二次項(xiàng)展開公式應(yīng)用舉例四道習(xí)題詳解B5

高中數(shù)學(xué)：二次項(xiàng)展開公式應(yīng)用舉例※.已知(eq\f(a,18x)-eq\r(\f(x,3)))9的展開式中x3的系數(shù)為eq\f(5,3)，求常數(shù)a的值。解：展開式通式T?=C(9,r)*(eq\f(a,18x))eq\s\up10(9-r)*(-eq\r(\f(x,3)))r,=C(9,r)*aeq\s\up10(9-r)*(18x)eq\s\up10(r-9)*(-1)r*(eq\f(x,3))eq\s\up20(\f(r,2)),=C(9,r)*(-1)r*aeq\s\up10(9-r)*18eq\s\up10(r-9)*(eq\f(1,3))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),=C(9,r)*(-1)r*(eq\f(a,18))eq\s\up10(9-r)*(eq\f(1,3))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-9),根據(jù)題意有：eq\f(3r,2)-9=3,求出r=8，代入有：9-r=9-8=1,C(9,r)=C(9,8)=9，(-1)r=(-1)8=1，(eq\f(x,3))eq\s\up20(\f(r,2))=(eq\f(1,3))4,根據(jù)系數(shù)關(guān)系有：9*eq\f(a,18)*(eq\f(1,3))4=eq\f(5,3),即：a=eq\f(5,3)*34*eq\f(18,9)=270.※.若(2x5+eq\f(1,x))n的展開式各系數(shù)的和為729，則n和展開式的常數(shù)項(xiàng)分別是多少？解：求n時(shí)使用特殊值法計(jì)算，取x=1時(shí)，有：(2+1)n=729,即可求出n=6.本題展開式通式為：T?=C(6,r)*(2x5)6-r*(eq\f(1,x))r=C(6,r)*26-r*x5*6-5r*1r*x-r=C(6,r)*26-r*1r*x5*6-5r-r因?yàn)榍蟪?shù)，所以：5*6-5r-r=0，即r=5，則此時(shí)的系數(shù)為：T?=C(6,r)*26-r*1r=C(6,5)*26-5*15=6*2*1=12.※.求二項(xiàng)展開式(4x+2)?中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和。解：根據(jù)題意，設(shè)：(4x+2)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+a?x+a?,偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是a?，a?，a?，分別令x=1和x=-1，有：(4+2)?=a?+a?+a?+a?+a?+a?,(4-2)?=-a?+a?-a?+a?-a?+a?,兩式子相加有：2(a?+a?+a?)=(4+2)?+(4-2)?,即：2(a?+a?+a?)=7776+32,2(a?+a?+a?)=7808,所以：a?+a?+a?=3904。※.在(2-2x)6*(7+7x)展開式中,x2的系數(shù)是多少？解：對(duì)(2-2x)6來(lái)說(shuō)，展開通項(xiàng)有：T?=C(6,r)*26-r*(-2x)r=C(6,r)*26-r*(-2)r*xr題意要求x2的系數(shù)，考慮到7+7x有常數(shù)項(xiàng)和x的一次項(xiàng)，所以系數(shù)是兩個(gè)系數(shù)的和，分別為r=2和r=1，則：T=T?+T?