乘以，可得，解得，將代入橢圓方程可得，由可得，可得；故答案為：．解法2：作變換之后橢圓變?yōu)閳A，方程為，，設(shè)，則，，∴，，∴.故答案為：．12．【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線漸近線方程，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用直線與雙曲線相切借助判別式求出三角形面積作答.【詳解】雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，

顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，，由得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由消去x得，于是，化簡得，直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以的面積.故答案為：13．(1)；(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）設(shè)Px0,y0（2）（ⅰ）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點(diǎn)在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）設(shè)Px0,因?yàn)?，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)位.（2）（ⅰ）設(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為y=y1直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點(diǎn)在直線上；（ⅱ）由圖可知，，即，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)?所以，所以,故.14．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而求解；（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)軸時，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn)，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)；方法二：設(shè)方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點(diǎn).設(shè)以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用橢圓的定義及性質(zhì)計算即可；（2）設(shè)直線PA的方程為，設(shè)，，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理可得的關(guān)系，再由易知向量線性關(guān)系轉(zhuǎn)化，計算即可.【詳解】（1）∵，∴，由離心率為得，從而，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

設(shè)，，則，可設(shè)直線PA的方程為，其中，聯(lián)立，化簡得，則，同理可得，．因?yàn)椋?，所以是定?16．【小題1】；【小題2】證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率列出方程組，求出，即可寫出雙曲線方程.（2）先根據(jù)題意可判斷直線AB的斜率存在且不為0,結(jié)合過點(diǎn)設(shè)出直線方程；再與雙曲線方程聯(lián)立得到兩根之和、兩根之積；最后表示出，結(jié)合韋達(dá)定理化簡即可證明結(jié)果.【詳解】（1）由題意得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意得直線AB的斜率存在且不為0.設(shè)直線方程為，，.聯(lián)立，消去得，所以.，又，.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（21-22高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）點(diǎn)，是曲線C：的左右焦點(diǎn)，過作互相垂直的兩條直線分別與曲線交于A，B和C，D；線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，直線與x軸垂直且點(diǎn)G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，則圓面積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（21-22高二下·貴州貴陽·期末）拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線與此拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多選題3．（2023·安徽·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，、是上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）則下列說法正確的是（

）A．若、、三點(diǎn)共線，則的最小值為B．若，則的面積為C．若，則直線過定點(diǎn)D．若，過的中點(diǎn)作于點(diǎn)，則的最小值為4．（22-23高三下·廣東清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線交于，和，，過點(diǎn)分別作，的垂線，垂足分別為，，則（

）A．四邊形面積的最大值為2B．四邊形周長的最大值為C．為定值D．四邊形面積的最小值為32三、填空題5．（2023·遼寧大連·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，雙曲線上一點(diǎn)滿足，且，則雙曲線的漸近線方程為.點(diǎn)A是雙曲線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)的動直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為定值，則當(dāng)時實(shí)數(shù)的值為.6．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，則；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為．四、解答題7．（2022·遼寧沈陽·二模）已知橢圓的焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)F且斜率為的動直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)F的定點(diǎn)T，使恒成立？若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．8．（2023·重慶·一模）已知雙曲線E：的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線E右支上異于其頂點(diǎn)的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作圓C：的一條切線AM，切點(diǎn)為M，且．(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與雙曲線左支交于點(diǎn)B，雙曲線的右頂點(diǎn)為，直線AD，BD分別與圓C相交，交點(diǎn)分別為異于點(diǎn)D的點(diǎn)P，Q．判斷弦PQ是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)，如果不過定點(diǎn)，說明理由．9．（24-25高二上·湖南株洲·階段練習(xí)）橢圓與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)動直線與坐標(biāo)軸不垂直，與橢圓交于不同的，兩點(diǎn)，且直線和的斜率互為相反數(shù).①證明：動直線恒過軸上的某個定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求面積的最大值.10．（23-24高二上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知，M為平面上一動點(diǎn)，且滿足，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)若，過點(diǎn)的動直線交曲線E于P，Q（不同于A，B）兩點(diǎn)，直線AP與直線BQ的斜率分別記為，，求證：為定值，并求出定值.參考答案：題號1234答案BBABDABD1．B【分析】討論斜率，斜率存在時設(shè)、聯(lián)立曲線C，應(yīng)用韋達(dá)定理求線段AB，CD的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定的方程，可得過定點(diǎn)，若以G為圓心的圓半徑為，只需保證可滿足圓與直線恒有公共點(diǎn)，即得面積最小值.【詳解】當(dāng)直線斜率均存在時，令且，則，聯(lián)立與曲線C并整理得：，且，則，所以，故，聯(lián)立與曲線C并整理得：，同理，，，可得，直線，故過定點(diǎn)，當(dāng)直線中一條的斜率不存在時，令，則，所以，，故過，而，要使以G為圓心的圓與直線MN恒有公共點(diǎn)，且圓面積最小，若圓的半徑為，只需恒成立，故圓最小面積為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論直線斜率，設(shè)直線方程聯(lián)立曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求線段中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定的方程，得到過定點(diǎn)，根據(jù)恒有公共點(diǎn)有圓半徑為，只需保證恒成立即可.2．B【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，整理得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)垂直，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，得到的橫坐標(biāo)，在由拋物線的定義，可得答案.【詳解】由，則焦點(diǎn)，且準(zhǔn)線方程為直線，即，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立拋物線可得：，消去可得：，化簡得：，因?yàn)?，且直線過點(diǎn)，所以，即點(diǎn)位于以線段為直徑的圓上，易知以線段為直徑的圓的方程為，將代入上式，可得，解得，（舍去），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由韋達(dá)定理可得：，則，根據(jù)拋物線的定義，可得，，則，故選：B.3．ABD【分析】設(shè)出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、焦半徑公式以及基本不等式可求得的最小值，可判斷A選項(xiàng)；求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值，利用三角形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及求出的值，求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷C選項(xiàng)；利用拋物線的定義以及基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，當(dāng)直線與軸重合時，直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，則，易知，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，，可得，所以，，則，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，易知的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由于直線不過原點(diǎn)，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，所以，，因?yàn)椋瑒t，解得，所以，直線的方程為，故直線過定點(diǎn)，C錯；對于D選項(xiàng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以，則的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D對．故選：ABD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.4．ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，確定四邊形形狀，利用勾股定理及均值不等式計算判斷A，B；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長即可計算推理判斷C，D作答.【詳解】依題意，，解得，即拋物線：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為：x=?1，直線，與坐標(biāo)軸不垂直，因?yàn)椋?，則四邊形為矩形，有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即四邊形面積的最大值為2，A正確；因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此四邊形周長的最大值為，B正確；

設(shè)直線方程為：，，由x=ty+1y2=4x消去y得：，則，，同理，因此，C錯誤；四邊形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以四邊形面積的最小值為32，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.5．【分析】第一空，先判定△為直角三角形.再由勾股定理求得即可；第二空，設(shè)直線，根據(jù)韋達(dá)定理表示，由于為定值，用待定系數(shù)法計算即可.【詳解】（1）根據(jù)，取的中點(diǎn)，易知，可知，，即△為直角三角形.設(shè)，依題意有，解得，根據(jù)勾股定理得，解得，故雙曲線為等軸雙曲線，漸近線為.（2）當(dāng)時，雙曲線，設(shè)直線，聯(lián)