經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)第2章 微分學(xué)及其應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)何良材編著重慶大學(xué)出版社2.1導(dǎo)數(shù)概念2.1.1引例引例1變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.假設(shè)物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)，那么物體在任何時(shí)刻的速度都等于運(yùn)動(dòng)路程除以運(yùn)動(dòng)時(shí)間．但假設(shè)物體做非勻速直線運(yùn)動(dòng)，且知其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s＝s(t)，應(yīng)如何求它在t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度呢？這個(gè)問題可以通過下述方法解決：當(dāng)時(shí)間t從t0變到t0＋Δt時(shí)，物體所經(jīng)過的路程為第2章微分學(xué)及其應(yīng)用于是，在Δt時(shí)間內(nèi)物體的平均速度為引例2產(chǎn)品總本錢的變化率.設(shè)某產(chǎn)品的總本錢C隨產(chǎn)量x而確定，那么C是x的函數(shù)，記作C＝C(x)(x＞0)，通常稱它為本錢函數(shù)．試求產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)，總本錢的變化率．當(dāng)產(chǎn)量x從x0變化到x0＋Δx時(shí)，總本錢取得相應(yīng)的改變量于是，在產(chǎn)量x由x0變到x0＋Δx時(shí)，總本錢的平均變化率為

顯然，當(dāng)Δx→０時(shí)，極限值就可認(rèn)為是產(chǎn)量為x0個(gè)單位時(shí)總本錢的變化率．2.1.2導(dǎo)數(shù)定義定義2.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量Δx(≠0)時(shí)，函數(shù)f(x)取得相應(yīng)的增量Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)，如果當(dāng)Δx→０時(shí)，比值的極限存在，那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把該極限叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)，即也可記作.如果此極限不存在，那么稱函數(shù)y=f(x)在x0處不可導(dǎo)．由導(dǎo)數(shù)定義還可將求導(dǎo)數(shù)方法概括為以下三步：算增量：Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)；寫比值：Δ；求極限：.例求函數(shù)1)

在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)．解2.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖2.1所示，設(shè)P(x0，f(x0))為曲線y=f(x)上一點(diǎn)，當(dāng)自變量在x0處取得增量Δx時(shí)，在曲線y=f(x)上相應(yīng)得到另一點(diǎn)Q((x0＋Δx)，f(x0＋Δx))，連接這兩點(diǎn)得割線PQ，設(shè)其傾角為φ，那么割線PQ的斜率為：圖2.1即平均變化率表示割線PQ的斜率．2.1.4函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理2.1假設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)．反之不真.例設(shè)，判斷f(x)在x=0處的連續(xù)性及可導(dǎo)性．解

故，又f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續(xù).

可知f′+(0)≠f

′-(0),即f(x)在x=0處不可導(dǎo)．2.2求導(dǎo)方法2.2.1導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)法例設(shè)y=f(x)=c(c為常數(shù))，求y'

．解因?yàn)棣=f(x＋Δx)－f(x)=c－c=0所以即例

設(shè)y=sinx，求y′．解

2.2.2四那么運(yùn)算求導(dǎo)法定理2.2設(shè)函數(shù)u(x)與v(x)在x處可導(dǎo)，那么(u±v),uv,在x處可導(dǎo)，且例，求y′．解2.2.3反函數(shù)求導(dǎo)法定理2.3設(shè)函數(shù)x=φ(y)在某一區(qū)間內(nèi)單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)，且φ′(y)≠0，那么其反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且換句話說(shuō)：即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例設(shè)y=arcsinx(－1＜x＜1)，求y′．解因?yàn)閥=arcsinx(－１＜x＜１)與

互為反函數(shù)，由反函數(shù)求導(dǎo)法，得即類似地2.2.4復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法(1)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)定理2.4設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且設(shè)那么復(fù)合函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為或例設(shè)y=(2x＋1)3，求y′．解設(shè)u=2x＋1，那么y=(2x＋1)3可看成由y=u3和u=2x＋1復(fù)合而成，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么得例設(shè)y=sine-x，求y′.解(2)隱函數(shù)求導(dǎo)法求隱函數(shù)F(x，y)=0的導(dǎo)數(shù)，一般是將方程兩端同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，遇到含y的項(xiàng)就把它看成是x的函數(shù)y(x)，同時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么，然后從所得的關(guān)系式中解出y′，就得到所求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．例求由方程所確定隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′與y′(0)．解將xy－ex＋ey=0兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，并注意到y(tǒng)是x的函數(shù)，ey是x的復(fù)合函數(shù)．于是有解出y′，得又將x=0代入方程xy－ex＋ey=0，得y=0.所以.*(3)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法具體做法是：先取對(duì)數(shù)，然后按隱函數(shù)求導(dǎo)法那么求導(dǎo).例設(shè)，求y′．解方程兩邊取自然對(duì)數(shù)由隱函數(shù)求導(dǎo)法那么，將上式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得解出y′，得即2.2.5初等函數(shù)求導(dǎo)公式(1)導(dǎo)數(shù)根本公式(2)函數(shù)和差積商求導(dǎo)法那么(3)反函數(shù)求導(dǎo)法那么設(shè)y=f(x)是x=φ(y)的反函數(shù)，那么即(4)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么設(shè)y=f(u)，u=φ(x)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］的導(dǎo)數(shù)為

或2.2.6高階導(dǎo)數(shù)求法二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)，統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)．從高階導(dǎo)數(shù)的定義可知，要求函數(shù)y=f(x)的高階導(dǎo)數(shù)，只要反復(fù)運(yùn)用求導(dǎo)方法，逐階求導(dǎo)即可．例求y=x3－2x2＋3x＋7的各階導(dǎo)數(shù)．解例求y=sinx的n階導(dǎo)數(shù)．解

所以同理2.3微分2.3.1微分概念引例1

一正方形金屬板因受熱而膨脹，其面積A=A(x)=x2，當(dāng)邊長(zhǎng)由x變到x+Δx，求面積改變量ΔA的近似值．圖2.3解相應(yīng)的面積改變量為第一局部2xΔx是Δx的線性函數(shù)，其系數(shù)2x正好是A=x２的導(dǎo)數(shù)，即圖2．3中畫斜線的那兩個(gè)矩形面積之和；第二局部(Δx)２，因，所以(Δx)２是Δx的高階無(wú)窮小，即圖2.3中畫網(wǎng)線的小正方形的面積．定義2.2假設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)f′(x)，那么f′(x)Δx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的微分，記作dy

或df(x)，即或例求函數(shù)y=x2＋1當(dāng)x由1變到1.01時(shí)的增量Δy與微分dy．解因?yàn)?.3.2微分的幾何意義函數(shù)y=f(x)的微分dy的幾何意義是：函數(shù)y=f(x)的圖形在(x，f(x))點(diǎn)處所引切線在區(qū)間［x，x+Δx］上的縱坐標(biāo)的增量．2.3.3微分的運(yùn)算例設(shè)y=x2ln

x2＋cosx，求dy．解：2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.4.1微分中值定理定理2.5(拉格朗日中值定理)設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得推論1設(shè)f′(x)=0，那么f(x)=C,x∈(a,b)．推論2設(shè)f′(x)=g′(x),那么f(x)-g(x)=C,x∈(a,b)．2.4.2羅彼達(dá)法那么也可寫成

f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(a<ξ<b)(2.11)例求.解定理2.6(羅彼達(dá)法那么)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)滿足以下條件：例求解2.4.3函數(shù)的性態(tài)(1)函數(shù)的增減性定理2.7設(shè)函數(shù)f(x)在［a，b］上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．１)假設(shè)在(a，b)內(nèi)f′(x)＞０，那么f(x)在［a，b］上單調(diào)增加．２)假設(shè)在(a，b)內(nèi)f′(x)＜０，那么f(x)在［a，b］上單調(diào)減少．例討論函數(shù)y=f(x)=x３-３x的增減性．解

令解之，有x=-1，1．當(dāng)-

∞＜x＜-１或１＜x＜+∞時(shí)，有y′＞０，從而函數(shù)在區(qū)間(-

∞，-１)和(1，+∞)內(nèi)單調(diào)增加．

當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，y′＜0，從而函數(shù)在區(qū)間(-1，1)內(nèi)單調(diào)減少，如圖2.7所示.圖2.7(2)函數(shù)的極值定義2.3設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如對(duì)于這鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)是f(x)的一個(gè)極大值．如對(duì)于這個(gè)鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)是f(x)的一個(gè)極小值．定理2.8(極值判定定理)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f′(x0)=０,1)假設(shè)x＜x0時(shí)，f′(x)＞０；x＞x0時(shí)，f′(x)＜０，那么f(x)在x0處取得極大值．2)假設(shè)x＜x0時(shí)，f′(x)＜０；x＞x0時(shí)，f′(x)＞０，那么f(x)在x0處取得極小值．3)假設(shè)在x0的兩側(cè)，f′(x)保持同號(hào)，那么f(x)在x0處沒有取得極值．例求函數(shù)f(x)=(x-１)2(x-２)3的極值．解第一步：求導(dǎo)數(shù)第二步：求駐點(diǎn)，令f′(x)=０，即解得駐點(diǎn)

第三步：判極值，列表2.1討論f′(x)的符號(hào)變化，確定f(x)的極值.

由表2.1可知，f(x)有：極大值f(１)=０，極小值

f(x)在x=２的兩側(cè)均單調(diào)增加，所以f(x)在x=２處無(wú)極值．*(3)曲線的凹向性與拐點(diǎn)定義2.4假設(shè)曲線弧位于(a，b)上每一點(diǎn)處切線的上方，就稱曲線在(a，b)上是上凹的(或凹的，或凹向向上)；假設(shè)曲線弧位于(a，b)上每一點(diǎn)處切線的下方，就稱曲線在(a，b)上是下凹的(或凸的，或凹向向下)；且曲線上上凹與下凹局部的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)．根據(jù)f″(x)的符號(hào)給出判定函數(shù)圖形的凹向性及拐點(diǎn)的法那么．定理2.9設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)．1)如在(a，b)上有f″(x)＞０，那么函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上凹．2)如在(a，b)上有f″(x)＜０，那么函數(shù)y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲線向下凹．3)如x0∈(a，b)使f″(x0)=0，且在x0附近f″(x)變號(hào)，那么點(diǎn)(x0，f(x0))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，假設(shè)在x0附近f″(x)不變號(hào)，那么點(diǎn)(x0，f(x0))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．例求曲線y=３x4－４x3＋１的增減區(qū)間、極值、凹向區(qū)間及拐點(diǎn)，并描出圖形．解

為便于判定函數(shù)的增減區(qū)間、極值、凹向區(qū)間及拐點(diǎn)，將上述各根x1=０，x2=23，x3=依次插入函數(shù)定義域(－∞，+∞)，將其分成四個(gè)區(qū)間，列出表2.2討論．

由表2.2知：減區(qū)間為(－∞，１)，增區(qū)間為(１，＋∞)；上凹區(qū)間為，下凹區(qū)間為；拐點(diǎn)為；極小點(diǎn)為x=１，極小值為y(１)=０，見圖2.9．圖2.9圖2.13

令S′=０，得駐點(diǎn)由于,因此S在處取得極小值，也就是最小值．這時(shí)相應(yīng)的高為(2)邊際分析邊際本錢設(shè)C=C(x)是某產(chǎn)品的總本錢函數(shù)，其中x為產(chǎn)品量，那么稱總本錢C對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)C′(x)為產(chǎn)量x單位時(shí)的邊際本錢．相應(yīng)曲線稱為邊際本錢曲線，常記作MC．邊際本錢的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際本錢C′(x)近似地等于在產(chǎn)量x單位的水平上再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的本錢．或者說(shuō)，C′(x)近似地等于第x＋１個(gè)單位產(chǎn)品的本錢.邊際收益設(shè)R=R(x)是某產(chǎn)品的總收益函數(shù)，其中x為產(chǎn)量，那么稱R對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)R′(x)為產(chǎn)量x單位時(shí)的邊際收益．相應(yīng)曲線稱為邊際收益曲線，常記作MR．邊際收益的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際收益R′(x)近似地等于在產(chǎn)量x單位的水平上再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品所增加的收益．或者說(shuō)，R′(x)近似地等于第x＋１個(gè)單位產(chǎn)品的收益．邊際利潤(rùn)設(shè)L=L(x)是某產(chǎn)品的總利潤(rùn)函數(shù)，其中x為產(chǎn)品量，那么稱總利潤(rùn)L對(duì)產(chǎn)量x的導(dǎo)數(shù)L′(x)為產(chǎn)量x單位時(shí)的邊際利潤(rùn)．相應(yīng)曲線稱為邊際利潤(rùn)曲線，常記作ML．邊際利潤(rùn)的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際利潤(rùn)L′(x)近似地等于在產(chǎn)量x單位的水平上再生產(chǎn)一個(gè)單位的產(chǎn)品所增加的利潤(rùn)．或者說(shuō)，L′(x)近似地等于第x＋１個(gè)單位產(chǎn)品的利潤(rùn)．邊際需求設(shè)Q=Q(P)是某商品的需求函數(shù)，其中P為商品的價(jià)格,那么稱需求量Q對(duì)價(jià)格P的導(dǎo)數(shù)Q′(P)為價(jià)格P單位時(shí)的邊際需求，相應(yīng)曲線稱為邊際需求曲線，常記作MQ．邊際需求的經(jīng)濟(jì)意義是：邊際需求Q′(P)近似地等于價(jià)格在P貨幣單位的水平上，再增加一個(gè)貨幣單位所增加的需求量．也稱P=P(Q)的導(dǎo)數(shù)P′(Q)為邊際價(jià)格．它近似地等于銷售量在Q的水平上，再增加一個(gè)單位的銷售量所增加的價(jià)格．例某商品的本錢函數(shù)和收益函數(shù)各為：其中x是商品的銷售量，試求該商品的邊際本錢、邊際收益和邊際利潤(rùn)．解邊際本錢是本錢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故商品的邊際本錢為：邊際收益是收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故商品的邊際收益為因利潤(rùn)函數(shù)等于收益函數(shù)減去本錢函數(shù)，即邊際利潤(rùn)是利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，故商品的邊際利潤(rùn)為：實(shí)際上(3)彈性分析1)定義2.5

設(shè)函數(shù)y=f(x)在x處可導(dǎo)，稱兩個(gè)相對(duì)改變量之比值，當(dāng)Δx→０時(shí)的極限(如存在的話)為函數(shù)y=f(x)在x處的彈性(或相對(duì)變化率)，記為η，有即2)幾個(gè)常用經(jīng)濟(jì)量的彈性①需求彈性需求函數(shù)是受多因素(如該商品的價(jià)格、消費(fèi)者的收入水平，其他代用品價(jià)格等)的影響，這里僅考慮價(jià)格這一主要因素，設(shè)商品需求函數(shù)為Q=Q(P)，且在P處可導(dǎo)(其中P為價(jià)格、Q為需求量)，那么稱為該商品在P處的需求彈性，或稱需求Q對(duì)價(jià)格P的彈性.例設(shè)某商品需求量對(duì)價(jià)格的函數(shù)關(guān)系為試求需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義．解根據(jù)需求彈性定義：有即其經(jīng)濟(jì)意義：表示當(dāng)價(jià)格P上漲(或下跌)1%時(shí)，需求量Q近似減少(或增加)1.1P%．②收入彈性設(shè)R=R(x)是某產(chǎn)品的總收益函數(shù)(其中x為產(chǎn)量)，且在點(diǎn)x處可導(dǎo)，那么稱

為該產(chǎn)品在點(diǎn)x處的收入彈性，其經(jīng)濟(jì)意義的解釋留給讀者完成．例設(shè)某種商品的銷售額R與價(jià)格P之間的函數(shù)關(guān)系為

試求，當(dāng)價(jià)格P=1.00元與1.50元水平時(shí)，銷售額函數(shù)的彈性，并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義．解由彈性定義有

當(dāng)P=1.00元時(shí)，；當(dāng)P=1.50元時(shí)，.其經(jīng)濟(jì)含義是：當(dāng)價(jià)格在1.00元水平時(shí)，價(jià)格上漲1％，該商品的銷售額還可增加0.48％；但當(dāng)價(jià)格在1.50元水平時(shí)，價(jià)格上漲1%，該商品的銷售額將下降0.047％．③本錢彈性設(shè)C=C(x)是某產(chǎn)品的總本錢函數(shù)(其中x為產(chǎn)品量)，且在點(diǎn)x處可導(dǎo)，那么稱為該商品在點(diǎn)x處的本錢彈性．其經(jīng)濟(jì)意義的解釋留給讀者．④函數(shù)彈性的圖解法設(shè)函數(shù)y=f(x)的曲線已作出，A(x0，y0)為該曲線上一點(diǎn)，由彈性定義有

由圖2.17知：其中α1為過A點(diǎn)的切線AB與x軸的夾角．又圖2.17

其中α2為OA與x軸的夾角，結(jié)合以上三式得從而得出y=f(x)在x0處彈性的幾何圖解法步驟：第一步,作出y=f(x)的曲線；第二步,過曲線上點(diǎn)A(x0，y0)分別作切線AB與線段OA，得到其與x軸夾角α1與α2；第三步,按公式求出彈性．2.5多元函數(shù)微分學(xué)2.5.1偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念(1)二元函數(shù)的連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)的研究根底是多元函數(shù)．這里以二元函數(shù)為主．定義2.6設(shè)某研究過程中有三個(gè)變量x，y，z，假設(shè)當(dāng)變量x，y在其變化范圍內(nèi)任取一對(duì)數(shù)值時(shí)，變量z按照一定法那么總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，那么稱z叫x，y的二元函數(shù)，記作定義2.7設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)及其附近有定義，點(diǎn)P(x0＋Δx，y0+Δy)為P0點(diǎn)附近的另一點(diǎn)，當(dāng)Δx→0，Δy→0(即P→P0)，假設(shè)增量

滿足那么稱z=f(x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)處連續(xù)，且P0(x0，y0)稱z=f(x，y)的連續(xù)