高考數(shù)學二輪復習專題一函數(shù)與導數(shù)第7講導數(shù)與不等式的證明含答案及解析

第7講導數(shù)與不等式的證明（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】導數(shù)與不等式的證明 3【專題精練】 5考情分析：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題是高考的熱點和難點.2.多以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．真題自測真題自測一、解答題1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線y=fx在處的切線斜率；(2)求證：當時，；(3)證明：．3．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．4．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．6．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．考點突破考點突破【考點一】導數(shù)與不等式的證明一、單選題1．（2024·江西·一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．4．（22-23高三下·山東·開學考試）設(shè)，則（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·遼寧·一模）已知實數(shù)a，b滿足，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖北·二模）已知，則下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·安徽·開學考試）已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（

）A．函數(shù)的極小值點為B．C．若函數(shù)有4個零點，則D．若，則8．（2024·湖北武漢·模擬預測）對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B．C．若方程有6個不等實數(shù)根，則D．對任意正實數(shù)，且，若，則三、填空題9．（2023·海南·模擬預測）已知函數(shù)，，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.10．（22-23高三上·河南·階段練習）已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，由大到小依次為．11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知和是函數(shù)的兩個不相等的零點，則的范圍是．12．（23-24高二上·山西·期末）若存在實數(shù)使得，則的值為.四、解答題13．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．14．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.15．（2023·天津河西·二模）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)求證：；(3)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．16．（22-23高三上·廣東河源·期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.(1)當時，函數(shù)有極小值，求；(2)證明：恒成立；(3)證明：.規(guī)律方法：利用導數(shù)證明不等式問題的方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)．(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論．(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·湖南長沙·一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·江蘇南通·期末）設(shè),,,則（

）A． B．C． D．3．（2023·上海奉賢·二模）設(shè)是一個無窮數(shù)列的前項和,若一個數(shù)列滿足對任意的正整數(shù),不等式恒成立,則稱數(shù)列為和諧數(shù)列,有下列3個命題:①若對任意的正整數(shù)均有,則為和諧數(shù)列;②若等差數(shù)列是和諧數(shù)列,則一定存在最小值;③若的首項小于零,則一定存在公比為負數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列．以上3個命題中真命題的個數(shù)有(

)個A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山東臨沂·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當時，則不等式在上的解集為（

）A． B．C． D．5．（22-23高三上·浙江·期末）已知，則（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·浙江杭州·階段練習）設(shè)，則（

）A． B．C． D．7．（22-23高二下·湖南株洲·開學考試），，，則的大小關(guān)系為（

）.A． B．C． D．8．（23-24高三上·廣東·期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（21-22高二下·湖南·階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·湖南張家界·期末）已知，且，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．（2023·山東濰坊·三模）已知函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空題12．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是．13．（22-23高三上·湖北·階段練習）請寫出一個滿足以下條件的函數(shù)的解析式.①為偶函數(shù)；②當時，.14．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知函數(shù)，，若有且僅有一個正整數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是.四、解答題15．（22-23高二下·河南·期末）已知函數(shù)，．(1)當時，證明：在上恒成立；(2)若有2個零點，求a的取值范圍．16．（2024·北京平谷·模擬預測）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為1．(1)求a的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：．17．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當時，18．（2024·云南貴州·二模）已知函數(shù).(1)若，求證：當時，(2)若有兩個不同的極值點且.（i）求的取值范圍；（ii）求證：.19．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a的取值范圍；(2)當時，證明：．

第7講導數(shù)與不等式的證明（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 13【考點一】導數(shù)與不等式的證明 13【專題精練】 31考情分析：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)是高考的常見題型，而導數(shù)與函數(shù)、不等式、方程、數(shù)列等的交匯命題是高考的熱點和難點.2.多以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大．真題自測真題自測一、解答題1．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.2．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線y=fx在處的切線斜率；(2)求證：當時，；(3)證明：．3．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．4．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．5．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．6．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．參考答案：1．（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)f(x)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故f(x)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當時，，g(x)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.2．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求斜率；（2）問題化為時，構(gòu)造，利用導數(shù)研究單調(diào)性，即可證結(jié)論；（3）構(gòu)造，，作差法研究函數(shù)單調(diào)性可得，再構(gòu)造且，應用導數(shù)研究其單調(diào)性得到恒成立，對作放縮處理，結(jié)合累加得到，即可證結(jié)論.【詳解】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時.（3）設(shè)，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞減，故；下證，令且，則，當時，遞增，當時，遞減，所以，故在x∈0,+∞上恒成立，則，所以，，…，，累加得：，而，因為，所以，則，所以，故；綜上，，即.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，作差法研究單調(diào)性證右側(cè)不等關(guān)系，再構(gòu)造且，導數(shù)研究其函數(shù)符號得恒成立，結(jié)合放縮、累加得到為關(guān)鍵.3．（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（ⅰ）當時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當時，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當時，要證，，，即證，化簡得；同理，當時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當時，，單減，故；當時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當且僅當時取等號）．故當且時，且，，即，所以．（?。┊敃r，，所以，即，所以．（ⅱ）當時，，同理可證得．綜合（ⅰ）（ⅱ）得，當且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當時，轉(zhuǎn)化為證明，當時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，進而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當時，成立和當時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導數(shù)研究單調(diào)性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當且僅當時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.4．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)題設(shè)條件將問題可轉(zhuǎn)化成證明當時，即可.【詳解】（1）定義域為，當時，，故在上單調(diào)遞減；當時，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問題得證5．(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見解析【分析】（1）先求出切點坐標，在由導數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；（2）在求一次導數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導數(shù)，問題即得解；（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.6．（1）證明見詳解（2）【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，若，則，因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點，不合題意，所以.當時，令因為，且，所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點，不合題意；（ⅱ）當時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點，當時，則，且，則，即當時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：1.當時，利用，換元放縮；2.當時，利用，換元放縮.考點突破考點突破【考點一】導數(shù)與不等式的證明一、單選題1．（2024·江西·一模）已知，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．4．（22-23高三下·山東·開學考試）設(shè)，則（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·遼寧·一模）已知實數(shù)a，b滿足，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．6．（2024·湖北·二模）已知，則下列不等式正確的有（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·安徽·開學考試）已知函數(shù)，則下列選項中正確的是（

）A．函數(shù)的極小值點為B．C．若函數(shù)有4個零點，則D．若，則8．（2024·湖北武漢·模擬預測）對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B．C．若方程有6個不等實數(shù)根，則D．對任意正實數(shù)，且，若，則三、填空題9．（2023·海南·模擬預測）已知函數(shù)，，若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.10．（22-23高三上·河南·階段練習）已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則，，由大到小依次為．11．（22-23高二下·四川成都·期末）已知和是函數(shù)的兩個不相等的零點，則的范圍是．12．（23-24高二上·山西·期末）若存在實數(shù)使得，則的值為.四、解答題13．（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)，是的導函數(shù)，且．(1)若曲線在處的切線為，求k，b的值；(2)在（1）的條件下，證明：．14．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.15．（2023·天津河西·二模）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值；(2)求證：；(3)若函數(shù)對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．16．（22-23高三上·廣東河源·期末）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.(1)當時，函數(shù)有極小值，求；(2)證明：恒成立；(3)證明：.參考答案：題號12345678答案DABAABDACDACBCD1．D【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，利用導數(shù)可證不等式成立，故可判斷，故可得三者大小關(guān)系.【詳解】，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，故即，所以，故，故選：D.2．A【分析】化簡得，構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)可證得，可得，而，從而可得答案．【詳解】.設(shè)，則有，單調(diào)遞減，從而，所以，故，即，而，故有．故選：A．3．B【分析】令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到當時，從而說明，再比較與的大小關(guān)系，即可得解.【詳解】解：令，則，所以在定義域上單調(diào)遞減，所以當時，，即，所以，又，，且，，所以；故選：B4．A【分析】利用導數(shù)證明不等式當時，，進而得，再討論與的關(guān)系即可判斷.【詳解】解：令，，則在上恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當時，，即，；令，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當時，，即，，所以，當時，所以，，因為，所以所以，，即，即所以，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用時，，結(jié)合二倍角公式，比較與的關(guān)系判斷.5．ABD【分析】根據(jù)題意可得，對A：根據(jù)不等式性質(zhì)分析運算；對B：利用基本不等式分析運算；對C：換元結(jié)合二次函數(shù)分析運算；對D：構(gòu)建，利用導數(shù)結(jié)合基本不等式判斷原函數(shù)的單調(diào)性，即可得結(jié)果.【詳解】由，可得，對A：∵，則，故，A正確；對B：由選項A可得：，當且僅當，即時，等號成立，故，B正確；對C：，令，則，C錯誤；對D：，等價于，構(gòu)建，則當時恒成立，則在上單調(diào)遞增，由選項A可知：，則，故，D正確；故選：ABD.6．ACD【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可比較；對于B，舉反例判斷即可；對于C，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)最值即可判斷；對于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可比較.【詳解】設(shè)，則，在0,+∞單調(diào)遞增，所以，即，即，A正確；令，，則，而，所以，B不正確；設(shè)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；則在時取得最小值，即，C正確；設(shè)，則，所以在0,+∞上是增函數(shù)，所以由得，即，D正確.故選：ACD7．AC【分析】求導，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性和最值，可得的圖象，進而可以判斷A；對于B：根據(jù)的單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：原題意等價于當時，與有2個交點，結(jié)合的圖象分析求解；對于D：構(gòu)建，結(jié)合導數(shù)可得，結(jié)合極值點偏移分析證明.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，且當趨近于0或時，趨近于，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：對于選項A：可知函數(shù)的極小值點為，故A正確；對于選項B：因為，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，故B錯誤；對于選項C：令，可得，可知函數(shù)有4個零點，即與有4個交點，且的定義域為，且，可知為偶函數(shù)，且當時，原題意等價于當時，與有2個交點，由題意可知：，故C正確；對于選項D：設(shè)，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，若，不妨設(shè)，則，且，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以，故D錯誤；故選：AC.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．8．BCD【分析】對于A，分析導函數(shù)即得遞減區(qū)間，不能用“并”連接；對于B，由推理得，利用函數(shù)單調(diào)性比較即得；對于C，分析函數(shù)的奇偶性，分段討論函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢，得圖象簡圖，結(jié)合圖象判斷兩函數(shù)交點個數(shù)即得；對于D，設(shè)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性得出即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，對于A，由可得或，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故A錯誤；對于B，由A得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，，故，即B正確；對于C，易知為偶函數(shù)，當時，，由A項知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，增區(qū)間為.又當時，，當時，，當時，，時，，當時，，當時，，時，，故函數(shù)的圖象如圖所示.

由圖可得，直線與函數(shù)有6個不同交點，等價于，故C正確；對于D，由圖，不妨設(shè)，由可得，即，不妨取，設(shè)，則，則當時，，故，在上單調(diào)遞增，又，又，，即.因，則，當時，，在上單調(diào)遞減，因，故得，即，故D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)的零點和單調(diào)性應用,屬于難題.解決該題的關(guān)鍵，在于對函數(shù)的圖象性質(zhì)的探求，通過奇偶性單調(diào)性判斷，作出簡圖，利用函數(shù)零點與方程的根、兩函數(shù)的圖象交點的關(guān)系轉(zhuǎn)化解決；同時要根據(jù)待證不等式特征，設(shè)法構(gòu)造對應的函數(shù)，利用該函數(shù)的單調(diào)性實現(xiàn)相關(guān)量的比較即得.9．【分析】利用導數(shù)證明，將圓不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，設(shè)，只需函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，即可求解.【詳解】設(shè)，則（），令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得，即，即.由題意，對恒成立，轉(zhuǎn)化為對恒成立，設(shè)，則對恒成立，只需函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，有在上恒成立，得，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.10．a(chǎn)，c，b【分析】構(gòu)造函數(shù)，，，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性得；再構(gòu)造函數(shù)，，，結(jié)合導數(shù)得，成立，進而得，再綜合即可得答案.【詳解】解：令，，令，，因為當時，，單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在成立，所以，令，，所以，當時，，所以在為減函數(shù)，所以，即，令，，則在恒成立，所以，在為減函數(shù)，所以，即，所以，成立，令，則上式變?yōu)椋运?，所以．故答案為：a，c，b11．【分析】根據(jù)零點確定兩個方程，用比值換元法轉(zhuǎn)化為單變量，從而利用求導和二次求導即可.【詳解】和是函數(shù)兩個不相等的零點，不妨設(shè)，，兩式相減得，令，，，令，所以，令恒成立，在是單調(diào)遞增，恒成立，在是單調(diào)遞增，恒成立，，，故答案為：．【點睛】本題考察導數(shù)雙變量和構(gòu)造函數(shù)證明不等式的方法.12．【分析】利用同構(gòu)法將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用導數(shù)證得，進而得到，從而求得的值，由此得解.【詳解】因為，所以，令，則，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；所以，可得，所以，即，當且僅當，即時等號成立，又，所以，故，此時的值為.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：兩個常見的重要不等式：（1）；（2）.13．(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，求導可得的值，再由導數(shù)意義可求切線，得到答案；（2）設(shè)函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出最小值大于0，可得證.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以．則曲線在點處的切線斜率為．又因為，所以曲線在點處的切線方程為，即得，．（2）設(shè)函數(shù)，，則，設(shè)，則，所以，當時，，單調(diào)遞增．又因為，所以，時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減．又當時，，綜上在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，即，所以，當時，．14．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論求解導函數(shù)為正為負的不等式解集即得.（2）由（1）中信息，求出函數(shù)的最小值，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)推理即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令函數(shù)，求導得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，于是，有，當時，則，因此，所以.15．(1)時，；(2)證明見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)最值即可；（2）結(jié)合（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明，進而構(gòu)造函數(shù)證明即可；（3）由題知對恒成立，進而構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，分當，，時三種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：當時，，定義域為，所以，令得，所以，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得最小值，.（2）解：由（1）知，當時，，即，所以，要證成立，只需證，令，則，所以，當時，恒成立，所以，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，即，所以，所以成立（3）解：因為函數(shù)對恒成立所以對恒成立，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增，

所以，由可得，即滿足對恒成立；當時，則，，在上單調(diào)遞增，

因為當趨近于時，趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；當時，令得令，恒成立，故在上單調(diào)遞增，因為當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當趨近于時，趨近于負無窮，所以，使得，，所以，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，只需即可；所以，，，因為，所以，所以，解得，所以，，綜上，實數(shù)a的取值范圍為【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問解題的關(guān)鍵在于討論當時，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)得，使得，，進而轉(zhuǎn)化為解.16．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導，求極值點，討論函數(shù)單調(diào)性，找到極小值即可解決問題；（2）不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，構(gòu)造新函數(shù)求導利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性進行分析即可證明結(jié)論.（2）由（2）知，，令，則從而有，由的不同值，分別寫出不等式，然后累加，結(jié)合等比數(shù)列求和進行放縮，分析得到結(jié)論.【詳解】（1），令，解得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有極小值，所以，即.（2）證明：不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，則，易知是定義域上的增函數(shù)，又，則在上有一個根，即當時，，當時，此時在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，的最小值為，，，，恒成立，故結(jié)論成立.（3）證明：由（2）知，，令，則.由此可知，當時，，當時，，當時，，，當時，，累加得：，又，所以.【點睛】函數(shù)與導數(shù)綜合簡答題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度相當大，主要考向有以下幾點：1、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參數(shù)）或判斷函數(shù)（含參數(shù)）的單調(diào)性；2、求函數(shù)在某點處的切線方程，或知道切線方程求參數(shù)；3、求函數(shù)的極值（最值）；4、求函數(shù)的零點（零點個數(shù)），或知道零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍；5、證明不等式；解決方法：對函數(shù)進行求導，結(jié)合函數(shù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)解決，在證明不等式或求參數(shù)取值范圍時，通常會對函數(shù)進行參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)求導再結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性等解決.規(guī)律方法：利用導數(shù)證明不等式問題的方法(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，進而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)．(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論．(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同結(jié)構(gòu)變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．專題精練專題精練一、單選題1．（2023·湖南長沙·一模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·江蘇南通·期末）設(shè),,,則（

）A． B．C． D．3．（2023·上海奉賢·二模）設(shè)是一個無窮數(shù)列的前項和,若一個數(shù)列滿足對任意的正整數(shù),不等式恒成立,則稱數(shù)列為和諧數(shù)列,有下列3個命題:①若對任意的正整數(shù)均有,則為和諧數(shù)列;②若等差數(shù)列是和諧數(shù)列,則一定存在最小值;③若的首項小于零,則一定存在公比為負數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列．以上3個命題中真命題的個數(shù)有(

)個A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山東臨沂·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當時，則不等式在上的解集為（

）A． B．C． D．5．（22-23高三上·浙江·期末）已知，則（

）A． B． C． D．6．（22-23高三上·浙江杭州·階段練習）設(shè)，則（

）A． B．C． D．7．（22-23高二下·湖南株洲·開學考試），，，則的大小關(guān)系為（

）.A． B．C． D．8．（23-24高三上·廣東·期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（21-22高二下·湖南·階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．10．（22-23高二上·湖南張家界·期末）已知，且，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．（2023·山東濰坊·三模）已知函數(shù)，實數(shù)滿足不等式，則的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3三、填空題12．（23-24高三上·上海閔行·期中）已知，若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是．13．（22-23高三上·湖北·階段練習）請寫出一個滿足以下條件的函數(shù)的解析式.①為偶函數(shù)；②當時，.14．（23-24高三上·上海楊浦·期中）已知函數(shù)，，若有且僅有一個正整數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)a的取值范圍是.四、解答題15．（22-23高二下·河南·期末）已知函數(shù)，．(1)當時，證明：在上恒成立；(2)若有2個零點，求a的取值范圍．16．（2024·北京平谷·模擬預測）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線斜率為1．(1)求a的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：．17．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：當時，18．（2024·云南貴州·二模）已知函數(shù).(1)若，求證：當時，(2)若有兩個不同的極值點且.（i）求的取值范圍；（ii）求證：.19．（2024·遼寧大連·一模）已知函數(shù)．(1)若恒成立，求a的取值范圍；(2)當時，證明：．參考答案：題號12345678910答案DDDADCBAACDABD題號11答案CD1．D【分析】轉(zhuǎn)化為比較比較的大小，構(gòu)造函數(shù)，先證明，，中最大，設(shè)，先證明，再證明，即得解.【詳解】要比較，，等價于比較的大小,等價于比較,即比較,構(gòu)造函數(shù),,令得,令得,所以在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減.所以,因為，所以最大，即，，中最大，設(shè)，結(jié)合的單調(diào)性得，，先證明，其中，即證，令，，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，所以，當時，，則有，由可知，所以，因為，所以即，因為，在單調(diào)遞增，所以，即，因為所以所以，即，因為，在單調(diào)遞減.所以，即，即，綜上，.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：應用對數(shù)平均不等式（需證明）證明極值點偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對數(shù)；②將所得含對數(shù)的等式進行變形得到；③利用對數(shù)平均不等式來證明相應的問題.2．D【分析】三個數(shù)中有指數(shù)和對數(shù),用到放縮,即,則,即可得,根據(jù),可得,取可得,選出選項即可.【詳解】解:由題知,記,,所以,所以,所以,在時成立,所以,即,即,記,,所以,所以在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,所以,所以,則,即,即,,即有,因為,所以,綜上:.故選:D3．D【分析】先得出的等價條件,然后再進行判斷,對于③可以取一個公比為負數(shù)的等比數(shù)列說明其存在性即可.【詳解】對于①,，若,則,所以①正確;對于②,設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,所以，即為公差為的等差數(shù)列,若為和諧數(shù)列,即,則，所以關(guān)于的二次函數(shù),開口向上，所以在上一定存在最小值,所以②正確;對于③,取,則,,下面證明,即說明存在公比為負數(shù)的一個等比數(shù)列是和諧數(shù)列,即證,即證,即證,當,上式左邊為負數(shù),顯然成立,當,時,即證,即證，（*）設(shè),所以,即（*）式成立,所以③正確.故選：D4．A【分析】先得出的周期以及對稱軸，再證明在上恒成立，通過對稱性畫出函數(shù)和在上的簡圖，由圖象得出解集.【詳解】由題意可得，，即是周期為的函數(shù)，且圖像關(guān)于對稱.令時，，時，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞增當時，，即設(shè)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即故在上恒成立結(jié)合對稱性可畫出函數(shù)和在上的簡圖，如下圖所示由圖象可知，不等式在上的解集為故選：A5．D【分析】對已知等式化簡可以得到，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，展開得，對A項：，令單調(diào)遞增，所以，所以不成立，故A錯誤；對B項：，因為，所以不一定成立，故B錯誤；對C項：，這與矛盾，故C錯誤；對D項：，顯然成立，故D正確．故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：由已知等式得到是解題的關(guān)鍵.6．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)，利用導數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：令，所以，當時，當時，即函數(shù)fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時取等號，令，可得，令，，則在時，，在上單調(diào)遞增，，時，．，令，則，所以當時，當時，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，當且僅當時取等號，所以當，可得，所以最小，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，，，綜上可得；故選：C7．B【分析】分別構(gòu)造函數(shù)證明與，利用這兩個不等式可判斷；構(gòu)造函數(shù)，可證得，即可判斷，從而得出答案.【詳解】令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．所以，即；令，則，因為，所以，則，故，所以在上單調(diào)遞增，則，即，易知，所以，則，即；綜上：.故選：B.8．A【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】由，可得，所以，故，所以，令，則，當時，f'x>0，當時，f所以在上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，所以，即，所以，當且僅當時取等號，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，可知.故選：A.9．ACD【分析】令，根據(jù)導數(shù)可得到在上單調(diào)遞增，通過對數(shù)運算和的單調(diào)性即可判斷每個選項【詳解】設(shè)，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，即，因為單調(diào)遞增，所以，A項正確；因為，所以，即，所以，因為單調(diào)遞增，所以，B項錯誤；因為，所以，D項正確；因為單調(diào)遞增，，所以，所以，C項正確，故選：ACD10．ABD【分析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，利用導函數(shù)討論單調(diào)性和最值即可一一證明.【詳解】設(shè)函數(shù)恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以對恒成立，所以恒成立，A正確；設(shè)函數(shù)，，令解得，所以在單調(diào)遞增，所以，即對恒成立，所以恒成立，B正確；設(shè)函數(shù)，，令解得，令解得，所以當時，有增有減，所以時，的大小關(guān)系不一定，即不恒成立，也即不恒成立，C錯誤；因為，所以令，設(shè)，因為，所以恒成立，所以單調(diào)遞增，所以，即，即即，也即，D正確，故選:ABD.11．CD【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)對稱性，根據(jù)函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將外函數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為內(nèi)函數(shù)大小比較即可.【詳解】因為，所以，所以關(guān)于對稱，，當且僅當，即時等號成立，又因，所以恒成立，則是增函數(shù)，因為，所以，則.故選：CD.12．【分析】求出分段函數(shù)在各段上的函數(shù)值集合，再根據(jù)給定值域，列出不等式求解即可.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義和單調(diào)性可知，且當時，，當時因為一元二次函數(shù)的對稱軸為，所以當時，，若函數(shù)的值域為，則解得；當時，，若函數(shù)的值域為，則，令，所以，令，表示對稱軸為，開口向下的拋物線，因為，，所以存在使得，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，又因為，，所以由解得，綜上，故答案為：13．（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)寫出一個符合題意的函數(shù)即可.【詳解】記，則.所以當時，有，函數(shù)gx單調(diào)遞減；當時，有，函數(shù)gx單調(diào)遞增，所以，即.所以恒成立.所以當時，可取滿足.因為為偶函數(shù)，所以可以找到一個符合題意的函數(shù)：故答案為：（答案不唯一）.14．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分情況作圖，利用圖象可得的取值，建立不等式，可得答案.【詳解】函數(shù)，，當時，可得作圖如下：由題意，若，則，化簡可得，解得，當時，，，此時不符合題意，當時，令，，令，且函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由，則或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，則，在上單調(diào)遞減，，則在上恒成立，所以此時不符合題意；當時，可作圖如下：顯然不存在符合題意的.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，對函數(shù)求導得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增且，結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可；（2）函