北師大版初中數(shù)學初三年級上冊冊全書知識點講義（基礎(chǔ)）

北師大版初中數(shù)學初三上冊全書知識點講義（基礎(chǔ)）

菱形（基礎(chǔ)）

【學習目標】

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.

【要點梳理】

【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）知識要點】

要點一、菱形的定義

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行

四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.

要點二、菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：

1.菱形的四條邊都相等；

2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.

3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.

要點詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分

成完全全等的兩部分.

（2）菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底X高；另

一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線

互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.

（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題.

要點三、菱形的判定

菱形的判定方法有三種：

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

3.四條邊相等的四邊形是菱形.

要點詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個條件來判定菱形，后一種方法是

在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.

【典型例題】

類型一、菱形的性質(zhì)

^^1、（2016?廣安）如圖，四邊形ABCD是菱形，CE_LAB交AB的延長線于點E,CF

_LAD交AD的延長線于點F,求證：DF=BE.

D乙------V

ARE

【思路點撥】連接AC,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC平分/DAE,CD=BC,再根據(jù)角平分線的

性質(zhì)可得CE=FC,然后利用HL證明RtACDF^RtACBE,即可得出DF=BE.

【答案與解析】

證明：連接AC,

:四邊形ABCD是菱形，

；.AC平分NDAE,CD=BC,

VCEXAB,CFXAD,

；.CE=FC,ZCFD=ZCEB=90°.

在RtACDF與RtACBE中，

icF=CE'

ARtACDF^RtACBE（HL）,

【總結(jié)升華】此題考查了菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相

垂直，并且每一條對角線平分一組對角；角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的

距離相等.同時考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

舉一反三：

【變式1]（2015?溫州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點E是AB上的一點，連接DE交

AC于點O,連接BO,且NAED=50。，貝I|/CBO=度.

【答案】50；

解：在菱形ABCD中，

AB/7CD,.,.ZCDO=ZAED=50°,

CD=CB,ZBCO=ZDCO,

.,.在ABCO和ADCO中，

'CD=CB

<NBCO=/DCO，

co=co

.,.△BCO絲△DCO(SAS),

.?.ZCBO=ZCDO=50°.

【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）例1]

【變式2】菱形ABCD中，NA：NB=1：5,若周長為8,則此菱形的高等于（）.

1

A.-B.4C.1D.2

2

【答案】C；

提示：由題意，ZA=30°,邊長為2,菱形的高等于1X2=L

2

類型二、菱形的判定

^^2、如圖所示，在△ABC中，CD是/ACB的平分線，DE〃AC,DF〃BC,四邊形DECF是

菱形嗎?試說明理由.

【思路點撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE〃AC,DF〃:BC知四邊形DECF是平行四邊

形，再由N1=N2=N3得到鄰邊相等即可.

【答案與解析】

解：四邊形DECF是菱形，理由如下：

DE//AC,DF/7BC

四邊形DECF是平行四邊形.

CD平分NACB,/.N1=N2

:DF/7BC,

Z2=Z3,

Z1=Z3.

CF=DF,

?，.四邊形DECF是菱形.

【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個四邊形是菱形時，首先判定這個四邊形是平行四邊形,

再由一對鄰邊相等來判定它是菱形.

舉一反三：

【變式】如圖所示，AD是AABC的角平分線，EF垂直平分AD,分別交AB于E,交AC于F,

則四邊形AEDF是菱形嗎?請說明理由.

【答案】

解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：

,/EF垂直平分AD,

ZkACF與ADOF關(guān)于直線EF成軸對稱.

ZODF=ZOAF,

又：AD平分NBAC,即/OAF=NOAE,

ZODF=ZOAE.；.AE〃DF,

同理可得：DE〃AF.

四邊形AEDF是平行四邊形，EO=OF

又,:OAEDF的對角線AD、EF互相垂直平分.

OAEDF是菱形.

^^3、如圖所示，在AABC中，ZBAC=90°,AD_LBC于點D,CE平分/ACD,交AD于點

G,交AB于點E,EFLBC于點F.求證：四邊形AEFG是菱形.

【思路點撥】由角平分線性質(zhì)易知AE=EF,欲證四邊形AEFG是菱形，只要再證四邊形

AEFG是平行四邊形或AG=GF=AE即可.

【答案與解析】

證明：方法一：CE平分NACB,NBAC=90°，EF±BC,

AE=EF,Nl+N3=90°,/4+N2=90°.

Z1=Z2,

N3=N4.

EF±BC,AD±BC,；.EF〃AD.

/4=N5.N3=N5.

AE=AG.EF「7AG.

四邊形AEFG是平行四邊形.

又?:AE=AG,

四邊形AEFG是菱形.

方法二：CE平分/ACB,NBAC=90°,EF±BC,

AE=EF,Zl+Z3=90°,N4+N2=90°.

N3=/4.

:EF±BC,AD±BC,；.EF/7AD.

Z4=Z5.；.N3=N5.

AE=AG.

在AAEG和AFEG中，AE=EF,Z3=Z4,EG=EG,

AAEG^AFEG.

AG=FG.

AE=EF=FG=AG.

四邊形AEFG是菱形.

【總結(jié)升華】判定一個四邊形是菱形，關(guān)鍵是把已知條件轉(zhuǎn)化成判定方法所需要的條件.

舉一反三：

【變式】如圖所示，在口ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，過A點作

AG/7DB交CB的延長線于點G.

⑴求證:DE/7BF；

(2)若NG=90°,求證四邊形DEBF是菱形.

D.

G

【答案】

證明：⑴口ABCD中，AB〃CD,AB=CD

,/E、F分別為AB、CD的中點

11

DF=-DC,BE=-AB

22

DF〃BE.DF=BE

四邊形DEBF為平行四邊形

DE/7BF

(2)證明：,/AG/7BD

/G=NDBC=90°

ADBC為直角三角形

又：F為邊CD的中點.

1

BF=-DC=DF

2

又：四邊形DEBF為平行四邊形

四邊形DEBF是菱形

類型三、菱形的應(yīng)用

^^4、如圖所示，是一種長0.3機，寬0.2m的矩形瓷磚，E、F、G、H分別為矩形四邊

BC、CD、DA、AB的中點，陰影部分為淡黃色花紋，中間部分為白色，現(xiàn)有一面長4.2m,

寬2.8m的墻壁準備貼如圖所示規(guī)格的瓷磚.試問：

(1)這面墻最少要貼這種瓷磚多少塊？

⑵全部貼滿后，這面墻壁會出現(xiàn)多少個面積相同的菱形？

【答案與解析】

解：墻壁長4.2加，寬2.8機，矩形瓷磚長0.3加，寬0.2加，4.2+0.3=14,2.84-0.2

=14,則可知矩形瓷磚橫排14塊，豎排14塊可毫無空隙地貼滿墻面.

(1)則至少需要這種瓷磚14X14=196(塊).

(2)每塊瓷磚中間有一個白色菱形，則共有196個白色的菱形，它的面積等于瓷磚面積的一

半.另外在同一個頂點處的瓷磚能夠拼成一個淡黃色花紋的菱形，它的面積也等于瓷磚面積

的一半，有花紋的菱形橫排有13個，豎排也有13個，則一共有淡黃色花紋菱形13X13=

169個，面積相等的菱形一共有196+169=365(個).

【總結(jié)升華】菱形可以看作是由直角三角形組成的，因而鋪滿墻面后，要計算空白菱形的個

數(shù)和陰影菱形的個數(shù).將相同的圖形拼在一起，在頂點周圍的幾個圖形也能拼成一定的圖案,

不要忽略周圍圖形的拼接.

【鞏固練習】

一.選擇題

1.（2015?濰坊模擬）下列說法中，錯誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊

C.菱形的對角線互相垂直D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

2.（2016?莆田）菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對邊相等B.對角相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

3.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，如果EF=2,那么菱形ABCD的周長

是（）

C.12D.16

4.如圖，在菱形ABCD中，AB=5,ZBCD=120°,則AABC的周長等于（）

A.20B.15C.10D.5

5.如圖，在菱形ABCD中，AC、BD是對角線，若NBAC=50°,則/ABC等于（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

6.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF.若AB=3,則BC的長為（）

二.填空題

7.已知菱形的周長為40。九，兩個相鄰角度數(shù)之比為1：2,則較長對角線的長為cm.

8.（2015?南充）如圖，菱形ABCD的周長為8cm,高AE長為?cm,則對角線AC長和

BD長之比為L

9.已知菱形ABCD兩對角線AC=8cm,BD=6cm,則菱形的高為.

10.（2016?內(nèi)江）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,AC=8,BD=6,

OE±BC,垂足為點E,則OE=.

11.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,AB=13,AC=10,過點D作DE〃AC

交BC的延長線于點E,則4BDE的周長為.

12.如圖，在平面直角坐標系中，菱形0ABC的頂點B的坐標為（8,4）,則C點的坐標為.

三.解答題

13.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,E是AB邊的中點，P是AC邊上一動點，PB+PE

的最小值是百，求AB的值.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中,E、F分別為邊AB,CD的中點，連接DE、BF、BD.若ADLBD,

則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論.

DFC

15(2015春?泰安校級期中)如圖，在回ABC中，0ABC=9O°,BD為AC的中線，過點C作

CEBBD于點E,過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取

FG=BD,連接BG、DF.

(1)求證：BD=DF；

(2)求證：四邊形BDFG為菱形；

(3)若AG=13,CF=6,求四邊形BDFG的周長.

【答案與解析】

選擇題

L【答案】D；

2.【答案】D

【解析】???菱形具有的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分，對角線互相垂直；

平行四邊形具有的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分；

菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對角線互相垂直.

故選D.

3.【答案】D；

【解析】BC=2EF=4,周長等于4BC=16.

4.【答案】B；

【解析】VZBCD=120°,ZB=60°,又；ABCD是菱形，；.BA=BC,.'△ABC是等邊三角

形，故可得AABC的周長=3AB=15.

5.【答案】C；

【解析】：四邊形ABCD是菱形，；./BAC=L/BAD,CB〃AD,VZBAC=50°,ZBAD

2

=100°,；CB〃AD,AZABC+ZBAD=180°,AZABC=180°-100°=80°.

6.【答案】D；

【解析】ZDAF=ZFA0=Z0AE=30°,所以2BE=CE=AE,3BE=3,BC^^BE^^3.

二.填空題

7.【答案】1073；

【解析】由題意，菱形相鄰內(nèi)角為60°和120。，較長對角線為2—1。2—5?=1。上.

8.【答案】1：

【解析】如圖，設(shè)AC,BD相較于點0,

回菱形ABCD的周長為8cm,

團AB=BC=2cm,

團高AE長為?cm,

0BE=7AB2-AE2=1（cm），

團CE二BE=lcm,

團AC=AB=2cm,

團0A=1cm,AC回BD,

EI0B={AB2（的）,

ElBD=2OB=2A/3cm,

回AC：BD=1：

24

9.【答案】一cm；

5

【解析】菱形的邊長為5,面積為工x6x8=24,24

則高為——cm.

25

10.【答案】絲

5.

【解析】???四邊形ABCD為菱形,

；.AC_LBD,OB=OD」BD=3,OA=OC」AC=4,

22

在RtZXOBC中，V0B=3,0C=4,

.\BC=^2^2=5,

VOEXBC,

."AOE?BC=.1OB?OC,

22

.OE=3X4=12.

55

故答案為空.

5

11.【答案】60；

【解析】因為菱形的對角線互相垂直及互相平分就可以在Rt^AOB中利用勾股定理求出

0B=12,BD=20B=24,DE=20C=10,BE=2BC=26,ZVBDE的周長為60.

12.【答案】(3,4)；

【解析】過B點作BD_LOA于D,過C點作CE_LOA于E,BD=4,0A=x,AD=8—x,

x2=（8-x）2+42,解得尤=5,所以0E=AD=8—5=3,C點坐標為（3,4）.

三.解答題

13?【解析】

解:VZABC=120°

.?.ZBCD=ZBAD=60°；

AB

:菱形ABCD中，AB=AD

AABD是等邊三角形；

又：E是AB邊的中點，B關(guān)于AC的對稱點是D,DEXAB

連接DE,DE與AC交于P,PB=PD；

DE的長就是PB+PE的最小值百；

設(shè)AE=x,AD=2x,

DE=d（2x）~=y/3x=y/3,所以x=l,AB=2x=2.

14?【解析】

四邊形BFDE是菱形，

證明：VAD±BD,

.,△ABD是直角三角形，且AB是斜邊,

：E為AB的中點,

1

；.DE=—AB=BE,

2

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.DC〃AB,DC=AB,

為DC中點，E為AB中點，

11

；.DF=—DC,BE=-AB,

22

；.DF=BE,DF〃BE,

...四邊形DFBE是平行四邊形，

VDE=EB,

...四邊形BFDE是菱形.

15.【解析】

證明：0BABC=9O°,BD為AC的中線，

[3BD=』AC,

2

0AG0BD,BD=FG,

團四邊形BGFD是平行四邊形，

0CF0BD,

EICF0AG,

又回點D是AC中點，

HDFJAC,

2

0BD=DF；

(2)證明：0BD=DF,

團四邊形BGFD是菱形，

(3)解：設(shè)GF=x,則AF=13-x,AC=2x,

團在RtEIACF中，0CFA=9O°,

E1AF2+CF2=AC2,即(13-X)2+62=(2x)2,

解得：x=5,

，四邊形BDFG的周長=4GF=20.

矩形（基礎(chǔ)）

【學習目標】

1.理解矩形的概念.

2.掌握矩形的性質(zhì)定理與判定定理.

【要點梳理】

要點一、矩形的定義

有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形.

要點詮釋：矩形定義的兩個要素：①是平行四邊形；②有一個角是直角.即矩形首先是

一個平行四邊形，然后增加一個角是直角這個特殊條件.

要點二、矩形的性質(zhì)

矩形的性質(zhì)包括四個方面：

1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；

2.矩形的對角線相等；

3.矩形的四個角都是直角；

4.矩形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.

要點詮釋：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對稱圖形.過中心的任意直線

可將矩形分成完全全等的兩部分.

（2）矩形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（分別通過對邊中點的直線）.對

稱軸的交點就是對角線的交點（即對稱中心）.

（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形

的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個方面看：從邊看，矩形對邊平行且相等；從角

看，矩形四個角都是直角；從對角線看，矩形的對角線互相平分且相等.

要點三、矩形的判定

矩形的判定有三種方法：

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

2.對角線相等的平行四邊形是矩形.

3.有三個角是直角的四邊形是矩形.

要點詮釋：在平行四邊形的前提下，加上“一個角是直角”或“對角線相等”都能判

定平行四邊形是矩形.

要點四、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

推論：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

要點詮釋：（1）直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)是矩形性質(zhì)的推論.性質(zhì)的前提是直角

三角形，對一般三角形不可使用.

（2）學過的直角三角形主要性質(zhì)有：①直角三角形兩銳角互余；②直角三

角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；③直角三角形中30。所對的

直角邊等于斜邊的一半.

（3）性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.

【典型例題】

類型一、矩形的性質(zhì)

1、(2015?云南)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,M,N分別是AB,CD的

中點，P是AD上的點，且回PNB=3回CBN.

(1)求證：EIPNM=20CBN；

(2)求線段AP的長.

【思路點撥】(1)由MNI3BC,易得回CBN=I3MNB,由已知回PNB=3I3CBN,根據(jù)角的和差不

難得出結(jié)論；

(2)連接AN,根據(jù)矩形的軸對稱性，可知回PAN=I3CBN,由(1)知IBPNM=2EICBN=2EIPAN,

由ADE1MN,可知回PAN=I3ANM,所以EIPAN=E1PNA,根據(jù)等角對等邊得到AP=PN,再用勾

股定理列方程求出AP.

【答案與解析】

解：(1)回四邊形ABCD是矩形，M,N分別是AB,CD的中點，

0MNEIBC,

00CBN=0MNB,

fflPNB=30CBN,

0EIPNM=20CBN；

(2)連接AN,

根據(jù)矩形的軸對稱性，可知回PANWCBN,

團MN團AD,

RH1PAN二回ANM,

由(1)矢口團PNM=2回CBN,

團回PAN=R1PNA,

0AP=PN,

EAB=CD=4,M,N分別為AB,CD的中點，

回DN=2,

設(shè)AP=x,則PD=6-x,

在RtHPDN中

PD2+DN2=PN2,

0(6-x)2+22=X2,

解得：

3

所以AP=里.

3

APp

M-------------------

R

【總結(jié)升華】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識的綜合運用，難度不大，根據(jù)角

的倍差關(guān)系得到NPAN=/PNA,發(fā)現(xiàn)AP=PN是解決問題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【高清課堂417081矩形例7]

【變式】如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點P為AB邊上任一點，過P分別

作PELAC于E,PFLBC于F,則線段EF的最小值是.

A

C尸3

12

【答案】-；

5

提示：因為ECFP為矩形，所以有EF=PC.PC最小時是直角三角形斜邊上的高.

類型二、矩形的判定

^^2、(2016?濟寧一模)如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過

A點作BC的平行線交CE的延長線于F,且AF=BD,連接BF.

(1)求證：D是BC的中點.

(2)如果AB=AC,試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.

【思路點撥】

(1)因為AF〃:BC,E為AD的中點，即可根據(jù)AAS證明△AEFgZkDEC,故有BD=DC；

(2)由(1)知，AF=DC且AF〃DC,可得四邊形AFDC是平行四邊形，又因為AD=CF,

故可有一個角是直角的平行四邊形是矩形進行判定.

【答案與解析】

（1）證明：VAF/7BC,

ZAFE=ZDCE（1分）

是AD的中點，

；.AE=DE.（2分）

VZAEF=ZDEC,

/.△AEF^ADEC.（3分）

；.AF=DC,

,/AF=BD

；.BD=CD,

；.D是BC的中點；（4分）

(2)四邊形AFBD是矩形，(5分)

證明：VAB=AC,D是BC的中點，

；.AD_LBC,

.\ZADB=90°,（6分）

VAF=BD,AF〃BC,

四邊形AFBD是平行四邊形，（7分）

.??四邊形AFBD是矩形.

【總結(jié)升華】本題考查矩形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì).要熟知這些判定定理才會靈

活運用，根據(jù)性質(zhì)才能得到需要的相等關(guān)系.

舉一反三：

【變式】如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC中點，四邊形ABDE是平行四邊形.

求證：四邊形ADCE是矩形.

【答案】

證明：?..四邊形ABDE是平行四邊形，

；.AE〃BC,AB=DE,AE=BD

為BC的中點，

；.CD=BD

；.CD〃AE,CD=AE

...四邊形ADCE是平行四邊形

VAB=AC

Z.AC=DE

平行四邊形ADCE是矩形.

Cs、如圖所示，口ABCD四個內(nèi)角的角平分線分別交于點E、F、G、H.

求證：四邊形EFGH是矩形.

【思路點撥】AE、BE分別為/BAD、NABC的角平分線，由于在口ABCD中，NBAD+/ABC=

180°,易得NBAE+NABE=90°,不難得到NHEF=90°,同理可得NH=NF=90°.

【答案與解析】

證明：在口ABCD中，AD/7BC,

ZBAD+ZABC=180°,

AE、BE分別平分/BAD、ZABC,

ZBAE+ZABE=-ZBAD+-ZABC=90°.

22

NHEF=/AEB=90°.

同理：NH=NF=90°.

.，"四邊形EFGH是矩形.

【總結(jié)升華】（1）利用角平分線、垂線得到90°的角，選擇“有三個直角的四邊形是矩形”

來判定.（2）本題沒有涉及對角線，所以不會選擇利用對角線來判定矩形.

類型三、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)

^^4、如圖，ZsABC中，AB=AC=10,BC=8,AD平分/BAC交BC于點D,點E為AC的中

點，連接DE,則4CDE的周長為（）

A.20B.12C.14D.13

【解析】

解：VAB=AC,AD平分NBAC,BC=8,

；.AD_LBC,CD=BD=-BC=4,

2

:點E為AC的中點，

1

；.DE=CE=—AC=5,

2

ACDE的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14.

【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線

合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖所示，已知平行四邊形ABCD,AC、BD相交于點0,P是平行四邊形ABCD外一

點，且/APC=NBPD=90°.求證：平行四邊形ABCD是矩形.

【答案】

解：連接0P.

,/四邊形ABCD是平行四邊形.

A0=C0,B0=D0,

NAPC=NBPD=90°,

11

0P=-AC,0P=-BD,

22

AC=BD.

**?四邊形ABCD是矩形.

【鞏固練習】

選擇題

1.（2015春?宜興市校級期中）下列說法中正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.平行四邊形的對角線平分一組對角

D.矩形的對角線相等且互相平分

2.若矩形對角線相交所成鈍角為120。，短邊長3.6?！?，則對角線的長為（）.

A.3.6cmB.7.2cmC.1.8cmD.14.4：cm

3.矩形鄰邊之比3：4,對角線長為10。〃，則周長為（）.

A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm

4.（2016?海南）如圖，矩形ABCD的頂點A、C分別在直線a、b上，且2〃卜Zl=60°,

則/2的度數(shù)為（）

5.在數(shù)學活動課上，老師和同學們判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學習小

組的4位同學擬定的方案，其中正確的是（）

A.測量對角線是否相互平分B.測量兩組對邊是否分別相等

C.測量一組對角是否都為直角D.測量其中三角形是否都為直角

6.如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點D、F,BELDF交DF的延長線于點

E,已知NA=30°,BC=2,AF=BF,則四邊形BCDE的面積是（）

A.273B.373C.4D.473

二.填空題

7.矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于0,ZA0B=60°,AC=10cm,則AB=cm,

BC=cm.

8.在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=3,則AB邊上的中線CD=.

9.（2016?巴中）如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E,使CE=BD,連結(jié)AE,如果/ADB=30。,

則/E=度.

10.（2015?重慶模擬）如圖，在矩形ABCD中，E為BC的中點，且NAED=90°,AD=10,則AB

11.如圖，口ABCD的頂點B在矩形AEFC的邊EF上，點B與點E、F不重合，若4ACD的面

積為3,則圖中陰影部分兩個三角形的面積和為.

12.如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC=6,E是斜邊AB上任意一點，作EF_LAC于F,

三.解答題

13.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點0,OFXBC,CE±BD,0E：BE=1：3,0F=4,

求NADB的度數(shù)和BD的長.

聞-

14.如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC邊上的一點，AF的延長線交DC的延長線于G,DELAG于

E,且DE=DC,根據(jù)上述條件，請你在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結(jié)論.

15.（2015?通州區(qū)一模）已知菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點E,點F在BC的延

長線上，且CF=BC,連接DF,點G是DF中點，連接CG.求證：四邊形ECGD是矩形.

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】D；

【解析】回對角線相等的平行四邊形是矩形，回A不正確；

團對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，0B不正確；

回平行四邊形的對角線互相平分，菱形的對角線平分一組對角，回C不正確;

團矩形的對角線互相平分且相等，回D正確；

2.【答案】B；

【解析】直角三角形中，30°所對的邊等于斜邊的一半.

3.【答案】B；

【解析】由勾股定理，可算得鄰邊長為和8。九，則周長為28?！?

4【答案】C.

【解析】過點D作DE〃a,

:四邊形ABCD是矩形，

AZBAD=ZADC=90",

N3=90°-N1=90°-60°=30°,

\'a//b,

；.DE〃a〃b,

.\Z4=Z3=30°,N2=/5,

AZ2=90°-30°=60°.

故選C.

5.【答案】D；

6.【答案】A；

【解析】先證AADF以ABEF,則DF為AABC中位線，再證明四邊形BCDE是矩形,BE=百,

可求面積.

二.填空題

7.【答案】5,573；

【解析】可證AAOB為等邊三角形，AB=AO=CO=BO.

8.【答案】J3十4；

【解析】由勾股定理算得斜邊AB=?，CD='AB=卑.

22

9【答案】15.

【解析】連接AC,

:四邊形ABCD是矩形，

；.AD〃BE,AC=BD,且NADB=NCAD=30°,

ZE=ZDAE,

又；BD=CE,

；.CE=CA,

/.ZE=ZCAE,

ZCAD=ZCAE+ZDAE,

/.ZE+ZE=30°,即/E=15°,

故答案為：15.

10.【答案】5；

【解析】回矩形ABCD中，E是BC的中點，

0AB=CD,BE=CE,0B=0C=9O°,

可證得EIABEEBDCE(SAS),

回AE=DE,

00AED=9O°,0HDAE=45<),

H3BAE=90°-回DAE=45°,

fflBEA=0BAE=45",

0AB=BE=lAD=lxlO=5.

22

11.【答案】3；

【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AD=BC,DC=AB,證△ADC0/\CBA,推出4ABC的

面積是3,求出ACXAE=6,即可求出陰影部分的面積.

12.【答案】12；

【解析】推出四邊形FCGE是矩形，得出FC=EG,FE=CG,EF〃CG,EG/7CA,求出NBEG

=NB,推出EG=BG,同理AF=EF,求出矩形CFEG的周長是CF+EF+EG+CG

=AC+BC,代入求出即可.

三.解答題

13.【解析】

解：由矩形的性質(zhì)可知0D=0C.

又由OE：BE=1：3可知E是0D的中點.

又因為CE_LOD,根據(jù)三線合一可知0C=CD,即0C=CD=0D,

即△OCD是等邊三角形，故NCDB=60°.

所以NADB=30°.

又因為CD=20F=8,

即BD=20D=2CD=16.

14.【解析】

證明：：四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,DC=AB.

NDAE=NAFB.

VDE=DC,；.DE=AB.

VDEXAG,；.NDEA=/ABF=90°.

AABF^ADEA.

15.【解析】

證明：EICF=BC,

fflC點是BF中點，

國點G是DF中點，

EICG是I3DBF中位線，

0CGEIBD,CG=￡BD，

國四邊形ABCD是菱形，

EIACEIBD,DE=1BD，

fflDEC=90°,CG=DE,

0CG0BD,

四邊形ECGD是矩形.

正方形（基礎(chǔ)）

【學習目標】

1.理解正方形的概念，了解平行四邊形、矩形及菱形與正方形的概念之間的從屬關(guān)系；

2.掌握正方形的性質(zhì)及判定方法.

【要點梳理】

【高清課堂特殊的平行四邊形（正方形）知識要點】

要點一、正方形的定義

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.

要點詮釋：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形,

更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.

要點二、正方形的性質(zhì)

正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

1.邊一一四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；

2.角一一四個角都是直角；

3.對角線一一①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；

4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.

要點詮釋：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四

個等腰直角三角形.

要點三、正方形的判定

正方形的判定除定義外，判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是

直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互

相垂直(即菱形).

要點四、特殊平行四邊形之間的關(guān)系

或者可表示為:

要點五、順次連接特殊的平行四邊形各邊中點得到的四邊形的形狀

(1)順次連接平行四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形.

(2)順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形.

(3)順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形.

(4)順次連接正方形各邊中點得到的四邊形是正方形.

要點詮釋：新四邊形由原四邊形各邊中點順次連接而成.

(1)若原四邊形的對角線互相垂直，則新四邊形是矩形.

(2)若原四邊形的對角線相等，則新四邊形是菱形.

(3)若原四邊形的對角線垂直且相等，則新四邊形是正方形.

【典型例題】

類型一、正方形的性質(zhì)

C1、(2016?臺灣)如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG,其中E點在AD

上.若/ECD=35。，ZAEF=15°,則/B的度數(shù)為何？()

A.50B.55C.70D.75

【思路點撥】由平角的定義求出/CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求出ND的度數(shù)，再

由平行四邊形的對角相等即可得出結(jié)果.

【答案】C.

【解析】

解：：四邊形CEFG是正方形，

ZCEF=90",

,/ZCED=180°-ZAEF-ZCEF=180°-15°-90°=75°,

ZD=180°-ZCED-ZECD=180°-75°-35°=70°,

?..四邊形ABCD為平行四邊形，

.?.NB=ND=70。（平行四邊形對角相等）.

故選C.

【總結(jié)升華】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟

練掌握平行四邊形和正方形的性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理求出/D的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】已知：如圖，E為正方形ABCD的邊BC延長線上的點，F(xiàn)是CD邊上一點，且

CE=CF,連接DE,BF.求證：DE=BF.

【答案】

證明：：四邊形ABCD是正方形，

；.BC=DC,NBCD=90°

為BC延長線上的點，

.\ZDCE=90°,

/.ZBCD=ZDCE.

在4BCF和4DCE中，

BC=DC

<ZBCF=NDCE,

CF=CE

：.ABCF^ADCE（SAS）,

；.BF=DE.

【高清課堂特殊的平行四邊形（正方形）例D

【變式2】（2015?咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC,BE相交

于點F,則NBFC為（）

【答案】B；

提示：?.,四邊形ABCD是正方形，

/.ZBAD=90°,AB=AD,ZBAF=45°,

VAADE是等邊三角形，

AZDAE=60°,AD=AE,

AZBAE=90°+60°=150°,AB=AE,

ZABE=ZAEB=1(180°-150°)=15

2

AZBFC=ZBAF+ZABE=45°+15°=60°；

故選：B.

C2、如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連接AG,點E、

F分別在AG上，連接BE、DF,Z1=Z2,Z3=Z4.

(1)證明：ZiABE烏Z\DAF；

(2)若/AGB=30。，求EF的長.

【思路點撥】要證明4ABE0Z\DAF,已知N1=N2,N3=/4,只要證一條邊對應(yīng)相等即可.要

求EF的長，需要求出AF和AE的長.

【答案與解析】

(1)證明：：四邊形ABCD是正方形，

；.AD=AB,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

.'.△DAF^AABE.

(2)解：：四邊形ABCD是正方形，NAGB=30°,

；.AD〃BC,

.?.Zl=ZAGB=30°,

：N1+/4=NDAB=9O°,

：N3=N4,

；./1+/3=90°,

AZAFD=180°-(Z1+Z3)=90°,

；.DF_LAG,

.,.DF=-AD=1

2

AF=6

VAABE^ADAF,

；.AE=DF=1,

EF=y/3—1

【總結(jié)升華】通過證三角形全等得到邊和角相等，是有關(guān)四邊形中證邊角相等的最常用的方

法.而正方形的四條邊相等，四個角都是直角為證明三角形全等提供了條件.

舉一反三：

【變式】如圖，A、B、C三點在同一條直線上，AB=2BC,分別以AB,BC為邊做正方形ABEF

和正方形BCMN連接FN,EC.求證：FN=EC.

【答案】

證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，

AB=BE=EF,BC=BN,ZFEN=ZEBC=90°,

VAB=2BC,即BC=BN=，A3

2

；.BN=工BE,即N為BE的中點，

2

；.EN=NB=BC,

/.△FNE^AECB,

；.FN=EC.

類型二、正方形的判定

^^3、如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAC,/ABC的平分線相交于點D,且DE

LBC于點E,DFLAC于點F,那么四邊形CEDF是正方形嗎?請說明理由.

【答案與解析】

解：是正方形，理由如下：

作DGLAB于點G.

:AD平分NBAC,DF±AC,DG±AB,

DF=DG.

同理可得：DG=DE.DF=DE.

DF±AC,DE±BC,/C=90°,

四邊形CEDF是矩形.

DF=DE.

四邊形CEDF是正方形.

【總結(jié)升華】（1）本題運用了“有一組鄰邊相等的矩形是正方形”來判定正方形.（2）證明正

方形的方法還可以直接通過證四條邊相等加一個直角或四個角都是直角來證明正方形.

舉一反三：

【變式】如圖，點0是線段AB上的一點，OA=OC,0D平分/AOC交AC于點D,OF平分NC0B,

CFL0F于點F.

（1）求證：四邊形CDOF是矩形;

（2）當NAOC多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由.

【答案】

（1）證明：TOD平分NAOC,OF平分NCOB（已知），

???NA0C=2NC0D,NC0B=2NC0F,

VZA0C+ZB0C=180°,

.'.2ZC0D+2ZC0F=180°,

.\ZC0D+ZC0F=90o,

???ND0F=90°；

VOA=OC,OD平分NAOC（已知），

AOD±AC,AD=DC（等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)），

???NCD0=90°,

VCF±OF,

???NCF0=90°

???四邊形CDOF是矩形；

（2）當NA0C=90°時，四邊形CDOF是正方形；理由如下：

VZA0C=90°,AD=DC,

???OD=DC；

又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則

四邊形CDOF是正方形；

因此，當NA0C=90°時，四邊形CDOF是正方形.

類型三、正方形綜合應(yīng)用

Cd、如圖，在平面直角坐標系xoy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的

對角線AC、BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（龍軸

的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點0）,頂點C、D都在第一象限.

（1）當NBA0=45°時，求點P的坐標；

（2）求證：無論點A在無軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在NA0B

的平分線上；

【答案與解析】

解：（1）當NBA0=45°時，ZPA0=90°，

在RtZkAOB中，0A=?AB=?a,在RtZkAPB中，PA=-AB=—?.

22、22

...點P的坐標為a

~2

7

（2）如圖過點P分別作x軸、y軸的垂線垂足分別為爪N,

則有/PMA=/PNB=NNPM=NBPA=90°,

ZBPN+NBPM=ZAPM+NBPM=90°

.?.ZAPM=ZBPN,又PA=PB,

△PAM絲△PBN,

PM=PN,

又?:PN±0N,PM±0M

于是，點P在NAOB的平分線上.

【總結(jié)升華】根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造全等的直角三角形是解題關(guān)鍵.

【鞏固練習】

一.選擇題

1.（2016?陜西）如圖，在正方形ABCD中，連接BD,點O是BD的中點，若M、N是

邊AD上的兩點，連接MO、NO,并分別延長交邊BC于兩點Nz,則圖中的全等三角

形共有（）

A.2對B.3對C.4對D.5對

2.（2015?漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.四條邊相等B.對角線互相垂直平分

C.對角線平分一組對角D.對角線相等

3.如圖，正方形ABCD的邊長為4c加，則圖中陰影部分的面積為（）而.

A.6B.8C.16D.不能確定

4.順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊的中點，所