專題01全等三角形的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(原卷版+解析)

專題01全等三角形的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一用“SSS”證明三角形全等問題題型二全等的性質(zhì)與“SSS”綜合問題題型三用“SAS”證明三角形全等問題題型四全等的性質(zhì)與“SAS”綜合問題題型五用“ASA(AAS)”證明三角形全等問題題型六全等的性質(zhì)與“ASA(AAS)”綜合問題題型七用“HL”證明三角形全等問題題型八全等的性質(zhì)與“HL”綜合問題題型九靈活選用判定方法證全等題型十結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題題型十一與角平分線相關(guān)的全等證明問題題型十二全等三角形的綜合問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“邊邊邊”定理1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.二、全等三角形判定2——“邊角邊”定理2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：1.這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角邊角”定理3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.四、全等三角形判定4——“角角邊”定理4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.知識(shí)點(diǎn)、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.3.三角形證全等思路知識(shí)點(diǎn)、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“HL”）.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【經(jīng)典例題一用“SSS”證明三角形全等問題】【例1】（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）畫的平分線的方法步驟是：①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；③過點(diǎn)C作射線．射線就是的角平分線．請(qǐng)你說明這樣作角平分線的根據(jù)是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·四川雅安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB=AC，BE=CD，要使，依據(jù)SSS，則還需添加條件_______________．（填一個(gè)即可）3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）小明制作了一個(gè)平分角的儀器，如圖所示，其中，．現(xiàn)要利用該儀器平分、可將儀器上的點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合，調(diào)整和，使它們落在的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請(qǐng)說明其道理．【經(jīng)典例題二全等的性質(zhì)與“SSS”綜合問題】【例2】（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，按如下步驟操作：①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于D，E兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，長為半徑作弧，交②中所畫的弧于點(diǎn)G；④作射線，若，則為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，，，，，與相交于點(diǎn)P，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，，，直線與，分別交于點(diǎn)，，且，，則的度數(shù)為___________．3．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊，邊上，連接，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題三用“SAS”證明三角形全等問題】【例3】（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接，下列說法：①；②和面積相等；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正五邊形中，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，．若，則的度數(shù)為__________．3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在上，，且，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題四全等的性質(zhì)與“SAS”綜合問題】【例4】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，，點(diǎn)、、在一條直線上，，，，則（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）在中，是邊的中點(diǎn)，若，，則的中線長的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，，點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，若使得與全等，x的值為_________．

3．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖1，，，三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，，連接，．

(1)求證：；(2)寫出，和三者間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，，兩根長度相等的木棍固定在點(diǎn)處，．點(diǎn)在木棍上，點(diǎn)在木棍上，與是兩根皮筋，皮筋的端點(diǎn)，固定，改變皮筋端點(diǎn)，的位置，始終保持，且皮筋處于繃直狀態(tài)，若增加了，則_______（填“增加”或“減少”）_________度．【經(jīng)典例題五用“ASA(AAS)”證明三角形全等問題】【例5】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)鄭州外國語中學(xué)?？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后，發(fā)現(xiàn)了一種測(cè)量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對(duì)岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和刷才完全一樣的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在水平地面的B處（A，O，B三點(diǎn)在同一水平直線上），小明通過測(cè)量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)F，與延長線交于點(diǎn)E．則四邊形的面積是（）

A．4 B．6 C．10 D．162．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，，若添加一個(gè)條件（不再添加新的字母）后，能判定與全等，則添加的條件可以是______（寫出一個(gè)條件即可）．3．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，，垂足分別為D，E．

(1)求證：；(2)若，求的長．【經(jīng)典例題六全等的性質(zhì)與“ASA(AAS)”綜合問題】【例6】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知如圖：，且，于D，于D．，．連接，．則圖中陰影部分的面積為（

）．

A．5 B．6 C．9 D．10【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶大渡口·七年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若已知周長為20，，，則長為（

）A． B．3 C． D．42．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為______．

3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）在中，，，過點(diǎn)C作直線，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)若在外（如圖1），求證：；(2)若與線段相交（如圖2），且，，則．【經(jīng)典例題七用“HL”證明三角形全等問題】【例7】（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列說法中，不正確的個(gè)數(shù)有（

）①有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2米/秒沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED＝CB，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過t秒時(shí)，由點(diǎn)D、E、B組成的三角形與△BCA全等．請(qǐng)問t有幾種情況？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種2．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則______．3．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【經(jīng)典例題八全等的性質(zhì)與“HL”綜合問題】【例8】（2022秋·河北秦皇島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，于，于E，與交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)在的平分線上；④點(diǎn)在的中垂線上．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，過A作，垂足為H，交的延長線于點(diǎn)G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．2．（2023春·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，有下列結(jié)論：①；②；③連接DE，則．其中正確的結(jié)論有______．

3．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，是過點(diǎn)的直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)若，在直線的同側(cè)（如圖①所示），且，求證：①；②．(2)若，在直線的兩側(cè)（如圖②所示），且，其他條件不變，與垂直嗎？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題九靈活選用判定方法證全等】【例9】（2022秋·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┫铝袟l件中，可以確定和全等的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，則圖中全等的三角形有（

）對(duì)．A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在和中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同條一直線上，下列4個(gè)條件：，請(qǐng)你從中選3個(gè)條件作為題設(shè)，余下的1個(gè)條件作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題，則你選擇作為題設(shè)的條件序號(hào)為：______，作為結(jié)論的條件序號(hào)為：______．3．（2022秋·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，．(1)寫出與全等的理由；(2)判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【經(jīng)典例題十結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】【例10】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，按圖示痕跡作，得到．則在作圖時(shí)，這兩個(gè)三角形滿足的條件是（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．若，則 D．點(diǎn)在的平分線上2．（2022春·廣東揭陽·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個(gè)，使，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知同一平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，請(qǐng)按要求完成下列問題：(1)畫直線AB，射線BD，連接AC；(2)在線段AC上求作點(diǎn)P，使得；（保留作圖痕跡）(3)過點(diǎn)P作直線l，使得；（保留作圖痕跡）(4)請(qǐng)?jiān)谥本€l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到點(diǎn)C與點(diǎn)D的距離之和最短，并寫出畫圖的依據(jù)．【經(jīng)典例題十一與角平分線相關(guān)的全等證明問題】【例11】（2022秋·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知的面積為12，平分，且于點(diǎn)，連結(jié)，則的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，D為BAC的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足BD＝CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是______．3．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別為邊、上兩點(diǎn)，．(1)若是的角平分線，求證：是的角平分線；(2)若，求證：．【經(jīng)典例題十二全等三角形的綜合問題】【例12】（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳市海灣中學(xué)?？计谥校┤鐖D，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，梯形中，，E是的中點(diǎn)，平分，以下說法：①；②；③；④，其中正確的是（

）．A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④2．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)C在直線l上．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)要繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到兩點(diǎn)都到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)才能停止．在某時(shí)刻，分別過P和Q作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于__________秒時(shí)，與全等．3．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①試說明．②此時(shí)，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有和全等，求出此時(shí)的x，t的值．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線平分，下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．C．D．與的大小關(guān)系不確定2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接DF并延長交BC于點(diǎn)E，若，，，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，小語同學(xué)為了測(cè)量一幢樓高，在旗桿與樓之間選定一點(diǎn)P，測(cè)得與地面夾角，測(cè)得與地面夾角，量得點(diǎn)P到樓底的距離與旗桿的高度都是，量得旗桿與樓之間的距離，則樓高（）

A． B． C． D．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在和中，．在以下條件：①；②；③；④；⑤中，再選一個(gè)條件，就能使，共有（）選擇．A．2種 B．3種 C．4種 D．5種5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）中，厘米，，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒，則當(dāng)與全等時(shí)，的值為（

）

A． B． C．或 D．或6．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的頂點(diǎn)在直線上，將直線向上平移線段的長得到直線，直線分別交，于點(diǎn)，．若求的周長，則只需知道(

)A．的長 B．的長 C．的長 D．DF的長7．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點(diǎn)E交于點(diǎn)D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯(cuò)誤的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．3 D．48．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將一塊銳角為的直角三角板按如圖放置，使直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與、重合，連接、，與交于點(diǎn)下列判斷正確的有（）①≌；②；③；④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④9．（2023·湖北孝感·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，垂足分別為、，、交于點(diǎn)，且，則圖中的全等三角形共有__對(duì)．10．（2019春·廣東揭陽·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，已知，過E作于F，且的三條角平分線交于點(diǎn)G，連接，則___________度．

11．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)，，交邊所在的直線于點(diǎn)，若，則的長為________．12．（2023春·吉林·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，垂直的平分線于點(diǎn)P，若，且，則__________．13．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是______．14．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A點(diǎn)，點(diǎn)P和Q分別以和的運(yùn)動(dòng)速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)，分別過P和Q作于E，于F．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，要使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形全等，則的值為________．15．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）已知：在中，，，求證：．

16．（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D，在四邊形中，，平分，，，

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．17、（2022秋·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點(diǎn)，使，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到≌的理由是______．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL（2）求得的取值范圍是______．A．

B．

C．

D．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖，是的中線，交于，交于，且．求證：．18．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┰谥?，，，直線經(jīng)過點(diǎn)C，且于D，于E．

(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①；

②．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

專題01全等三角形的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【題型目錄】題型一用“SSS”證明三角形全等問題題型二全等的性質(zhì)與“SSS”綜合問題題型三用“SAS”證明三角形全等問題題型四全等的性質(zhì)與“SAS”綜合問題題型五用“ASA(AAS)”證明三角形全等問題題型六全等的性質(zhì)與“ASA(AAS)”綜合問題題型七用“HL”證明三角形全等問題題型八全等的性質(zhì)與“HL”綜合問題題型九靈活選用判定方法證全等題型十結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題題型十一與角平分線相關(guān)的全等證明問題題型十二全等三角形的綜合問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)、全等三角形的判定一、全等三角形判定1——“邊邊邊”定理1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.二、全等三角形判定2——“邊角邊”定理2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：1.這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.三、全等三角形判定3——“角邊角”定理3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.四、全等三角形判定4——“角角邊”定理4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.知識(shí)點(diǎn)、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.3.三角形證全等思路知識(shí)點(diǎn)、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“HL”）.要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.【經(jīng)典例題一用“SSS”證明三角形全等問題】【例1】（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期末）畫的平分線的方法步驟是：①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)；②分別以M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；③過點(diǎn)C作射線．射線就是的角平分線．請(qǐng)你說明這樣作角平分線的根據(jù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明三角形全等，再利用全等的性質(zhì)證明角相等．【詳解】解：如圖，從畫法①可知，從畫法②可知，又，由可以判斷，∴，即射線就是的角平分線．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·四川雅安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中：①△ABD≌△ACD；②∠B＝∠C；③AD平分∠BAC；④AD⊥BC，其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】由D為BC中點(diǎn)可得BD=CD，利用SSS即可證明△ABD≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，又∵AB=AC，AD為公共邊∴△ABD≌△ACD（SSS），故①正確，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC，故②③④正確.綜上所述：正確的結(jié)論有①②③④共4個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力．其中靈活運(yùn)用所給的已知條件，從而對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一驗(yàn)證進(jìn)而確定答案是解題的關(guān)鍵.2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB=AC，BE=CD，要使，依據(jù)SSS，則還需添加條件_______________．（填一個(gè)即可）【答案】或（填其中任一個(gè)均可）【分析】根據(jù)定理、線段的和差即可得．【詳解】由題意，有以下兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，由定理可證得；（2）當(dāng)時(shí)，，，即，則當(dāng)時(shí)，也可利用定理證得；故答案為：或（填其中任一個(gè)均可）．【點(diǎn)睛】本題考查了定理，熟練掌握定理是解題關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）小明制作了一個(gè)平分角的儀器，如圖所示，其中，．現(xiàn)要利用該儀器平分、可將儀器上的點(diǎn)與的頂點(diǎn)重合，調(diào)整和，使它們落在的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請(qǐng)說明其道理．【答案】見解析【分析】先用證明，然后由全等的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)果．【詳解】解：在和中，，，，平分，是的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知定理判定三角形全等．【經(jīng)典例題二全等的性質(zhì)與“SSS”綜合問題】【例2】（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，按如下步驟操作：①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于D，E兩點(diǎn)；②以點(diǎn)C為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心，長為半徑作弧，交②中所畫的弧于點(diǎn)G；④作射線，若，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，首先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求得，再根據(jù)作法可知：，，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：連接，，

在中，，，，由作法可知：，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，全等三角形判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本作圖．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)期末）如圖，在和中，，，，，，與相交于點(diǎn)P，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】易證，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)，，求出的度數(shù)，利用字型圖，得到，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)交于點(diǎn)，則：，∵，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵是證明三角形全等．2．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知，，，直線與，分別交于點(diǎn)，，且，，則的度數(shù)為___________．【答案】【分析】根據(jù)SSS得到，進(jìn)而得到，，再結(jié)合對(duì)頂角相等，可得，最后再利用角的和差即可求解．【詳解】解：∵，，，，，，與是對(duì)頂角，∴，∴，∴，∴，故答案為：10°．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)、角的和差計(jì)算等內(nèi)容，識(shí)別出與這一組對(duì)頂角，得到的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊，邊上，連接，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，利用定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)（1）的結(jié)論可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，在和中，，，．（2）解：，，由（1）已證：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、垂直的定義、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三用“SAS”證明三角形全等問題】【例3】（2022秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接，下列說法：①；②和面積相等；③；④；⑤．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．5個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②正確．【詳解】解：∵是的中線，∴，在和中，，∴，故④正確∴，故①正確，∵，∴，故⑤正確，∴，故③正確，∵，點(diǎn)A到的距離相等，∴和面積相等，故②正確，綜上所述，正確的有5個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江杭州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正五邊形中，，則的度數(shù)是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°【答案】B【分析】連接，，正五邊形中，得到，，證得根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，五邊形是正五邊形，，，在和中，．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，．若，則的度數(shù)為__________．【答案】70°【分析】（1）證△BED≌△CDF；（2）利用AB=AC得到∠B與∠C（3）利用整體法求得∠EDF【詳解】∵AB=AC，∴∠B=∠C∵BD=CF，BE=CD∴△BED≌△CDE，∴∠EDC=∠BED∵∠A=40°∴∠B=∠C=70°∴在△BED中，∠BED+∠BDE=110°∴∠EDB+∠FDC=110°∴∠EDF=70°【點(diǎn)睛】求角度，常見的方法有：（1）方程思想；（2）整體思想；（3）轉(zhuǎn)化思想本題就是利用全等，結(jié)合整體思想求解的角度3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在上，，且，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由得到，證明即可；（2）推導(dǎo)，即解題即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，∴，∵，∴，∵∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四全等的性質(zhì)與“SAS”綜合問題】【例4】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，，，點(diǎn)、、在一條直線上，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由，得出，然后證明，得出，再利用三角形外角的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】解：，，，在和中，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）在中，是邊的中點(diǎn)，若，，則的中線長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，延長至點(diǎn)，使得，連接，可證，可得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍．【詳解】解：如下圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，∵是邊的中線，∴，又∵，∴，∴，∵在中，，∴，即，∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟悉三角形的三邊關(guān)系，利用中線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，，點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，若使得與全等，x的值為_________．

【答案】1或【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分類討論兩種情況：①；②，按情況求解即可．【詳解】解：要使與全等，有兩種情況，①，根據(jù)可得方程，解得，再根據(jù)可得方程，解得；②，根據(jù)可得方程，解得，根據(jù)可得，綜上，x的值為1或，故答案為：1或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)“邊角邊”分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）如圖1，，，三點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，，連接，．

(1)求證：；(2)寫出，和三者間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，，兩根長度相等的木棍固定在點(diǎn)處，．點(diǎn)在木棍上，點(diǎn)在木棍上，與是兩根皮筋，皮筋的端點(diǎn)，固定，改變皮筋端點(diǎn)，的位置，始終保持，且皮筋處于繃直狀態(tài)，若增加了，則_______（填“增加”或“減少”）_________度．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)減少，6【分析】（1）根據(jù)證明即可證明結(jié)論成立；（2）由可得，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求出，和三者間的數(shù)量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）∵，，∴．∵，∴，∴；（2）∵，∴．∵，∴；（3）由（2）知，，∴，∵，∴．∵，，∴，∴增加了，則減少6度．故答案為：減少，6．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五用“ASA(AAS)”證明三角形全等問題】【例5】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)鄭州外國語中學(xué)?？计谀┬∶髟趯W(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后，發(fā)現(xiàn)了一種測(cè)量距離的方法，如圖，小明直立在河岸邊的O處，他壓低帽子帽沿，使視線通過帽沿，恰好落在河對(duì)岸的A處，然后轉(zhuǎn)過身，保持和刷才完全一樣的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在水平地面的B處（A，O，B三點(diǎn)在同一水平直線上），小明通過測(cè)量O，B之間的距離，即得到O，A之間的距離．小明這種方法的原理是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的定義和全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，在與中，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有一塊邊長為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)F，與延長線交于點(diǎn)E．則四邊形的面積是（）

A．4 B．6 C．10 D．16【答案】D【分析】由四邊形為正方形可以得到，，又，而由此可以推出，，進(jìn)一步得到，所以根據(jù)可以證明，所以，那么，據(jù)此求解即可．【詳解】解：四邊形為正方形，，，，，，，，，，∴，即：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，正方形的面積等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)B，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，，，若添加一個(gè)條件（不再添加新的字母）后，能判定與全等，則添加的條件可以是______（寫出一個(gè)條件即可）．【答案】或或【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．【詳解】解：，，即，又∵，，，∴當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；當(dāng)時(shí)，在和中，，∴；當(dāng)時(shí)，在和中，，∴．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．題目是開放型題目，根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法，找出所需條件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．3．（2023·湖北黃石·黃石十四中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，，垂足分別為D，E．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直定義求出，根據(jù)等式性質(zhì)求出，根據(jù)證明；（2）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，再根據(jù)，即可解答．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出證明△ADC和全等的三個(gè)條件．【經(jīng)典例題六全等的性質(zhì)與“ASA(AAS)”綜合問題】【例6】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知如圖：，且，于D，于D．，．連接，．則圖中陰影部分的面積為（

）．

A．5 B．6 C．9 D．10【答案】A【分析】先證明，利用梯形面積與直角三角形的面積差計(jì)算即可．【詳解】如圖，∵，，，∴，，∵，∴，∴，，∴圖中陰影部分的面積為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·重慶大渡口·七年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校校考期中）如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若已知周長為20，，，則長為（

）A． B．3 C． D．4【答案】A【分析】在上，截取，根據(jù)角平分線定義求出，求出，證明，得出，，求出，證明，得出，求出，根據(jù)三角形周長20求出，根據(jù)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：在上，截取，如圖所示：∵，∴，∵和的平分線、相交于點(diǎn)O，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∴，∴，，，∴，∴，∴，∵周長為20，∴，∵，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明，．2．（2023·山東淄博·?？级＃┤鐖D，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，且，連接．若的面積為，則的面積為______．

【答案】4【分析】延長交于，由證明，得出，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：延長交于，如圖所示：

平分，垂直于，，，在和中，，)，，，∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，中線的性質(zhì)，證明三角形全等得出是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）在中，，，過點(diǎn)C作直線，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．(1)若在外（如圖1），求證：；(2)若與線段相交（如圖2），且，，則．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用互余關(guān)系證，再證，得到，，即可得出結(jié)論；（2）類似于（1）可證，得，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵，，∴，，∴．在和中，，∴∴，．∵，∴．（2）∵，，∴．∵，，∴，，∴．在和中，，∴∴，．∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七用“HL”證明三角形全等問題】【例7】（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）下列說法中，不正確的個(gè)數(shù)有（

）①有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；②有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；③有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；④斜邊和斜邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，根據(jù)即可得到兩個(gè)直角三角形全等，故①正確；②有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形，不能得到兩個(gè)三角形全等，故②錯(cuò)誤；③有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相等，如：和，的邊，高，但和不全等，故③錯(cuò)誤；④斜邊和斜邊上的中線對(duì)應(yīng)相等，只要斜邊相等，斜邊上的中線必然相等，故一組斜邊相等，一組直角相等，兩個(gè)條件不能判定全等，故④錯(cuò)誤；綜上：不正確的有3個(gè)；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧葫蘆島·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB＝12米，AC＝6米，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2米/秒沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED＝CB，當(dāng)點(diǎn)E經(jīng)過t秒時(shí)，由點(diǎn)D、E、B組成的三角形與△BCA全等．請(qǐng)問t有幾種情況？（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】D【分析】首先分兩種情況：當(dāng)E在線段AB上和當(dāng)E在BN上，然后再分成兩種情況：AC＝BE和AB＝EB，分別進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：①當(dāng)E在線段AB上，AC＝BE時(shí)，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6÷2＝3（秒）；②當(dāng)E在BN上，AC＝BE時(shí)，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為18÷2＝9（秒）；③當(dāng)E在線段AB上，AB＝EB時(shí)，△ACB≌△BDE，這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為0秒；④當(dāng)E在BN上，AB＝EB時(shí)，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為24÷2＝12（秒），綜上所述t的值為：0，3，9，12．共4中情況．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，解本題的關(guān)鍵在找到所有符合題意的情況．2．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則______．【答案】6或12/12或6【分析】分情況討論：①，此時(shí)，可據(jù)此求出P的位置；②，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，∵，在與中，∴，∴；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，，在與中，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，才能和全等，綜上所述，或12，故答案為：6或12．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵，當(dāng)題中沒有明確全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)，要分情況討論，以免漏解．3．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）直接依據(jù)直角三角形全等判定定理“斜邊直角邊”判定即可；（2）關(guān)鍵第（1）問結(jié)論可知為等腰直角三角形，故可求即可．【詳解】（1）解：在和中（2），【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的全等判定，及全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等判定的條件運(yùn)用，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算．【經(jīng)典例題八全等的性質(zhì)與“HL”綜合問題】【例8】（2022秋·河北秦皇島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，于，于E，與交于點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③點(diǎn)在的平分線上；④點(diǎn)在的中垂線上．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用證明，可判定①正確；由全等三角形性質(zhì)可得，，再利用證明，可判定②正確；由全等三角形性質(zhì)可得，連接，利用證明，得到，可判定③正確；由于無條件能證明，可判定④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵于，于E，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∴，即，在和中，，∴，故②正確；∴，連接，∵，，∴，∴，∴點(diǎn)在的平分線上；故③正確；因?yàn)闊o條件下能證明，故不能說明點(diǎn)在的中垂線上．故④錯(cuò)誤；∴正確的有①②③共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，，過A作，垂足為F，過A作，垂足為H，交的延長線于點(diǎn)G，連接．四邊形的面積為12，，則的長是(

)A．2 B．2.5 C．3 D．【答案】C【分析】先證明得到，再證明，，得到，設(shè)，則根據(jù)四邊形的面積為12得到即可得到答案．【詳解】解；∵，，，∴，∵，，∴，又∵，，∴，，∴，設(shè)，則，∵四邊形的面積為12，∴，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，有下列結(jié)論：①；②；③連接DE，則．其中正確的結(jié)論有______．

【答案】①②③【分析】①根據(jù)證明；②由，得到角相等，從而推出；③連接，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)D作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可判斷．【詳解】解：∵在與中，，，∴故①正確；∴，∵，∴，，∴，∴故②正確；如圖，連接，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)D作，

∵，∴，∵，，，∴，∵，，，∴是的角平分線，∵，∴，∴故③正確；故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題，涉及到角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．3．（2023春·山東棗莊·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，是過點(diǎn)的直線，于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)若，在直線的同側(cè)（如圖①所示），且，求證：①；②．(2)若，在直線的兩側(cè)（如圖②所示），且，其他條件不變，與垂直嗎？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)，證明見解析【分析】（1）①由已知條件，證明，再利用角與角之間的關(guān)系求證，即可證明；②利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可；（2）同（1），先證再利用角與角之間的關(guān)系求證，即可證明．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，，，，，．，；，，；（2）解：結(jié)論：．理由：，，，在和中，，，．，，即，．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．【經(jīng)典例題九靈活選用判定方法證全等】【例9】（2022秋·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┫铝袟l件中，可以確定和全等的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．依據(jù)上述方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】A.，，，不能判定和全等，故不符合題意；B.，，，根據(jù)能判定全等，故符合題意；C.，，，不能判定和全等，故不符合題意；D.，，，不能判定和全等，故不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題時(shí)注意：若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，則圖中全等的三角形有（

）對(duì)．A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法進(jìn)行判斷．全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴由，可得；由，可得；∴，由，可得；由，可得；由，可得；由，可得；∴有6對(duì)三角形全等，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，或者是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在和中，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同條一直線上，下列4個(gè)條件：，請(qǐng)你從中選3個(gè)條件作為題設(shè)，余下的1個(gè)條件作為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題，則你選擇作為題設(shè)的條件序號(hào)為：______，作為結(jié)論的條件序號(hào)為：______．【答案】①②④（答案不唯一）；③．【分析】如果聯(lián)合，利用易證，從而可得．【詳解】解：在和中，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，如果．那么．證明：∵，即，在和中，故答案是：①②④（答案不唯一）；；③．【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握判定兩三角形全等的方法：，是直角三角形的還有HL．3．（2022秋·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，．(1)寫出與全等的理由；(2)判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）由得出，再根據(jù)判斷與全等即可；（2）由與全等得出判斷與全等，最后利用全等三角形的性質(zhì)可得．【詳解】（1）全等，理由如下：∵，∴，在與中∴（2），理由如下：在與中，∴，∴，∵，∴，∴，在與中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，此題比較典型．【經(jīng)典例題十結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題】【例10】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，按圖示痕跡作，得到．則在作圖時(shí)，這兩個(gè)三角形滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給條件直接判定即可.【詳解】解：由題可得：在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）故選：D【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定-三邊分別相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知銳角，如圖，（1）在射線上取點(diǎn)，，分別以點(diǎn)為圓心，，長為半徑作弧，交射線于點(diǎn)，；（2）連接，交于點(diǎn)．根據(jù)以上作圖過程及所作圖形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．若，則 D．點(diǎn)在的平分線上【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，即可推斷結(jié)論A；先證明，再證明即可證明結(jié)論B；連接OP，可證明可證明結(jié)論D；由此可知答案．【詳解】解：由題意可知，，，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；在和中，，，在和中，，，，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；連接OP，，，在和中，，，，點(diǎn)在的平分線上，故選項(xiàng)D正確，不符合題意；若，，則，而根據(jù)題意不能證明，故不能證明，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，明確以某一半徑畫弧時(shí)，準(zhǔn)確找到相等的線段是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·廣東揭陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個(gè)，使，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是______；_______【答案】SASHL【分析】由圖可知小劉同學(xué)確定的是兩條直角邊，根據(jù)三角形全等判定定理為．由圖可知小趙同學(xué)確定了一個(gè)直角邊和斜邊，根據(jù)三角形全等判定定理為．【詳解】小劉同學(xué)畫了后，再截取兩直角邊等于兩已知線段，所以確定的依據(jù)是定理；小趙同學(xué)畫了后，再截取BC,AC一直角邊和一個(gè)斜邊，所以確定的依據(jù)是HL定理．故答案為：①SAS；②HL．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握每種證明方法，做出判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知同一平面內(nèi)四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，請(qǐng)按要求完成下列問題：(1)畫直線AB，射線BD，連接AC；(2)在線段AC上求作點(diǎn)P，使得；（保留作圖痕跡）(3)過點(diǎn)P作直線l，使得；（保留作圖痕跡）(4)請(qǐng)?jiān)谥本€l上確定一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q到點(diǎn)C與點(diǎn)D的距離之和最短，并寫出畫圖的依據(jù)．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)見詳解(4)見詳解【分析】（1）依據(jù)要求用直尺作圖即可；（2）以A為圓心、AB為半徑畫弧交AC于點(diǎn)P即可；（3）以P為圓心、AP為半徑畫弧將AC于點(diǎn)E，再以E點(diǎn)為圓心、AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接PF，直線PF即為所求的直線l；（4）連接CD交直線l于點(diǎn)Q，Q點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）作圖如下：直線AB、射線BD、線段AC即為所求；（2）作圖如下：點(diǎn)P即為所求；（3）作圖如下：直線l即為所求；證明：連接EF、PB，由作圖可知PE=AP，EF=PB，PF=PE，根據(jù)（2）的作圖可知AP=AB，即有：AP=PE，AB=PF，EF=PB，即有△PEF≌△APB，∴∠EPF=∠PAB，∴，即直線l即為所求；（4）作圖如下：直線l即為所求；∵，∴依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，有當(dāng)且僅當(dāng)C、Q、D三點(diǎn)共線時(shí)，有，即作圖依據(jù)為：兩點(diǎn)之間線段最短．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，直線，射線，線段的定義以及全等三角形在尺規(guī)作圖中的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解直線，射線，線段的定義，屬于中考?？碱}型．【經(jīng)典例題十一與角平分線相關(guān)的全等證明問題】【例11】（2022秋·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知的面積為12，平分，且于點(diǎn)，連結(jié)，則的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和已知條件證明即可得解；【詳解】如圖，延長BD交AC于E，∵平分，且，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∴，；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，D為BAC的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足BD＝CD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結(jié)論：①CDE≌BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠ABD＝∠BDE．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和DE⊥AC，DF⊥AB，即可證明CDE≌BDF；再通過證明即可得到CE＝AB+AE；根據(jù)CDE≌BDF即可得到∠BDC＝∠BAC；【詳解】∵AD平分，，，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，又∵，∴，∴，∴，，∴，故③正確；通過已知條件得不出∠ABD＝∠BDE，故④錯(cuò)誤；故正確的是①②③；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則下列三個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③若，，則．其中正確的是______．【答案】①②/②①【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可求解與的關(guān)系即可判定①；在上取一點(diǎn)H，使，證得，得到，再證得得到，進(jìn)而判定②正確；如圖：連接,作于H，于M，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和三角形的面積可證得③錯(cuò)誤．【詳解】解：解：∵和的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBA＝，，∴＝＝＝＝，故①正確；∵，∴，∵和的平分線、相交于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，如圖，在上取一點(diǎn)H，使，∵是的角平分線，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴，故②正確；如圖：連接，作于H，于M，∵與的平分線相交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O在的平分線上，∴，∵，∴∵，不一定等于b∴不一定成立，故③錯(cuò)誤．故答案為：①②．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形全等的性質(zhì)和判定、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別為邊、上兩點(diǎn)，．(1)若是的角平分線，求證：是的角平分線；(2)若，求證：．【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，證明，得出；（2）由（1）可得，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）如圖：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形為正方形，，，，，，，，是的角平分線，

，，，又，，是的角平分線；（2）由（1）可得，，，，【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定和正方形的性質(zhì)．【經(jīng)典例題十二全等三角形的綜合問題】【例12】（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳市海灣中學(xué)?？计谥校┤鐖D，交于M，交于D，交于N，，，，給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)，，，可得，三角形全等的性質(zhì)；可得①；由ASA可得，④不成立．【詳解】解：∵，，，∴，∴；，故②符合題意；∵，∴；故①符合題意；∵∴，，又∵∴，故③符合題意；∴，∴，∵，∴，∴，∴不能證明成立，故④不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法和三角形全等的性質(zhì)，難度適中．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，梯形中，，E是的中點(diǎn)，平分，以下說法：①；②；③；④，其中正確的是（

）．A．①②④ B．③④ C．①②③ D．②④【答案】D【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，證明，得到，，，再證明，得到，由此判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)判斷②正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及，得到，由此判斷④正確；題中無條件證明，故①錯(cuò)誤．【詳解】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，則，∵E是BC的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，即，∴，故②正確；∵，，∴，即，故④正確；題中無條件證明，故①錯(cuò)誤；正確的有②④故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線及掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)C在直線l上．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以1單位/秒和2單位/秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)要繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到兩點(diǎn)都到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)才能停止．在某時(shí)刻，分別過P和Q作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于__________秒時(shí)，與全等．【答案】4或或16【分析】分四種情況，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上；點(diǎn)、都在上；點(diǎn)到上，點(diǎn)在上；點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)在上．【詳解】解：與全等，斜邊斜邊，分四種情況：當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，如圖：，，，當(dāng)點(diǎn)、都在上時(shí)，此時(shí)、重合，如圖：，，，當(dāng)點(diǎn)到上，點(diǎn)在上時(shí)，如圖：，，，不符合題意，當(dāng)點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)在上時(shí)，如圖：，，，綜上所述：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于4或或16秒時(shí)，與全等，故答案為：4或或16．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合問題，分情況討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1），，，，垂足分別為A，B，．點(diǎn)P在線段上以的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在射線上運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束）．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，①試說明．②此時(shí)，線段和線段有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)說明理由．(2)如圖（2），若“，”改為“”，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)到某處時(shí)，有和全等，求出此時(shí)的x，t的值．【答案】(1)①見解析；②，；見解析(2)，或，【分析】（1）①由已知條件推出，，，即可根據(jù)“”證明全等；②結(jié)合①的結(jié)論，利用全等三角形的性質(zhì)證明，即可；（2）分別討論和時(shí)的情況，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，，．理由：①∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，②∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴；②若，則，，由可得：，∴，由可得：，∴，綜上所述，當(dāng)與全等時(shí)，x和t的值分別為，或，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證明和全等解答，解決此題注意分類討論．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，對(duì)角線平分，下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．C．D．與的大小關(guān)系不確定【答案】A【分析】在上截取，則易得，則，，則，放在中，根據(jù)三邊之間的關(guān)系解答即可．【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：

平分，，是公共邊，，，，，，在中，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形三邊之間的關(guān)系，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接DF并延長交BC于點(diǎn)E，若，，，則四邊形的面積為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先證得，得到，可證明，然后過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，然后表示出和四邊形的面積，得到和四邊形的面積關(guān)系，然后計(jì)算四邊形的面積即可．【詳解】解：∵F是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴在和中，∴(SAS)，∴，，∴，，如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，

∴，，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，借助全等得到對(duì)應(yīng)邊角關(guān)系，推導(dǎo)出邊角關(guān)系式解題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，小語同學(xué)為了測(cè)量一幢樓高，在旗桿與樓之間選定一點(diǎn)P，測(cè)得與地面夾角，測(cè)得與地面夾角，量得點(diǎn)P到樓底的距離與旗桿的高度都是，量得旗桿與樓之間的距離，則樓高（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全等三角形的判定方法得出，進(jìn)而得出的長．【詳解】解：，，，，在和中，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確把握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．4．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在和中，．在以下條件：①；②；③；④；⑤中，再選一個(gè)條件，就能使，共有（）選擇．A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】C【分析】先得到，若添加，則可根據(jù)“”判斷；若添加，則可根據(jù)“”判斷；于是，然后利用前面的結(jié)論可得到；若添加，則，于是可利用“”判斷；若添加，則可直接利用“”判斷．【詳解】解：∵，，∴，在和中，，∴，所以（1）正確；∵，，∴，在和中，，∴，所以（2）正確；∵，∴，在和中，，∴，所以（4）正確；在和中，，∴，所以（3）正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）中，厘米，，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)在線段上以厘米/秒的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒，則當(dāng)與全等時(shí)，的值為（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】此題要分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，與全等，計(jì)算出的長，進(jìn)而可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后再求v；②當(dāng)時(shí)，，計(jì)算出的長，進(jìn)而可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后再求v．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，與全等，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵點(diǎn)P在線段上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1s，∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∵，∴，∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是要分情況討論，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：．6．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的頂點(diǎn)在直線上，將直線向上平移線段的長得到直線，直線分別交，于點(diǎn)，．若求的周長，則只需知道(

)A．的長 B．的長 C．的長 D．DF的長【答案】A【分析】過作于，連接，，然后利用已知條件可以證明)，)，接著利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：過作于，連接，，直線向上平移線段的長得到直線，，而，，)，，同理)，，的周長為：．求的周長，則只需知道的長．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，同時(shí)也利用了三角形周長的定義，掌握平移的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，、是邊的中線，有；垂足為點(diǎn)E交于點(diǎn)D．且平分交于N．交于H．連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④；錯(cuò)誤的有（）個(gè)．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)C作交的延長線于K，首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明，得到，，，可判斷②③正確，然后利用同角的余角相等得到，進(jìn)而證明，得到，，然后證明，得到，，等量代換可得，，可判斷①④正確．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作交的延長線于K．，，平分，∴，，，，，，，（ASA），，，，故②③正確，，，，，（ASA），，，，，（SAS），，，，，故①④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，將一塊銳角為的直角三角板按如圖放置，使直角三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與、重合，連接、，與交于點(diǎn)下列判斷正確的有（）①≌；②；③；④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】利用為等腰直角三角形得到，，則，則可根據(jù)“”判斷≌，從而對(duì)進(jìn)行判斷；再利用證明，則可對(duì)進(jìn)行判斷；由于，，而得到，所以，于是可對(duì)進(jìn)行判斷；由≌得到，由得到，所以，從而可對(duì)進(jìn)行判斷．【詳解】解：，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，為等腰直角三角形，，，，，，在和中，，≌，所以正確