高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練3聚焦熱點(diǎn)情境弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化（真題精練+模擬精練）含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練3聚焦熱點(diǎn)情境，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化【模擬精練】一、單選題1．（23-24高一上·山東青島·期中）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（

）A．對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解B．對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．3．（2024·重慶·一模）英國著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．4．（2024·寧夏·一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖，若正八邊形的邊長為，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．5．（2023·湖北武漢·二模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．376．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．60 B．61 C．75 D．767．（2024·黑龍江·二模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如，可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為的圓柱與半徑為的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為，高為的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用平行于半球底面的平面去截半徑為的半球，且球心到平面的距離為，則平面與半球底面之間的幾何體的體積是（

）A． B． C． D．8．（22-23高三上·江西撫州·期中）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，若以原點(diǎn)為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．（2024·遼寧沈陽·二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻”．則（

）A． B． C． D．10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題11．（2024·湖北·模擬預(yù)測）對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（與互質(zhì)），則（）A．若n為質(zhì)數(shù)，則 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列的最大值為1 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列12．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）由倍角公式可知，可以表示為的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（

）A． B．C． D．13．（2024·江西宜春·三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A，B之間的距離為a（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到A，B的距離之比為常數(shù)（，且），則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)M滿足，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，MO始終平分14．（22-23高三上·山東濰坊·期中）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大利數(shù)學(xué)家列昂納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”,在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列滿足:,.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇數(shù)C． D．被4除的余數(shù)為015．（22-23高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，定義的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù).下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．16．（2023·遼寧·三模）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為C．四棱錐體積最大值為D．四面體為“鱉臑”17．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)B．C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)精練3聚焦熱點(diǎn)情境，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化【模擬精練】一、單選題1．（23-24高一上·山東青島·期中）十七世紀(jì)，數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費(fèi)馬大定理，則費(fèi)馬大定理的否定為（

）A．對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解B．對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，國際上以華氏命名的數(shù)學(xué)科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏算子”“華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）

A． B． C． D．3．（2024·重慶·一模）英國著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．4．（2024·寧夏·一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖，若正八邊形的邊長為，是正八邊形八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．5．（2023·湖北武漢·二模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．376．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．60 B．61 C．75 D．767．（2024·黑龍江·二模）祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家．祖暅原理用現(xiàn)代語言可以描述為“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”．例如，可以用祖暅原理推導(dǎo)半球的體積公式，如圖，底面半徑和高都為的圓柱與半徑為的半球放置在同一底平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)半徑為，高為的圓錐后得到一個(gè)新的幾何體，用任何一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體時(shí)，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾何體的體積相等．若用平行于半球底面的平面去截半徑為的半球，且球心到平面的距離為，則平面與半球底面之間的幾何體的體積是（

）A． B． C． D．8．（22-23高三上·江西撫州·期中）數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，若以原點(diǎn)為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．（2024·遼寧沈陽·二模）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，記事件“取出的重卦中至少有1個(gè)陰爻”，事件“取出的重卦中至少有3個(gè)陽爻”．則（

）A． B． C． D．10．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、多選題11．（2024·湖北·模擬預(yù)測）對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（與互質(zhì)），則（）A．若n為質(zhì)數(shù)，則 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列的最大值為1 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列12．（23-24高二上·江蘇南京·階段練習(xí)）由倍角公式可知，可以表示為的二次多項(xiàng)式.一般地，存在一個(gè)次多項(xiàng)式，使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P.L.Tschebyscheff）多項(xiàng)式.運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（

）A． B．C． D．13．（2024·江西宜春·三模）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波羅尼斯圓的定義：在平面內(nèi)，已知兩定點(diǎn)A，B之間的距離為a（非零常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)M到A，B的距離之比為常數(shù)（，且），則點(diǎn)M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)M滿足，則下列說法正確的是（

）A．面積的最大值為12 B．的最大值為72C．若，則的最小值為10 D．當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，MO始終平分14．（22-23高三上·山東濰坊·期中）斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列,因意大利數(shù)學(xué)家列昂納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”,在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有直接的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)上,斐波那契數(shù)列被以下遞推的方法定義:數(shù)列滿足:,.則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇數(shù)C． D．被4除的余數(shù)為015．（22-23高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，定義的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù).下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．16．（2023·遼寧·三模）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽馬”B．四面體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且球的表面積為C．四棱錐體積最大值為D．四面體為“鱉臑”17．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個(gè)側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B．曲線經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過3D．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為18．（23-24高二上·山東青島·期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）A．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)B．C．第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大D．第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為參考答案：題號12345678910答案DACCABCACB題號1112131415161718答案ACDABDABDBCDACABDACDABD1．D【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.【詳解】“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”的否定為：存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解.故選：D.2．A【分析】利用指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由函數(shù)圖象可知，的圖象不關(guān)軸對稱,而，，即這兩個(gè)函數(shù)均關(guān)于軸對稱，則排除選項(xiàng)、；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為單調(diào)遞增函數(shù)，為單調(diào)遞減函數(shù)，由的圖象可知存在一個(gè)極小的值，使得在區(qū)間上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由圖象可知符合題意，故選：.3．C【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.【詳解】原式，故選：C.4．C【分析】根據(jù)的位置進(jìn)行分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)，當(dāng)與重合時(shí)，；當(dāng)在線段（除）、線段、線段，線段，線段（除）點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，所以，當(dāng)與重合時(shí)，，所以，以為原點(diǎn)，、分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知，，則，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，當(dāng)在線段（除）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)在線段（除）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，所以.綜上所述，的最小值為.故選：C5．A【分析】由條件寫出通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】正整數(shù)中既能被3除余1且被2除余1的數(shù)，即被6除余1，那么，有.故選：A6．B【分析】先由“兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再由基本不等式求得的最小值.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，∴當(dāng)時(shí)取最小值為．故選：B.7．C【分析】分別求得面截圓錐時(shí)所得小圓錐的體積和平面與圓柱下底面之間的部分的體積，結(jié)合祖暅原理可求得結(jié)果.【詳解】平面截圓柱所得截面圓半徑，平面截圓錐時(shí)所得小圓錐的體積，又平面與圓柱下底面之間的部分的體積為根據(jù)祖暅原理可知：平面與半球底面之間的幾何體體積.故選：C.8．A【分析】根據(jù)題意O、A、P、B四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，從而得出四點(diǎn)所在圓的方程為，利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)A、B所在直線方程，進(jìn)而求得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決本題.【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點(diǎn)所在直線方程為，解得，因?yàn)?，所以故選：A9．C【分析】根據(jù)條件概率的公式，分析求解即可.【詳解】，事件“取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1陰”，則，則故選：C10．B【分析】由棣莫弗公式化簡結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B.11．ACD【分析】利用新定義，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和等比數(shù)列的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】因?yàn)闉橘|(zhì)數(shù)，故小于或等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目為，此時(shí)，故A正確.因?yàn)?，所以，故?shù)列不是單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤.小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)為，數(shù)目為，所以在時(shí)遞減，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列的最大值為1，故C正確.小于等于的正整數(shù)中與互質(zhì)的數(shù)的數(shù)為，數(shù)目為，故，而，故數(shù)列為等比數(shù)列，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：從質(zhì)數(shù)定義入手，結(jié)合題目信息，逐步解答.12．ABD【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化簡可得，根據(jù)定義即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)二倍角公式可推得，即可得出B項(xiàng)；根據(jù)誘導(dǎo)公式以及A的結(jié)論可知，，.平方相加，即可得出，進(jìn)而求出D項(xiàng)；假設(shè)C項(xiàng)成立，結(jié)合D項(xiàng)，檢驗(yàn)即可判斷.【詳解】對于A：.由切比雪夫多項(xiàng)式可知，，即.令，可知，故A正確；對于B：.由切比雪夫多項(xiàng)式可知，，即.令，可知，故B正確；對于D：因?yàn)椋?，根?jù)A項(xiàng)，可得，.又，所以，所以.令，可知，展開即可得出，所以，解方程可得.因?yàn)?，所以，所以，所以，故D正確；對于C：假設(shè)，因?yàn)?，則，顯然不正確，故假設(shè)不正確，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)題意多項(xiàng)式的定義，結(jié)合兩角和以及二倍角的余弦公式，化簡可求出，換元即可得出.13．ABD【分析】設(shè)點(diǎn)，由條件可得點(diǎn)M的軌跡方程，即可判斷A，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，即可判斷B，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可判斷C，由角平分線定理即可判斷D【詳解】對于A，設(shè)點(diǎn)，由，得，化為，所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)為圓心、4為半徑的圓，所以面積的最大值為，故A正確；對于B，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)取等號，故的最大值為72，故B正確；對于C，顯然點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，，當(dāng)B，M，Q三點(diǎn)共線且點(diǎn)M在線段BQ之間時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對于D，由，，有，當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線分線段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分線，故D正確．故選：ABD．14．BCD【分析】A:直接法寫出第8項(xiàng)即可;B:數(shù)列有3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)的規(guī)律,用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;C:只需證明即可,用數(shù)學(xué)歸納法證明;D:用數(shù)學(xué)歸納法證明6的倍數(shù)項(xiàng)為4的倍數(shù)即可.【詳解】解:由題知,關(guān)于選項(xiàng)A,,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;關(guān)于選項(xiàng)B,3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù),下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí)滿足為偶數(shù),為奇數(shù),③當(dāng)時(shí),,為奇數(shù),為偶數(shù),,為奇數(shù),為偶數(shù),為奇數(shù),,為奇數(shù),為偶數(shù),為奇數(shù),故3的倍數(shù)項(xiàng)為偶數(shù),其他項(xiàng)為奇數(shù)得證,2023項(xiàng)是非3的倍數(shù)項(xiàng),故選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C,有成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí)滿足成立,③當(dāng)時(shí),成立,滿足規(guī)律,故,令,則有成立,故選項(xiàng)C正確;關(guān)于選項(xiàng)D,有能被4整除成立,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)時(shí),,滿足規(guī)律,②假設(shè)當(dāng)時(shí),滿足③當(dāng)時(shí),能被4整除得證,,能被4整除得證,故選項(xiàng)D正確.故選:BCD15．AC【分析】根據(jù)基本不等式比較大小