2024年浙江省寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024年寧波市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、單選題：本題共4小題，每小題6分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知兩圓C1，C2，則“C1，C2有且僅有三條公切線(xiàn)”是“C1，A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若α∈12,1,2，則函數(shù)f(x)=xA. B.

C. D.3.已知對(duì)任意平面向量AB=(x,y)，把AB繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)AA.12 B.32 C.14.已知△ABC的內(nèi)心為I，垂心為H，∠B=π4，若IH//BC，則∠C的大小落在區(qū)間(

)A.(0,π6) B.(π6,二、多選題：本題共3小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。5.設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，若關(guān)于x的不等式ax?bx+cx>0A.a+c<2b B.1a+1c>26.數(shù)列an是等差數(shù)列，周期數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=cos(anA.4 B.5 C.6 D.77.已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1，點(diǎn)M是線(xiàn)段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A.對(duì)任意的點(diǎn)M，總存在點(diǎn)N使得MN⊥AC

B.三棱錐M?BCN外接球的球心可以是線(xiàn)段BM的中點(diǎn)

C.三棱錐M?BCN外接球半徑的最小值為928

D.二面角三、填空題：本題共6小題，每小題8分，共48分。8.已知函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x)+f(11?x)=x，則f(2)=

9.在斜三棱柱的9條棱中任取2條，則取出的兩條棱所在直線(xiàn)異面的概率為

．10.在3×3的方格表內(nèi)填入1，2，?，9，若任何有公共邊的兩格內(nèi)填的數(shù)之差的絕對(duì)值都不小于c，則c的最大值為

．11.已知9位學(xué)生在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)的平均值為75，方差為80，則這9位學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)的最大值為

．12.設(shè)P(x0,y0)為橢圓x2+4y2=13.已知復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足|z1?i|=2，且z2?iz1?i=四、解答題：本題共5小題，共104分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。14.(本小題17分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且b2+2bc(1)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由;(2)若△ABC為等腰三角形，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作BE⊥CD于E點(diǎn)，求CDBE的最小值．15.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=1(1)求證：f(x)+f(x+2)(2)若關(guān)于x的不等式1?kx≤f(x+1)≤1?tx的解集為[0,3]，求實(shí)數(shù)k和t的取值范圍．16.(本小題20分)已知雙曲線(xiàn)Γ:x2?y2=2的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)Γ的兩支于A(yíng)，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)F(1)若C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，滿(mǎn)足S△F2RC(2)若RM=14RS，AN17.(本小題25分)已知p為素?cái)?shù)，定義fp(n)表示正整數(shù)n的不被p整除的最大因子.記求證：(1){an+1?a18.(本小題25分)設(shè)集合A={x1,x2,?,xn}，xi∈Z，i=1，2，?，n.將A的每個(gè)子集的元素相加，得到2n個(gè)數(shù)(1)若A={1,2,4,?,2n?1}，證明：若(2)若b1，b2，?，b2n為連續(xù)的2n個(gè)整數(shù).參考答案1.A

2.C

3.A

4.D

5.ABD

6.ABC

7.BCD

8.749.1310.3

11.83

12.25213.|Re(z14.解：(1)由題可得b2所以cosA=b2由余弦定理得：b=cb∴c2=(2)設(shè)∠ACD=α.則∠CBE=α，∠ADC=3π4?α在△ABC中，由正弦定理得CDsin因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，所以CDBE當(dāng)α=π8時(shí)，取到等號(hào)，所以CDBE

15.解：(1)要證1x+即證x+1上式左邊=(同理可得，上式右邊=1x+1(2)由不等式1?kx≤f(x+1)≤1?tx的解集為[0,3]，可知函數(shù)y=1x+1l1:y=1?kx，數(shù)形結(jié)合可得，x=3是方程1x+1又由圖象可知，不等式1?kx≤1x+1可得kx≥1?1從而k≥1x+1又函數(shù)y=1x+1?(x+1+1)因此，k≥12，

16.解：AB的斜率存在且不為0，可設(shè)AB:x=my?2，A(x1,直線(xiàn)AB與雙曲線(xiàn)Γ聯(lián)立，x2?所以y1+y2=又F2A:x=x1?2y1因?yàn)镾△F2設(shè)直線(xiàn)CF2交直線(xiàn)RS于點(diǎn)T，則T為線(xiàn)段所以x所以F與AB:x=my?2，聯(lián)立可得xC=?1，所以C的軌跡為x=?1，y∈(?1,0)∪(0,1);(2)由RM=14RS，AN=xN=3F2MS==因?yàn)閨m|>1，所以1+2m

17.證明：依題意，a1=p(p?1)2下，面考察由于1，2，?，pn?1中除p，2p，?，pn?p外其他數(shù)均不能被所以k=1p則a所以an所以an+1?a所以{a(2)有(1)可得a2(p+1)p所以i=1即i=1n所以i=1n

18.解：(1)設(shè)bi對(duì)應(yīng)的子集為Ai=2i1,2i因?yàn)锳i≠Aj，則設(shè)t為使得則bi所以bi(2)先證：若|xi|=d?2i?1因?yàn)閎1為集合A中所有的非正數(shù)的和，b2n所以b2又因?yàn)楫?dāng)i≠j時(shí)，設(shè)bi對(duì)應(yīng)的子集為Ai={xi其中i1<i因?yàn)锳i≠Aj，則設(shè)t當(dāng)xit當(dāng)xit<0綜上bi所以b1，b2，?，b2而b2n?b1再證：若{bn}是公差為d不妨設(shè)0?|x當(dāng)k=1時(shí)，|x設(shè)k=n?1時(shí)成立，則考慮n時(shí)的情形．設(shè)A={x1,x2,?,x(若x1<0，只需將每個(gè)xi用考慮{bm}中最小項(xiàng)b則b2=b1+d=b1+x1，所以x