四川省射洪縣2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

四川省射洪縣2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形2．已知集合，則()A． B．C． D．3．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時，最大，則（）A． B． C． D．4．如圖，在中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．5．方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．106．若單位向量，夾角為，，且，則實(shí)數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－17．設(shè)函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．8．過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．9．設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列中，，且當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，．則此數(shù)列的前項的和為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為H，若，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．12．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個正四面體的棱長為1，四個頂點(diǎn)在同一個球面上，則此球的表面積為_________.14．的展開式中，的系數(shù)為____________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.16．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．18．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極小值及單調(diào)區(qū)間.19．（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對全民健身運(yùn)動的參與程度，推出了健身促銷活動，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時間不超過1小時免費(fèi)，超過1小時的部分每小時收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時間不超過1小時的概率分別為，，健身時間1小時以上且不超過2小時的概率分別為，，且兩人健身時間都不會超過3小時.（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷活動推出后，健身館預(yù)計每天約有300人來參與健身活動，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額.20．（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時，求二面角的余弦值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.22．（10分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示中較大者，記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因?yàn)樗运运运运援?dāng)時，為直角三角形；當(dāng)時即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.3、A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.4、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明確，易于操作．5、C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像，和均關(guān)于點(diǎn)中心對稱，計算得到答案.【詳解】，驗(yàn)證知不成立，故，畫出函數(shù)和的圖像，易知：和均關(guān)于點(diǎn)中心對稱，圖像共有8個交點(diǎn)，故所有解之和等于.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

利用向量模的運(yùn)算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選A排除；對于選項D:因?yàn)?故選項D排除;對于選項C:因?yàn)?故選項C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.8、A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因?yàn)?，所以，只有選項滿足條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力.9、C【解析】

取，計算知錯誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.10、A【解析】

根據(jù)分組求和法，利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和，利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和，進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計算問題，處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.12、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將四面體補(bǔ)成一個正方體，通過正方體的對角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個球，因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，所以正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對角線，即，解得，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對角線長，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、16【解析】

要得到的系數(shù)，只要求出二項式中的系數(shù)減去的系數(shù)的2倍即可【詳解】的系數(shù)為.故答案為：16【點(diǎn)睛】此題考查二項式的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準(zhǔn)線方程，求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．16、8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值．【詳解】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），則，即，即ρ=4cosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得，即，t1，t2為方程的兩個根，∴t1t2=-1，∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．【點(diǎn)睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查直角坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，訓(xùn)練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．18、（1）；（2）極小值為，遞減區(qū)間為：，遞增區(qū)間為.【解析】

（1）由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結(jié)合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極小值.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，由當(dāng)時，有極大值，則，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，則，令，即，解得，令，即，解得或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值為.當(dāng)時，有極大值3.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，其中解答中熟記函數(shù)的極值的概念，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況，分情況計算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知可能取值為0，20，40，60，80，則；；；；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學(xué)期望（元）（2）此次促銷活動后健身館每天的營業(yè)額預(yù)計為：（元）【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn);（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【詳解】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－XYZ，由題意知PD＝CD＝1，，設(shè)，，，由，得，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).（2）由（1）知，，，，，，設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判